NÄMNAREN. problemavdelning

Transkript

1 NÄMNAREN problemavdelning NÄMNARENproblemen föregående läsår mötte stor uppskattning av antalet inkomna kommentarer och lösningar att döma. Problemavdelningen utökas därför fr o m detta nummer. Det kommer att finnas problem av olika svårighetsgrad problem för alla stadier. Lösningar till problemen i detta nummer presenteras i nr 3. De bästa lösningarna belönas med bokpriser. Lösningarna måste vara inkomna senast den 1 november. Skriv också gärna och berätta om hur problemen använts i undervisningen. 701 Placera talen 1, 2, 3,..., 9 i ringarna i figuren till vänster nedan, så att summorna utefter triangelsidorna blir lika stora. 702 Hur många trianglar kan du hitta i figuren ovan till höger?

2 703 Sätt in matematiska tecken mellan siffrorna, så att likhetstecknen stämmer. Det här problemet är hämtat ur TR-tidningen (TR = TrafikRestauranger, tidningen kallas nu INOMBORDS). Litet matematiskt huvudbry i restaurangvagnen kan vara bra för vem som helst. Insänt av Lennart Skoogh, Dalsjöfors 704 Bilden visar frimärken ur två så kallade automathäften. På hur många olika sätt kan man kombinera frimärken till ett vanligt brev med portot 1,50 kr? Det blir naturligtvis olika lösningar om man också tar hänsyn till frimärkenas olika motiv och tandning. 705 Sjukt om könsskillnader Följande tabell visar antal anställda män och kvinnor samt sjukfrånvaron år 1978 för en stor koncern. Män Kvinnor Samtliga Antal anställda Genomsnittligt antal sjukfrånvarodagar ,0 20,8 18,7 Uppgifterna ovan baseras på totalundersökning och vi kan i det följande även utgå ifrån att inga mät- eller bearbetningsfel föreligger. Graviditetsfrånvaro är frånräknad (planerad frånvaro såsom tjänstledighet för graviditet och militärtjänst anses inte medföra några större produktionsstörningar).

3 Chefen för koncernen gjorde med anledning av frånvarouppgifterna i tabellen ungefär följande uttalande: Att man i offentlig förvaltning inte gör någon åtskillnad mellan män och kvinnor vid tjänstetillsättningar är en sund och riktig princip, som man bör värna om. Inom näringslivet ställer sig dock saken något annorlunda. Som företagsledare har man ansvar för de anställda och aktieägarna och för företagets fortbestånd. Särskilt i kärva tider måste därför den ansvarsfulle företagsledaren vara ytterst noga med vilken personal han anlitar. Frånvarosiffrorna i tabellen visar klart att, om det finns manlig arbetskraft att tillgå, så bör man i första hand anställa män. Det går ju inte att folk är borta från jobbet hur som helst om man vill uppnå och bibehålla den höga produktionsnivå, som är nödvändig för företagets fortbestånd i nuvarande ytterst hårda konkurrensläge. Uppgifterna förefaller kanske bestickande men det är faktiskt inte alls självklart att antalet sjukdagar skulle minska om man enbart anställde män. Det som skiljer de i vänstra kolumnen från de i mittenkolumnen behöver inte enbart vara faktorn kön. Det kan föreligga skillnader också beträffande andra faktorer som man tror har betydelse för sjukfrånvaron, t ex åldern och typ av arbete. Låt oss studera sjukfrånvaron för de i koncernen efter en grovuppdelning av arbetena i tre grupper: Män Kvinnor Chefsbefattningar 4,5 5,0 Övriga "intressanta" befattningar 6,3 6,8 Löpande band o dyl 23,2 22,6 Kan uppgifterna i den senare tabellen verkligen överensstämma med de uppgivna totalmedelvärdena 17,0 och 20,8? Kan det vara så att differensen mellan totalmedelvärdena kan uppstå även om könsfaktorn inte alls har någon betydelse för sjukfrånvaron? Hur förhåller det sig egentligen? Insänt av Göran Andersson, Uppsala Här följer ett avsnitt ur Marodörerna av Desmond Bagley. Kan NÄMNARENs läsare hjälpa Andy Tozier att lista ut varför och hur han förlorar pengar till Johnny Follet? Problemet är insänt av Bernt Leonardsson, Örebro. Han skriver att han löste detta problem med hjälp av de artiklar om spelteori som Hans Dinger skrev i NÄMNAREN nr 2 och 3 77/78 och i nr 178/79. Andy Tozier hade ett problem ett obetydligt problem, visserligen men i alla fall irriterande obegripligt. Han förlorade ideligen pengar till Johnny Follet och kunde inte räkna ut hur Johnny bar sig åt för att alltid vinna. Det var ingen stor summa han hade förlorat med tanke på hur många gånger de hade spelat, men de ständiga småförlusterna retade honom. Han talade med Warren om det. Ytligt betraktat spelar han absolut rent spel jag begriper helt enkelt inte hur han bär sig åt för att alltid vinna. Jag skulle aldrig lita helt på Johnny i något spel, sade Warren. Vad spelar ni?

4 Vi har var sitt mynt och jämför dem. Vi singlar inte slantarna, och slumpen spelar därför inte in. Vi kontrollerar själva om krona eller klave kommer upp på mynten. Förstår du? Det verkar renhårigt, sade Warren försiktigt. Ja, sade Tozier. Om jag har krona på min slant och han klave, betalar han mig tretti pund. Om jag har klave och han krona, betalar han mig tio pund. Warren funderade. Det är två av fyra möjliga kombinationer. Just det, sade Tozier. De övriga är att båda har krona eller båda klave. I bägge fallen betalar jag honom tjugo pund. Vänta ett slag, sade Warren och skrev ivrigt på ett papper. Det finns fyra möjliga kombinationer av vilka du kan vinna två och han två. Om vi utgår från att alla fyra har lika stora chanser som de också har kan de ge högst fyrtio punds vinst, vem som än vinner. Det verkar fullt korrekt. Det verkade också barnsligt, men det sade han inte. Men varför vinner han då? frågade Tozier hetsigt. Jag har förlorat närmare hundra pund redan. Vinner du aldrig? Jovisst. Jag vinner ibland och han ibland, men han vinner fler gånger. Det går upp och ner som en gungbräda, men det verkar som om han var tyngre, för mina pengar rullar undan för undan över till honom. Det som retar mig är att jag inte blir klok på hur han bär sig åt. Du kanske borde sluta spela. Inte förrän jag har kommit på hur han gör det, sade Tozier beslutsamt. Han skulle inte kunna använda en liksidig slant då skulle jag ju veta vad som skulle komma och rätta mig efter det. Han gjorde en grimas. Jag är faktiskt villig att satsa hundra pund till om jag kan lista ut hemligheten. Jag skulle säkert få nytta av den också. Sjömännen och nötterna BERTIL ALMGREN Problemet i NÄMNAREN nr 3 79/80 Algebraiska lösningar av A och B, väsentligen ekvivalenta med den nedan presenterade, har insänts av: Roland Gunnarsson, Mölndal Ulf Hallqvist, Fristad Axel Ericsson, Åkerskolan K.G. Jacobsson, Skara Björn Sjölin, Stockholm. Roland och Ulf har också löst den makabra varianten C, vilken tydligen var en hårdknäckt nöt, särskilt för jämnt antal sjömän.

5 Lösningar med hjälp av miniräknare har insänts av: Anders Mattsson, Borås Wilma Teness, Skärhamn Ugis Berzius, Skärhamn. Anders och grupparbetarna Wilma och Ugis har sänt in sina resultat av numerisk behandling med en HP 25. Maskinen gör de p uppdelningarna och testar om antalet nötter blir heltaligt i varje hög. Därefter ökas begynnelseantalet nötter med 1 och programmet körs om igen etc. Del A kan förstås lätt klaras på detta sätt. Mattsson lyckas ur sina resultat för olika p lista ut den allmänna formeln x = k pp p + 1 Kenneth Borg, Karlshamn, visar hur man kan misslyckas med en dator, därför att den räknar med för få siffror (i detta fall en ABC80, som räknar med 6 siffror). Om man från början har x nötter och den 5:e mannen får N nötter gäller N = (256x 2101)/3125, med lösningen x = k 3125 och N = k 256. Programmet 10 X = 0 20 X = X N = (256X 2101)/ IF N = INT(N) THEN PRINT X 50 GOTO 20 ger på ABC80 bl a "lösningen" x = 2767 men inte den korrekta x = 6246, vilket visar att man inte får programmera en dator som en (kokos-) nöt! Bokpriser kommer med posten! En lösning till problemet I Version (A) och B med p sjömän.

6 Man kontrollerar lätt, att uppdelningen är möjlig för varje positivt heltal II Version C I binomialutvecklingen av (p 1) p-1 är varje term utom den sista delbar med p. Den sista termen är 1 om p är udda och -1 om p är jämnt.