TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 9 nov 7 Ten i kursen HF ( Tidigare kn 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Ten i kursen 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 3:5-7:5 Lärare: Armin Halilovic Kurskod HF (+ 6H3, 6H3, 6L3, 6A) Hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst och formelsamling Formler och tabeller i statistik. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två signifikanta siffror. Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen består av 8 uppgifter á 4 poäng. För komplettering krävs poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 3, 4,, 6 respektive poäng. (Gamla kurser: För betyg 3, 4, 5 krävs, respektive 3 poäng.) Komplettering: poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg F). Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget F på MINA SIDOR. Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in. Uppgift. Vi placerar identiska bollar i 4 stora lådor A, B, C och D. (Ett eempel på placering) a) På hur många olika sätt kan man göra det? b) I hur många placeringar är låda B tom? Uppgift. Ett företag som tillverkar batterier av en viss typ har tillverkningen förlagt i fyra olika fabriker. Fabrik A står för 4 % av tillverkningen, fabrik B 3 %, fabrik C %, fabrik D %. Sannolikheten för att ett batteri från fabrik A är korrekt är 95 %. Motsvarande sannolikheten för ett korrekt batteri från B är 9 %, från C 85 % och från D 7 %. Man köper ett batteri och finner att det är korrekt. Vad är sannolikheten att det tillverkats i fabrik C? Uppgift 3. Vid en statistisk mottagningskontroll skall man avvisa eller acceptera inkommande partier om 4 enheter vardera. Man använder följande tvåstegsförfärande. Först väljs 4 enheter på måfå ur partiet. Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet. Om ingen är defekt väljer man på måfå ut ytterligare enheter bland de återstående 36. Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet, i annat fall accepteras det. Vad är sannolikheten att avvisa ett parti som innehåller 4 defekta enheter?
Uppgift 4. En stokastisk variabel ξ har frekvensfunktionen, < f ( ) = a e,, > a) (poäng) Bestäm konstanten a b)(poäng) Beräkna väntevärdet E (ξ ) c)(poäng) Beräkna variansen V (ξ ) Uppgift 5. En stokastisk variabel ξ har frekvensfunktionen, < f ( ) = sin, π π, > π Bestäm sannolikheten att ξ < betingat att (givet att) ξ >. Uppgift 6. Vid tillverkning av en viss typ motstånd blir resistansen N(,) fördelad (enhet kiloohm). Vad är sannolikheten att seriekopplade sådana motstånd skall få en resistans mellan 5 och 5 kiloohm? Uppgift 7. Livslängden hos en viss komponent är en eponentialfördelad stokastisk variabel med parameter λ =. (tiden räknas i dagar). En sådan komponent ingår i en radarutrusning på ett fartyg. När en komponent går sönder byts den genast ut mot en ny. Beräkna en tid T sådan att lagret med sådana komponenter räcker åtminstone denna tid med sannolikhet.9. Uppgift 8. Vi testar två förpackningsmaskiner X och Y. Test: Från maskin X har vi följande 4 observationsvärden av paketens vikter i gram: ξ 3 4 observationsvärden 5 5 5.5 48.5 Test: Från maskin Y har vi följande 6 observationsvärden. η y y y 3 y 4 y 5 y 6 observationsvärden 5 49.5 5.5 48.5 49.5 49 Bestäm en 95 % konfidensintervall för differensen mellan väntevärdena ξ och η. Lycka till!
FACIT Uppgift. Vi placerar identiska bollar i 4 stora lådor A, B, C och D. (Ett eempel på placering) a) På hur många olika sätt kan man göra det? b) I hur många placeringar är låda B tom? Lösning a) Vi betraktar ett ekvivalent problem: Permutationer av 5 bokstäver I och bokstäver O (se bilden). T e: Permutationen IOOOIOOOOIIOOOI svarar mot ovanstående eempel. Varje permutation måste börja och sluta med I (annars hamnar inte bollen i någon låda) Därför permuterar vi 3 bokstäver I och bokstäver O. 3! 3 a) Det finns N = = = 86 sådana permutationer. 3!! 3 Svar a) 86 b) Den här gången placerar vi placerar identiska bollar i 3 lådor.! N = = = 66!! Svar b) 66 Uppgift. Ett företag som tillverkar batterier av en viss typ har tillverkningen förlagt i fyra olika fabriker. Fabrik A står för 4 % av tillverkningen, fabrik B 3 %, fabrik C %, fabrik D %. Sannolikheten för att ett batteri från fabrik A är korrekt är 95 %. Motsvarande sannolikheten för ett korrekt batteri från B är 9 %, från C 85 % och från D 7 %. Man köper ett batteri och finner att det är korrekt. Vad är sannolikheten att det tillverkats i fabrik C? P(korrekt)=.4*.95+.3*.9+.*.85+.*.7=.89(total sannolikhet)..85 P(C korrekt) = =.9.89 Svar :.9
Uppgift 3. Vid en statistisk mottagningskontroll skall man avvisa eller acceptera inkommande partier om 4 enheter vardera. Man använder följande tvåstegsförfärande. Först väljs 4 enheter på måfå ur partiet. Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet. Om ingen är defekt väljer man på måfå ut ytterligare enheter bland de återstående 36. Om någon av dessa är defekt så avvisas partiet, i annat fall accepteras det. Vad är sannolikheten att avvisa ett parti som innehåller 4 defekta enheter? Metod : P(avvisa)=-P(acceptera)= -P(Test OK)*(Test OK Test OK) 4 4 3 4 =. 836 4 3 4 Svar 3:. 836 4 Metod : P(avvisa)= P(avvisa I Test) + P( avvisa i Test)= -P(Test OK) + P(Test OK)*(-Test OK) TEST: P(alla 4 korrekta i Test)=p= 4 4 minst en defekt i Test=-P(alla 4 korrekta i Test)= 4 4 TEST: p= P( minst en defekt i Test betingat att alla är korrekta i TEST)= 3 4 ( ) 4 3 4 4 Sannolikheten att avvisa ett parti är p+p= ( ) + ( ). 836 4 4
3 4 4 Svar3: ( ) + ( ). 836 4 4 Uppgift 4. En stokastisk variabel ξ har frekvensfunktionen, < f ( ) = a e,, > a) (poäng) Bestäm konstanten a b)(poäng) Beräkna väntevärdet E (ξ ) c)(poäng) Beräkna variansen V (ξ ) a) ae d = ae ae = a =.565 e Svar a) a =.565 b) E( ξ ) = ae d Först beräknar vi ae d = u = a v = e ae ae d = ( part int u = a v = e ae ae och därefter substituerar gränserna och. E( ξ ) = ae [ ae ae ] d = = e ae ae + a = a( e + ) = e Svar b) E ( ξ ) =. 33 c) V ( ξ ) = a e d m = m (eftersom a e d Svar c) V ( ξ ) =.759 +.33.759 =( gånger Part. Int)= [ + ] ) ae ( ) = )
Uppgift 5. En stokastisk variabel ξ har frekvensfunktionen, < f ( ) = sin, π π, > π Bestäm sannolikheten att ξ < betingat att (givet att) ξ >. P( < ξ < ) P ( ξ < ξ > ) = P( ξ > ) p = P( < ξ < ) = sin d = π π π p = P( ξ > ) = sin d = π π p P( ξ < ξ > ) =.57 p Svar 5. P ( ξ < ξ > ) =. 57 [ sin cos ]. 4585 π [ sin cos ]. 94 Uppgift 6. Vid tillverkning av en viss typ motstånd blir resistansen N(,) fördelad (enhet kiloohm). Vad är sannolikheten att seriekopplade sådana motstånd skall få en resistans mellan 5 och 5 kiloohm? m = E( ξ ) =, s = n = k Låt ξ = ξ + ξ +... + ξ. Då gäller ξ + ξ +... + ξ N( n m, s n) (formelblad) d v s ξ + ξ +... + ξ N(, ) N(, 6.633) 5 5 P(5 < ξ < 5) = F(5) F(5) = Φ( ) Φ( ) = Φ(.753778) Φ(.753778) 6.633 6.633 =.7745.55 =.549 Svar 6:.549
Uppgift 7. Livslängden hos en viss komponent är en eponentialfördelad stokastisk variabel med parameter λ =. (tiden räknas i dagar). En sådan komponent ingår i en radarutrusning på ett fartyg. När en komponent går sönder byts den genast ut mot en ny. Beräkna en tid T sådan att lagret med sådana komponenter räcker åtminstone denna tid med sannolikhet.9. Låt ξk vara livslängden hos komponent k. Då gäller μ = E ( ξ ) = k = och σ ( ) λ = Var ξ = λ = k (formelbladet) Vi betecknar η = ξ + ξ +... + ξ Variabeln η är approimativt N( n μ, σ n) = N (, ) = N(, ) fördelad. a) Sannolikheten att sådana komponenter räcker åtminstone T timmar är P( η T ) =.9 F( T ) =.9 F( T ) =. T T φ( ) =. =.8 T Svar 7: T=595 =.8 595 Uppgift 8. Vi testar två förpackningsmaskiner X och Y. Test: Från maskin X har vi följande 4 observationsvärden av paketens vikter i gram: ξ 3 4 observationsvärden 5 5 5.5 48.5 Test: Från maskin Y har vi följande 6 observationsvärden. η y y y 3 y 4 y 5 y 6 observationsvärden 5 49.5 5.5 48.5 49.5 49 Bestäm en 95 % konfidensintervall för differensen mellan väntevärdena ξ och η. m = 5.75 s =.55456376 m = 49.66666667 s =.939493363 * ( n ) s + ( n ) s σ = =.3949 n + n α / =.5%
r = antal frihets grader= n + n =8 Konfidensinterval: * * m m tα / ( n + n ) σ +, m m + tα / ( n + n ) σ n n Eftersom n =4, n =6 * σ =.3949 m m =.8333333 och tα / (8) =.36, * får vi t α / (8) σ + =.79. 4 6 Härav får vi för ξ η följande konfidensintervall: [.7,.87] Svar 8. Konfidensintervall: [.7,.87]. n + n