Artificiella neurala nätverk för punktabsorberande vågkraftverk: Energiuppskattning och aktiv styrning.

Transkript

1 UPTEC F Examensarbete 30 hp Augusti 2016 Artificiella neurala nätverk för punktabsorberande vågkraftverk: Energiuppskattning och aktiv styrning.

2 Abstract Artificial neural network for wave energy point absorbers: Energy approximation and active control. & Teknisk- naturvetenskaplig fakultet UTH-enheten Besöksadress: Ångströmlaboratoriet Lägerhyddsvägen 1 Hus 4, Plan 0 Postadress: Box Uppsala Telefon: Telefax: Hemsida: Energy approximations for wave energy point absorbers using nonlinear models is a computationally heavy process. In order to find a less demanding model, artificial neural networks has been used to mimic the behavior of the theoretical model(s). One linear model and one non-linear model has been analyzed. By changing the time resolution of the system, the number of hidden layers and the timeseries parameters of the artificial neural network, the deviation between the theoretical model and the artificial neural network has been studied. Investigations of how well the artificial neural network mimics the theoretical models is determined for different setups of parameters. From this, it can be seen that the computational time is reduced from 41 minutes and 6 seconds using the theoretical model to 57 seconds using the artificial neural network. This is a percentual reduction to 2,3% of the original time. By making the damping coefficient of the linear generator into a variable, a genetic algorithm is used to find sequential coefficients that gives an increased energy absorption. Using artificial neural network to approximate the behavior of the best performing sequence and afterwards using it separately, an increased energy absorption of 20% was achieved. Handledare: Mikael Eriksson & Jens Engström Ämnesgranskare: Jan Isberg Examinator: Tomas Nyberg ISSN: , UPTEC F 16047

3 Populärvetenskaplig sammanfattning Vetenskapsmän som Newton, Einstein och Maxwell har ökat förståelsen för den värld vi lever och verkar i. Där en handling har ett bestämt samband med det som följer, såsom tiden det tar för äpplet att nå marken eller hur elektriska fält påverkas av varierande magnetiska fält. Dessvärre finns det naturliga beteenden där teoretiska uttryck är svåra att beskriva. Exempel på sådana beteenden kan vara vädret eller fortplantning av havsvågor. En lösning kan vara att använda sig av Artificiella Neurala Nätverk, som ger en approximerad lösning genom att använda sig av viktningar av inparametrar. Undersökningar har gjorts där vi utreder interaktionen mellan havsvågor och bojar till punktabsorberande vågkraftverk. Genom att använda ett artificiellt neuralt nätverk beskrivs ett samband mellan vågornas rörelse och bojens beteende. Vi djupdyker i ämnet och ser hur möjlighet finns dels för att uppskatta energiabsorption för långa tidsserier av våghöjder och dels hur artificiella neurala nätverk kan användas tillsammans med genetiska algoritmer för att öka energiabsorptionen genom aktiv styrning. Vid aktiv styrning varieras dämpningskoefficienten i linjärgeneratorn. Vad som framkommer i denna undersökning är att genom användning av det artificiella neurala nätverket kan beräkningstid för energiuppskattning av långa tidsserier vågdata förkortas till en bråkdel, närmare bestämt 5000 gånger kortare beräkningstid jämfört med den olinjära modell som annars används vid energiuppskattning. Genom användning av genetiska algoritmer beräknas ett förbättrat beteende av dämpningskoefficienter. Genom att implementera detta beteende i ett aktivt system fås en ökad energiabsorption med 62%. Tillsammans med artificiella neurala nätverk används beteendet på en separat fil, där energiabsorptionen ökar med 20% jämfört med det passiva system som presterar bäst. 2

4 Författarnas tack Som författare vill vi tacka våra handledare Mikael Eriksson och Jens Engström för deras stöd och respons utefter arbetets gång. Vi vill även tacka vår ämnesgranskare Jan Isberg för att ha granskat och möjliggjort detta examensarbete. 3

5 Innehåll 1 Introduktion Bakgrund till undersökningen Problemformulering Tillvägagång, avgränsning och uppdelning Det biologiska neurala nätverket Artificiella Neurala Nätverk Historia Teori Del I: Linjär- & Olinjär Matematisk Modell Linjär Matematisk modell Teori Metod Resultat Analys Olinjär Matematisk Modell Teori Metod Resultat Analys Sammanfattning och diskussion Förbättringsmöjligheter Del II: Aktiv styrning av punktabsorberande vågkraftverk Inledning Teori Tidsindelning av excitationsvåg Genetisk algoritm Metod Resultat Energiabsorptionsjämförelse mellan optimal konstant dämpningskoefficient och dämpningskoefficient beräknad med genetisk algoritm Energiabsorptionsjämförelse mellan optimal konstant dämpningskoefficient och dämpningskoefficient från artificiellt neuralt nätverk Sammanfattning och diskussion Förbättringsmöjligheter

6 4 Litteratur och referenser 82 5

7 Figurer 1 Biologisk neuron-modell[1] Artificiell neuron-modell[2] Artificiell neuron-modell med flera dolda lager. [3] input, output & target [4] Boj och translator i ett punktabsorberande vågkraftverk Det ursprungliga sambandet mellan inparametrar och utparametrar. Tidsavståndet mellan varje inparameter är 0.01s, detsamma gäller tidsavståndet mellan utparametrarna. Varje kolumn i input-matrisen motsvarar ett värde i output-matrisen Genom att ändra tidsupplösningen på hela systemet, kommer tidsavståndet variera i samma grad för inparametrarna som utparametrarna Genom att ta var N:te värde på inparametrarna kommer tidsupplösningen på inparametrarna att förändras, men att tidsupplösningen på utparametrarna hålls konstant Jämförelser mellan lösningsalgiritmerna Levenberg-Marquardt, Bayesian regularization och Scaled conjugate gradient. Antalet dolda lager var 10 och tidsupplösningen 0,01s Det genomsnittliga felet i kvadrat som funktion av antal inparametrar och antal dolda lager. Det artificiella neurala nätverket tränades på element och det genomsnittliga felet i kvadrat undersöktes på element. Lösningsalgoritmen Levenberg-Marquardt användes och dämpningen är 200kNs/m Det genomsnittliga felet i kvadrat (m 2 ) undersökts genom att träna det artificiella neurala nätverket på olika antal inparametrar. Det artificiella neurala nätverket tränades på element och det genomsnittliga felet i kvadrat undersöktes för element. Antal dolda lager är 1. Lösningsalgoritmen Levenberg-Marquardt användes och dämpningen är 200kNs/m Jämförelse mellan tid och antal inparametrar för olika matrisgenereringar. Tidsjämförelse är gjord även för olika dämpningskoefficienter för gammal matrisgenerering Medelavvikelse av effekten i kvadrat [W 2 ], med dämpningskoefficient 200kNs/m. Vid en förändring av in- och utparametrar, dvs. en förändring av tidsupplösningen Medelavvikelse av effekten i kvadrat [W 2 ] mellan matematiska modellen och var N:te element, dvs. förändring av enbart antalet inparametrar Standardavvikelse [W] för olika tidsupplösningar, med dämpningskoefficient 200kNs/m och konstant tidshistoria på 5 sekunder

8 16 Genom att studera figuren ses att bojpositionen (grön) har ett mer komplext samband med den inkommande vågen (blå), än i den linjära modellen. Olikt den linjära modellen följer inte bojpositionen den inkommande vågen med en konstant fasförskjutning Jämförelse mellan inkommande våg, bojposition samt excitationskraft. Den exciterande kraften stämmer väl överens med bojpositionen och är en bra inparameter för ett artificiellt neuralt nätverk som ska bestämma bojpositioner. Samtliga höjder är normaliserade och förflyttade för att ha sitt medelvärde runt Jämförelse mellan olika initialvärden på bojpositioner. Genom att testa 20 olika initialvärden på bojpositioner mellan -1 och 1 kan man tydligt se hur de kalkylerade bojpositionerna snabbt närmar sig de korrekta Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösningen 0,1 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften samt nuvarande värde av vågpositionen Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösningen 0,05 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften samt nuvarande värde av vågpositionen Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för 75 och 100 inparametrar och 1 till 10 dolda lager för tidsupplösningen 0,05 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften samt nuvarande värde av vågpositionen Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösningen 0,1 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften och vågpositionen Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösningen 0,1 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager med tidsupplösning 0,1 sekunder. Lösningsmodellen var Feed-Forward med återkoppling. Figuren visar att den övergripande genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen blir bättre vid högre antal inparametrar av excitationskraften och antal dolda lager. 4 st 30- minuters vågdatafiler undersöktes 10 gånger vardera. Medianvärdet av varje vågdatafil användes och från dessa räknades den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen ut

9 25 Exempel på felaktiga beräknade bojpositioner av ett Feed-Forward nätverk med återkoppling. Blå är bojpositionen beräknad med det neurala nätverket. Lila är bojpositionen beräknad med den olinjära modellen. På grund av att bojpositionerna, som används som inparametrar, inte är kända förstärks bojpositionens fel vid återkopplingen. Lösningsmodellen var Feed-Forward med återkoppling Teoretisk medeleffekt (*) samt medeleffekt erhållen från Feed-Forward med återkoppling för fyra olika vågdataserier. Tidsupplösningen är 0.1 sekunder och dämpningskoefficient är 130kNs/m. Träningsmetoden är Levenberg-Marquardt och antal inparametrar på excitationskraften är 9 stycken Teoretisk medeleffekt (*) samt medeleffekt erhållen från Feed-Forward med återkoppling för fyra olika vågdataserier. Tidsupplösningen för excitationskraften är 0.05 sekunder och dämpningskoefficient är 130kNs/m. Träningsmetoden är Levenberg-Marquardt och antal inparametrar på excitationskraften är 18 stycken Den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen för ett artificiellt neuralt nätverk med tidsupplösningen 0,1 sekunder, motsvarande 0,9 sekunder och ett artificiellt neuralt nätverk med tidsupplösningen 0,05 sekunder, motsvarande 0,9 sekunder. Båda tidsupplösningarna är likvärdiga Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösning 0,1 sekunder. Lösningsmodellen var NARX med träningsmetoden Levenberg-Marquardt. 4 st 30-minuters vågdatafiler undersöktes. Första inparametern är x(t). Topparna beror på ostabilitet mellan nätverk och vågdata Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösning 0,1 sekunder. Lösningsmodellen var NARX med träningsmetoden Levenberg-Marquardt. 4 st 30-minuters vågdatafiler undersöktes. Första inparametern är x(t-1). Topparna beror på ostabilitet mellan nätverk och vågdata Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösning 0,1 sekunder. Lösningsmodellen var NARX med träningsmetoden Levenberg-Marquardt. Figuren visar att den övergripande genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen blir bättre vid högre antal inparametrar av excitationskraften och antal dolda lager. 4 st 30-minuters vågdatafiler undersöktes 10 gånger vardera. Medianvärdet av varje vågdatafil användes och från dessa räknades den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen ut Beräknad medeleffekt för januari månad 2009, träning på en vågdatafil med 50 inparametrar och 11 dolda lager

10 33 Inzoomning kring hög effekt. Beräknad medeleffekt för januari månad 2009, träning på en vågdatafil med 50 inparametrar och 11 dolda lager Inzoomning kring låga effekter. Beräknad medeleffekt för januari månad 2009, träning på en vågdatafil med 50 inparametrar och 11 dolda lager Våghöjder från vågdatafil med en av de högsta medeleffekterna. Peak to peak värden på ungefär 4,5 meter Bojpositioner erhållet från teoretisk olinjär modell (röd) och det tränade nätverket (blå). Från vågdatafil med en av de högsta medeleffekterna Vågens excitationskraft delas in i enskilda excitaionsvågor. En enskild excitationsvåg representeras av tidsspannet mellan två röda vertikala linjer Varje enskild våg delas in i konstanta tidssektioner T i. Dämpningskoefficienterna γ i varierar under en excitationsvåg men hålls fix inom en tidssektion T i Struktur för hur den genetiska algoritmen anropas Jämförelse mellan när den olinjära modellen löses med 0,5 sekunders tidssektioner och när hela vågdatafilen löses i ett anrop. Figuren visar bojpositioner och det relativa felet mellan dessa. Lösningarna är inte identiska, men mycket lika. Dämpningskoefficienten är 100kNs/m Genom att ändra dämpningskoefficienten för varje sektion, försöker den genetiska algoritmen få bojens hastighet att ligga i fas med vågens excitationskraft. Vilket innebär stora hopp på dämpningskoefficienten. Vågens excitationskraft och bojens hastighet har normaliserats till amplituden på dämpningskoefficienten. Tidssteget för varje sektion är 0,5 sekunder Genom att ändra dämpningskoefficienten γ i med restriktioner för varje sektion, försöker den genetiska algoritmen få bojens hastighet att ligga i fas med vågens excitationskraft. Vågens excitationskraft och bojens hastighet har normaliserats till amplituden på dämpningskoefficienten. Tidssteget T i för varje sektion är 0,5 sekunder Jämförelse av 3 olika dämpningskoefficienter vid olika tidssteg på sektionerna Jämförelse mellan 3 olika bojpositioner vid olika tidssteg på sektionerna på dämpningskoefficienten Genom att elementvist multiplicera vågens excitationskraft med bojens hastighet visar alla positiva värden då dessa två storheter har samma tecken. Vid negativa värden innebär det att vågens excitationskraft och bojens hastighet motverkar varandra. Figuren visar det momentana värdet och det kumulativa värdet

11 46 Excitationskraften och bojens hastighet för en följd av dämpningskoefficienter, där dämpningskoefficienterna är genererade via artificiellt neuralt nätverk efter att det tränats på annan vågdatafil Excitationskraften elementvist multiplicerad med bojens hastighet, då dämpningskoefficienten genererats via artificiellt neuralt nätverk efter att det tränats på annan vågdatafil. Figuren visar det momentana värdet och det kumulativa värdet Genom att fasen på vågens excitationskraft är känd, beräknas energiabsorptionen för olika amplituder på bojhastigheten. Dämpningskoefficienten beräknas genom att hastigheterna mellan varje sektion, röda vertikala linjer, är kända

12 1 Introduktion Under de senaste åren har mänsklighetens miljömedvetenhet, miljöansvar och miljöbeteende ökat, vilket innebär stora utmaningar för energisektorn. Aldrig tidigare har så mycket resurser lagts på forskning kring förnybara energikällor och den tekniska potentialen för förnybar energi täcker med lätthet världens energibehov[5]. En förnybar energikälla med stor potential är vågkraft. För att kunna generera energi från vågor är det viktigt att känna till vågens påverkan och beteende. Artificiella neurala nätverk har, sedan 1980-talet, fått en explosionsartad utveckling där nya implementeringsområden ständigt lyfts fram. Idag utnyttjas dessa nätverk i stor utsträckning där teoretiska funktioner ansetts olämpliga. De vanligaste orsakerna till att använda ett artificiellt neuralt nätverk är lång beräkningstid eller att möjligheten till ett teoretiskt uttryck inte är möjligt. Oregelbundenheten i vågornas beteende är ett bra exempel på detta. 1.1 Bakgrund till undersökningen Havsvågor är en form av energikälla som ännu idag inte har en storskalig kommersiell utbredning jämfört med många andra förnybara energikällor. Anledningen är att vågkraft fortfarande är i ett forskningsstadie. Världsledande inom vågkraftsforskning är Uppsala Universitet, där världens största forskargruppen inom vågkraft arbetar. Utanför Lysekil, vid Sverige västkust, ligger deras forskningsanläggning, en av få fullskaliga i världen. Avdelningen för elektricitetslära på Uppsala Universitet har en kommande doktorandtjänst där möjligheten att använda artificella neurala nätverk vid aktiv styrning kommer undersökas. Därför fanns det intresse av att undersöka hur väl artificiella neurala nätverk kan efterlikna boj- och translatorbeteenden samt påbörja försök av aktiv styrning. Detta utlystes i form av ett examensarbete. 1.2 Problemformulering Ett problem inom vågkraften är det oregelbundna vågbeteendet. Detta ger upphov till en beräkningstung teori för modellerna som förklarar bojens- och translatorns dynamik. En av de mest fundamentala aspekterna hos ett vågkraftverk är hur mycket energi det kan absorbera. Detta är ytterst relevant vid vågkraftparkens placering, men också vid mer tekniskt detaljerade egenskaper, så som dämpningen i linjärgeneratorn. 11

13 Detta examensarbete kan delas in i två separata undersökningar. Den första undersökningen är hur pass bra artificiella neurala nätverk kan uppskatta vågens beteende för två olika modeller; linjär och olinjär, i båda fallen hålls dämpningskoefficienten konstant. Den andra undersökningen är hur artificiella neurala nätverk och genetiska algoritmer kan användas för att öka energiabsorptionen, genom att aktivt styra generatorns dämpning. 1.3 Tillvägagång, avgränsning och uppdelning Vad beträffar det praktiska arbetet för denna rapport startade den med att undersöka den linjära matematiska modellen. Undersökningarna i denna del förklaras mer genomgripande, än i den olinjära modellen samt delen om aktiv styrning. Detta för att börja på en grundläggande nivå för en oinsatt läsare. Efter analysering av resultaten för den linjära modellen övergick arbetet till undersökning av den olinjära modellen. Detta är den del av arbetet där ansvarstagandet delas upp. Kristoffer ansvarar för undersökning av Feed-forward utan- och med återkoppling. Jonathan ansvarar för undersökning av NARX. Då det insetts att Feed-forward utan återkoppling gav bäst resultat gjordes ytterligare undersökningar för detta nätverk. Kristoffer ansvarar för undersökning av beräkningstid och Jonathan ansvarar för energiuppskattning och olika träningsfilers påverkan. Då resultatet från den olinjära modellen analyserats inleds undersökning av aktiv styrning. Detta fortskrider under resterande tid ämnad för examensarbetet. Materialet som finns att erhålla för detta examensarbete, förutom de matematiska modellerna, är tidsserier av vågdata från en boj positionerad utanför Lysekil. Samplingsfrekvenserna för denna vågdata är 2,56 Hz, dvs en registrerad våghöjd för varje (ungefär) 0,4 sekunder. Dessa punkter interpoleras för att öka upplösningen på bojen och för att ge bojen ett mer vågliknande beteende. 12

14 Figur 1: Biologisk neuron-modell[1] 1.4 Det biologiska neurala nätverket Det biologiska neurala nätverket är det mest komplexa system[6] som finns på denna planet. Figur 1 visar en neuron, som tillsammans med 100 miljarder andra neuroner bygger upp det komplexa system som är människans hjärna. Genom dendriterna (eng. dendrites) får den aktuella neuronen elektriska impulser, erhållen från andra sammanbindande neuroner. Dessa elektriska impulser färdas till cellkärnan (eng. cell body eller Soma). Cellkärnan är den del av neuronen som innehåller DNAsträngar. Dessa, formulerat matematiskt, utför funktionen utifrån de elektriska impulser som dendriterna mottagit. Funktionsvärdet, eller informationen, från cellkärnan färdas genom axonen. Axoner är långa nervtrådar med varierande längd, vissa axoner kan vara upp till en meter. Informationen, bestående av en elektrisk impuls, hamnar slutligen i synapsen (eng. Axon terminal) där informationen överförs till nästa neuron genom nervimpulsöverföring. 13

15 1.5 Artificiella Neurala Nätverk Historia Artificiella neurala nätverkets begynnelse satte igång under 1940-talet[7], ungefär samtidigt som programmerbara elektroniska digitala datorer uppfanns. Nedan följer en kort överblick över historien om artificiella neurala nätverk. 1943: Walter Pitts & Warren McCulloch skrev A Logical Calculus of Ideas Immanent in Nervous Activity [8], den första matematiska modellen av ett neuralt nätverk. Samma personer introducerade även tillämpningsområdet the recognition of spacial patterns by neural networks [9] 4 år senare. 1949: Donald O. Hebb formulerade en teori som beskriver nervcellernas beteende i hjärnan vid inlärning, som han gav namnet Hebbs teori[10]. 1951: Marvin Minsky, som doktorsavhandling skapade SNARK, en neurodator som automatiskt ändrade viktning. Datorn utförde beräkningar, men man visste inte riktigt vad. 1956: möte vid Dartmouth Summer Research Project. Välkända vetenskapsmän och ambitiösa studenter samlades för att diskutera hur man kunde simulera en hjärna. Splittrade åsikter angående tillvägagångssätt (top-down vs. bottomup, dvs. simulering av förmåga vs uppbyggnad från neuroner) : Frank Rosenblatt, Charles Wightman m. medarbetare vid MIT, skapade första framgångrika neurodatorn Mark I perceptron. Denna neurodator lyckades känna igen siffror (20x20 pixlar). 1959: Frank Rosenblatt förklarar bl.a perceptrons konvergens-teorem, hur neuronlager imiterar näthinnan och hur systemet lär sig. 1960: Bernard Widrow & Marcian E. Hoff, uppfann ADALINE (ADAptive LInear Neuron)[11], ett snabbt och precist inlärningssystem. Första stora kommersiellt använda artificiella neurala nätverket (användes för ekofiltrering i analogtelefoni). 1961: Karl Steinbuch, beskrev möjligheter och begränsningar för neurala metoder[12]. 1965: Nils Nilsson: Skrev boken Machine Learning. Antog att intelligenta system redan uppfunnits. Överdrift men gav popularitet och finansiering för området. 1969: Marvin Minsky & Seymour Papert publicerade en artikel där de beskrev begränsningar hos neurodatorn perceptron[13] (t.ex XOR, och linjär separabi- 14

16 litet). Förutsåg att hela området var ett s.k research dead end, vilket satte stopp för finansiering de kommande 15 åren. Från och med Marvin Minsky och Seymour Papert publicerade arbete stagnerade utveckligen inom artificiella neurala nätverk. Med begränsad finansiering försvann initiativet till konferenser, men trots detta fortsatte forskning på olika håll. 1972: Teuvo Kohonen, tog fram en matematisk modell för hur minnet associerar[14]. Denna modell var av typen Feed-Forward (beskrivs ytterligare i sektion 1.5.2). 1973: Christoph von der Malsburg, utnyttjade olinjär neuron modell som ansågs efterlikna den biologiska neuron modellen bättre[15]. 1974: Harvard Paul Werbos utvecklade i sin doktorsavhandling inlärningsprocessen Backpropagation of errors[16]. Detta är en viktig grundpelare för träningen av artificiella neurala nätverk, något som uppmärksammas storskaligt långt senare. 1976: Stephen Grossberg påbörjade en serie av artiklar med matematiska undersökningar av neurala modeller[17]. Tillsammans med Gail Carpenter kom de fram till modellen adaptive resonance theory, med den framträdande egenskapen av att kunna lära sig nytt utan att direkt ersätta det den tidigare lärt sig. 1982: John Hopfield, skapade Hopfieldnät med repellerande/attraherande viktningar (inspirerad av magnetismen)[18]. 1983: K. Fukushima, S. Miyake och T. Ito, kom fram med den neurala modellen till Neocognitron som kunde känna igen handskrivna bokstäver[19]. Från och med 1985, med J. Hopfields personliga övertalningar om det artificiella neurala nätverkets betydelse, och med D. E. Rumelhart, G. E. Hinton & R. J. Williams storskaliga publicering började utvecklingen att ta fart igen. 1985: John Hopfield beskriver ett sätt att lösa Handelsresandeproblemet, ett problem som formulerats matematiskt redan under 1850-talet, genom användning av Hopfieldnät som han utvecklat sedan tidigare. 1986: D. E. Rumelhart, G. E. Hinton & R. J. Williams fortsatte på H. P. Werbos spår om backpropagation of errors som vidareutvecklades och publicerades storskaligt. De motsägelser som tidigare skrivits av Marvin Minsky och Seymour Papert löstes, allt på samma gång. 1987: Den första konferensen i modern tid om neurala nätverk hålls i San Diego och the International Neural Network Society (INNS) bildas[20]. 15

17 Figur 2: Artificiell neuron-modell[2] Från denna stund har utvecklingen ökat explosionsartat och kan inte längre beskrivas på punktform Teori Med artificiella neurala nätverk försöker man efterlikna strukturen hos det biologiska neurala nätverket, dvs den tar emot en signal, använder informationen av detta och skickar vidare en ny beräknad signal. Det artificiella neurala nätverket består av noder (neuroner). Viktningskoefficienter mellan dessa noder och hur de är sammankopplade skiljer sig mellan olika neurala nätverk. Ett artificiellt neuralt nätverk enligt figur 2 beskrivs nedan. Insignalen till det artificiella neurala nätverket (input) kan bestå av ett flertal noder. Dessa noder kan vara en tidsserie av en variabel eller n antal oberoende parametrar. Om man utgår från nod j (högra delen av figur 2), använder nod j de viktade insignalerna w 1,j till w n,j (där input x 1 har viktningskoefficienten w 1,j till nod j). Dessa skickas till en överföringsfunktion (eng. transfer function alternativt propagation function) där de görs om till ett nettoinput net j, ofta genom en enkel summering. Värdet net j som erhålls används därefter i en aktiveringsfunktion. Aktiveringsfunktionen som användes vid skapandet av den första framgångsrika neurondatorn Mark I perceptron var en vanlig enhetsstegfunktion (även kallad Heavisidefunktionen). För denna rapport, och vad Matlab sätter som default för deras Feed-Forward, används tansig & purelin som kan ses i ekvation 1 respektive ekvation 2. Det värde som fås av aktiveringsfunktionen är output-värdet från nod j. 16

18 Figur 3: Artificiell neuron-modell med flera dolda lager. [3] I ett simpelt system som i figur 2 är det detta värde som efterfrågas. I vanliga fall är detta inte fallet, utan output-värdet från nod j används tillsammans med andra output-värden, som skickas vidare som input till andra noder inom det neurala nätverket. En förenklad bild av noders sammankoppling kan ses i figur 3. Noderna som fås från hidden layer 1 viktas, en för varje nod, till noderna i hidden layer 2 där de summeras och går igenom aktiveringsfunktionen. Dessa skickas i sin tur till output layer där värdena återigen passerar en överföring- och aktiveringsfunktion. För användaren av det neurala nätverket behöver således aldrig de beräknade aktiveringsvärdena från hidden layer 1 och hidden layer 2 skickas till användaren. Detta är anledningen till att dessa lager fått namnet dolda lager och kan för användaren ses som en stor dold låda. Som tidigare nämnts använder matlab aktiveringsfunktionerna tansig & purelin som default för Feed-forward (t.ex anropet fitnet för Function fitting neural network). Aktiveringsfunktionen tansig används inom de dolda lagrena och purelin används avslutningsvis som aktivering av outputvärdet. tansig(net) = 2 1 (1) 1 + e 2 net purelin(net) = net (2) 17

19 Figur 4: input, output & target [4] Ett viktigt steg för att få det neurala nätverket att fungera är att träna nätverket. Detta görs genom att ändra viktningsmatrisen, den matris som innehåller viktningarna mellan neuronerna och som bestämmer hur ett outputvärde reagerar på inputvärden. Detta outputvärde som nätverket genererar ska således efterlikna det värde man vill ha. Det senare nämnda kallas för target-värde, se figur 4. Genom att jämföra detta med det output-värde man faktiskt får ut av det neurala nätverket justeras viktmatrisen för att överensstämma med de givna targetvärdena. Justeringen av viktningsmatrisen kan göras på olika sätt, och för detta används olika träningsalgoritmer. De träningsalgoritmer som förekommer i denna rapport är Levenberg-Marquardt, Bayesian regularization & Scaled Conjugate Gradient. Av dessa tre är det Levenberg-Marquardt som används i störst utsträckning. 18

20 2 Del I: Linjär- & Olinjär Matematisk Modell 2.1 Linjär Matematisk modell Teori Figur 5: Boj och translator i ett punktabsorberande vågkraftverk. I figur 5 ses en generell bild av ett punktabsorberande vågkraftverk innehållande en boj och en translator. Den linjära modellen för det punktabsorberande vågkraftverket utgår från ett mekaniskt system med linjära funktioner på de ingående krafterna. De krafter som verkar på bojen (boj/våg interaktionen) modelleras med potentialteori för havsvågor. I teorin för den linjära modellen är det antaget att bojen bara rör sig vertikalt i en dimension och att det rep som förbinder bojen till translatorn alltid är sträckt. Translator-/stator arean är också antagen att vara 100 % aktiv för hela slaglängden. De mekaniska krafterna beskrivs i enlighet med Newtons andra lag. m tot ẍ(t) = F tot (t) (3) 19

21 F tot är den totala kraften verkandes på systemet, som består av ett flertal kraftbidrag. Den totala massan m tot är den totala massan för systemet, dvs både translator och boj. De krafter som bidrar till den totala kraften F tot är: 1. F e, Excitationskraft 2. F r, Strålningsimpedans 3. F h, Hydrodstatisk styvhet 4. F g, Generatorns dämpkraft 5. F s, Fjäderkraft 6. m tot g, Gravitationskraft Excitationskraften F e är en hydrodynamisk kraft och den enda externt drivande kraft som verkar på bojen. Denna kraft uppstår på grund av det dynamiska trycket i samband med att en våg passerar. Excitationskraften uttrycks genom en faltning i tidsdomän mellan excitationskraftskoefficienten och vågutbredningen. F e (t) = f e (t) η(t τ)dτ = f e (t) η(t) (4) Systemet påverkas av en hydrodynamisk bromsande kraft, strålningsimpedansen F r, uttryckt som en faltning mellan strålningsimpedansens impulsresponsfunktion Z t och bojens hastighet ẋ t. F r (t) = Z t ẋ(t τ)dτ = Z t ẋ(t) (5) Strålningsimpedansen i frekvensdomänen består av strålningsimpedansens fouriertransform, med bojens strålningsresistans R och bojens tillägsmassa m. Z(ω) = R(ω) + iωm(ω) (6) Arkimedes princip F arkimedes = ρv g beskriver den kraft som uppstår då ett föremål nedsänkts i vätska. Denna lyftkraft är proportionell mot volymen V av den del av föremålet som är nedsänkt i vätska. För vågkraftverkets system kallas detta hydrostatisk styvhet F h som beskrivs enligt: F H (t) = ρga x(t) (7) ρ är vattnets densitet, g är gravitationskonsten, A är bojens projicerade bottenarea och x är bojens förflyttning från hydrostatisk jämvikt. Generatorns bromsande kraft F g är en elektromagnetisk kraft och kan jämföras med en linjär dämpare eftersom generatorns bromskraft är proportionell mot translatorns 20

22 hastighet. Den bromsande kraften består av proportionalitetskonstanten γ och bojens hastighet ẋ(t). F g (t) = γ ẋ(t) (8) Fjäderkraften F s för translatorn beskrivs enligt, Summering av alla krafter i enlighet med ekvation 3 ger, F s (t) = k x(t) (9) m tot ẍ(t) = F e (t) + F r (t) + F H (t) + F g (t) + F s (t) m tot g (10) Lösningen till den linjära modellen görs genom att först betrakta kraftsystemet som en andra ordningens linjär inhomogen differentialekvation. m tot ẍ(t)e iwt dt = (f e (t) η(t) Z t ẋ(t)+ ρga x(t) γ ẋ(t) k x(t) m tot g)e iwt dt (11) Med konstanta koefficienter kan detta system fouriertransformeras enligt: (iω) 2 m totˆx(ω) = ˆf e (ω)ˆη(ω) iω(r(ω)+ iωm a (ω))ˆx(ω) ρgaˆx(ω) iωγˆx(ω) kˆx(ω) 2πm tot gδ(ω) (12) Om ekvation 12 uttrycks som funktion av ˆx(ω) enligt ˆx(ω) = överföringsfunktionen av: Ĥ(ω) ˆη(ω) fås Ĥ(ω) = ˆf e (ω) ω 2 (m tot + m a (ω)) + iω(γ + R(ω)) + (ρga + k) + 2πm tot gδ(ω) (13) Detta löses därefter i tidsdomän, vilket ger den tidsberoende positionen: x(t) = 1 F {Ĥ(ω)} η(t τ)dτ ω 0 δ(ω) = 0 (14) Effekten för det punktabsorberande vågkraftverket beräknas utifrån, P (i) = f e (i) v(i) = γ(i) v(i) 2 (15) 21

23 2.1.2 Metod 30 minuters vågdatafiler, innehållande våghöjder från universitetets forskningsanläggning vid Islandsberg, tillsammans med hydroparametrar (så som fjäderkonstanter, bojdiameter etc.) används som inparametrar till den linjära modellen för att få ut en 30 minuters följd av bojpositioner. För att ett artificiellt neuralt nätverk ska kunna efterlikna dessa bojpositioner undersöks hur väl olika antal inparametrar och dolda lager, förklaras i sektion 1.5.2, approximerar bojpositionen vid användning av olika träningsalgoritmer. Dessa träningsalgoritmer är Levenberg-Marquardt, Bayesian regularization & Scaled Conjugate Gradient. Tidsupplösningen är satt till 0,01 sekunder. För att se hur beräkningstiden varierar vid jämförelse mellan den linjära modellen och det neurala nätverket användes matlabs verktyg Run and time. Även hur beräkningstiden varierar för ett artificiellt neuralt nätverk med olika dämpningskoefficienter samt antal inparametrar undersöktes. Vid undersökningarna användes ett dolt lager, eftersom detta var det antal dolda lager som presterade bäst för den linjära modellen (se Resultat, sektion 2.1.3). Det första steget i att beräkna tiden för det artificiella neurala nätverket, jämfört med den linjära modellen, var att dela upp programmeringskoden i sektioner. Den sektion som det neurala nätverket avviker från den linjära modellen kan kortfattat beskrivas av två delar, skapande av matris och anrop av nätverksfunktion. Matrisens kolumner beskriver inparametrarna tillhörande ett targetvärde (target förklaras i sektion 1.5.2), där varje kolumn är en tidsserie och det nedersta värdet är det nuvarande värdet. Visualisering av detta kan ses i tabell 1, då tidsserien är [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]. Observera här att indata med 7 parametrar motsvarar utdata med 5 parametrar då antalet inparametrar är 3 för varje kolumn. Då en tidsdata efter interpolering har värden, så anses förlusten av träningsdata i samband med ökad mängd inparametrar göra marginell skillnad. Även vid ökat antal inparametrar till 500 skulle mängden förlorad träningsdata vara försumbar. Tabell 1: Visualisering av matris. Antalet rader motsvarar antalet inparametrar. Antalet kolumner motsvarar det antal bojpositionsvärden som beräknas. Antal tidsserier till targetv. 1 (t-2) (t-1) (t) Inparam. 22

24 Anrop av nätverksfunktion tar upp två rader i matlabkoden. Dels behöver den laddas (förutsatt att den tidigare har sparats) och sedan behöver den köras genom y=net(inputmatrisen). Det sätt som matrisen till en början genererades, var att definiera varje position i matrisen var för sig, trots att alla värden i varje kolumn förutom det översta återkommer. Att skapa en matris på detta sätt är mycket tidskrävande. Eftersom alla värden förutom det översta i matrisen (dvs x(t-antal inparametrar+1)) återkommer vid nästa kolumn är det viktigt att dra fördel av detta och se varje kolumn som ett paket. Inläsningen av matrisen skrevs om och tiden mättes därefter på nytt. Vågdatan innefattar vågdatafiler från januari månad 2009 samt en 30 minuters vågdatafil från okänt datum. Initialt används den senare nämnda för att träna nätverket. Det tränade nätverket används därefter för att uppskatta bojpositionerna för resterande vågdataserier från januari Dessa bojpositioner jämförs med de som beräknas från den linjära modellen och används därefter för energiuppskattning. Fluktuationer uppstår för bojpositionerna vid användning av neurala nätverk för en tidsupplösning på 0,01s. Detta får stora följder på energiuppskattning och för att motverka detta används matlabs verktyg smooth. För att undvika användning av matlabs smoothverktyg undersöks variationer av tidsupplösningen. Från figur 11 i Resultat görs antagandet att det neurala nätverket kräver upp till 5 sekunders vågdata för att kunna uppskatta ett vågbeteende. Därför undersöks hur resultatet ändras när storleken på tidsupplösningen ändras från det tidigare, se figur 6. Två olika sätt undersöktes. Det första sättet är att ändra både tidsupplösningen för det neurala nätverkets inparametrar och dess utparametrar, se figur 7. Detta medför att när effekten beräknas med hjälp av det neurala nätverket kommer den att beräknas med den nya tidsupplösningen och jämföras med effekten beräknad med den linjära modellen där den gamla tidsupplösningen används. Antalet inparametrar till den nya tidsupplösningen, då 5 sekunders historisk vågdata hålls konstant, beräknas enligt ekvation 16. inparametrar = 5 tidsupplösning (16) Det andra sättet är att enbart ändra antalet inparametrar till det neurala nätverket genom att ta var N:te värde, se figur 8. Detta medför att det inte kommer vara samma tidsupplösning i det neurala nätverkets inparametrar som utparametrar. 23

25 Figur 6: Det ursprungliga sambandet mellan inparametrar och utparametrar. Tidsavståndet mellan varje inparameter är 0.01s, detsamma gäller tidsavståndet mellan utparametrarna. Varje kolumn i input-matrisen motsvarar ett värde i outputmatrisen. Figur 7: Genom att ändra tidsupplösningen på hela systemet, kommer tidsavståndet variera i samma grad för inparametrarna som utparametrarna. Figur 8: Genom att ta var N:te värde på inparametrarna kommer tidsupplösningen på inparametrarna att förändras, men att tidsupplösningen på utparametrarna hålls konstant. 24

26 Figur 9: Jämförelser mellan lösningsalgiritmerna Levenberg-Marquardt, Bayesian regularization och Scaled conjugate gradient. Antalet dolda lager var 10 och tidsupplösningen 0,01s Resultat Jämförelse mellan olika träningsalgoritmer Jämförelse mellan olika träningsalgoritmer kan ses i figur 9 då antalet dolda lager hålls konstant till 10. Vad som här kan ses är att träningsalgoritmen Scaled conjugate gradient presterar sämst och att det skiljer sig litet i kvadratisk medelavvikelse mellan Levenberg-Marquardt och Bayesian regularization. Då Levenberg-Marquardt har en snabbare beräkningstid anses denna vara det bättre alternativet för uppskattning av bojposition och energiabsorption. Beräknade parametrar för det artificiella neurala nätverket. Genom att ändra antal inparametrar och antal dolda lager undersöktes olika artificiella neurala nätverk. Som inparameter användes olika långa tidsserier på inkommande våghöjder. Antal dolda lager undersöktes från 0 till 100, med steg av 10. Resultatet kan ses i figur 10. Denna figur visar att för den linjära modellen presterar ett artificiellt neuralt nätverk med få dolda lager bättre. Detta kan också ses i tabell 2. Från figur 11 ses att det genomsnittliga felet i kvadrat är exponentiellt avtagande för antal inparametrar. Från dessa figurer tas beslutet att 500 inparametrar, motsvarande 5 sekunder vågdata, och 1 antal lager ger det artificiella nätverk som under omständigheterna presterar bäst. 25

27 Figur 10: Det genomsnittliga felet i kvadrat som funktion av antal inparametrar och antal dolda lager. Det artificiella neurala nätverket tränades på element och det genomsnittliga felet i kvadrat undersöktes på element. Lösningsalgoritmen Levenberg-Marquardt användes och dämpningen är 200kNs/m. Tabell 2: Det genomsnittliga felet i kvadrat (m 2 ) som funktion av antal inparametrar och antal dolda lager. Det artificiella neurala nätverket tränades på element och det genomsnittliga felet i kvadrat undersöktes på element. Lösningsalgoritmen Levenberg-Marquardt användes och dämpningen är 200kNs/m. Antal dolda lager [stycken] Antal inparametrar [stycken] ,0107,0095,0084,0075,0067,0059,0052,0043,0037, ,0114,0102,0089,0083,0073,0063,0058,0048,0041, ,0116,0107,0096,0087,0076,0070,0060,0052,0048, ,0176,0112,0102,0092,0089,0071,0067,0059,0052, ,0120,0112,0098,0092,0091,0081,0090,0071,0056, ,0119,0105,0097,0093,0119,0103,0086,0071, ,0118,0123,0115,0116,0113,0110,0116, ,0120,0112,0114,0092,0167,0110, ,0121,0119,0108,0114,0110, ,0117,0118,0116,0111, ,0122,0112,0103,

28 Figur 11: Det genomsnittliga felet i kvadrat (m 2 ) undersökts genom att träna det artificiella neurala nätverket på olika antal inparametrar. Det artificiella neurala nätverket tränades på element och det genomsnittliga felet i kvadrat undersöktes för element. Antal dolda lager är 1. Lösningsalgoritmen Levenberg- Marquardt användes och dämpningen är 200kNs/m. Tabell 3: Tid för linjära metoden att beräkna bojposition från våghöjd. Dämpningskoefficient [kns/m] Tid[s] 0,082 0,096 0,095 0,087 Tidsberäkning av linjär modell Den linjära modellen beror inte av antal inparametrar och inte av antal dolda lager. Tiden beror däremot bland annat på dämpningskoefficienten. I tabell 3 ses lösningstiden för den linjära modellen. Vid en enkel matematisk modell, som i detta fall, kommer beräkningar med den linjära modellen gå mycket fortare än användning av artificiella neurala nätverk. 27

29 Tidsberäkning av artificiellt neuralt nätverk Tidsberäkningen för det artificiella neurala nätverket kan ses i figur 12. Antalet dolda lager vid undersökningen är 1. I figuren kan dels beräkningstiden för den gamla matrisgenereringen ses, där det kan ses att beräkningstiden inte beror på dämpningskoefficienten för det neurala nätverket. Det går också att se att beräkningstiden ökar linjärt med antalet inparametrar. Då beräkningstiden jämförs med tiden det tar för den linjära modellen, kan det enkelt ses att den linjära modellen går snabbare att lösa. Vad som dessutom kan ses i figuren är beräkningstiden för den nya matrisgenereringen, dvs då tidsserier av vågdata ses som paket. Denna gång mättes beräkningstiden enbart för dämpningskoefficienten 200kNs/m, eftersom variation av denna ej påverkade resultatet. I figuren representerar grön linje den sammanlagda tiden för matris och nätverk, röd linje enbart matrisen och turkos tiden för nätverket. Som här ses varierar inläsningstiden för bojpositionen mindre med antalet inparametrar och går avsevärt snabbare. Vad däremot beträffar jämförelsen av det artificiella neurala nätverket och den linjära modellen tar den linjära modellen fortfarande avsevärt kortare tid. Utöver detta kan även konstateras att tiden det tar att generera matrisen minskar efter att antalet inparametrar överstigit 400. Detta har att göra med att samtidigt som antalet inparametrar ökar så minskar antalet kolumner i matrisen med samma antal. Som tidigare nämnts medför detta att man i lika stor utsträckning förbiser de första mätvärdena då de används som historiska tidsserier för de första kolumnerna.vid användning av 500 inparametrar och en upplösning på 0.01s, förbises de 5 första sekunderna vid beräkning av medeleffekt. Som även nämnts i sektion så antas dessa 5 sekunder vara försumbara då mätdatafilerna består av 30 minuter vågdata. Förändrad tidsupplösning Förändring av tidsupplösning gjordes på två sätt, förändring av in- och utparametrar och förändrad tidsupplösning på enbart inparametrarna (se för förklaring). Resultat för den kvadratiska medelavvikelsen av förändring av in- och utparametrar kan ses i figur 13 och för förändring av enbart inparametrar i figur 14. Som kan ses i figurerna fås bättre resultat (mindre kvadratisk medelavvikelse) då tidsupplösningen förändras på både in- och utparametrarna. I och med detta, så undersöks tidsupplösningarna i intervallet [0.01,0.5] mer djupgående, där resultatet kan ses i figur 15. Som kan ses figuren, fås bäst resultat då tidsupplösningen är 0,35s, men eftersom resultatet varierar kraftigt strax efter 0,1s är dessa tidsupplösningar inte pålitliga. En tidsupplösning i omgivningen till 0,1s anses därav att vara det bästa alternativet. 28

30 Figur 12: Jämförelse mellan tid och antal inparametrar för olika matrisgenereringar. Tidsjämförelse är gjord även för olika dämpningskoefficienter för gammal matrisgenerering. Tabell 4: Uppskattning av energiabsorption och procentuell avvikelse från den teoretiska linjära modellen för fyra olika konstanta dämpningskoefficienter; 50,100,150 & 200 [kns/m], tidsupplösningen 0,1 sekunder. Dämpningskoefficient [kns/m] Medeleffekt 2,73kW 3,25kW 3,11kW 2,83kW Proc. avvikelse 1,07% 1,13% 1,16% 1,78% Uppskattning av energiabsorption, januari 2009 Beräkningar av genomsnittlig medeleffekt har gjorts för varierade värden på dämpningskoefficienter för hela januari månad I tabell 4 fås den totala genomsnittliga medeleffekten beräknad för dämpningskoefficienterna 50, 100, 150 och 200 kns/m och de procentuella avvikelserna från den linjära modellen är presenterade. Som kan ses i tabellen ökar avvikelsen med dämpningskoefficienten, men att de inom intervallet av dämpningskoefficienter förhåller sig små. För dessa undersökningar användes ett artificiellt neruralt nätverk bestående av 1 dolt lager, 50 inparametrar med 0,1 sekunders tidsupplösning. 29

31 Figur 13: Medelavvikelse av effekten i kvadrat [W 2 ], med dämpningskoefficient 200kNs/m. Vid en förändring av in- och utparametrar, dvs. en förändring av tidsupplösningen. 30

32 Figur 14: Medelavvikelse av effekten i kvadrat [W 2 ] mellan matematiska modellen och var N:te element, dvs. förändring av enbart antalet inparametrar. 31

33 Figur 15: Standardavvikelse [W] för olika tidsupplösningar, med dämpningskoefficient 200kNs/m och konstant tidshistoria på 5 sekunder. 32

34 2.1.4 Analys Undersökningarna för den linjära modellen visade bättre resultat då tidsupplösningen på in- och ut-parametrarna var 0,1 sekunder, se figur 7. Detta gav en standardavvikelse på 45W jämfört med den linjära modellen, då antalet inparametrar var 50 (tidshistoria på 5 sekunder) och 1 dolt lager. Detta resultat kan ses i figur 15. Med ett tidssteg på 0,1 sekunder har den totala effekten uppskattats, där högst energiabsorption fås i omgivningen till 100kNs/m. Noggrannheten varierar litet beroende på vilken dämpningskoefficient som används och då de procentuella avvikelserna från den linjära modellen ligger på under 2% kan det anses godtagbart för en approximativ energiuppskattning. Eftersom beräkningstiden för den linjära modellen dock är snabbare än det neurala nätverket (kan ses i figur 12 och i tabell 3) finns det ingen anledning att använda det neurala nätverket till just denna modell. 33

35 2.2 Olinjär Matematisk Modell Teori Teorin för den olinjära modellen beskriver ett punktabsorberande vågkraftverk se figur 5 sektion Likt den linjära modellen beskrivs de hydrodynamiska krafterna verkandes på bojen av linjär potential teori för havsvågor. De krafter som verkar på translatorn beskrivs med elektormagnetiska- och mekaniska krafter. I den olinjära modellen utgår teorin från kraftjämvikt, men istället för att beskriva translator och boj som helt samverkande system behandlas de nu som separata system. Kraftjämvikt kan ses i ekvation 17, där den övre beskriver hydrodynamiska krafter och vajerkraften f 1 verkandes på bojen. Den nedre beskriver de krafter som verkar på translatorn, där f 1 är samma kopplingsterm men motriktad och f 2 representerar de yttre krafter som verkar på translatorn (elektromagnetisk dämpning, fjäderkraft & mekaniskt bromsande krafter). { m 1 ẍ 1 = f e (t) + f r (t) f h f 1 (x 1, x s ) m tot g m 2 ẍ 2 = f 1 (x 1, x 2 ) + f 2 (x 1, x 2 ) m 2 g Hydrodynamiska krafter Hydrodynamiska krafter som ingår i den olinjära modellen är strålningsimpedansen f r, excitationskraften f e och hydrostatisk styvhet f h. Den hydrodynamiska strålningsimpedansen beskrivs av uttrycket enligt, (17) f r = f (r) m z(t) (18) Där massan m = lim w m(ω). Den första termen kan uttryckas enligt faltningen, f r = h(t) z(t) = k(t) ż(t) (19) Strålningsimpedansens impulsresponsfunktion beräknas utifrån, h(t) = 2 π k(t) = 2 π 0 0 (m(ω) m )cosωtdω = 2 π R(ω)cosωtdω = 2 π 0 0 R(ω) sinωtdω (20) ω ω(m(ω) m )sinωtdω (21) Excitationskraften i ekvation 22 beskrivs av faltningen mellan excitationskraftskoefficientens impulsresponsfunktion f e och den inkommande vågens ytvariation. f e = f e i a i cos(w i t) (22) 34

36 Hydrostatisk styvheten beskrivs, likt den linjära modellen, av följande uttryck; f h (z) = ρgaz (23) Mekaniska krafter Mekaniska krafter som ingår i den olinjära modellen är vajerkraften och ändstoppskrafter. Vajerkraften modelleras för att motsvara en styv fjäder och uttrycks enligt, { c 1 (z 1 z 2 ) z 1 > z 2 f 1 (z 1, z 2 ) = (24) 0 annars Ändstoppskrafter uttrycks enligt, { c 1 (x 2 l 1 ) l 1 > x 2 f 1 (x 2 ) = 0 annars { c 2 (x 2 l 1 ) x 2 > l 2 f 2 (x 2 ) = 0 annars (25) Elektromagnetisk kraft Den elektromagnetiska kraft som ingår i teorin är dämpkraften för generatorn, som uttrycks enligt, f 2 ( z 2 ) = c 2 z 2 (26) Lösningsmodell för differentialekvationerna De andra ordningens differentialekvationer som erhålls från kraftjämvikten skrivs om till en första ordningens differentialekvation i enlighet med ekvation 27 för att lösas numeriskt. { (m 1 + m infty )ẍ 1 = f e (t) k(t) ẋ(t) f h f 1 (x 1, x 2 ) m tot gm 2 (27) ẍ 2 = f 1 (x 1, x 2 ) + f 2 (x 2, x 2 ) m 2 g Detta görs med antagandet ζ = x 1, ζ 2 = x 2, ζ 1 = ẍ 1, ζ 2 = ẍ 2 och genom att ersätta vektorn x enligt y = (y 1, y 2, y 3, y 4 ) T = ( x 1, x 2, x 1, x 2 ) T kan uttrycket i ekvation 27 skrivas om till fyra kopplade första ordningens differentialekvationer, se ekvation 28. (m 1 + m infty ) y 1 = f e (t) k(t) y 1 f h (y 1 ) f 1 (y 1, y 2 ) m 1 gm 2 y 2 = f 1 (y 1, y 2 ) + f 2 (y 2, y 4 ) m 2 g y 3 = y 1 y 4 = y 2 (28) 35

37 2.2.2 Metod Några olika artificiella neurala nätverk har tagits fram och undersökts på den olinjära modellen. Tidigt insågs att de inparametrar, enbart våghöjder, som användes för att få ett artificiellt neuralt nätverk att fungera på den linjära modellen inte skulle fungera i det olinjära fallet. Detta beroende på att den olinjära modellen är mer komplex i hur vågbojen rör sig. Vilket i sin tur innebär att vågbojens positioner inte kan beskrivas enbart av tidigare vågpositioner, se figur 16, utan måste också bero av något mer. Ett första steg var att använda den totala excitationskraften från vågen som inparameter, istället för tidigare vågpositioner. Detta gjordes då excitationskraften efterliknar bojpositionen bättre än tidigare vågpositioner, se figur 17, och för att beräkningstiden för excitationskraften är kort. Dock ansågs det även intressant att undersöka om man kan få ett bättre artificiellt neuralt nätverk genom att använda andra inparametrar, förrutom excitationskraften. Därför undersöktes även om ett bättre neuralt nätverk fås genom att återkoppla den sista kalkylerade bojpositionen och använde detta värde som inparameter, både med och utan inkommande våghöjder, detta gjordes på två olika sätt. Alltså utvecklades totalt tre olika artificiella neurala nätverket som jämfördes och undersöktes: 1. Feed-Forward utan återkoppling. Det första artificiella neurala nätverket använder ingen återkoppling. Tre variationer av detta undersöktes: (a) Enbart tidsserie av excitationskraft som inparameter. (b) Tidsserie av excitationskraft samt nuvarande värde på våghöjd som inparameter. (c) Tidsserie av både excitationskraft och våghöjd användes som inparameter. Genom att ändra antal inparametrar, dolda lager och tidssteg hittades de bästa parametrarna. För Feed-Forward utan återkoppling undersöks även hur väl neurala nätverk presterar då de tränas på olika lösningsfiler. 2. Feed-Forward med återkoppling. Ett artificiellt neuralt nätverk utvecklades. Matriserna för inparametrarna skapades men den senaste uträknade bojpositionen sparades för att användas som inparameter. Återkopplade värden användes alltså i ett vanligt Feed-Forward nätverk. 3. NARX. Matlab har färdiga mallar för återkopplade artificiella neurala nätverk. En ofta använd sådan är The nonlinear autoregressive network with exogenous inputs eller kort NARX. Då denna modell är bra vid tidsserieberäkningar, har denna potential att vara användbar vid aktiv styrning (vilket gör det värt att sätta sig in i denna modell redan här). 36

38 Figur 16: Genom att studera figuren ses att bojpositionen (grön) har ett mer komplext samband med den inkommande vågen (blå), än i den linjära modellen. Olikt den linjära modellen följer inte bojpositionen den inkommande vågen med en konstant fasförskjutning. Vad som talar emot användning av återkoppling är att tidigare bojpositioner bara kommer att vara approximationer och inte riktiga värden. Detta kan leda till att felet av approximerade bojpositioner i återkopplingen eskalerar. Initialvärdet på bojpositionen är bestämt till ett troligt startvärde och samtliga nästkommande bojpositioner som används i återkopplingen räknas ut från den tidigare uträknade bojpositionen. Dock visar det sig att artificiella neurala nätverket snabbt ställer in sig även om initialvärdet avviker ifrån det korrekta, se figur 18. Av de tre olika sorters artificiella neurala nätverk som jämförs, föredras det som lämpar sig bäst att uppskatta energiabsorptionen för långa tidsserier av vågdata. Samtliga undersökningar utfördes med en konstant dämpningskoefficient på 130kNs/m. Den olinjära modellen ger oss bojens- och translatorns positioner och hastigheter. Likt den linjära modellen kommer bojpositionen vara den som analyseras för energiuppskattningen. 37

39 Figur 17: Jämförelse mellan inkommande våg, bojposition samt excitationskraft. Den exciterande kraften stämmer väl överens med bojpositionen och är en bra inparameter för ett artificiellt neuralt nätverk som ska bestämma bojpositioner. Samtliga höjder är normaliserade och förflyttade för att ha sitt medelvärde runt Resultat Feed-Forward utan återkoppling. Feed-Forward utan återkoppling görs på liknande sätt som vid uppskattningen av den linjära modellen, se sektion Skillnaden i detta fall är att de första 20 sekunderna tas bort vid träning av nätverk, detta med anledning av att den beräknade excitationskraften utifrån vågdatan inte följer bojpositionen under denna tid. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse beräknas för fyra olika 30 minuters vågdatafiler där antalet inparametrar (tidsserie av excitationskraft och nuvarande värde av vågposition) och antalet dolda lager varieras. Därefter tas genomsnittsvärdet av dessa fyra vågdatafiler. Detta görs för 1 till 10 dolda lager och för 1 till 50 stycken inparametrar för excitationskraften. Resultatet för tidsupplösning 0,1 sekunder kan ses i figur 19 och resultatet för tidsupplösning 0,05 sekunder i figur 20. Värt att notera är att för tidsupplösning 0,1 sekunder används 5 sekunders historiska värden, medans för tidsupplösning 0,05 sekunder motsvarar 50 inparametrar för excitationskraften 2,5 sekunders tidshistoria. 38

40 Figur 18: Jämförelse mellan olika initialvärden på bojpositioner. Genom att testa 20 olika initialvärden på bojpositioner mellan -1 och 1 kan man tydligt se hur de kalkylerade bojpositionerna snabbt närmar sig de korrekta. Figur 19: Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösningen 0,1 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften samt nuvarande värde av vågpositionen. 39

41 Figur 20: Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösningen 0,05 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften samt nuvarande värde av vågpositionen. 40

42 Figur 21: Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för 75 och 100 inparametrar och 1 till 10 dolda lager för tidsupplösningen 0,05 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften samt nuvarande värde av vågpositionen. På grund av stora differenser i beräkningstid görs de sista 50 inparametrarna för 0,05 sekunder i steg av 25, resultatet kan ses i figur 21. Den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen för tidsupplösning 0,05 sekunder och tidsupplösning 0,1 sekunder kan ses i tabell 5. Här kan det ses att den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen skiljer sig litet mellan fallen och att skillnader snarare uppstår körning till körning. Eftersom skillnader mellan tidsupplösningarna är små, kommer ytterligare undersökningar att göras med tidsupplösningen 0,1 sekunder då denna går snabbare att köra, vilket är av relevans för det optimala nätverket. Tabell 5: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för tidsupplösning 0,05 sekunder och 0,1 sekunder där man använder historiska värden på 2,5 sekunder och 5 sekunder samt 8 till 10 dolda lager. Som kan ses här skiljer medelavvikelsen litet mellan att använda tidsupplösning 0,05 sekunder och tidsupplösning 0,1 sekunder. dt=0,05 2,5sek 5sek dt=0,1s 2,5sek 5sek 8 1, , , , , , , , , , , ,

43 Figur 22: Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösningen 0,1 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften och vågpositionen. Tabell 6: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse med tidsserie av vågdata och utan vågdata, tillsammans med excitationskraften. Tabulerade värden för tidshistorien 3-, 4- och 5 sekunder och för dolda lager 8 till 10. Bäst resultat fås utan vågdata. med vågd. 3 sek 4 sek 5 sek utan vågd. 3 sek 4 sek 5 sek 8 7, , , , , , , , , , , , , , , , , Ytterligare undersökning för tidsupplösningen 0,1 sekunder har gjorts då inparametrar dels har bestått av en tidsserie av både vågposition och excitationskraft och dels enbart bestått av en tidsserie av excitationskraften. Dessa kan ses i figur 22 respektive 23 med tabulerade värden i tabell 6. Genom att jämföra tabell 5 och tabell 6 fås att bäst resultat är då enbart excitationskraften används som inparameter. För optimala parametrar valdes 11 dolda lager samt 50 inparametrar för excitationskraften. Den genomsnittliga effekten blev 3964W vilket avviker från den teoretiska effekten med mindre än 0,3%. Det var vid jämförelse av 4 stycken 30 minuters vågdatafiler för dämpningskoefficienten 130kNs/m. 42

44 Figur 23: Feed-Forward utan återkoppling. Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösningen 0,1 sekunder. Inparametrar är en tidsserie av excitationskraften. Feed-Forward med återkoppling Genom att använda en tidsserie av excitationskraften samt den senaste kalkylerade bojpositionen som inparameter skapades ett Feed-Forward nätverk, med egenkodad återkoppling. Den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen för denna metod från den teoretiska olinjära modellen jämfördes för olika inparametrar, se figur 24. Det som upptäcktes när denna undersökning gjordes var att denna typ av nätverk blir ostabilt. Detta på grund av att bojpositionerna, som används som inparametrar enbart är approximationer vilket gör att felaktiga bojpositioner kan ge upphov till stora avvikelser, se figur 25. Med följd att de kalkylerade bojpositionerna avviker från de korrekta under långa tidsserier. Av de undersökta vågdatafilerna uppkommer detta problem i ungefär 1/4 av körningarna. Ett försök gjordes att bli av med detta genom att även ha med tidigare vågpositioner som inparameter. Dock hjälpte inte detta och problemet kvarstod. För att ändå kunna jämföra denna sort av neuralt nätverk gjordes samtliga undersökningar 10 gånger och medianvärdet användes. Detta gjorde att denna metod tar längre tid och att resultatet känns mer osäkert. Från undersökningen av den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen vid en dämpningskoefficient på 130kNs/m fås bäst resultat med en tidsupplösning 0,1 sekunder, 40 inparametrar och 10 dolda lager för det undersökta spektrat enligt figur 24. Medianvärdet för 10 undersökningar av de 4 stycken vågdatafilerna användes och den genomsnittliga effekten räknades ut. 43

45 Figur 24: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager med tidsupplösning 0,1 sekunder. Lösningsmodellen var Feed-Forward med återkoppling. Figuren visar att den övergripande genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen blir bättre vid högre antal inparametrar av excitationskraften och antal dolda lager. 4 st 30-minuters vågdatafiler undersöktes 10 gånger vardera. Medianvärdet av varje vågdatafil användes och från dessa räknades den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen ut. 44

46 Figur 25: Exempel på felaktiga beräknade bojpositioner av ett Feed-Forward nätverk med återkoppling. Blå är bojpositionen beräknad med det neurala nätverket. Lila är bojpositionen beräknad med den olinjära modellen. På grund av att bojpositionerna, som används som inparametrar, inte är kända förstärks bojpositionens fel vid återkopplingen. Lösningsmodellen var Feed-Forward med återkoppling. Den genomsnittliga effekten blev 3943W vilket avviker från den teoretiska effekten med mindre än 0,2%. Det kan vara värt att påpeka att detta är en jämförelse av enbart 4 st 30-minuters vågdatafiler. Skulle man jämföra under en hel månad finns det en möjlighet att skillnaden blir större. Även för färre antal inparametrar på excitationskraften fås en godtagbar beräknad effekt. Den beräknade medeleffekten med 9 inparametrar, motsvarande 0,9 sekunder, på excitationskraften och 8 dolda lager på 4 vågdata filer är 3874W, vilket skiljer sig ungefär med 1,9% från den effekt som fås med den olinjära modellen. 45

47 Figur 26: Teoretisk medeleffekt (*) samt medeleffekt erhållen från Feed-Forward med återkoppling för fyra olika vågdataserier. Tidsupplösningen är 0.1 sekunder och dämpningskoefficient är 130kNs/m. Träningsmetoden är Levenberg-Marquardt och antal inparametrar på excitationskraften är 9 stycken. I figur 26 kan man se hur väl den beräknade effekten stämmer överens med den korrekta i varje enskild vågdatafil. Det neurala nätverkets parametrar är 8 dolda lager och 9 inparametrar på excitationskraften, motsvarande 0,9 sekunder. Även om 9 inparametrar på excitationskraften och 8 dolda lager är i genomsnitt de bästa inparametrarna i figur 26, kan man här se att de inte är de bästa i varje enskilt fall. I figur 27 och figur 28, tillsammans med figur 26, jämförs det artificiella neurala nätverket vid 2 olika tidsupplösningar. Resultatet blir likvärdigt för de båda fallen. Eftersom beräkningstiderna blir längre för det artificiella neurala nätverket med tidsupplösningen 0,05 sekunder, föredras det neurala nätverk med tidsupplösningen 0,1 sekunder. 46

48 Figur 27: Teoretisk medeleffekt (*) samt medeleffekt erhållen från Feed-Forward med återkoppling för fyra olika vågdataserier. Tidsupplösningen för excitationskraften är 0.05 sekunder och dämpningskoefficient är 130kNs/m. Träningsmetoden är Levenberg-Marquardt och antal inparametrar på excitationskraften är 18 stycken. Figur 28: Den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen för ett artificiellt neuralt nätverk med tidsupplösningen 0,1 sekunder, motsvarande 0,9 sekunder och ett artificiellt neuralt nätverk med tidsupplösningen 0,05 sekunder, motsvarande 0,9 sekunder. Båda tidsupplösningarna är likvärdiga. 47

49 NARX (Inbyggd återkoppling) NARX-metoden kan beskrivas som y(t)=f(x(t),x(t-1),...x(t-n),y(t-1),...,y(t-m)) och används för att bestämma nuvarande position på till exempel en boj. I detta fall består inparametern x av excitationskraft, medan y är den återkopplade bojpositionen. Undersökning görs även då information om våghöjden som tillägg till excitationskraften används som inparameter. NARX används vanligtvis för uppskattning av framtida värden där x(t-1) är den första inparametern. Uttrycket som beskriver NARX-metoden efterliknar det nätverk som skapas för Feed-Forward systemet med återkoppling. Därför undersöks liknande variationer i beteendet hos NARX, tidsupplösningen hålls konstant till 0,1 sekunder. Figur 29 visar den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen då x(t) är första inparametern. Figur 30 visar då x(t-1) är den första inparametern. Som kan ses här fås ett bättre resultat då x(t) är exkluderad, vilket kan bero på att NARX-metoden inte är optimal då indata och utdata från träningen börjar på samma tid x(t). Från figur 29 och figur 30 kan ses att NARX-metoden har samma stabilitetsproblem som Feed-Forward med återkoppling. Även i detta fall förstärks felaktigheter i återkopplingen som leder till topparna i figur 29 och figur 30. Ett sätt att lösa detta vore att göra varje körning ett tiotal gånger och sedan ta medianvärdet. Från figur 31 fås att den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen, vid jämförelse mellan NARX och den linjära modellen är bäst vid 60 antal inparametrar på excitationskraften, motsvarande 6 sekunder, och 10 dolda lager. Den genomsnittliga effekten är vid dessa parametrar 4087W vilket avviker från den teoretiska effekten med ungefär 3,5%. 48

50 Figur 29: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösning 0,1 sekunder. Lösningsmodellen var NARX med träningsmetoden Levenberg-Marquardt. 4 st 30-minuters vågdatafiler undersöktes. Första inparametern är x(t). Topparna beror på ostabilitet mellan nätverk och vågdata. Figur 30: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösning 0,1 sekunder. Lösningsmodellen var NARX med träningsmetoden Levenberg-Marquardt. 4 st 30-minuters vågdatafiler undersöktes. Första inparametern är x(t-1). Topparna beror på ostabilitet mellan nätverk och vågdata. 49

51 Figur 31: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse för olika antal inparametrar och dolda lager för tidsupplösning 0,1 sekunder. Lösningsmodellen var NARX med träningsmetoden Levenberg-Marquardt. Figuren visar att den övergripande genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen blir bättre vid högre antal inparametrar av excitationskraften och antal dolda lager. 4 st 30-minuters vågdatafiler undersöktes 10 gånger vardera. Medianvärdet av varje vågdatafil användes och från dessa räknades den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen ut. 50

52 Beräkningstid för samtliga modeller/nätverk Beräkningstiden är beräknad utifrån den tid som krävs för varje modell/nätverk att beräkna en 30-minuters vågdatafil. Tider har beräknats för 5 och 10 antal dolda lager, samt 10 och 20 antal inparametrar på excitationskraften. Beräkningstider kan ses i tabell 7. Eftersom Feed-forward utan återkoppling inte behöver approximationer av bojpositioner körs denna med ett anrop till nätverket, medans de nätverk med återkoppling behöver ungefär anrop. För att få ett troligt svar behövs Feed- Forward med återkoppling och NARX köras flera gånger. Tiderna i tabell 7 är för enbart en körning. Från denna tabell fås att Feed-Forward utan återkoppling är klart snabbast. Även de två modeller med återkoppling är snabbare än den olinjära modellen. Även en undersökning med Feed-forward utan återkoppling med 11 dolda lager och 50 inparametrar, med tidssteg 0,1 sekunder, genomfördes. Lösningstiden för en 30 minuters vågdatafil blev 0,57 sekunder. Detta är 2,3 promille av tiden det tar för den olinjära modellen att utföra motsvarande beräkning. Tabell 7: Beräkningstid för samtliga 4 olika modeller/nätverk. Tidsberäkningen är gjord vid 5 och 10 antal dolda lager samt 10 och 20 antal inparametrar på excitationskraften. Samtliga nätverk använder tidsupplösningen 0,1 sekunder. 5 lag. 10 inp. 10 lag. 10 inp. 5 lag. 20 inp. 10 lag. 20 inp. F-F utan återkopp. 0,53s 0,51s 0,51s 0,53s F-F med återkopp. 2min,12s 2min,12s 2 min, 11s 2min,9s NARX 2min,38s 2min,38s 2min,41s 2min,36s Olinjär modell 41m, 6s 41m, 6s 41m, 6s 41m, 6s 51

53 Tabell 8: Signifikant våghöjd och Energiperiod för de fyra tränade vågdatafilerna Signifikant våghöjd H m0 Energi period T e vågdatafil ,68m 7,35s vågdatafil ,26m 5,34s vågdatafil ,58 6,02s okänt datum 2,43m 6,25s Träning av olika/fler filer Vid energiberäkning med stor utbredning i tid förekommer stora variationer av våghöjder och bojpositioner. Detta har som följd att nätverket presterar bra vid vågbeteenden som har liknande våghöjd och period som det tränats på, men att den kan underprestera på andra vågförhållanden. Därför är det av intresse att undersöka hur ett nätverk presterar efter träning av olika/flera vågdatafiler. Vad som gjordes för att undersöka detta var att använda fyra olika träningsdatafiler. En av dessa var den ursprungliga filen (okänt datum). Resterande tre var slumpade filer från januari månad Signifikant våghöjd H m0 och energiperiod T e kan ses i tabell 8. Nätverk tränades dels separat och dels tillsammans för de fyra vågdatafilerna. Dessa 5 nätverk utvärderades därefter på fyra ytterligare slumpmässigt valda filer från januari månad 2009 där den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen jämfördes. För undersökningen Träning av olika/fler filer används Feed-Forward utan återkoppling. Signifikant våghöjd och energi period fås genom ekvation 29 och 30, där spectral moments fås genom ekvation 31 [21]. I ekvation 31 används fourier transformen Z n av våghöjderna. H m0 = 4 m 0 (29) m n = T e = m 1 (30) m 0 0 f n S(f)df (31) S(nf) = 2Z nz n (32) f Bäst resultat gavs vid 45 till 50 inparametrar för excitationskraften tillsammans med dolda lager som översteg 6 st. För att göra resultatet mer greppbart är det även dessa som är tabulerade. Resultatet kan ses i tabellerna 9 till och med 13. Vad som kan konstateras här är att träning av fler filer samtidigt ger ett dåligt resultat. Bäst resultat fås vid träning av vågdatafil 1 då antal inparametrar undersökts upp till och med 50. Vad som urskiljer denna från resterande vågdatafiler är att vågdatafil 1 är den som har högst Energiperiod av de undersökta vågdatafilerna. 52

54 Tabell 9: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse. Dolda lager 7 till 10, antal inparametrar 45 till 50. Träning, vågdatafil 1. Tidsupplösning 0,1 sekunder. Dolda lag. Antal inparametrar [stycken] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabell 10: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse. Dolda lager 7 till 10, antal inparametrar 45 till 50. Träning, vågdatafil 2. Tidsupplösning 0,1 sekunder. Dolda lag. Antal inparametrar [stycken] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabell 11: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse. Dolda lager 7 till 10, antal inparametrar 45 till 50. Träning, vågdatafil 3, Tidsupplösning 0,1 sekunder. Dolda lag. Antal inparametrar [stycken] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabell 12: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse. Dolda lager 7 till 10, antal inparametrar 45 till 50. Träning, erhållen vågdatafil (okänt datum). Tidsupplösning 0,1 sekunder. Dolda lag. Antal inparametrar [stycken] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

55 Tabell 13: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse. Dolda lager 7 till 10, antal inparametrar 45 till 50. Träning, vågdatafil 1,2 och 3 samtidigt. Tidsupplösning 0,1 sekunder. Dolda lag. Antal inparametrar [stycken] Tabell 14: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse. Dolda lager 8 till 10, antal inparametrar 50 till 100 i steg av 10. Träning, vågdatafil 1. Tidsupplösning 0,1 sekunder. Dolda lag. Antal inparametrar [stycken] , , , , , , , , , , , , , , , , , , Då vågdatafil 1 gav bäst resultat, användes denna vid träning för att hitta de optimala parametrarna. Därför utvidgades antal inparametrar för excitationskraften och antal dolda lager. Dessa kan ses i tabell 14 och 15. Ingen säkerställd förbättring sker vid tidshistoria över 5 sekunder. Detsamma gäller för dolda lager mer än 11. Tabell 15: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse. Dolda lager 11 till 15, antal inparametrar 40 till 100 i steg av 10. Träning, vågdatafil 1. Tidsupplösning 0,1 sekunder. Dolda lager Antal inparametrar [stycken] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

56 Tabell 16: Genomsnittlig kvadratisk medelavvikelse (Mse, [m 2 ]) för uppsättningen 50 inparametrar och 11 dolda lager för varierande dämpningskoefficienter. I tabellen ses att medelavvikelsen är liten för hela spannet. 50 kns/m 60 kns/m 70 kns/m 80 kns/m 90 kns/m 100 kns/m Mse #1 5, , , , , , Mse #2 3, , , , , , kns/m 120 kns/m 130 kns/m 140 kns/m 150 kns/m 160 kns/m Mse #1 9, , , , , , Mse #2 6, , , , , , kns/m 180 kns/m 190 kns/m 200 kns/m Mse # e-05 2, , , Mse #2 3, , , , Uppskattad energiabsorption, januari 2009 Från erhållna resultat i rapporten används Feed-forward utan återkoppling för uppskattning av energiabsorption under januari månad Uppsättningen inparametrar och dolda lager ansågs vara optimala vid 50 respektive 11. För att beräkna medeleffekten för många olika dämpningskoefficienter, behöver den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen för dessa beräknas och analyseras. Stora avvikelser kan ge stora felaktigheter vid beräkning av medeleffekten. Uppsättningen inparametrar användes för att beräkna genomsnittliga kvadratiska medelavvikelser för två slumpmässigt valda filer. Spannet dämpningskoefficienter som undersöktes var 50kNs/m till 200kNs/m med steg på 10kNs/m. Den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen för fil 1 & 2 kan ses i tabell 16, där fil 1 innehåller vågdata med större vågor och fil 2 innehåller vågdata med mindre vågor. Här fås att den genomsnittliga kvadratiska medelavvikelsen skiljer sig litet med varierad dämpningskoefficient och bör ej ge avvikelser som gör medeleffekten opålitlig. Nätverk skapades, ett för varje dämpningskoefficient, och användes vid beräkning av respektive medeleffekt för en månad. Resultatet kan ses i figur 32. Inzoomning kring en topp kan ses i figur 33 och då medeleffekten är låg i figur 34. Som kan ses vid hög vågutbredning är att medeleffekten ökar stadigt för ökad dämpningskoefficient, vilket kommer göra att den totala medeleffekten för en hel månad är som högst då dämpningskoefficienten är 200kNs/m (dvs den högst beräknade dämpningskoefficienten) förutsatt att det inte finns några fysiska restriktioner på dämpningskoefficienten. 55

57 Figur 32: Beräknad medeleffekt för januari månad 2009, träning på en vågdatafil med 50 inparametrar och 11 dolda lager. 56

58 Figur 33: Inzoomning kring hög effekt. Beräknad medeleffekt för januari månad 2009, träning på en vågdatafil med 50 inparametrar och 11 dolda lager. 57

59 Figur 34: Inzoomning kring låga effekter. Beräknad medeleffekt för januari månad 2009, träning på en vågdatafil med 50 inparametrar och 11 dolda lager. 58

60 Figur 35: Våghöjder från vågdatafil med en av de högsta medeleffekterna. Peak to peak värden på ungefär 4,5 meter. För att kontrollera att nätverket fortfarande fungerar vid dessa extremfall, har den olinjära modellen använts och jämförts med det som beräknats via artificiellt neuralt nätverk. I figur 35 fås våghöjden för en vågdatafil, med peak-to-peak värden på upp till och med 4.5m, ett värde som klart överstiger det maximala peak-to-peak värdet som nätverket har tränats på. Signifikant våghöjd H m0 och energi period T e för denna vågdatafil är 2,90m och 7,63s respektive. Dessa värden är även högre än vad som tränats på. I figur 36 fås hur bra nätverket efterliknar olinjära modellens bojposition. I detta extremfall beräknas den totala medeleffekten för vågdatafilen till 47.28kW, medan nätverket ger en total medeleffekt på 43.96kW. Detta är en procentuell avvikelse på 7,5%. 59

61 Figur 36: Bojpositioner erhållet från teoretisk olinjär modell (röd) och det tränade nätverket (blå). Från vågdatafil med en av de högsta medeleffekterna Analys Vid mätningar där den aktuella bojpositionen hade varit känd, hade återkopplade neurala nätverk mer kommit till sin rätt. I detta fall där bojpositionerna hela tiden måste kalkyleras fungerar ett artificiellt neuralt nätverk utan återkoppling bättre, eftersom det blir stabilare och snabbare. Jämförelse neurala nätverk 1. Feed-Forward utan återkoppling Fördelar Snabbare än de andra jämförda modellerna. Stabilare än de andra jämförda modellerna. Nackdelar Fungerar bra vid energiuppskattning, men har begränsningar gällande andra användningsområden (t.ex att den inte drar nytta av vetskapen av tidigare bojposition). Effektuppskattning Uträknad effekt 3964W, vilket skiljer sig med 0,3% från den teoretiska effekten beräknad utifrån bojpositionen. 60

62 2. Feed-Forward med återkoppling Fördelar Hade bojpositionen varit känd hade denna modell gett ett bättre resultat än Feed-Forward utan återkoppling. Nackdelar Ostabilt på grund av återkopplade värden av uppskattade värden av bojpositionen. Långsamt på grund av att man behöver anropa nätverket många gånger. Vilket beror av att man behöver det teoretiska värdet på bojpositionen som inparameter. Behöver köras flera gånger för att säkerställa att felaktiga värden, beroende av ostabilitet, inte tas med. Detta medför längre körningstider. Effektuppskattning Uträknad effekt 3943W, vilket skiljer sig mindre än 0,2% från den teoretiska effekten beräknad utifrån bojpositionen. 61

63 3. NARX (Inbyggd återkoppling) Fördelar Optimerad för att hitta framtida värden, användbart vid aktiv styrning. Användbara förprogrammerade verktyg i Matlab. Hade bojpositionen varit känd hade denna modell gett ett bättre resultat än Feed-Forward utan återkoppling. Nackdelar Ostabilt på grund av återkopplade värden av uppskattade värden av bojpositionen. Långsamt på grund av att man behöver anropa nätverket många gånger. Vilket beror av att man behöver det teoretiska värdet på bojpositionen som inparameter. Behöver köras flera gånger för att säkerställa att felaktiga värden, beroende av ostabilitet, inte tas med. Detta medför längre körningstider. Effektuppskattning Uträknad effekt 4087W, vilket skiljer sig ungefär 3,5% från den teoretiska effekten beräknad utifrån bojpositionen. Effektuppskattning, januari 2009 För beräkning av medeleffekter för en hel månad med över 1000 vågdatafiler är beräkningstiden av stor relevans. Det nätverk som var klart snabbast var Feed- Forward utan återkoppling. Då även den kvadratiska medeleffekten var bland de bättre jämfört med övriga nätverk var detta ett självklart val. 50 inparametrar och 11 dolda lager ansågs vara optimalt för Feed-Forward utan återkoppling. Medeleffekt för varje 30-minuters vågdatafil under månaden beräknades, där det kunde konstateras att den totalt maximala medeleffekten fås då dämpningskoefficienten är högst, i detta fall 200kNs/m. Detta av den anledning att vågdatafiler med stor vågamplitud gav klart större medeleffekt för stora dämpningskoefficienter. 62

64 2.3 Sammanfattning och diskussion Undersökningar av artificiella neurala nätverk har gjorts med avseende på en bojs beteende utifrån en linjär- och olinjär modell. Dessa undersökningar innefattar tidshistoria, tidsupplösning, antalet dolda lager, träning av olika filer och beräkningstider för både det artificiella neurala nätverket och den linjära-/olinjära modellen. Då den linjära modellen beskriver ett förenklat bojbeteende, behövdes enbart ett dolt lager för det artificiella neurala nätverket. För energiuppskattning användes ett nätverk med tidsupplösning på 0,1 sekunder, en tidshistoria på 5 sekunder och 1 dolt lager. Trots att den procentuella skillnaden i energiuppskattning för en hel månad understeg 2% mellan det artificiella neurala nätverket och den linjära modellen, fanns det liten anledning att använda nätverk vid energiuppskattning av denna modell. Detta beroende på att den linjära modellen hade en snabbare beräkningstid. Liknande, men mer djupgående undersökningar gjordes för bojbeteendet vid den olinjära modellen. Alternativa nätverk undersöktes, men då enbart approximationer av bojpositioner kunde användas vid återkoppling gav dessa en negativ påverkan på uppskattningen. Det kunde konstateras att olika träningsfiler presterade olika. En träningsfil med hög energi period, tidsupplösning på 0,1 sekunder, tidshistoria på 5 sekunder och 11 dolda lager användes vid energiuppskattningen. En procentuell avvikelse från den olinjära modellen kunde inte beräknas, då varje vågdatafil tog drygt 40 minuter att beräkna. Stickprov gjordes, där fall då vågamplituden översteg det tränade undersöktes. Även för dessa fall lyckades det artificiella neurala nätverket uppskatta ett vågbeteende (7.5% avvikelse då våghöjder hade peak-to-peak värden upp till 4.5m, signifikant våghöjd H m0 på 2,90m och energi period T e på 7,63s). Då beräkningstiden för det artificiella neurala nätverket förkortades till 2,3 promille av den ursprungliga tid som den olinjära modellen krävde, anses det lämpligt att använda ett sådant nätverk för energiuppskattning av den olinjära modellen. 63

65 2.4 Förbättringsmöjligheter För energiuppskattning av vågkraftverk med användning av artificiella neurala nätverk finns förbättringsmöjligheter både vad gäller undersökningar av nätverken och vad gäller geografiska och tidsberoende förutsättningar för nätverkens tillämpning. För att förbättra det artificiella neurala nätverket genom ytterligare undersökningar av nätverk, kan man gå djupare in på hur det neurala nätverket påverkas av de filer det tränats på. Som kan ses i sektion erhålls stora variationer på hur väl nätverk presterar beroende på vilken vågdatafil det tränats på. Det kunde konstateras att det nätverk som tränats på tidsserier med stor vågutbredning gav bäst resultat, djupare undersökningar än så gjordes inte. Mer ingående undersökningar kan göras för att hitta de egenskaper som bidrar till ett bra nätverk. Då tidsserier av vågdata varit begränsad, har inte någon undersökning gjorts för att se hur årstider påverkar energiuppskattningen och hur väl nätverk kan tränas. Med en större variation av tidsdata finns möjlighet till ytterligare undersökningar såsom ifall separata nätverk behövs för olika årstider, ifall någon årstider lämpar sig bäst vid träning av nätverk, ifall variationer i tidshistoria och dolda lager uppkommer vid varierande årstider etc. För en plats som Lysekils kust, kommer tidsberoende havsströmmar att påverka vågbeteendet vilket i sin tur bör påverka det artificiella neurala nätverkets träningsmöjligheter. Det sistnämnda leder till nästa förbättringsmöjlighet. Olika platser med olika vågbeteenden kan ha olika förutsättningar vid användning av artificiella neurala nätverk. Liknande undersökningar skulle alltså kunna göras på olika platser för att se hur generellt ett nätverk kan användas. 64

66 3 Del II: Aktiv styrning av punktabsorberande vågkraftverk 3.1 Inledning En av de absolut viktigaste aspekterna för vågkraftens framtida tillväxt är dess lönsamhet. För att uppnå detta undersöks och effektiviseras varje del av vågkraftverket. Ofrånkomligt är att absorptionens verkningsgrad är en av de viktigaste faktorerna för att vågkraft ska vara kommersiellt lönsam i ett framtida samhälle. För att öka absorptionens verkningsgrad har olika metoder undersökts. En av dessa metoder är att aktivt styra generatorns bromskraft genom att ändra dess dämpningskoefficient. Svårigheten är att havsvågor är oregelbundna och detta gör det svårt att bestämma den optimala momentana dämpningskoefficienten som leder till att vågens excitationskraft f e och bojens hastighet är i fas. Experiment för att uppnå detta har utförts där bojens- och translatorns position låsts[22], genom att öka dämpningskoefficienten till mycket större än det optimala, där vågens excitationskraft har sitt minimum. När vågens excitationskraft når sitt maximum ändras dämpningskoefficienten till en optimal konstant dämpningskoefficient. På detta sätt kommer bojens hastighet vara i fas med excitationskraften, även om vågens fulla energipotential inte används på grund av låsningen. Ett annat försök att öka absorptionens verkningsgrad är att skapa ett artificiellt neuralt nätverk som har vågens excitationskraft samt kraften från generatorn som inparametrar[23]. Som utparameter fås bojens hastighet. Genom att teoretiskt räkna ut den optimala bojhastigheten och träna det artificiella neurala nätverket på denna hastighet fås en referenshastighet på bojen som kan jämföras med den faktiska. Därefter används en proportionell regulator för att få bojens hastighet att närma sig referenshastigheten. 65

67 Figur 37: Vågens excitationskraft delas in i enskilda excitaionsvågor. En enskild excitationsvåg representeras av tidsspannet mellan två röda vertikala linjer. 3.2 Teori Tidsindelning av excitationsvåg För att beräkna bojens rörelse utifrån inkommande vågor används den olinjära modellen, se sektion Det som görs annorlunda för den aktiva styrningen är att excitationskraften beräknad utifrån de inkommande vågorna delas upp i excitationsvågor enligt figur 37. Under en sådan excitationsvåg används genetiska algoritmer för att generera en förbättrad följd dämpningskoefficienter för en förbättrad energiabsorption. Varje excitationsvåg delas in i tidssektioner T i med en tillhörande dämpningskoefficient γ i enligt figur 38. Observera att antal tidssektioner T i för en excitationsvåg varierar, men att längden på varje tidssektion T i hålls konstant. Då varje enskild tidssektion T i har en dämpningskoefficient γ i löses den olinjära modellens differentialekvation separat för varje tidssektion T i. För att lösa differentialekvationerna krävs initialvärden för varje anrop. Eftersom den olinjära modellen tidigare beräknats på 30 minuters vågdata har initialvärdena haft liten inverkan och har därför haft värdena x boj = ẋ boj = x translator = ẋ translator = 0. 66

68 Figur 38: Varje enskild våg delas in i konstanta tidssektioner T i. Dämpningskoefficienterna γ i varierar under en excitationsvåg men hålls fix inom en tidssektion T i Genetisk algoritm För att hitta optimala dämpningskoefficienter skulle man slumpmässigt kunna välja dämpningskoefficienter iterativt med den följd som resulterar i mest energiabsorption. Ett bättre sätt är att använda sig av genetiska algoritmer. Genetiska algoritmer grundar sig på den biologiska evolutionen och har initialt en slumpad population av individer, i detta fall en vektorföljd av dämpningskoefficienter. Dessa individer utvärderas med hjälp av en fitnessfunktion. I Matlab får fitnessfunktionen ha ett obegränsat antal inparametrar, men bara två utparametrar. Dessa två utparametrar består av det minimum min fitnessfunktionen får samt den vektorföljd x som åstadkommer detta minimum. De individer som resulterar i högst energiabsorption selekteras och muteras och en ny bättre population skapas utan att någon ny information behöver tillföras. Den fitnessfunktion som används kan ses i ekvation 33. min = 1 Pmedel = 1 fe (i) v(i) = 1 = 1 γ(i) v(i) 2 N i=2 ( y boj(i) y boj (i 1) ) dt 2 γ(i 1) (33) Då dämpningskoefficienten förhåller sig till inparametern x i den genetiska algoritmen med γ = x, blir således fitnessfunktionen enligt ekvation 34, 67

69 min = 1 N i=2 ( y boj(i) y boj (i 1) dt ) 2 x (i 1) 10 3 (34) 3.3 Metod Målsättningen är att hitta en förbättrad följd av dämpningskoefficienter γ i för vågor vid Islandsberg. Arbetet inleddes med att beräkna vågens excitationskraft från en 30 minuters vågdatafil. För att kunna optimera energiabsorptionen över varje våg delades vågdatafilen in i excitationsvågor, se figur 37. Varje våg delades sedan in i kortare tidssektioner T i, se figur 38. En genetisk algoritm användes. Genom att minimera en fitnessfunktion kunde genetiska algoritmen maximera energiabsorptionen över en excitationsvåg, figur 37, genom att ändra dämpningskoefficienten γ i för varje tidssektion T i, figur 38. Undersökningar för de tidssektioner T i med tillhörande dämpningskoefficienten γ i görs för tidslängderna T = 0,1, 0,5 och 1 sekunder. Problem uppstod vid beräkning av strålningsimpedansen, se ekvation 18 och 19 i sektion Faltningen vid beräkning av strålningsimpedansen använder bojhastigheter 16 sekunder tillbaka i tiden. Då beräkningar görs för en ny tidssektion T i, nollställs matrisen innehållande bojens och translatorns hastigheter och positioner. Detta löstes genom att skapa en matris innehållande tidigare och uppdaterade värden från de senaste 16 sekunderna. Från den genetiska algoritmen fås en förbättrad följd, för det antal generationer som undersökts, av dämpningskoefficienter γ i för vågdatafilen. Denna följd av dämpningskoefficienter γ i används därefter vid anrop av den olinjära modellen för att beräkna vågkraftverkets energiabsorption. Visualisering av detta kan ses i figur 39. Antagande gör att artificiella neurala nätverk lättare kan efterlikna ett harmoniskt beteende.för att tydligare uppnå detta har försök gjorts där dämpningskoefficientens utbredning begränsats vid lösningen av den genetiska algoritmen. Restriktionerna har innefattat: En övre och lägre gräns för dämpningskoefficienterna γ max och γ min har bestämts. Värdena på dämpningskoefficienterna består enbart av positiva hela tusental. γ i , , ,... Vektorn x som används i den genetiska algoritmen är därav positiva heltal, där x 1, 2, 3... Enbart en maximal och minimal förändring γ max och γ min från tidigare dämpningskoefficient inom varje sektion är tillåtet definierat som abs(γ i γ i 1 ) < γ max och abs(γ i γ i 1 ) > γ min 68

70 Figur 39: Struktur för hur den genetiska algoritmen anropas. Då sektionslängden T = 0, 5 sekunder på dämpningskoefficienterna uppvisade liknande bojpositionsrörelse som sektionslängden T = 0, 1 sekunder, samtidigt som den saknar det stötiga beteendet på dämpningskoefficienten, valdes denna sektionstid som träningsdata till det artificiella neurala nätverket. Genom att variera restriktionerna för dämpningskoefficienterna, med tidssteg 0,5 sekunder för varje sektion, söktes en följd av dämpningskoefficienter som uppvisade harmoniskt beteende och samtidigt gav en hög energiabsorption. Den energiabsorption som det aktiva systemet producerar kan därefter jämföras med den högsta energiabsorption som genereras från ett passivt system. Genom att träna ett artificiellt neuralt nätverk på olika inparametrar undersöktes hur väl detta artificiella neurala nätverk kan prediktera nästa förbättrade dämpningskoefficient. Den data som undersöktes som inparametrar var tidsserier av vågens excitationskraft, bojhastigheter samt bojpositioner. När ett artificiellt neuralt nätverk var framtaget kunde detta användas till, att före varje ny tidssektion T i, ändra dämpningskoefficienten till det förbättrade värdet och på detta sätt öka den totala energiabsorptionen. Ett artificiellt neuralt nätverk togs fram genom att variera antalet dolda lager, antalet inparametrar bakåt i tiden samt inparametrarnas data. Detta artificiella neurala nätverk användes sedan till att prediktera nästkommande förbättrade dämpningskoefficient. 69

71 Figur 40: Jämförelse mellan när den olinjära modellen löses med 0,5 sekunders tidssektioner och när hela vågdatafilen löses i ett anrop. Figuren visar bojpositioner och det relativa felet mellan dessa. Lösningarna är inte identiska, men mycket lika. Dämpningskoefficienten är 100kNs/m. 3.4 Resultat Figur 40 visar skillnaden när bojhastigheterna löses i tidssektioner av 0,5 sekunder eller när bojhastigheterna löses över hela vågdatafilen. Lösningarna är inte identiska, men mycket lika. För att kunna jämföra lösningarna användes en konstant dämpningskoefficient på 100kNs/m. En anledning till att värdena inte är identiska är att den tidigare nämnda matrisen, innehållande historiska värden på translator och boj, inte är fix. Matlabverktyget dde23 som används förändrar hela matrisen med historiska värden kontinuerligt för att lösa differentialekvationen. Då modellen tidigare lösts på 30 minuter förändras matrisen innehållande historiska värden under 16 sekunder. Då modellen istället löses med tidssektioner på 0,5 sekunder, kommer detta få som konsekvens att historiska värden utanför nuvarande tidsspann hålls låsta. De första värdena i varje tidssektion påverkas mest av detta. 70

72 Tabell 17: Genomsnittlig energiabsorption med och utan beräkning som tidssektioner T i, med modifierad olinjär modell och förändrad translatormassa. Bäst resultat fås då dämpningskoefficienten är 80 kns/m. Antal inparametrar [stycken] Genomsnittlig energiprod. (tidsspann) [kj/s] 16,60 16,93 17,00 16,90 16,68 Utan tidsspann [kj/s] 16,46 16,79 16,88 16,79 16,57 Tabell 18: Genomsnittlig energiabsorption för aktivt och passivt system. Det passiva systemet har beräknats på två sätt (tidsspann och icke-tidsspann) för att kunna jämföras internt. Tidsspann Hel vågdatafil Aktiv styrning [kj/s] 27,61kJ/s - Konstant dämpning (80kNs/m) [kj/s] 17,00kJ/s 16,88kJ/s Energiabsorptionsjämförelse mellan optimal konstant dämpningskoefficient och dämpningskoefficient beräknad med genetisk algoritm. För det passiva systemet är den genomsnittliga energiabsorptionen beräknad både genom att anropa den numeriska lösaren dde23 i tidssektioner T i (likt det aktiva systemet) och genom att anropa den numeriska lösaren för hela filen en gång. Resultatet ses i tabell 17. Som tidigare konstaterats uppstår en liten avvikelse mellan de sätt som den numeriska lösaren anropas, avvikelsen är ungefär 7 promille. Från tabell 17 fås också att bäst konstant dämpningskoefficient γ är 80kNs/m, vilket genererar en genomsnittlig effekt på 17kW. För att hitta en följd av dämpningskoefficienter som kan efterliknas med ett artificiellt neuralt nätverk infördes restriktioner på dämpningskoefficienternas beteende, se sektion 3.3. Dessa restriktioner innebär en lägre genomsnittlig energiabsorption, jämfört utan restriktioner. Därför blir det en kompromiss mellan hur mycket restriktioner som används och den genomsnittliga energiabsorptionen. 71

73 Figur 41: Genom att ändra dämpningskoefficienten för varje sektion, försöker den genetiska algoritmen få bojens hastighet att ligga i fas med vågens excitationskraft. Vilket innebär stora hopp på dämpningskoefficienten. Vågens excitationskraft och bojens hastighet har normaliserats till amplituden på dämpningskoefficienten. Tidssteget för varje sektion är 0,5 sekunder. Den förbättrade följden av dämpningskoefficienter, med restriktionerna maxvärdet γ max = 300kNs/m och minvärdet γ min = 50kNs/m, att dämpningskoefficienten enbart kan vara hela tusental men att dämpningskoefficientförändringarna γ max och γ min är odefinierade kan ses i figur 41. Denna figur visar att den genetiska algoritmen försöker få bojens hastighet samt vågens excitationskraft att vara i fas. Detta innebär stora hopp på dämpningskoefficienten, vilket i sin tur innebär stora svårigheter att skapa ett artificiellt neuralt nätverk med en förbättrad följd dämpningskoefficienter som utparameter. För att få en mjukare rörelse på dämpningskoefficienten, införs restriktioner på dämpningskoefficientens förändringar där γ max och γ min definieras. Resultatet kan ses i figur 42. Med dessa restriktioner fås en dämpningskoefficient som förhoppningsvis är mer följsamt med någon av de befintliga inparametrarna och kan därav bättre uppskattas för ett artificiellt neuralt nätverk. 72

74 Figur 42: Genom att ändra dämpningskoefficienten γ i med restriktioner för varje sektion, försöker den genetiska algoritmen få bojens hastighet att ligga i fas med vågens excitationskraft. Vågens excitationskraft och bojens hastighet har normaliserats till amplituden på dämpningskoefficienten. Tidssteget T i för varje sektion är 0,5 sekunder. 73

75 Figur 43: Jämförelse av 3 olika dämpningskoefficienter vid olika tidssteg på sektionerna. Beteendet för olika sektionstider T i, men med samtliga restriktioner på dämpningskoefficienterna γ i, undersöktes. Detta kan ses i figur 43. Figuren visar att lösningarna för dämpningskoefficienterna som hittas för sektionstider T på 0,5 sekunder och 1 sekund påminner mer om varandra, medans lösningarna för 0,1 sekunder får ett mer stötigt beteende. I figur 44 ses hur detta påverkar bojpositionens beteende. Bojpositionerna med sektionstid T = 0, 5 sekunder följer samma rörelse som bojpositionerna med sektionstid T = 0, 1 sekunder, men att bojpositionerna för sektionstid 0,1 sekunder beter sig hackigt med viss momentan avvikelse. Detta beteende upprepar sig under 30 minuters vågdata. Bojpositionerna med sektionstid T = 1, 0 sekunder antar, under större delen av beräkningen, en högre amplitud. På grund av längden på tidssektionen, antar dämpningskoefficienten ett lägre värde för att mer efterlikna den optimala konstanta dämpningskoefficienten på 80kNs/m (se tabell 17). 74

76 Figur 44: Jämförelse mellan 3 olika bojpositioner vid olika tidssteg på sektionerna på dämpningskoefficienten. 75

77 Figur 45: Genom att elementvist multiplicera vågens excitationskraft med bojens hastighet visar alla positiva värden då dessa två storheter har samma tecken. Vid negativa värden innebär det att vågens excitationskraft och bojens hastighet motverkar varandra. Figuren visar det momentana värdet och det kumulativa värdet. De restriktioner på dämpningskoefficienten som slutligen användes vid framtagning av ett artificiellt neuralt nätverk var: Den övre gränsen på dämpningskoeffcienten var 300kNs/m och den lägre gränsen 1kNs/m. Värdena på dämpningskoefficienterna består enbart av heltal. En maximal förändring från tidigare dämpningskoefficient inom varje sektion på 100kNs/m. En minimal förändring från tidigare dämpningskoefficient inom varje sektion på 1kNs/m. I tabell 18 jämförs den genomsnittliga energiabsorptionen för när den optimala dämpningskoefficienten har beräknats med den genetiska algoritmen tillsammans med den högsta genomsnittliga energiabsorptionen som fås för samma vågdatafil men med ett passivt system och en konstant dämpningskoefficient. Den optimala följden av dämpningskoefficienter med dessa restriktioner producerar 62,4% mer energi än med en konstant dämpningskoefficient. 76

78 I figur 45 har vågens excitationskraft multiplicerats elementvist med bojens hastighet. Alla positiva värden i figuren visar då dessa storheter är i fas. Negativa värden innebär att vågens excitationskraft och bojens hastighet motverkar varandra Energiabsorptionsjämförelse mellan optimal konstant dämpningskoefficient och dämpningskoefficient från artificiellt neuralt nätverk. För att skapa ett neuralt nätverk undersöktes hur olika inparametrar (excitationskraft, bojposition och bojhastighet) påverkade hur väl nätverket presterade för att efterlikna den följd av dämpningskoefficienter som genererats genom genetiska algoritmen. Det ansågs prestera bäst vid användning av excitationskraft och bojhastighet. Trots att åtgärder tagits för att få målvärden som lättare kan efterliknas med ett artificiellt neuralt nätverk, så hade det artificiella neurala nätverket svårt att uppskatta dämpningskoefficienten. Antalet inparametrar och dolda lager undersöktes och ett nätverk skapades för en uppsättning av 70 inparametrar och 70 dolda lager. Den genomsnittliga avvikelsen för dämpningskoefficienten med dessa parametrar är 50kNs/m. Detta nätverk användes därefter för att bestämma följden dämpningskoefficienter vid simulering av en annan fil. Den genomsnittliga effekten som fås är 8,42kW. Likt jämförelsen med den optimala konstanta dämpningskoefficienten i tabell 17 görs detsamma för den andra filen. Maximal genomsnittlig effekt fås då dämpningskoefficienten är 100kNs/m och antar värdet 7,02kW. Detta medför alltså att den aktiva styrningen av följden dämpningskoefficienter genererat från artificiellt neuralt nätverk ger en procentuell förbättring på 20% i detta fall. I figur 46 kan den normaliserade hastigheten på bojen jämföras med excitationskraften och den aktuella dämpningskoefficienten. I figur 47 är excitationskraften elementvis multiplicerad med bojens hastighet. Som här ses håller excitationskraften och bojens hastighet samma riktning genom större delen av den beräknade 30 minuters vågdatafilen. 77

79 Figur 46: Excitationskraften och bojens hastighet för en följd av dämpningskoefficienter, där dämpningskoefficienterna är genererade via artificiellt neuralt nätverk efter att det tränats på annan vågdatafil. Figur 47: Excitationskraften elementvist multiplicerad med bojens hastighet, då dämpningskoefficienten genererats via artificiellt neuralt nätverk efter att det tränats på annan vågdatafil. Figuren visar det momentana värdet och det kumulativa värdet. 78

80 3.5 Sammanfattning och diskussion En stor utmaning i att utveckla ett aktivt styrsystem är hur väl dämpningskoefficienternas beteende kan predikteras med befintliga inparametrar. Eftersom en förbättrad följd av dämpningskoefficienter, beräknad med genetisk algoritm, uppvisar ett svår predikterat beteende infördes begränsningar på dämpningskoefficienternas beteende. Den förbättrade följden av dämpningskoefficienter beräknades för varje enskild våg med en genetisk algoritm. Ett artificiellt neuralt nätverk togs fram. Detta hade en följd av vågens excitationskraft samt bojens hastighet som inparametrar och de beräknade optimala dämpningskoefficienterna som utparametrar. Genom att beräkna dämpningskoefficienter med detta artificiella neurala nätverk på en slumpmässigt vald vågdatafil fås en genomsnittlig energiabsorption som är 20% högre än den optimala konstanta dämpningskoefficienten. Även om det artificiella neurala nätverket har svårt att prediktera dämpningskoefficienterna på ett optimalt sätt verkar det som att det kan prediktera en korrelation mellan indata och γ som leder till ökad energiabsorption. Ett problem som uppstår när den genetiska algoritmen hittar följder av förbättrade dämpningskoefficienter är att högst energiabsorption fås när translatorn och bojen inte är i fas, eftersom detta genererar höga momentana hastigheter på boj och translator. Dessa höga momentana hastigheter förhåller sig till energiabsorptionen med faktor upphöjt till 2 och ger väldigt höga toppar på energiabsorptionen. Genom att öka massan på translatorn har magnituden på detta problem minskats. Den följd av dämpningskoefficienter som hittas av den genetiska algoritmen genererar en större energiabsorption än en konstant dämpningskoefficient. Dock är det svårt att hitta ett artificiellt neuralt nätverk som kan prediktera dessa dämpningskoefficienter på andra filer än den undersökta, även om restriktioner används. Förbättrade dämpningskoefficienter som visar mer periodiskt beteende jämfört med befintliga inparametrar skulle behöva hittas. 79

81 Figur 48: Genom att fasen på vågens excitationskraft är känd, beräknas energiabsorptionen för olika amplituder på bojhastigheten. Dämpningskoefficienten beräknas genom att hastigheterna mellan varje sektion, röda vertikala linjer, är kända. 3.6 Förbättringsmöjligheter I denna rapport har en genetisk algoritm tagit fram en förbättrad följd av dämpningskoefficienter över varje våg. En nackdel med detta är att den genetiska algoritmen inte tar hänsyn till att bojens position ska vara optimal inför nästkommande våg. Genom att istället använda den genetiska algoritmen över serier av vågor löses detta problem. Nackdelen är längre beräkningstider och eventuellt en följd av dämpningskoefficienter svårare att efterlikna med ett artificiellt neuralt nätverk. En svårighet med att utveckla ett aktivt styrsystem är att hitta en förbättrad följd av dämpningskoefficienter som ett artificiellt neuralt nätverk kan efterlikna på ett acceptabelt sätt. En följd av dämpningskoefficienter som inte är optimala men enklare att efterlikna kan vara att föredra mot en följd av dämpningskoefficienter svåra att efterlikna. Ett sätt att beräkna dessa förbättrade dämpningskoefficienter kan vara att utgå från att mest effekt kan utvinnas när bojens hastighet och vågens excitationskraft är i fas[24]. Genom att utgå från att bojens hastighet kommer vara en rörelse likt vågens excitationskraft, är fas och rörelsemönster kända. För att få den sökta hastigheten ändras dämpningskoefficienten med konstanta tidsintervall, se figur 48. Genom att undersöka genomsnittlig energiabsorption för olika amplituder på vågens hastighet hittas den optimala amplituden på hastigheten med medföljande följd av dämpningskoefficienter. Detta påminner om lösningen till Identification and control of the aws using neural network models [23]. 80