Optik 1 Geometrisk och fysikalisk optik fo r optiker HT 2019

Transkript

1 Optik 1 Geometrisk och fysikalisk optik fo r optiker HT 2019

2 Optik 1 Innehållsförteckning Föreläsning 1 Vågfronter, strålar och bilder... 1 Föreläsning 2 Reflektion och brytning... 5 Föreläsning 3 Avbildning i plana ytor Föreläsning 4 Sfäriska ytor och vergens Föreläsning 5 Brytning i sfärisk gränsyta Föreläsning 6 Avbildning i sfärisk gränsyta och speglar Föreläsning 7 Avbildning i tunna linser Föreläsning 8 Strålkonstruktion och mellanbilder Föreläsning 9 Astigmatiska linser Föreläsning 10 Ögat och ögats brytningsfel Föreläsning 11 Ögat och ögats brytningsfel, forts Föreläsning 12 Huvudplan Föreläsning 13 Huvudplan, forts Föreläsning 14 Aperturstopp, in- och utträdespupill Föreläsning 15 Synfält Föreläsning 16 Kameran, vinkelförstoring, förstoringsglas Föreläsning 17 Lupp och mikroskop Föreläsning 18 Teleskop och kikare Föreläsning 19 Ljusets vågnatur, ljuskällor Föreläsning 20 Dispersion, färg Föreläsning 21 Polarisation Föreläsning 22 Interferens Föreläsning 23 Antireflexbehandling

3 Optik 1 1 Föreläsning 1 (kap i Optics) Vågfronter, strålar och bilder Vad är ljus? Ljus är en form av strålningsenergi, en vågrörelse. Mikrovågor, röntgen, värmestrålning, radiovågor och ljus är alla elektromagnetisk strålning men deras våglängd skiljer dem åt. En vågrörelse fungerar som när man kastar en sten i stilla vatten och vågor bildas från stenen. Karaktäristiskt för en vågrörelse är dess våglängd och den hastighet vågen utbreder sig med. Figur 1.1 Grundläggande vågbegrepp Våglängden är avståndet mellan två vågtoppar (eller vågdalar), den betecknas ofta med den grekiska bokstaven lambda, λ, och för ljus mäts den oftast i nanometer, [nm]. 1 nm = 10 9 m. För människan synligt ljus ligger mellan ca 400 nm och 700 nm. Ljushastigheten är c = km/s. Figur 1.2 Spektrum för elektromagnetisk strålning Det finns flera typer av ljuskällor där ljuset uppstår på olika sätt. I solen, eld och glödlampor är det materia som avger ljus på grund av sin höga temperatur, i lysrör är det en joniserad gas som lyser och i lysdioder skickas ström genom material som kallas halvledare och som då ger ifrån sig ljus. Kemiska ljuskällor (t.ex. där två vätskor blandas) och lasrar är exempel på ytterligare två sätt att generera ljus. Vågfronter och strålar Vågfront Tänkt yta dit ljuset från en punktkälla hunnit efter en viss tid. Ljusstråle Tänkt linje vinkelrät mot vågfronterna (i ljusets utbredningsriktning). I ett isotropt (lika åt alla håll, alla vanliga material), homogent (lika i hela volymen) medium är vågfronterna sfäriska och strålarna är räta linjer!

4 Optik 1 2 Figur 1.3 Vågfront och ljusstråle Figuren ovan visar exempel på vågfronter och en ljusstråle, observera att cirklarna i bilden egentligen är sfärer (klotformade). Att ljusets utbredning beskrivs med ljusstrålar som är räta linjer är grunden för det som kallas geometrisk optik. Strålknippen Ljuset från/mot en punktkälla genom en apertur (öppning) kallas ett strålknippe. Ett divergent strålknippe utgår från en punktkälla och går därför isär. Figur 1.4 Divergent strålknippe Ett parallellt strålknippe, där ljusstrålarna är parallella med varandra, motsvarar att strålarna kommer ifrån en avlägsen punktkälla. Figur 1.5 Parallellt strålknippe Ett konvergent strålknippe är ljus som går ihop mot en punkt. Detta är i naturen ovanligt om inte en lins eller liknande placeras i ljusets väg.

5 Optik 1 3 Figur 1.6 Konvergent strålknippe Om man har ljus från alla punkter på en utbredd ljuskälla så har man massor av strålknippen. När man talar om att ljus är divergent, konvergent eller parallellt menar man hur varje strålknippe för sig ser ut. Jämför Fig. 1.4 i boken. Skuggbild Figur 1.7 Exempel på konvergent ljus genom en apertur Många har säkert gjort en skuggbild framför en ficklampa. Det fungerar helt enkelt så att ljusstrålarna från ficklampan (punktkälla) är räta linjer och om man stoppar ljusstrålarna med ett föremål så skapas ett mörkt område med samma form som föremålet, likt alla skuggor. Vi skall dock se att detta inte är en bild i optisk mening. Hålkamera Figur 1.8 Hålkamera Ett litet hål (apertur) som släpper igenom ljus från ett objekt ger en bild på en skärm på andra sidan hålet. Som figuren ovan visar är bilden upp-och-ner. Om hålet görs mindre blir bilden skarpare (och mörkare), men bara till en viss gräns. (Blir hålet för litet får man s.k. diffraktion, mer om det i nästa kurs.) Hålkamerabilden är dock inte heller riktigt en bild i optisk mening.

6 Optik 1 4 Med geometri från figuren med hålkameran (Figur 1.8) ser vi att bildstorleken i förhållande till objektets storlek ges av h l h l (1.1) Bildbegreppet perfekt avbildning Med perfekt avbildning av en punktkälla menar man att alla ljusstrålar från punkten skall gå ihop i en ny punkt, som kallas bilden av punkten. Optiskt sett kräver en bild ett system där ljuset bryts, t.ex. en lins. Om strålknippet från en objektpunkt, P, konvergerar mot en ny punkt, P, så är P en reell bild av P Figur 1.9 Reell bild Om strålknippet från objektpunkt P ser ut att divergera från en ny punkt, P, är P en virtuell bild av P Figur 1.10 Virtuell bild

7 Optik 1 5 Föreläsning 2 (kap , 2.6 i Optics) Optiska ytor Reflektion och brytning När en ljusstråle träffar en gränsyta mellan två olika material kommer en del av ljuset reflekteras tillbaka och en del kommer att gå in i det nya materialet. Figur 2.1 Optisk gränsyta Strålen in mot ytan kallas infallande ljus och den andra strålen på samma sida är reflekterat ljus (reflektion) medan strålen på andra sidan är transmitterat ljus (transmission). Om det transmitterade ljuset snabbt omvandlas till värme av materialet kallas det för absorption. Reflektion (reflexion) Figur 2.2 Diffus och spekulär reflektion Diffus reflektion Om ytan är ojämn (opolerad) reflekteras ljuset åt alla håll, detta kallas för diffus reflektion. Diffus reflektion är orsaken till att vi ser alla belysta objekt. Spekulär reflektion Om ytan är polerad reflekteras alla ljusstrålar i en bestämd riktning, det kallas för spekulär reflektion. Polerade ytor är grunden för alla speglar, linser och optiska instrument. Allting reflekterar ljus, mer eller mindre, även en genomskinlig yta reflekterar lite ljus. Andelen som reflekteras kallas ytans reflektans och mäts i procent. Som exempel på reflektans från diffusa ytor har till exempel ett vitt papper reflektans omkring 80% medan ett svart papper har ca 8%. Reflektansen från polerade ytor beror på hur bra poleringen är och vilket material som används. En riktigt bra spegel kan reflektera >99% av infallande ljus.

8 Optik 1 6 Reflektionslagen (gäller spekulär reflektion) Vinkeln mellan infallande stråle och ytans normal kallas infallsvinkeln, i. Vinkeln mellan reflekterad stråle och normalen kallas reflektionsvinkeln, r. Infallsplanet = Planet som innehåller infallande stråle + normalen till ytan (papprets plan). Symmetri => reflekterad stråle ligger också i infallsplanet. Reflektionslagen: i r (2.1) Bevis av reflektionslagen: Röda linjerna AG och ED är vågfronter vilket innebär att det skall ta lika lång tid för ljuset att gå sträckan AE som för sträckan GD. Eftersom ljushastigheten är densamma före och efter reflektionen betyder det att sträckorna GD = AE. I figuren här bredvid finns två rätvinkliga trianglar: Triangel AGD innhåller infallsvinkeln, i, med förhållandet sin i = GD/AD. Triangel AED innhåller reflektionsvinkeln, r, med förhållandet sin r = AE/AD. Eftersom GD = AE betyder detta att sin i = sin r, vilket i sin tur ger reflektionslagen i = r. Exempel: Avbildning vid reflektion i plan spegel/gränsyta Transmission/absorption Figur 2.3 Virtuell bild i plan spegel Vad händer med det ljus som inte reflekteras? Inget ljus försvinner vid ytan, det ljus som inte reflekteras går in i det nya materialet. De flesta material är ogenomskinliga och då omvandlas ljuset snabbt till värme och tas upp av materialet. Detta kallas för absorption. Hur stor andel som absorberas beror på vilket material det är och hur tjockt det är. Om ett material har låg absorption är det genomskinligt/transparent och ljuset transmitteras, det vill säga att ljuset fortsätter i det nya materialet (transmission). Sådana material kan man använda för att göra glasögon och andra linser. Vanligt glasögonglas har ungefär 0,5 % absorption på 10 mm tjocklek. Det innebär att efter 1 cm glas återstår 99,5 % (0,995) av ljuset. Har man 2 cm återstår andelen 0,995 0,995 = 0,990 och efter 1 m => 0, = 0,6 = 60 %. En optisk fiber kan ha så låg absorption som <10 % på 1 km! Det finns också material som är transparenta, men som sprider ljuset, som dimma, rök och frostat glas.

9 Optik 1 7 Brytning (transmission) När ljus passerar en gränsyta mellan två transparenta material bryts det alltid på grund av en hastighetsförändring hos ljuset. Vinkeln mellan den transmitterade strålen och ytans normal kallas brytningsvinkeln, i. Brytningsindex Figur 2.4 Ljusets brytning vid en gränsyta För att beskriva ljushastigheten i ett material använder vi brytningsindex för materialet. Ljushastigheten i vakuum (c 0 ) är ,458 km/s. I alla material är ljusets hastighet lägre än i vakuum. Brytningsindex, n, för ett material med ljushastigheten c definieras som: n = ljushastighet i vakuum ljushastigheten i material = c 0 c > 1 Det är dock sällan som man behöver räkna ut n utan det tas oftast ur en tabell. Några exempel på brytningsindex i vanliga material: Material Luft 1,00029 Vatten 1,3333 (4/3) Plaster 1,46 1,7 Glas 1,46 1,95 Standardglas 1,523 n Brytningslagen (Snells lag) Sambandet mellan brytningsvinkeln och infallsvinkeln kallas brytningslagen och ges av: n sinin sini brytningslagen (2.2) i = infallsvinkeln, i = brytningsvinkeln, n = brytningsindex hos materialet före/framför gränsytan n = brytningsindex hos materialet efter/bakom gränsytan Bryningslagen är grunden för geometrisk optik i alla linser, glasögon, kikare mm.

10 Optik 1 8 Bevis av brytningslagen: Ett parallellt strålknippe faller in mot en gränsyta med infallsvinkeln i: Figur 2.5 Brytningslagen Röda linjerna AG och DE är vågfronter => Det måste ta lika lång tid för ljuset att gå sträckan GD som AE. Eftersom tid = sträcka/hastighet får vi: AE c = GD c => n AE c 0 = n GD c 0 => n AE = n GD I Figur 2.5 ovan finns två rätvinkliga trianglar: Triangel AGD innhåller infallsvinkeln, i, med förhållandet sin i = GD/AD => GD = AD sin i. Triangel AED innhåller brytningsvinkeln, i, med förhållandet sin i = AE/AD => AE = AD sin i. Sätter vi ihop detta får vi: n AE = n GD => n AD sin i = n AD sin i => n sin i = n sin i Exempel: Brytning i vattenyta Objektet i vatten, strålens infallsvinkel mot vattenytan är i = 45,0. Hur bryts strålen? Sök i n=4/3 (vatten), n =1 (luft). n sin i = n sin i => sin i = n n sin i => sin i = => => i = sin => i = 70,5 Ljuset bryts alltså från normalen i detta fall

11 Optik 1 9 Tumregel: Från tätare material (högre n) till tunnare (lägre n ) innebär brytning från normalen. Från tunnare material (lägre n) till tätare (högre n ) innebär brytning mot normalen. (Högre brytningsindex kallas tätare material, lägre brytningsindex tunnare.) Observera att ljuset alltid tar samma väg i båda riktningarna! (Man kan alltså vända på ljusriktningen i figuren ovan utan att något förändras med brytningen.) Totalreflektion Vad händer om infallsvinkeln i exemplet ovan blir större, exempelvis i = 60? Samma beräkning som tidigare ger sin i = 1,15 (vilket är omöjligt, sinus är aldrig större än 1). En sådan situation innebär att inget ljus kan transmitteras, dvs. allt ljus reflekteras => totalreflektion. Kritisk vinkel (gränsen för totalreflektion) i c : sin i = n n sin i c = 1 => sin i c = n n => i n n 1 c sin kritisk vinkel för totalreflektion (2.3) i i c => totalreflektion I exemplet ovan med n = 1 och n = 4 3, får vi i c = 48,6. Grunderna för geometrisk optik Brytningslagen och reflektionslagen tillsammans med att ljusstrålarna är räta linjer utgör grunden för all geometrisk optik.

12 Optik 1 10 Föreläsning 3 Avbildning i plana ytor (kap , 2.7, 2.9 i Optics) Avbildning vid reflektion i plan gränsyta Bilden av en objektpunkt finns där strålknippet från punkten går ihop efter reflektionen. Figur 3.1 Avbildning i plan spegel i = r => l är lika lång som l (Den virtuella bilden i en plan spegel ligger lika långt bakom spegeln som objektet är framför och befinner sig på normalen till ytan genom objektpunkten.) Avbildning vid brytning i plan gränsyta Exempel: Ett objekt befinner sig inuti glas, 0,10 m från gränsytan mot luft. Var hamnar bilden? Figur 3.2 Ljusbrytning i plan gränsyta

13 Optik 1 11 Geometri: tan i = x l x = l tan i tan i = x l => l = Brytningslagen: n sin i = n sin i Vi gör en tabell: tan i tan i l i [grader] i [rad] sin(i) tan(i) i [grader] i [rad] sin(i ) tan(i ) tan (i) tan (i ) 1 0,017 0,017 0,017 1,50 0,026 0,026 0,026 0, ,035 0,035 0,035 3,00 0,052 0,052 0,052 0, ,052 0,052 0,052 4,50 0,079 0,079 0,079 0, ,070 0,070 0,070 6,01 0,105 0,105 0,105 0, ,087 0,087 0,087 7,51 0,131 0,131 0,132 0, ,175 0,174 0,176 15,1 0,264 0,260 0,270 0, ,349 0,342 0,364 30,9 0,539 0,513 0,598 0, ,524 0,500 0,577 48,6 0,848 0,750 1,134 0, ,785 0,707 1,000 (För vinkeln i=45 blir det totalreflektion.) För små vinklar blir det en bild! (Stora vinklar ger det vi kallar aberrationer, suddig bild. Kommer i kursen Optik 2.) I denna kurs antar vi alltid att vinklarna är små (<10 ) => Paraxial approximation sin (i) i Då gäller: { tan (i) i cos (i) 1 OBS! Detta gäller endast i radianer! vinkel i grader = (180/π) vinkel i radianer vinkel i radianer = (π/180) vinkel i grader Ett öga som tittar på objektet i Figur 3.2 ser endast ett smalt strålknippe med små vinklar. Det ger en ok bild. Var ligger bilden? Paraxial approximation ger n sin i = n sin i <=> n i = n i => i i = n n l = tan i tan i l <=> l = i i l => l = n n l n n l l Avbildning i plan gränsyta (3.1)

14 Optik 1 12 Exempel: Fötter i 1 m djupt vatten. Var ligger bilden? l = 1 m l =? n l = n l => l = n n l = m = 0,75 m 3 (Benen ser alltså kortare ut än vad de är i verkligheten när man tittar ner i vattnet.) Brytning i parallell platta Figur 3.3 Brytning i parallell platta Bilden ovan visar hur en ljusstråle som faller in mot en parallell glasplatta kommer ut parallell med infallande stråle, oavsett infallsvinkel. (Brytning enligt brytningslagen i första ytan tas ut av motsvarande brytning i andra ytan, även för stora vinklar.) Den enda effekt man får är att strålen parallellförskjuts i sidled en aning. Hur mycket den förflyttas beror på infallsvinkeln och tjockleken på plattan. Tittar man genom plattan ser man bilden av objektet förflyttat något närmare plattan.

15 Optik 1 13 Brytning i tunna prismor i luft Figur 3.4 Brytning i tunt prisma a är prismats toppvinkel, i och i är infalls och brytningsvinklar och v är deviationsvinkeln (avböjningsvinkeln) jämfört med strålens infallande riktning. (1) i = a (2) v = i i (3) n sin i = n sin i => n i = n i (Vi antar små vinklar, paraxial approximation) Om prismat är i luft är n = 1 och i = n, vilket tillsammans med ekvation (1) och (2) ger: v n 1 a brytning i tunt prisma (3.2) (Denna ekvation gäller även om ljuset inte faller in vinkelrätt mot första ytan, bara vinklarna är små) OBS: Optiker mäter prismor i prismadioptrier [Δ], symbolen är grekiska bokstaven stora delta. 1 Δ motsvarar 1 cm förflyttning av bilden för ett objekt på 1 m avstånd. Prismats styrka P i [Δ]: P100 tanv (3.3) Sammanfattning r i Reflektionslagen ni ni Brytningslagen paraxial approximation n n l l Avbildning i plan gränsyta v n 1 a Brytning i tunt prisma i luft (3.4)

16 Optik 1 14 Föreläsning 4 (kap , 3.4 i Optics) Sfäriska ytor och vergens Sfärisk krökning och att mäta den; sag-formeln Den sfäriska ytan är den viktigaste typen av yta inom optiken. Det är den naturliga form två ytor får om de nöts ner mot varandra. Ytorna på de allra flesta linser kan behandlas som sfäriska när vi räknar och ritar i denna kurs. En sfärisk yta är en del av en sfär eller ett klot, som t.ex. en såpbubbla. Om vi tänker oss att vi skär av ena sidan av en sfär så skulle vi få en sfäriskt krökt yta, så som visas i figuren nedan. Figur 4.1 Sfärisk yta Här betecknar vi sfärens mittpunkt med C och dess radie med r. För den sfäriska ytan innebär detta att punkten C är ytans krökningscentrum och r är ytans krökningsradie (som anges i meter [m]). Det är också vanligt att tala om ytans krökning, R: 1 R krökningen anges i 1/meter [m 1 ] (4.1) r Kraftigt krökt yta (från liten sfär) kort krökningsradie r, stor krökning R. Plan yta oändligt lång krökningsradie r =, noll krökning R = 0 Figuren nedan visar exempel på olika ytor med olika krökningsradie och krökning. Figur 4.2 Olika sfäriska ytor Det karaktäristiska för en sfärisk yta är att normalen (riktningen vinkelrät mot ytan) alltid går genom ytans krökningscentrum, C, oberoende av var på ytan vi tittar. För en plan yta, där normalerna i olika punkter på ytan är parallella med varandra, gäller samma sak, men krökningscentrum ligger i oändligheten. (Se figuren nedan, normalerna till ytorna är ritade som streckade linjer).

17 Optik 1 15 Sag-formeln Figur 4.3 Normal till plana och sfäriska ytor Oftast vet man inte var ytan har sitt krökningscentrum och kan därför inte mäta dess krökningsradie direkt. Det vanligaste sättet att mäta ytans krökningsradie är istället att mäta ytans så kallade sag (engelskt ord för häng?). Figuren nedan visar en sfärisk yta som en del av en sfär med krökningscentrum C. Med beteckningar från figuren är r ytans krökningsradie (R = 1/r är ytans krökning), y är ytans höjd (halva diametern) och s är ytans sag. Om man mäter s och y kan man använda Pythagoras sats i den gråmarkerade triangeln för att beräkna r genom olika varianter av sag-formeln: r y 2s 2s y 2 R 2 s 2 y 2r s 2 yr 2 (4.2) Figur 4.4 Att mäta krökningsradie. Bilden till höger visar en sfärometer *. Sag-formeln är en approximation och förutsätter att s är litet i förhållande till krökningsradien. Det gäller i de allra flesta fall eftersom ytans krökningsradie, r, normalt är mycket längre än ytans halva diameter, y. Exempel: r = 0,1 m och y = 5 mm = 0,005 m => ger s = y2 = 0, m = 0,125 mm 2r Härledning av sag-formeln m.h.a. Pythagoras sats i triangeln ENC: r y r s r y r 2rs s rs y s y s y r om s << r 2s 2 2s * En sfärometer är ofta graderad direkt i den sfäriska ytans styrka F=(n-1)R för ett visst brytningsindex.

18 Optik 1 16 Vågfrontskrökning Ljusets utbredning kan beskrivas med hjälp av både strålar och vågfronter (där vågfronten är vinkelrät mot strålarna). Ljuset som kommer från en punktkälla har sfäriska vågfronter (se figuren nedan). Figur 4.5 Vågrontskrökning Precis som för sfäriska ytor kan man beskriva formen på en sfärisk vågfront med dess krökning, R = 1 l Här är l avståndet i meter från punkten strålarna går ihop (vågfrontens krökningscentrum) till det plan där man mäter vågfrontskrökningen. Krökningens värde beror alltså på hur långt bort ljuskällan är; nära punktkällan är vågfrontskrökningen stor och så minskar den successivt ju längre bort från källan man är. Vågfrontskrökningen blir noll när strålarna går ihop oändligt långt bort (plan vågfront). Vågfrontskrökningens ändring vid brytning i plan gränsyta När en vågfront träffar en optisk gränsyta, kommer dess krökning att ändras. Figuren nedan visar ett sådant exempel för en plan yta. n är brytningsindex före ytan och n är brytningsindex efter ytan. I detta fall är n större än n (n >n ) vilket innebär att ljuset går snabbare i n än i n. Om gränsytan inte hade funnits hade strålknippet från punkten B (objektet) haft den vågfront som i figuren går genom M (röd). Men eftersom ljuset färdas snabbare i n kommer mitten av vågfronten (som träffar gränsytan först) att ha hunnit en längre sträcka (fram till M ) när kanterna av vågfronten når ytan. Den nya vågfronten efter ytan kommer alltså att vara mer krökt och se ut att komma ifrån punkten B (bilden) istället (blå). Figur 4.6 Vågfrontens krökningsändring vid plan gränsyta

19 Optik 1 17 Resonemanget ovan kan också beskrivas i formler. Eftersom det tar lika lång tid för ljuset att gå sträckan AM i brytningsindex n som att gå AM i n så är: AM v AM nam nam v Sag-formeln för vågfronterna blir: Ry Ry AM s och AM s där R är vågfrontens krökning före brytning i ytan (R=1/l) och R är vågfrontens krökning efter brytning (R =1/l ). Detta ger: nam nam ns ns 2 2 Ry Ry n n nr nr 2 2 n n l l Vergens (Samma som tidigare!) Vågfrontskrökningen multiplicerat med brytningsindex, nr=n/l, kallas för strålknippets vergens och brukar betecknas med L. Uttryckt i vergenser blir formeln för brytning i plan gränsyta: L L där n L och l n L l L är alltså vergensen hos infallande ljus (före brytning i ytan) och L är vergensen på ljuset efter brytning i ytan. Enheten för vergens är dioptri [D] och motsvarar att man anger l och l i meter. Exempel: n 4 / 3 Vergens L 0,67 D Vergens l 2 n 1 L 10 D l 0,1 (Under teckenkonventioner nedan ska vi titta på anledningen till minustecknet i första exemplet) Eftersom brytningsindex för luft är 1,0 kommer vergensen på ljuset i luft att vara samma sak som vågfrontskrökningen. Som formeln L L visar så ändrar en plan gränsyta inte ljusets vergens, trots att den ändrar vågfrontskrökningen. Däremot ändrar krökta ytor ljusets vergens!

20 Optik 1 18 Paraxial approximation I princip kan man ta reda på hur ljuset propagerar efter olika gränsytor genom att följa en massa strålar med hjälp av brytningslagen ( nsini nsin i, se figuren nedan), s.k. ray tracing. Detta tar dock lång tid och görs normalt med dator. Ofta är dock vinklarna små så att man kan räkna i s.k. paraxial approximation. Det innebär att vi använder en förenklad form av brytningslagen, ni n i, som gäller för små vinklar i och i. Vi använder även att ytornas sag är små så att de approximativa sag-formlerna ovan gäller för ytans krökning. I paraxial approximation antar vi att för alla infalls-, brytnings- och strålvinklar mot axeln gäller: sin i tani i (4.3) Observera att i paraxial approximation måste vinklarna anges i radianer! * Paraxial approximation gäller för avbildning med strålar som kommer in med liten vinkel mot ytans normal, d.v.s. alla strålar ska gå nära systemets optiska axel; ytans apertur (öppning) får inte vara för stor och objektspunkter får inte ligga för långt bort från optiska axeln (se figuren nedan). Den optiska axeln går genom ytans krökningscentrum och mitt igenom ytans apertur. En stråle längs den optiska axeln kommer inte att ändra riktning när den passerar ytan (eftersom den kommer in längs med ytans normal, d.v.s. har infallsvinkel i = 0). Om det finns flera ytor är den optiska axeln linjen genom alla ytors krökningscentrum. Optiska system som på detta sätt har alla krökningscentra på gemensam axel kallas för centrerade och symmetriska Figur 4.7 Brytning i sfärisk gränsyta. n, n = brytningsindex före / efter ytan; C= krökningscentrum; B 1 = objektpunkt utanför optiska axeln; B 2 = objektpunkt på optiska axeln; B 2 = bilden av B 2 ; i, i = strålens vinkel före / efter brytning Tabell 3.1 på sidan 64 i Optics anger hur stort fel den paraxiala approximationen ger vid olika infallsvinklar, ju större vinkel desto större fel, t.ex. ger en vinkel i=10 (=0,174 radianer) ett fel på 1%, vilket ofta anses vara approximationens gräns. När vinklarna blir stora kommer strålarna inte längre att samlas till en bildpunkt och bilden blir suddig p.g.a. aberrationer (se figur 2.10, 3.10 och 3.11 i Optics). Detta hindrar dock inte att man använder paraxial approximationen även när vinklarna är större för att få ungefärligt läge och storlek på bilden och sedan utför man ytterligare beräkningar för att bedöma bildens kvalitet. Mer om det i nästa kurs. I resten av de här kursen kommer vi räkna och rita i paraxial approximation. * Vi använder här den s.k. små-vinkel-approximationen, som innebär att sinus och tangens för en vinkel kommer att vara väldigt nära vinkels egen storlek given i radianer. Att sin i tani i, kan man förstå genom att titta på i i i 2i serieutvecklingen för sinus och tangens: sin i i och tan i i när i är litet, är i och i 5 så små att vi kan försumma dem. Observera att serieutvecklingen av cosinus ser annorlunda ut: 2 4 i i cos i 1... om vinkeln i är väldigt liten så blir alltså cos i

21 Optik 1 19 Föreläsning 5 (kap i Optics) Brytning i sfärisk gränsyta Teckenkonventionen För att kunna räkna på ljusets brytning måste vi kunna skilja på avstånd som är före och efter ytan och över och under optiska axeln. Detta görs med hjälp av positiva och negativa sträckor, där tecknet anger riktningen.* Figuren nedan visar ett exempel med brytning i sfärisk gränsyta. Figur 5.1 Teckenkonventionen OBS: Vi ritar alltid figurer med infallande ljusets riktning från vänster till höger! Ytans vertex, A, definieras som punkten där optiska axeln skär ytan Vertex används som mittpunkt (origo) för koordinatsystemet och positiva sträckor är åt höger och uppåt. Riktningen på en sträcka markeras genom en dubbelpil i den ände som är i sträckans riktning (se fig.). Avstånd längs optiska axeln Sträckor längs optiska axeln mäts från vertex. Sträckor riktade åt höger är positiva (i infallande ljusets riktning). Vi anger t.ex. objektsavståndet, l, som avståndet från vertex, A, till objektet, B, som i figuren är negativ eftersom den går åt vänster. Bildavståndet, l, är avståndet från vertex till bilden, B, och är i figuren positiv. Ytans krökningsradie, r, mäts från vertex till krökningscentrum och är här positiv. Teckenkonventionen gäller även krökningsradier på vågfronter; krökningsradien mäts från vågfronten till krökningscentrum. Det betyder att: Negativ vergens divergent strålknippe (ljuset sprids ut ifrån en punkt) Positiv vergens konvergent strålknippe (ljuset samlas ihop mot en punkt) Avstånd vinkelräta mot axeln Sträckor vinkelräta mot axeln mäts från optiska axeln. Sträckor riktade uppåt är positiva. Strålen i figuren ovan träffar ytan på höjden, y, som mäts från axeln till där stålen träffar och är riktad uppåt och därför positiv. * Det finns även teckenkonventioner för vinklar, men eftersom vi använder dem så sällan nämns det endast som en fotnot här. Vinklar mäts från stråle till optisk axel och från normal till stråle (se figuren ovan). Vinklar är positiva moturs och negativ när de går medurs:

22 Optik 1 20 Exempel på paraxial avbildning i plan gränsyta: Titta på ett objekt som ligger 1,0 m under vattenytan. Var hamnar bilden? Givet n = 4/3 n = 1 l = -1,0 m för att hitta bildläget, B, kan vi använda L L med L n l och n 4 / 3 L 1,33 D l 1,0 m L L 1,33 D n 1 l 0,75 m L 1,33 D Figur 5.2 Objekt i vatten L n l Detta är en s.k. virtuell bild eftersom strålarna inte möts i B på riktigt utan bara ser ut att gå ihop där. Paraxial brytning och avbildning i sfärisk gränsyta Vi ska nu använda paraxial approximation för att ta fram en formel för hur ljus bryts i sfäriska ytor. I figuren nedan är en stråle från objektet B med infallsvinkeln i och strålen mot bilden B, med brytningsvinkeln i, utsatta tillsammans med hjälpvinklarna u, u och a.* Figur 5.3 Paraxial brytning i sfärisk gränsyta Vi börjar med att ta fram ett förhållande mellan vinklarna. Eftersom vinkeln a i figuren är en yttervinkel till både triangel DCB och triangel DCB så får vi: i a u ia u * För att underlätta härledningen är figuren ritad så att alla vinklar och sträckor är positiva (om objektet hade varit reellt och legat framför ytan hade l och vinkeln u varit negativa).

23 Optik 1 21 Nu kan vi använda brytningslagen i paraxial approximation och få: ni ni n a u n a u nu nu n n a För att skriva detta uttryck i avstånd istället för i vinklar behöver vi uttryck för hjälpvinklarna u, u och a. Vi antar förstås att alla vinklar är små. Vi antar också att vi kan försumma ytans sag (d.v.s. avståndet mellan A och N antas vara mycket litet) så att avstånden NB l, NB l och NC r. Då får vi: u tan u y l u tan u y / l a tan a y r Dessa tre vinklar insatta i den paraxiala brytningslagen ger: y y y n n n n l l r Här kan vi förkorta med y på båda sidor så att uttrycket blir oberoende av vilken höjd strålen träffar ytan på (oberoende av y). Det innebär att alla strålar som först var på väg mot det virtuella objektet B kommer att ändra riktning i ytan så att de istället samlas i punkten B. B blir alltså en bild av B och vi har fått avbildningsformeln för sfärisk gränsyta: n n n n l l r Avbildning i sfärisk gränsyta (5.1) Uttryckt i vergenser kan avbildningsformelen skrivas som L L n n R. Uttrycket n anger hur mycket ljusets vergens ändras vid brytning i ytan. Vi inför beteckningen F för det: F n n R n n r Styrkan för sfärisk gränsyta (5.2) och kallar F för ytans brytkraft (ytans styrka) som anges i dioptrier [D]. Brytkraften är positiv för ytor som tenderar att ge konvergent ljus (som samlar ljuset) och negativ för ytor som ger divergent ljus (som sprider ljuset). Plana ytor ändrar inte ljusets vergens och har därför brytkraften 0 D. n R Sammanfattningsvis kan avbildningsformeln för sfärisk gränsyta skrivas som: L' L F Kursens viktigaste formel! (5.3) med bildvergens L, objektsvergens L och brytkraft F i dioptrier. Formeln ser likadan ut även för speglar, linser och komplexa optiska system, men man använder olika uttryck för att räkna ut brytkraften. Ännu så länge har vi tagit fram brytkraften för en yta: F sfärisk yta n n F plan yta 0 D (en plan yta har oändlig krökningsradie, r = m, R = 0 D) r

24 Optik 1 22 Fokalpunkter och fokallängd Avbildningsformeln innebär att för varje objektspunkt B finns en unik bildpunkt B. Eftersom ljuset följer samma väg oberoende av vilket håll det går åt gäller även det omvända, d.v.s. ett objekt vid B ger en bild vid B om vi låter ljuset gå åt andra hållet. B och B kallas därför för konjugat eller konjugatpunkter. Det finns två konjugatpunkter som är speciellt viktiga: Bakre fokalpunkten/fokalplanet Med objekt på axeln, oändligt långt bort, hamnar bilden i bakre fokalpunkten (fokus, brännpunkt), F : Figur 5.4 Bakre fokalpunkt till en positiv yta Figur 5.5 Bakre fokalpunkten till en negativ yta Avståndet från ytans vertex till F kallas för bakre fokallängden(brännvidden), f. Objekt i oändligheten, l = m, innebär parallellt ljus in, L = 0 D, och bild i F. Avbildningsformeln ger: n L F och med L och l f fås l n n F f f F Översta bilden visar en yta med positiv brytkraft (F>0), vilket innebär att den bakre fokalpunkten ligger bakom ytan (f >0). För ett objekt i oändligheten bildas därför en reell bild i F. Den nedre bilden visar en yta med negativ brytkraft (F<0), vilket innebär att den bakre fokalpunkten ligger framför ytan (f <0). För ett objekt i oändligheten bildas därför en virtuell bild i F. Planet genom bakre fokalpunkten kallas bakre fokalplanet. Främre fokalpunkten/fokalplanet När bilden på axeln hamnar oändligt långt bort, ligger objektet i främre fokalpunkten (fokus, brännpunkt), F:

25 Optik 1 23 Figur 5.6 Främre fokalpunkten till en positiv yta Figur 5.7 Främre fokalpunkten till en negativ yta Avståndet från ytans vertex till F kallas för främre fokallängden (brännvidden), f. Bild i oändligheten, l = m, innebär parallellt ljus ut, L = 0 D, och objekt i F. Avbildningsformeln ger: n L F och med L och l l n n F f f F f fås Översta bilden visar en yta med positiv brytkraft (F>0), vilket innebär att den främre fokalpunkten ligger framför ytan (f<0). För en bild i oändligheten krävs därför ett reellt objekt i F. Den nedre bilden visar en yta med negativ brytkraft (F<0), vilket innebär att den främre fokalpunkten ligger bakom ytan (f>0). För en bild i oändligheten krävs därför ett virtuellt objekt i F. Planet genom främre fokalpunkten kallas främre fokalplanet. Sammanfattning fokalpunkter Sambanden för bakre och främre fokallängd beror alltså på systemets brytkraft, F, och brytningsindex bakom och före systemet, n och n: n n f f F F vilket ger förhållandet mellan fokallängderna: f n (5.5) f n Fokalpunkterna är till stor nytta även när objekt eller bild inte ligger där. Vid strålkonstruktion, när man ska följa olika strålar från objektet, kommer en stråle som faller in parallellt med optiska axeln att (5.4)

26 Optik 1 24 brytas till F och en stråle som kommer in genom (eller siktar mot) F kommer ut parallellt med optiska axeln (se figurerna ovan). Exempel på avbilning i sfärisk gränsyta En fisk befinner sig vid bakkanten av en vattenfylld sfärisk skål med radien 2 dm. Var hamnar bilden? Givet: n = 4/3 n = 1 r = 0,2 m l = 0,4 m. F = (n n)/r = 1,66 D L = n/l = 3,33 D L = L + F = 1,67 D l = 0,6 Svar: bilden blir virtuell och hamnar o,6 m framför gränsytan. Beräkningar:

27 Optik 1 25 Föreläsning 6 (kap i Optics) Avbildning i sfärisk gränsyta och speglar Avbildning i sfärisk gränsyta Hittills har vi bara avbildat punktformiga objekt som ligger på den optiska axeln, men de flesta objekt har en storlek d.v.s. består av mer än en punkt. Oftast ritar man objektet som en stående pil, som i figuren nedan, och följer strålar från toppen av objektet (betecknat med Q i figuren). Strålen från Q genom C kan ses som en ny optisk axel så att vi kan använda samma avbildningsformel som tidigare för att hitta bilden Q. I paraxial approximation ligger bilderna B och Q ligger i samma plan så länge som objektpunkterna B och Q gör det. Strålkonstruktion Figur 6.1 Avbildning och strålkonstruktion i sfärisk gränsyta När vi strålkonstruerar ritar vi ofta strålar med stora vinklar för att det skall gå att se något i figuren, men egentligen tänker vi oss strålar nära axeln (paraxial approximation). Vid strålkonstruktionen försummar vi ytans sag och bryter alla strålar i ett och samma plan genom ytans vertex, A (se figuren). Strålar igenom ytans krökningscentrum, C, går obrutna eftersom de kommer in längs med ytans normal. Infallande strålar parallellt med optiska axeln går ut genom/från bakre fokalpunkten F. Infallande strålar mot/genom främre fokalpunkten F kommer ut parallellt med optiska axeln. Förstoring Strålen från Q genom ytans vertex A, mitt i strålknippet, kallas huvudstrålen. Brytningen av huvudstrålen ges av brytningslagen: w n nw nw w n Genom att använda geometrin i figuren ovan kan vi även ta fram uttryck för hur storleken på bilden, h, beror på storleken på objektet, h: h l w lw Triangeln B AQ ger att: tan för små vinklar i radianer Triangeln BAQ ger att: h l tan w för små vinklar i radianer lw (6.1)

28 Optik 1 26 Med hjälp av dessa uttryck och brytningen av huvudstrålen ovan, får vi bildens laterala förstoring, m: n h lw nl l L m h lw nl n L l Det finns även ett alternativt sätt att ta fram förstoringen där man istället för att använda l och l anger objekts- och bildavstånd från främre och bakre fokalpunkten och betecknar dessa som x och x. Figur 6.2 Newtons relation Från de streckade, likformiga trianglarna i figuren ovan kan förstoringen även skrivas som: h x f m h f x xx ff och ur detta uttryck kan vi även få fram att Den sista formeln kallas för Newtons relation och kan användas som ett alternativ till avbildningsformeln. Varianterna på formeln för förstoringen är speciellt användbara om man bara har objekts- eller bildavståndet och söker förstoringen. Sammanfattning av formler för avbildning (Alla utom den sista formeln gäller i alla avbildande system): n n L L l l bildvergens Objekt- och L L F Avbildningsformeln n f F fokallängd h L x f m h L f x n f Främre och bakre F Lateral förstoring xx ff Newtons relation F sfärisk yta n n Styrkan för sfärisk gränsyta. r (6.2)

29 Exempel på avbildning i sfärisk gränsyta Optik 1 27 En 2 cm stor fisk befinner sig vid bakkanten av en vattenfylld sfärisk skål med radien 2 dm. Hur stor blir bilden av fisken? Givet: n = 4/3, n = 1 r = 0,2 m l = 0,4 m. h = 0,02 m Beräkningar: F = (n n)/r = 1,66 D L = n/l = 3,33 D L = L + F = 1,67 D m = L/L = +2 (m>0, rättvänd bild) h = mh = 0,04 m Svar: Bilden av fisken blir virtuell och hamnar 0,6 m framför glasskålens yta och bilden blir rättvänd och 4 cm stor. Paraxial reflektion i sfärisk spegel Vid reflektion i en spegel är det reflektionslagen som ger strålens riktning efter att den träffat spegeln. Reflektionslagen ger i = i Figur 6.3 Reflektion i sfärisk spegel Om vi jämför reflektionslagen med paraxiala brytningslagen, ni = n i ser vi att de blir lika om vi sätter n = n i brytningslagen. (Motsvarar samma brytningsindex efter ytan som före eftersom ljuset reflekteras, minus eftersom ljuset går baklänges. Rimligt.) Det betyder att om man byter ut n mot n i alla formler för sfärisk gränsyta så får man formlerna för sfärisk spegel!

30 n n 2n l l r n L l F sfärisk spegel n L l Optik 1 28 Avbildningsformeln för sfärisk spegel Objekt och bildvergens 2n Styrkan för sfärisk spegel. r L L F Avbildningsformeln OBS! Konkava speglar (r<0) har positiv styrka, de gör ljuset mer konvergent. Konvexa speglar (r>0) har negativ styrka, de gör ljuset mer divergent. Fokalpunkter till sfäriska speglar Ett objekt i oändligheten (l=, L=0) ger bild i bakre fokalpunkten, F (se gröna strålar med grön pil i figurerna nedan). Objekt i främre fokalpunkten, F, ger bild i oändligheten (l =, L =0) (se gröna strålar med röd pil i figurerna nedan). Figur 6.4 Fokalpunkter till sfäriska speglar För speglar är främre och bakre fokalpunkterna (F och F ) alltid samma punkt: n r f f (6.3) F 2 Fokalpunkterna ligger alltså mitt emellan spegeln och krökningscentrum.

31 Optik 1 29 Avbildning i sfäriska speglar Figur 6.5 Avbildning i sfärisk spegel Strålkonstruktion Stråle parallell med optiska axeln reflekteras genom bakre fokalpunkten. Stråle genom främre fokalpunkten reflekteras parallellt med optiska axeln. Stråle genom krökningscentrum reflekteras tillbaka i samma riktning. Stråle som träffar där optiska axeln skär spegeln reflekteras med samma vinkel som den kom in. Förstoring Vid avbildning av ett stort objekt får man också förstoring enligt m = h h = l = nl l nl = L L Sammanfattning formler för avbildning i spegel Minnesregel: sätt n = n i formler för sfärisk gränsyta n L l n L Objekt och bildvergens l L L F Avbildningsformeln n r f f Främre och bakre fokallängd F 2 h L x f m h L f x Lateral förstoring xx ff Newtons relation F sfärisk spegel 2n Styrkan för sfärisk spegel. r (6.4)

32 Optik 1 30 Föreläsning 7 (kap i Optics) Avbildning i tunna linser Sfäriska linser En sfärisk lins består av två sfäriska brytande ytor. Figur 7.1 Sfärisk lins Linjen genom ytornas krökningscentrum kallas linsens optiska axel. Vi numrerar ytorna i den ordning ljuset träffar dem. Eftersom infallande ljuset alltid ska komma från vänster i figuren så får kallas den vänstra ytan för yta 1 och den högra yta 2. A 1 = främre vertex A 2 = bakre vertex I en sfärisk lins har de två ytorna styrkor enligt: F 1 = (n 1 n 1 ) r 1 F 2 = (n 2 n 2 ) r 2 OBS en ytas styrka är oberoende hur man vänder den! (Vänd på linsen i figuren ovan och tänk igenom vad som händer med tecken på krökningsradier och hur index ändras) I figuren har det gråmarkerade materialet det högre brytningsindexet (t.ex. glas). Positiva ytor är sådana där det högre brytningsindexet (glaset) buktar utåt. Ytorna A och B är positiva ytor. Ytorna C och D är negativa ytor Figur 7.2 Sfäriska ytors styrka

33 Optik 1 31 För tunna linser (försumbar tjocklek) gäller att hela linsens styrka ges av (visas nedan): F F1 F2 Tunna linsens styrka (7.1) En lins med en viss styrka kan alltså se ut på flera sätt. Exempel: F = +5D = 7 2 = = = 2,5 + 2,5 = = = F = 5D = = = 3 2 = 2,5 2,5 = 2 3 = 0 5 = +2 7 I figurerna nedan visas positiva och negativa linser, alla med samma styrka, men med olika så kallad formfaktor. (Formfaktorn påverkar inte paraxial avbildning, men bildkvaliteten varierar). (a) Meniskformad (b) Planokonvex (c) Bikonvex (d) Ekvikonvex (e) Bikonvex (f) Planokonvex (g) Meniskformad Figur 7.3 Olika positiva linser med samma styrka (a) Meniskformad (b) Planokonkav (c) Bikonkav (d) Ekvikonkav (e) Bikonkav (f) Planokonkav (g) Meniskformad Figur 7.4 Olika negativa linser med samma styrka Figurerna ovan visar linser av glas omgivna av luft (d.v.s. högre brytningsindex i linsen). Då gäller att: En positiv lins är tjockare på mitten medan en negativ är tunnare. Tunna linsens styrka/brytkraft För att ta reda på hur man avbildar genom en tunn lins kan vi avbilda genom de två sfäriska gränsytorna var för sig. Antag att linsens tjocklek, t, är försumbar. Figur 7.5Tunna linsens styrka

34 Optik 1 32 L 1 = L 1 + F 1 L 2 = L 1 (t = 0) (vergensen efter första ytan är samma som vergensen in mot andra ytan) L 2 = L 2 + F 2 => L 2 = L 1 + (F 1 + F 2 ) (parentesen motsvarar styrkan F för hela linsen) Avbildningen genom båda ytorna samtidigt ges alltså av: n L l n L l Dessa formler gäller alltid för tunn lins med brytningsindex n g! Det är mycket vanligt att linser omges av luft, det gäller t.ex. alla glasögon, men normalt också alla linser som ingår i olika optiska system som t.ex. kikare, mikroskop, kameror mm. Eftersom det är så ovanligt med något annat än luft runt linsen är det lämpligt att förenkla sista uttrycket ovan. Antag en tunn lins i luft (n = 1, n = 1) ng ng F ng 1 r1 r2 r1 r2 Detta uttryck för tunna linsens styrka kallar Linsmästarformeln och gäller endast tunn lins i luft. Fokalpunkter till tunna linser Bakre fokalpunkten/fokalplanet Objekt- och bildvergens L L F Avbildningsformeln 1 2 ( ngn) ( nng) r1 r2 F F F Styrkan för tunn lins Objekt i oändligheten på axeln, ger bild i bakre fokalpunkten F. (7.2) (7.3) Figur 7.6 Bakre fokalpunkten till en positiv tunn lins

35 Optik 1 33 Figur 7.7 Bakre fokalpunkten till en negativ tunn lins Notera sättet vi ritar tunna positiva respektive negativa linser! Från avbildningsformeln får vi: L = 0 och l = f => L = F => n l = F => l = n F n f F Linsens bakre fokallängd (Om linsen är i luft så är Planet genom bakre fokalpunkten kallas bakre fokalplanet. n 1) (7.4) Främre fokalpunkten/fokalplanet Objekt i främre fokalpunkten F, ger bild på axeln i oändligheten. Figur 7.8 Främre fokalpunkten till en positiv tunn lins Från avbildningsformeln får vi Figur 7.9 Främre fokalpunkten till en negativ tunn lins l = f och L = 0 => L = F => n l = F => l = n F

36 Optik 1 34 n f F Linsens främre fokallängd (Om linsen är i luft så är Planet genom främre fokalpunkten kallas främre fokalplanet. n 1) (7.5) OBS: Negativa linser har sina fokalpunkter på fel sida av linsen jämfört med namnet (bakre fokalpunkten ligger framför den negativa linsen och tvärtom). Främre och bakre fokallängden för en tunn lins i luft är lika långa men går åt varsitt håll: Om man bara säger fokallängd (alltså inte bakre/främre) för en vanlig lins i luft är det bakre fokallängden man menar. Avbildning med tunna linser (i luft) f f (Nedanstående gäller även om linsen inte är i luft om det inte uttryckligen framgår att så inte är fallet). Figur 7.10 Avbildning i tunn lins. (Strålen mitt genom linsen går bara obruten om linsen om n n, exempelvis när linsen är i luft.) Strålkonstruktion 1. Infallande stråle parallell med optiska axeln går ut genom/från bakre fokalpunkten. 2. Infallande stråle mot/genom främre fokalpunkten går ut parallellt med optiska axeln. 3. Stråle mitt genom linsen går obruten. (Gäller bara om n n, exempelvis när linsen är i luft. Annars bryts strålen enligt brytningslagen nw nw) Förstoring Likformiga trianglar (se sfärisk gränsyta) ger att förstoringen ges av m = h h = L L = x f = f x Den sista likheten motsvarar Newtons relation: x x = f f

37 Optik 1 35 Sammanfattning av formlerna för avbildning i tunn lins (Alla utom den sista formeln gäller i alla avbildande system. Om linsen är i luft är nn' 1 ) n L l n L l Objekt- och bildvergens L L F Avbildningsformeln f n F n f F h L x f m h L f x Främre och bakre fokallängd Lateral förstoring xx ff Newtons relation ( ngn) ( nng) r1 r2 F F F Styrkan för tunn lins med brytningsindex n g 1 2 (7.6) Ett specialfall l 2 f Om objektsavståndet är dubbla (främre) fokallängden (, x f ) är även bildavståndet dubbla (bakre) fokallängden (, x f ) och laterala förstoringen är m = 1. Detta kallas 1:1 avbildning. l 2 f Bildstorlek vid avlägset objekt Figur :1 avbildning Ofta ligger objektet så långt bort att vi kan betrakta det som oändligt långt bort (avlägset objekt). Avlägsna objekt måste vara mycket stora för att vi skall kunna se dem (jämför solen). I stället för att ge objektstorleken (h) på ett avlägset objekt brukar man därför ange den synvinkel objektet ser ut att uppta: Figur 7.12 Synvinkel till avlägset objekt

38 Optik 1 36 Synvinkeln till ett avlägset objekt ges av: objektets höjd tan w (7.7) avstånd till objektet Bilden av ett avlägset objekt hamnar i bakre fokalplanet. Figuren nedan visar hur ett avlägset objekt med synvinkeln w avbildas i tunn lins. Geometri från figuren ger: h tan w f => Figur 7.13 Bildstorlek vid avlägset objekt h f tan w små vinklar f w OBS: wi radianer! (7.8) Formel 7.8 gäller alla avbildningssituationer med avlägset objekt, även sfärisk gränsyta, speglar och sammansatta linssystem. Objekt kan betraktas som avlägsna om avståndet till objektet är mycket större än fokallängden.

39 Optik 1 37 Föreläsning 8 (kap i Optics) Strålkonstruktion och mellanbilder Objekt och bilder Figur 8.1 Objekt- och bildrymd Objekt intill linsen (L = ± ) både reellt och virtuellt objekt Objekt i objektsrymden (L<0) reellt objekt Objekt i oändligheten (L=0) både reellt och virtuellt objekt Objekt i bildrymden (L>0) virtuellt objekt Bild intill linsen (L = ± ) både reell och virtuell bild Bild i objektsrymden (L <0) virtuell bild Bild i oändligheten (L =0) både reell och virtuell bild Bild i bildrymden (L >0) reell bild Bildens position ges av avbildningsformeln: L = L + F Figur 8.2 Bildens position positiv lins

40 Optik 1 38 Figur 8.3 Bildens position negativ lins OBS: Om objektet ligger helt intill linsen (l = 0, L = ± ), så hamnar bilden också intill linsen (l = 0, L = ± ), och förstoringen blir m = +1. Strålkonstruktion i tunn lins I figurerna nedan har bilden strålkonstruerats fram för alla de sex olika situationer som beskrivs i figurerna ovan. Här har vi antagit att det är samma brytningsindex före och efter linsen, exempelvis luft. Se till att öva på att noggrannt göra alla dessa strålkonstruktioner själv! I varje figur har tre strålar dragits: (1) Stråle in parallell med optiska axeln bryts genom/från bakre fokalpunkten Ritad blå i figurerna nedan. (2) Ståle in genom/mot främre fokalpunkten bryts parallellt med optiska axeln Ritad grön i figurerna nedan. (3) Stråle in mitt genom linsen går obruten (gäller endast om n=n ) Ritad röd i figurerna nedan. Figur 8.4 Reellt objekt och reell bild i positiv lins

41 Optik 1 39 Figur 8.5 Reellt objekt och virtuell bild i positiv lins Figur 8.6 Virtuellt objekt och reell bild i positiv lins Figur 8.7 Reellt objekt och virtuell bild i negativ lins

42 Optik 1 40 Figur 8.8 Virtuellt objekt och virtuell bild i negativ lins Figur 8.9 Virtuellt objekt och reell bild i positiv lins Flera tunna linser eller gränsytor mellanbilder Om man har ett system av flera tunna linser eller gränsytor kan man avbilda genom en lins/yta i taget. Bilden av objektet efter första linsen/ytan kallas för en mellanbild som sedan blir objekt för efterföljande lins eller yta. Så fortsätter man att avbilda genom hela systemet tills man hittat den slutliga bilden. För att hålla reda på avbildningarna är det viktigt att använda bra beteckningar. En rekommendation är rita en tydlig figur och att numrera linserna/ytorna och använda linsens/ytans nummer som index på l, l, h, h mm.(se figuren nedan).

43 Optik 1 41 Figur 8.10 Avbildning med mellanbild Geometri från figuren ger att: d l l 1 2 (d är ett positivt avstånd, men l 2 är negativ, därav minustecknet) Steg för steg beräkning av avbildning genom flera linser: (1) L 1 L1 F1 (2) l 2 l 1 d (3) L 2 L2 F2 Upprepa steg (2) och (3) om det är fler än två linser. Om det är fler än två linser kan det vara lämpligt att kalla avstånden d 12, d 23 osv. Total förstoring: h h h (8.2) mtot m1 m2 h1 h1 h2 Är det fler än två linser är det bara multiplicera med ytterligare förstoringar av mellanbilder. Tunna linser tätt ihop (d=0) Om två tunna linser sitter tätt ihop är vergensen efter den första linsen, L 1, samma sak som vergensen in mot andra linsen, L 2 : (8.1) => L 2 = L 1 => L 2 = L 2 + F 2 = L 1 + F 2 = L 1 + F 1 + F 2 Man kan alltså avbilda direkt genom båda linserna tillsammans och den totala styrkan är F F F två tunna linser tätt ihop (8.3) tot 1 2 Är det fler än två tunna linser som sitter tätt ihop är det bara att addera alla linsernas styrkor

44 Optik 1 42 Allmän strålkonstruktion När man strålkonstruerar genom flera linser kan man välja att byta till nya strålar i varje mellanbild (se figuren ovan) och på så sätt återigen välja att rita de tre enkla strålarna. Ibland är det dock nödvändigt att följa en allmän stråle genom en lins (grön stråle i figurerna nedan). Det gör man genom att dra obrutna hjälpstrålar genom linsens mitt (röd respektive blå stråle i figurerna nedan). Figur 8.11 Strålkonstruktion med hjälpstrålar Infallande strålar från/mot samma punkt i främre fokalplanet blir parallella efter linsen/ytan (blå hjälpstråle). Parallella infallande strålar bryts till samma punkt i det bakre fokalplanet (röd hjälpstråle). Prismaeffekt i tunn lins För en enda stråle kan avböjningen i en tunn lins liknas vid den i ett prisma. Det effektiva prismats toppvinkel ökar från mitten till kanten på linsen (se figuren nedan). En negativ lins fungerar som ett prisma vänt med basen mot linsens kant. En positiv lins fungerar som ett prisma vänt med basen mot linsens centrum. Figur 8.12 En tunn lins kan ses som en serie prismor med ökande toppvinkel För att bestämma den avböjningsvinkel en stråle får när den träffar en lins på ett visst avstånd från linsens centrum kan vi titta på ett enkelt fall där strålen faller in parallellt med axeln:

45 Optik 1 43 Figur 8.13 Prismaeffekt i tunn lins Avböjningsvinkeln v ges av: tan v y yf f (8.4) Prismaeffekten uttryckt i prismadioptrier (se Föreläsning 3 ovan): P 100 tan v 100 y F (med P i [Δ], y i [m] och F i [D]) P y F (med P i [Δ], y i [cm] och F i [D]) (8.5) Prismaeffekten i prismadioptrier ges alltså av linsens styrka (F) i dioptrier multiplicerad med decentreringen (y) i centimeter. Formlerna ovan gäller även om strålen inte faller in parallellt med optiska axeln

46 Optik 1 44 Föreläsning 9 (kap i Optics) Astigmatiska linser Icke-sfäriska ytor Figur 9.1 Sfärisk yta (ytan rödmarkerad) Hittills har vi bara använt sfäriska ytor, dvs delar av en sfär med en viss krökningsradie. Plana ytor är ett specialfall av sfärisk yta med oändlig krökningsradie, r. Men det finns andra ytor än sfäriska och plana ytor. Cylindriska och toriska ytor Figur 9.2 Cylindrisk yta och tre olika toriska ytor (ytan rödmarkerad) Cylindriska och toriska ytor behövs i glasögon för att korrigera brytningsfelet astigmatism. Dessa ytor har gemensamt att de har två olika krökningsradier (och två styrkor) samtidigt i två olika riktningar (riktningarna kallas huvudsnitt, se nedan). Asfäriska ytor Figur 9.3 Exempel på asfäriska ytor (ytan rödmarkerad)

47 Optik 1 45 Asfäriska ytor kallas sådana ytor som bara har en styrka (d.v.s. rotationssymmetriska runt optiska axeln) med som ändå inte är sfäriska. Figuren ovan visar två exempel på asfäriska ytor, men det finns många fler möjligheter. Asfäriska ytor används för att förbättra bildkvaliteten, exempelvis i kontaktlinser. Mer om detta i nästa kurs. Segmenterade ytor Figur 9.4 Fresnellins Segmenterade ytor är sådana där ytan är uppdelad och ser olika ut i olika delar av linsen. Ett exempel är så kallade fresnellinser där man egentligen har en sfärisk yta med en viss styrka, men där man tar bort onödigt glas för att spara vikt (se figuren ovan). Sådana linser används när linsen blir stor och tung, som i fyrar och vissa strålkastare. Man kan göra mycket tunna fresnellinser/fresnelprismor som man kan klistra på utanpå exempelvis ett glasöga. Ett annat exempel på segmenterade ytor är där ytans styrka är olika i olika delar av linsen. Sådana ytor används för att göra progressiva glasögon som både korrigerar för avstånd och läsning i samma lins. Cylindrisk yta En cylindrisk yta är en del av en cylinder (ett rör) med en krökningsradie r c. (a) (b) Figur 9.5 (a) Cylindrisk yta och (b) plano-cylindrisk lins Om vi tillverkar en lins med en cylindrisk yta och en plan yta (se figuren ovan) får vi en planocylindrisk lins. En sådan lins kallas också kortare för en cylindrisk lins, cylinderlins eller ibland bara för en cylinder. Huvudsnitt En planocylindrisk yta har inte samma krökning i alla riktningar som en sfärisk yta har. Om vi snittar (sågar itu) den plano-cylindriska linsen genom optiska axeln får vi istället en snittyta med olika krökning beroende på hur vi snittar. Det finns två så kallande huvudsnitt (HS) med minimal krökning (HS1 i figuren) respektive maximal krökning (HS2 i figuren). Det är alltid 90 mellan de två huvudsnitten, det gäller även toriska ytor som beskriv nedan. Cylinderlinsen i Figur 9.5 har två olika krökningsradier och styrkor, en för varje huvudsnitt. När man avbildar genom en cylinderlins får man betrakta varje huvudsnitt för sig.

48 Optik 1 46 HS1: I detta huvudsnitt är linsen plan, dvs krökningsradien är Avbildning ger L L F L, dvs strålarna i detta HS bryts inte alls. HS1 HS1 HS1 HS1 HS2: I detta huvudsnitt är linsen krökt med krökningsradien HS 2 g HS 2 g C r r och styrkan 1 0 D HS1 HS 2 r C och styrkan F ( n 1) / r ( n 1) / r (här har vi antagit att linsen är omgiven av luft). Avbildning ger L L F, dvs strålarna i detta HS bryts. HS 2 HS 2 HS 2 Med en cylinderlins får man alltså avbildning för strålar bara i ett huvudsnitt. Det kommer att innebära att bilden av ett punktobjekt blir en linje (se figuren nedan)! F HS Figur 9.6 Avbildning i cylinderlins Notera att det horisontella huvudsnittet har vertikal bildlinje. Bildlinjen ligger alltid 90 mot det huvudsnitt som har givit bilden. För att hålla ordning på vilket huvudsnitt som är vilket benämns de enligt TABO-schemat som används inom glasögonoptik (se figuren intill). För den plano-cylindriska linsen på sidan innan ligger alltså HS1 i 90 (vertikalt) och kallas HS90, medan HS2 ligger i 180 (horisontellt) och kallas HS180. Toriska linser Torisk kommer från torus som är benämningen på en yta som ser ut som en donut (ringmunk) eller en badring (se ytan till höger i Figur 9.2). En torisk yta har två olika krökningsradier i var sitt huvudsnitt. Till skillnad från en cylindrisk yta, som har ett plant huvudsnitt, så har den toriska ytan styrka i båda huvudsnitten. Alla de tre ytorna till höger i Figur 9.2 är toriska ytor. Om två cylinderlinser korsas och sätts tätt ihop får man styrka i båda huvudsnitten. Det motsvarar en torisk lins. Toriska och cylindriska linser kallas också astigmatiska linser.

49 Optik 1 47 Figur 9.7 Två korsade cylindrar motsvarar en torisk lins En torisk lins har olika styrkor i de två huvudsnitten ( FHS 1 FHS 2) Huvudsnitten ligger alltid vinkelrätt mot varandra (d.v.s. med 90 emellan) En cylindrisk lins är ett specialfall av torisk lins, där styrkan i ett av huvudsnitten är noll En sfärisk lins är ett specialfall av torisk lins, med samma styrka i alla snitt ( FHS 1 FHS 2) Två korsade cylindrar med samma styrka motsvarar en sfärisk lins Avbildning i astigmatiska linser Figuren nedan visar avbildning av ett punktobjekt på optiska axeln genom en torisk lins. Eftersom linsen har två olika styrkor, fås också två olika bildplan med linjebilder. Precis som tidigare ger horisontellt huvudsnitt (HS180) en vertikal bildlinje på avstånd l HS180 och vertikalt huvudsnitt (HS90) en horisontell bildlinje på bildavstånd l HS90. Figur 9.8 Astimatisk avbildning När man avbildar genom en astigmatisk lins tar man varje huvudsnitt för sig och räknar sedan precis som för sfäriska linser. L L F HS1 HS1 HS1 L L F (9.1) HS 2 HS 2 HS 2 Man kan med detta tankesätt lägga ihop styrkor för tunna astigmatiska linser tätt ihop eller avbilda med mellanbild genom flera astigmatiska linser efter varandra. Enda kravet är att alla linsernas

50 Optik 1 48 huvudsnitt ligger i samma riktningar. Det går bra att kombinera astigmatiska linser och sfäriska linser, eftersom en sfärisk lins alltid kan ses som två korsade cylindrar med samma styrka, med valfri riktning på huvudsnitten. Om huvudsnitten inte ligger i samma riktningar blir det mycket svårare! Det ingår inte i denna kurs. Minsta spridningscirkeln Avbildning i en astigmatisk lins innebär att det inte finns en skarp bild av ett punktobjekt utan istället fås två utdragna bildlinjer. Bästa möjliga bild av ett punktobjekt hamnar någonstans emellan dessa bildlinjer när suddigheten i båda riktningarna är lika stor. Den astigmatiska linsen har normalt cirkulär apertur (även om inte linsen själv är cirkulär så finns oftast ett cirkulärt hål som begränsar strålarna, t.ex. som i fallet glasöga + ögats pupill). Om linsen har cirkulär öppning är den bästa möjliga bilden vid astigmatisk avbildning en cirkel, den så kallade minsta spridningscirkeln. (Minsta spridningscirkeln finns utsatt i Figur 9.8). För att hitta var minsta spridningscirkeln ligger och hur stor den blir ritar vi en figur motsvarande den ovan, men med båda huvudsnitten i samma 2D-figur: Figur 9.9 Astigmatisk avbildning minsta spridningscirkeln Figurerna ovanför visar strålknippets utseende på olika avstånd efter linsen. Två par likformiga trianglar i figuren ger d l C l 1 l 2 l C D l l 1 2 Frrån detta kan läget (l C ) och storleken (d) hos minsta spridningscirkeln beräknas enligt: 2ll l C l L L L l2 C 2 l 2 l 1 d D l l 1 2 L 1 L 2 d D L L 1 2 D är den cirkulära linsens diameter. Notera att minsta spridningscirken ligger mitt emellan de två linjebilderna i dioptrier räknat. (9.2)

51 Optik 1 49 Kombinationer och glasögonrecept Vi så tidigare att en torisk lins med huvudsnittstyrkorna F HS180 korsade cylindriska linser med motsvarande cylinderstyrkor: och F HS 90 ger samma effekt som två Figur 9.10 Torisk lins uttryckt som två korsade cylindrar Vi kan också få samma astigmatiska lins genom att lägga ihop andra linser, tex. genom att lägga ihop en sfärisk lins och en negativ cylindrisk lins: Figur 9.11 Torisk lins uttryckt som sfär + neagitv cylinder (glasögonrecept) Det är alltså möjligt att beskriva samma astigmatiska lins på flera olika sätt: som huvudsnittstyrkor (dvs. två korsade cylindriska linser), som en sfär tillsammans med en positiv cylindrisk lins, eller som en mer positiv sfär tillsammans med en negativ cylindrisk lins (vilket är den svenska konventionen för att skriva glasögonrecept). Exempel: F HS90 = +6 D +3 D + +3 D +6 D F HS180 = +3 D +3 D +6 D 3 D Huvudsnittstyrkor Sfär Positiv cylinder Sfär + Negativ cylinder Ögats hornhinna är ofta toriskt, dvs. har ofta olika styrkor i olika huvudsnitt. Därför behövs astigmatiska linser för att korrigera ögats brytningsfel. Hittills har vi ritat huvudsnitten horisontella eller vertikala, men de kan ligga i andra vinklar också. Om man anger den toriska linsen som sfär och cylinder måste man även ange hur cylindern är orienterad, mer om det under avsnittet om korrektion av ögats brytningsfel på nästa föreläsning.

52 Optik 1 50 Föreläsning 10 Ögat och ögats brytningsfel Ögat Ögats styrka är ca. 60 D. Ögats optiska system består huvudsakligen av hornhinnan (kornea), som står för 2/3 av ögats styrka, och linsen, som står för den sista tredjedelen. Ögat kan öka sin styrka genom att ciliarmuskeln drar ihop sig så att linsen blir mer krökt och får större styrka. Detta kallas ackommodation. Mängden ljus in i ögat regleras genom att iris drar ihop sig eller öppnar sig och därmed ändrar pupillens diameter. Ögat är fyllt av material (kammarvätska + glaskropp) med brytningsindex nära vatten. Bilden i ögat registreras av näthinnan (retina) som täcker stora delar av ögats insida. Bäst synskärpa har näthinnan i fovea som utgör den centrala delen av gula fläcken (makula). Där har vi vårt centrala seende som vi använder vid exempelvis läsning. De perifera delarna av näthinnan har sämre upplösning och används huvudsakligen för orientering och för att upptäcka saker. För att ögat skall kunna se ett objekt skarpt måste ögats optik lägga bilden av det man vill se på näthinnan (i fovea). Om bilden av ett avlägset objekt hamnar framför eller bakom näthinnan i det avslappnade ögat (ingen ackommodation) har ögat ett brytningsfel. Reducerad ögonmodell Figur 10.1 Horisontell genomskärning av höger öga sett uppifrån När man räknar på avbildning i ögat behöver man en enkel modell eftersom ögats verkliga optiska system är komplext och varierar från individ till individ. Den enklaste tänkbara ögonmodellen är en så kallad reducerad ögonmodell, där ögats optiska system beskrivs av en enda sfärisk gränsyta mellan luft och vatten med styrkan 60 D. Reducerad ögonmodell: n = 1 n = 4 3 F Ö = +60D Figur 10.2 Normalsynt reducerad ögonmodell. Ögats längd kallas k. Vanliga formlerna för sfärisk gränsyta ger då att:

53 Optik 1 51 F Ö = n n r => r = 5.55 mm f Ö = n = mm F f Ö = n = mm F För att bilden av ett avlägset objekt skall hamna på näthinnan i den reducerade ögonmodellen måste bakre fokalpunkten ligga på näthinnan och ögats längd vara k =22,22 mm (ögats längd kallas vanligtvis k, se nedan under brytningsfel). Det ger ett normalsynt öga. Bildstorlek på näthinnan Låt ögat titta på ett avlägset objekt som står på optiska axeln, strålarna i figuren nedan kommer ifrån toppen av objektet (jämför Figur 7.12). Figur 10.3 Bildstorlek i ögat vid avlägset objekt (Notera hur vi ritar den reducerade ögonmodellen med hornhinnan och näthinnan som två raka streck.) Precis som tidigare (se ekvation 7.8) får vi h f tan w små vinklar f w (OBS w i radianer!) (10.1) Ö Ö Sambandet visar att synvinkeln mot ögat bestämmer bildstorleken på näthinnan! Synvinkeln till ett objekt avgör alltså hur stort det ser ut. Det gäller även för mer närliggande objekt när ögat ackommoderar. Brytningsfel (ametropi) Om bilden av ett avlägset objekt inte hamnar på näthinnan i det avslappnade ögat har ögat ett brytningsfel. I alla figurer nedan antas att ögat är avslappnat, dvs utan ackommodation. Normalsynthet (emmetropi) Figur 10.4 Emmetropt öga, avlägset objekt Det normalsynta (emmetropa) ögat avbildar ett avlägset objekt till en bild på näthinnan. Bakre fokalpunkten ligger på näthinnan och ögats längd, k, är lika lång som fokallängden, dvs k f. Ö

54 Optik 1 52 Närsynthet (myopi) Figur 10.5 Myopt öga, avlägst objekt Det närsynta (myopa) ögat är för starkt brytande/för långt så att avlägset objekt avbildas framför näthinnan. Bakre fokalpunkten ligger framför näthinnan och k' f ' Ö. Figur 10.6 Myopt öga, objekt i fjärrpunkten Alla människor har en fjärrpunkt, punctum remotum (betecknas M R ), som avbildas till näthinnan i det avslappnade ögat. En emmetrop person har fjärrpunkten i oändligheten medan en myop har sin fjärrpunkt framför ögat. Översynthet (Hyperopi) Figur 10.7 Hyperopt öga, avlägset objekt Det översynta (hyperopa) ögat ovan är för svagt brytande/för kort så att avlägset objekt avbildas framför näthinnan. Bakre fokalpunkten ligger bakom näthinnan och k' f ' Ö

55 Optik 1 53 Figur 10.8 Hyperopt öga, objekt i fjärrpunkten För en hyperop person ligger fjärrpunkten bakom ögat. Eftersom det avslappnade ögat är för svagt skulle en hyperop kunna ackommodera så att bilden av ett avlägset objekt hamnar på näthinnan. Det finns dock inga naturliga objekt som kan ligga i deras fjärrpunkt. Ljus kan inte komma in i ett hyperopt öga med rätt vergens utan hjälp av en positiv lins. Astigmatism Det astigmatiska ögat har ofta en torisk form på hornhinnan som leder till att ögat har två olika styrkor, i två huvudsnitt (astigmatismen kan också bero på linsen i ögat eller både och). Vi får då behandla varje huvudsnitt för sig och vi får också en fjärrpunkt för varje huvudsnitt: Figur 10.9 Fjärrpunkter i astigmatiskt öga I figuren ovan har vi antagit att huvudsnitten ligger i 0º och 90º och att båda huvudsnitten är myopa. Så behöver det förstås inte vara, även om det är lite extra vanligt att huvudsnitten ligger orienterade så i ett astigmatiskt öga. System- respektive byggnadsametropi Ett brytningsfel hos ögat innebär att bakre fokalpunkten till ögat inte ligger på näthinnan. Jämfört med den normalsynta reducerade ögonmodellen kan brytningsfelet bero på att ögat har fel längd (kallas byggnadsfel/byggnadsametropi) eller att styrkan är fel (systemfel/systemametropi), eller en kombination av båda. Om ögat är astigmatiskt måste det bero på att styrkan är olika i två huvudsnitt.

56 Optik 1 54 Föreläsning 11 Ögat och ögats brytningsfel, forts. Refraktion Avståndet till fjärrpunkten från ögat brukar betecknas k (se Figur 10.6 och Figur 10.8) och är det objektavstånd som ger en bild på bildavståndet k. Avbildning i ögat ger då: K ' K F (11.1) Ö (Det här är vanliga avbildningsformeln med L K 1/ k och L' K ' n'/ k ' ). K K' F motsvarar skillnaden mellan ögats längd i dioptrier och ögats styrka. 1 K k Ö (avståndet till fjärrpunkten i dioptrier) är ögats brytningsfel/refraktionsfel/refraktion. (11.2) För ett emmetropt öga så är Exempel: K 0 D. Ett öga har fjärrpunkten på 25 cm framför ögat. Vilken refraktion har ögat? k = 0,25 m ger K 1/ k 4,00 D. Svar: Ögat har brytningsfelet 4,00 D och är alltså närsynt. Korrektionsprincipen ( glasöga nedan kan lika gärna vara en kontaktlins) När ett öga med brytningsfel korrigeras med ett glasöga kan ögat inte längre se ett objekt direkt utan ögat ser den mellanbild som glasögat ger av objektet. Det innebär att glasögat måste lägga (mellan)bilden av det objekt ögat vill kunna se på ett avstånd från ögat där ögat ser skarpt. När vi korrigerar ett brytningsfel vill vi normalt att det avslappnade ögat med glasögat på skall kunna se objekt på långt avstånd skarpt. Korrektionsprincipen (avståndskorrektion): Glasögat lägger bilden av ett avlägset objekt i fjärrpunkten. Det betyder att glasögats bakre fokalpunkt ligger i M R. Figur 11.1 Korrektionsprincipen myopt öga Avståndet mellan ögat och glasögat, vd, kallas toppunktsavståndet (avståndet mellan glasögat och hornhinnans vertex, toppunkt) och har ett positivt värde. För glasögon är vd mm och för kontaktlinser är vd=0.

57 Optik 1 55 Från geometrin i figurerna ovan framgår att: Figur 11.2 Korrektionsprincipen hyperopt öga f G k vd (11.3) Styrkan som glasögat skall ha för att uppfylla korrektionsprincipen är alltså: F G 1 1 f k vd G Kontaktlinser (vd=0) För en kontaktlins (vd=0) får man att f k G och F G K, dvs styrkan på kontaktlinsen skall vara lika som ögats refraktion K. Ögats refraktion, K, kallas därför också kontaktlinsrefraktionen. Glasögon För glasögonkorrektion så är glasögonstyrkan mer negativ (kortare fokallängd) än motsvarande kontaktlins vid myopi och mindre positiv (längre fokallängd) vid hyperopi, se figurerna ovan och ekvation Uttrycket K 1/ ( k vd) kallas glasögonrefraktionen. Det motsvarar avståndet till G (11.4) fjärrpunkten i dioptrier mätt från glasögonplanet. För ett glasöga får vi då att FG KG, dvs att styrkan på glasögat skall vara lika som glasögonrefraktionen. Recept Det astigmatiska ögat har två refraktionsvärden, ett för varje huvudsnitt, K HS1 och K HS2. Glasögat som korrigerar ögat har då också två huvudsnittstyrkor F GHS1 och F GHS2. På Föreläsning 9 om astigmatiska linser har vi hittills ritat huvudsnitten horisontella eller vertikala. Men de kan ligga i andra vinklar också. Om man anger det astigmatiska glasögat/brytningsfelet som sfär och cylinder måste man även ange hur cylindern ligger. När man skriver recept görs detta genom att ange cylinderns axel (jämför med Figur 9.2) enligt TABO-schemat. För recept med negativ cylinder (som är standard i Sverige) ligger cylinderns axel längs det huvudsnitt som har mest positiv styrka / minst negativ styrka (det varmaste huvudsnittet), medan cylinder-styrkan ligger i det andra huvudsnittet. Sfärens styrka finns i båda huvudsnitten. För att helt beskriva en astigmatisk lins i ett glasögonrecept måste vi alltså ange: Sfär Cylinder Axel +6,00 D 3,00 D 90 (från exemplet på sid. 49)

58 Optik 1 56 I exemplen anges huvudsnitten och motsvarande huvudsnittstyrkor i figuren med TABO-schemat Exempel (samma exempel som på sid 49): Sfär +6,00 D Cylinder 3,00 D Axel 90 Exempel: Sfär 2,00 D Cylinder 1,25 D Axel 135 Komplettera själv nedan! Exempel: Sfär +1,00 D Cylinder 1,00 D Axel 60 Exempel: Sfär Cylinder Axel Ackommodation När vi ackommoderar och ringmuskeln runt linsen (ciliarmuskeln) i ögat drar ihop sig, minskar spänningen i de trådar (zonulatrådar) som linsen är upphängd med (se Figur 10.1). Linsen drar då ihop sig, blir mer krökt och ökar sin styrka. I den reducerade ögonmodellen sätter vi att det ackommoderade ögat har styrkan FÖ A, där A är ackommodationen i dioptrier. Den punkt som avbildas skarpt till näthinnan i det fullt ackommoderade ögat kallas närpunkten, punctum proximum, och betecknas M P :

59 Optik 1 57 Figur 11.3 Närpunkt i ackommoderat öga Avståndet till närpunkten från ögat brukar betecknas b (se Figur 11.3 Närpunkt i ackommoderat ögafigur 11.3) och är det objektavstånd som ger en bild på bildavståndet k i det ackommoderade ögat. Avbildning ger då: K B ( F A) (11.5) Ö (Vanliga avbildningsformeln med L B 1/ b, L K n / k och styrkan F FÖ A ). Om vi sätter ihop ekvation 11.1 och 11.5 får vi K B ( F A) K F => Ö Ö A K B (11.6) Ögats ackommodation i dioptrier (styrkeändringen) motsvarar alltså skillnaden i avstånden till fjärrrespektive närpunkt räknat i dioptrier. För ett myopt öga ligger både när- och fjärrpunkten framför ögat. För ett hyperopt öga ligger fjärrpunkten bakom ögat och närpunkten kan ligga antingen framför ögat eller bakom ögat beroende på hur stort brytningsfelet är och hur mycket ögat kan ackommodera. Figur 11.4 Ackommodationsområde. För det hyperopa ögat sträcker sig det markerade området via oändligheten Området mellan när- och fjärrpunkt kallas ögats acommodationsområde och är det området där ögat kan se ett objekt skarpt.

60 Optik 1 58 Föreläsning 12 (kap i Optics) Huvudplan Huvudplan Önskan: Tänk om alla optiska system vore sfäriska gränsytor eller tunna linser så att L = L + F alltid gällde! Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt! Den svarta lådan i figuren nedan representerar ett godtyckligt optiskt system med brytningsindex n före systemet och brytningsindex n efter. A och A i bilden markerar första och sista ytan i systemet. En infallande stråle parallell med optiska axeln (1) bryts genom systemet och går ut som stråle (1 ). En utgående stråle parallell med axeln (2 ) följs baklänges genom systemet och kommer in som stråle (2). A och A är systemets främre och bakre vertex Stråle (1): Figur 12.1 Huvudplan i ett optiskt system Om vi bara ser stråle (1) gå in i den svarta lådan och komma ut som stråle (1 ) ser det ut som om hela systemet kan ersättas med en enda sfärisk gränsyta vid P. F är systemets bakre fokalpunkt (planet genom F kallas systemets bakre fokalplan) P är systemets bakre huvudpunkt (planet genom P kallas systemets bakre huvudplan) f E är systemets bakre effektiva/ekvivalenta fokallängd F E = n f E [D] är definition av systemets effektiva/ekvivalenta styrka/brytkraft (n =1 i luft) (12.1) f v bakre snittvidden F v = n f v Stråle (2): [D] är definition av bakre snittstyrkan (n =1 i luft) (12.2) Om vi bara ser stråle (2) gå in i den svarta lådan och komma ut som stråle (2 ) ser det ut som om hela systemet kan ersättas med en enda sfärisk gränsyta vid P. F är systemets främre fokalpunkt (planet genom F kallas systemets främre fokalplan)

61 Optik 1 59 P är systemets främre huvudpunkt (planet genom P kallas systemets bakre huvudplan) f E är systemets främre effektiva/ekvivalenta fokallängd f v är främre snittvidden F v = n f v [D] är definitionen av främre snittstyrkan (n=1 i luft) (12.3) Geometri: e f v f E e fv fe Man kan visa att för alla optiska system gäller: F E n n f, vilket ger att f E n f E FE n f E F E E (e och e ger huvudplanens läge) (12.4) (n=n =1 för system i luft) (12.5) Systemet har alltså bara en effektiv styrka. För system i luft är främre och bakre effektiva fokallängder lika långa, precis som för tunna linser i luft. Det optiska systemet kan ses som en ekvivalent gränsyta eller tunn lins med styrkan F E, men det verkar oklart var denna gränsyta/lins sitter, vid främre eller bakre huvudplanet? Huvudplan måste inte sitta i ordningen främre först och bakre sen, utan kan vara omkastade! (se exempel på sid 62) Huvudplan för tjock lins Figuren nedan visar hur en parallell stråle från ett avlägset objekt på axeln avbildas i två steg genom en tjock lins. Figur 12.2 Huvudplan i tjock lins Ytornas styrkor (som tidigare för tunn lins, se sid. 30): F 1 ng n n n g r 1 F 2 r 2

62 Optik 1 60 Var hamnar bilden av objektet i oändligheten? Avbildning med mellanbild ger: L 0 1 L L F l n / F g 1 n 1 ( d / ng) F1 l2 l 1 d d n F v g g 1 F1 n F L L F F g l2 Löser vi ut bakre snittstyrkan får vi: F F d / n F F F v 1 ( d / n ) F 1 2 g 1 2 g 1 (12.6) Två par likformiga trianglar i figuren ger: y1 l 1 f E y l f 2 2 v Vilket i sin tur ger oss effektiva styrkan: 1 FE F F ( d / n ) F F f E 1 2 g 1 2 Främre snittstyrkan får vi på samma sätt genom att byta plats på F 1 och F 2 i ekvation 12.6 ovan. Sammanfattning av formler för huvudplan i tjock lins: F F F ( d / n ) F F E F F F F v v g 1 2 FE 1 ( d / n ) F 1 2 g 1 FE 1 ( d / n ) F n g n r n n r g g 2 (ytornas styrkor, n n' 1 för lins i luft) (12.7) Exempel huvudplan för tunn lins d = 0 i formlerna för huvudplan i tjock lins ger: F E = F 1 + F 2 (som förut för tunn lins) F v = F v = F E, vilket ger e=e =0 I tunna linser ligger alltså båda huvudplanen i mitten av linsen.

63 Optik 1 61 Exempel huvudplan i planokonvex lins Tjock, planokonvex lins i luft: [F 1 =+10 D, F 2 =0 D, d=10mm, n g =1,5, n=n =1] F E = ( d n g ) 10 0 = 10D (eftersom sista termen blir 0) f E = 1 F E = 100 mm, f E = 1 F E = 100 mm F v = (1 ( d n g F E = 10,7 D => f v = 1 = 93,3 mm )F 1 ) F v e = f v f = 6,7 mm E F v = F E (1 ( d n g e = f v f E = 0 mm )F 2 ) = 10D => f v = 1 F v = 100 mm Huvudplanens läge vid olika linsformer: Figur 12.3 Huvudplan i tjocka linser Negativa linser är ofta så tunna på mitten att huvudplanen ligger tätt ihop, nära linsens vertex. Huvudplan för glasögon och kontaktlinser Figur 12.4 Korrektionsprincipen med tjock lins Styrkan på både glasögon och kontaktlinser anges alltid som den bakre snittstyrkan F v. F v motsvarar avståndet till linsens bakre fokalpunkt i dioptrier, mätt från bakre vertex. Eftersom man inte enkelt vet var huvudplanen sitter, men man däremot vet avståndet mellan glasögats bakre vertex och ögat (vd), så är detta mest praktiskt. Instrumentet som mäter styrkan på glasögon (och kontaktlinser) kallas vertometer och mäter just F v. Negativa glasögon är så tunna på mitten att det blir liten skillnad mot om man räknar som en tunn lins. Kontaktlinser måste däremot alltid betraktas som tjocka eftersom ytornas styrkor är så höga.

64 Optik 1 62 Huvudplan för två tunna linser En tjock lins kan ses som två tunna planokonkava/planokonvexa linser med ett glasblock emellan. Figur 12.5 Huvudplan för två tunna linser Om vi sätter n g =1 i formlerna för tjock lins så motsvarar det att vi har två tunna linser med luft emellan! (OBS: om vi har två tunna linser med brytningsindex n g emellan kan man använda ekvationerna 12.7) Sammanfattning av formler för huvudplan för två tunna linser med luft emellan: F F F df F E F F v v FE 1 df 2 1 FE 1 df F och F 2 är linsernas styrkor (12.8) Exempel huvudplan för två tunna linser i luft Exempel: F 1 = F 2 = 10D, d = m Beräkningar enligt ovan ger e=33 mm, e = 33 mm och f E =67 mm. Alternativt kan vi följa infallande parallell stråle genom systemet med hjälp av strålkonstruktion: Figur 12.6 Huvudplan genom strålkonstruktion Symmetri ger att främre huvudplanet P ligger på avståndet e=33 mm efter första linsen. I detta fall blir huvudplanen omkastade, P kommer före P.

65 Optik 1 63 Föreläsning 13 (kap i Optics) Huvudplan, forts. Avbildning med hjälp av huvudplan P, P, F, F kallas systemets kardinalpunkter (det finns två till som tas upp längre ner). Kardinalpunkterna beskriver det optiska systemets avbildningsegenskaper fullständigt. Figuren nedan visar hur strålar kommer in mot en punkt H på främre huvudplanet. Figur 13.1 Strålar mot en punkt på främre huvudplanet Blå stråle kommer in parallell med axeln och kommer se ut att brytas i bakre huvudplanet och gå ut genom F. Grön stråle kommer in genom F och kommer se ut att brytas i främre huvudplanet och gå ut parallellt med axeln. Det betyder att två strålar in mot punkten H efter det optiska systemet ser ut att komma ifrån punkten H. H är alltså en bild av H! Den svarta strålen i figuren måste alltså också gå ut genom H. Bakre huvudplanet är bildplan till det främre huvudplanet med laterala förstoringen m = +1. OBS: En stråle skär alltid (för alla system) båda huvudplanen på samma höjd! Figuren nedan visar avbildning av ett objekt i ett optiskt system som beskrivs av sina kardinalpunkter. Figur 13.2 Avbildning i system med huvudplan. (Strålen genom P och P går bara obruten om n = n, exempelvis när systemet omges av luft.) Gråmarkerade trianglar visar att strålen genom P och P går obruten (w = w ) om främre och bakre fokallängden är lika långa, dvs. om n = n. Det gäller exempelvis system med luft på båda sidor.

66 Optik 1 64 Om man tänker bort området mellan huvudplanen i Figur 13.2 ser strålarna precis ut som brytning i tunn lins (se Figur 7.10)! Man kan se det optiska systemet som en tunn lins som har sin främre yta vid P och bakre ytan vid P. Alla formler för tunn lins gäller alltså huvudplansystem, men var uppmärksam på att alla sträckor måste mätas från respektive huvudplan! Sammanfattning av formlerna för avbildning med huvudplan n L l n L l L L F E Avbildningsformeln f E n F E n f E F E Objekt- och bildvergens, mäts från P resp. P Främre och bakre effektiv fokallängd h L x fe m h L f x E Lateral förstoring. x och x mäts från F resp F xx f f Newtons relation E E Till dessa formler hör också de som gäller snittstyrkorna (se sid. 58). (13.1) f v n n f v Främre och bakre snittvidd, mäts från A resp. A F F v v e f f v E e fv fe e och e ger huvudplanens läge mätt från A resp. A (13.2) Nodpunkter/nodplan Om det är olika brytningsindex före och efter det optiska systemet så bryts strålen genom huvudpunkterna enligt brytningslagen (nw=n w i Figur 13.2). Denna situation har man exempelvis i ögat där objektet är i luft och bilden hamnar på näthinnan där det är vatten (glaskroppen). Figur 13.3 Nodpunkter i optiskt system. Stråle genom N och N går obruten.

67 Optik 1 65 I stället är det strålen genom de s.k. nodpunkterna N och N (röd i figuren ovan) som går obruten med samma vinkel mot axeln före och efter systemet. I figuren ovan är n<n vilket betyder att den bakre fokallängden är längre än den främre. Vi drar en streckad röd hjälpstråle parallell med strålen genom N och genom F. Hjälpstrålen går ut parallellt med axeln och möter strålen genom N och N i bakre fokalplanet (se hjälpstrålar sid. 42). De gråmarkerade trianglarna i Figur 13.3 är precis lika stora (kongruenta) vilket ger: f f s => E E E s f f (s är lika med skillnaden mellan fokallängderna) (13.3) E N och N kallas främre respektive bakre nodpunkt och är de sista två av systemets sex kardinalpunkter. Avståndet från N till F blir detsamma som f E Avståndet från N till F blir detsamma som f E När n=n sammanfaller nodpunkterna med huvudpunkterna. Strålkonstruktion genom system med huvudplan 1. Infallande stråle parallell med optiska axeln dras fram till främre huvudplanet. Strålen går ut på samma höjd från det bakre huvudplanet och går sedan genom/från F. 2. Infallande stråle mot/genom F dras fram till främre huvudplanet. Strålen går ut på samma höjd från det bakre huvudplanet och går sedan parallellt med optiska axeln. 3. Infallande stråle mot/genom N går ut med samma vinkel genom/från N. (Om n=n så går obruten stråle genom P och P. Gäller exempelvis system i luft.) Exempel: avbildning i system med omkastade huvudplan Använd strålkonstruktion för att ta fram bilden av objektet i det optiska systemet i den skalenliga figuren nedan. Figur 13.4 Exempel på avbildning i omkastade huvudplan Systemet har omkastade huvudplan och negativ styrka eftersom f E <0. Dra blå och grön stråle enligt strålkonstruktionsreglerna ovan. Främre och bakre fokallängd är lika långa vilket betyder att obruten röd stråle går genom P och P. Gör själv: Mät fokallängd och objektavstånd i figuren för att sedan beräkna bildens läge och storlek med formlerna i ekvation Det skall stämma med strålkonstruktionen!

68 Optik 1 66 Exempel: kontaktlinsen som tjocklins Exempel på kontaktlins: r 1 =7,70 mm, r 2 =7,80, n g =1,45, d=0,1 mm. F 1 =+58,44 D, F 2 = 57,69 D F E = F 1 + F 2 ( d n g ) F 1 F 2 =58,44 57,69+0,233=+0,982 D F v = F E = 0,98 = 0,986 D +1,00 D 1 ( d ng )F 1 0,004 1 Om vi skulle räkna kontaktlinsen som en tunn lins får vi: F = F 1 + F 2 = 0,75 D Huvudplan för generella system Det finns två (tre) metoder man kan använda sig av för att ta fram huvudplanen för ett system med fler än två linser eller ytor. (1) Tag fram huvudplanen genom att följa infallande parallell stråle genom systemet. Figur 13.5 Exempel på strålkonstruktion för att hitta huvudplan i tre linser Här får man använda strålkonstruktion och/eller räkna själv. (2) Para ihop ytor eller linser två och två och bestäm huvudplanen för dessa med hjälp av formlerna i ekvation 12.7 eller Sedan kan man betrakta dessa som tunna linser (om man räknar från huvudplanen) och lägga ihop igen: F E,tot = F 1E + F 2E df 1E F 2E Mycket arbetskrävande! Figur 13.6 Hitta huvudplan för två tjocka linser (3) Ett sista alternativ är att använda optikberäkningsprogram på dator. Det är det enda rimliga för komplexa system. Huvudplan är lätta att använda, men jobbiga att ta fram.

69 Optik 1 67 Exempel: Emsleys ögonmodell Det finns väldigt många ögonmodeller. Emsleys ögonmodell är en något mer avancerad ögonmodell än den reducerade, med både hornhinna och lins. Modellen har tre ytor, se figuren och tabellen nedan. Figur 13.7 Skalenlig figur av Emsleys ögonmodell Emsleys ögonmodell Krökningsradier Ekvivalenta styrkor Kornea r 1 7,80 mm Öga F E 60,49 D Lins främre yta r 2 10,00 mm Lins F L 21,76 D Lins bakre yta r 3 6,00 mm Ekvivalenta fokallängder för ögat Tjocklekar Främre f E 16,53 mm Främre kammare d 1 3,60 mm Bakre f E 22,04 mm Lins d 2 3,60 mm Avstånd från korneas vertex Glaskropp d 3 16,70 mm Främre huvudplan A 1 P 1,55 mm Bryningsindex Bakre huvudplan A 1 P 1,85 mm Främre kammare n 1 1,3333 Främre nodpunkt A 1 N 7,06 mm Lins n 2 1,4160 Bakre nodpunkt A 1 N 7,36 mm Glaskropp n 3 1,3333 Främre fokus A 1 F 14,98 mm Ytornas styrkor Bakre fokus A 1 F 23,89 mm Kornea F 1 42,73 D Lins främre yta F 2 8,27 D Lins bakre yta F 3 13,78 D Tabell 13.1 Data för Emsleys ögonmodell

70 Optik 1 68 Föreläsning 14 (kap 5.7 i Optics) Aperturstopp, in- och utträdespupill Vad har linsers diameter för betydelse? Hittills har vi behandlat avbildningen i sig, dvs. var bilden av ett objekt hamnar och vilken förstoring det blir. Det finns också andra krav man kan ställa på bilden. Vi vill exempelvis att bilden på näthinnan skall vara tillräckligt ljus och när vi tittar i ett förstoringsglas är det intressant att veta hur stor del av objektet man kan se genom linsen. Dessa två egenskaper beror på hur mycket ljus linserna släpper igenom vilket bestäms av hur stora öppningar (aperturer) de har, d.v.s. linsernas diametrar. Exempel: Två hål placeras framför ögat, se figuren nedan. Ett större hål som hålls längre ifrån ögat (Apertur 1) och ett mindre hål (mindre än ögats pupill) som hålls tätt intill ögat (Apertur 2). Figur 14.1 Ljusmängd och synfält De två aperturerna kan sägas utgöra ett optiskt system, även om det inte finns några linser, bara två öppningar. Från figuren ser man att de två aperturerna påverkar det man ser på helt olika sätt. Apertur 2 bestämmer hur stort strålknippet blir från en punkt på objektet. Det betyder att Apertur 2 bestämmer hur ljus bilden ser ut. Apertur 1 bestämmer istället hur stor del av objektet (vilka objektpunkter) man kan se, det så kallade synfältet. (Ögat i figuren kan inte se hela trädet.) Testa själv genom att forma ett runt hål med tummen och pekfingret (Apertur 1) och håll handen på armlängds avstånd. Apertur 2 utgörs av pupillen i ditt öga. Öppningen som begränsar hur ljus bilden blir (Apertur 2) kallas systemets aperturstopp. Öppningen som begränsar hur stort synfältet blir (Apertur 1) kallas systemets fältstopp. Hur ljus blir bilden? Aperturstopp Exempel: Ett linssystem består av två tunna linser med fokallängderna f 1 = f 2 = 30 mm är placerade 30 mm från varandra. Båda linserna har diametern 30 mm. Figurerna nedan visar hur systemet avbildar ett objekt på axeln på olika avstånd.

71 Optik 1 69 Figur 14.2 Aperturstopp (AS). En randstråle är en stråle som går precis i kanten på AS. Bilden blir ljus om vinklarna u och u är stora. Då samlas mycket ljus från objektet till bilden. Aperturstopp (AS) är den lins eller öppning i ett optiskt system som begränsar strålknippet från en objektpunkt på optiska axeln. I Figur 14.2 (a) är det den lins 1 som begränsar strålarna från objektpunkten och är aperturstopp (AS). I figur (b) är det istället den lins 2 som blir AS. I figur (c) är det en extra apertur med diametern 20 mm placerad 10 mm framför lins 2 som utgör systemets AS. En stråle som går precis i kanten på AS kallas för en randstråle. En stråle som går mitt igenom AS kallas huvudstråle. Som mått på ljusmängden genom ett optiskt system används ibland begreppet numerisk apertur (NA): NA = n sin u (Numerisk Apertur på objektsidan) NA = n sin u (Numerisk Apertur på bildsidan) (14.1) Stor NA ger ljus bild.

72 Optik 1 70 Bästa metoden för att hitta vilken öppning som är AS är att gissa och testa: (1) Gissa att första öppningen/linsen är AS (2) Dra en stråle från objektpunkten på axeln i kanten på första öppningen/linsen (3) Följ strålen (med strålkonstruktion) genom systemet. (4) Testa om det stämmer. Om strålen passerar alla andra linser och öppningar var gissningen rätt och första öppningen/linsen är AS. Annars gissa på nästa Tänk på att AS beror på objektsavstånd, d.v.s. det kan vara olika öppningar som begränsar ljuset från avlägset respektive närliggande objekt. Jämför Figur 14.2 (a) och (b)! Ibland är det uppenbart vad som är aperturstopp i ett optiskt system eftersom det finns en särskild apertur som har uppgiften att reglera ljusmängden som når bilden. En sådan apertur kallas bländare. I ögat är det iris som är bländare och aperturstopp. Inträdes- och utträdespupill Figur 14.3 Iris är ögats aperturstopp Från Figur 14.2 (c) ser man tydligt att det inte är diametern på själva AS som avgör hur stora vinklarna u och u blir eftersom det sitter linser mellan AS och objektet respektive mellan AS och bilden. Motsvarande ser man också i Figur 14.3 där diametern på strålknippet som går in i ögat är lite bredare än själva öppningen i iris på grund av att hornhinnan bryter strålarna. För att enklare kunna bestämma hur mycket ljus som verkligen går igenom ett optiskt system (exempelvis ögat) så används begreppen inträdespupill och utträdespupill: Inträdespupill (IP), är bilden av AS sett från objektrymden (från vänster i figuren nedan). (Finns det ingen lins framför AS är IP = AS, t.ex. som i Figur 14.2 (a)) Figur 14.4 Inträdespupill (IP)

73 Optik 1 71 Utträdespupill (UP), är bilden av AS sett från bildrymden (från höger i figuren nedan). (Finns det ingen lins bakom AS är UP = AS., t.ex. som i Figur 14.2 (b)) Figur 14.5 Utträdespupill (UP) IP är alltså den bild av den verkliga öppningen AS man ser om man tittar in från objektsidan och UP är motsvarande från bildsidan. När man t.ex. tittar in i ett öga ser man en något förstorad bild av den verkliga öppningen i iris avbildad genom hornhinnan. Det man ser är ögats inträdespupill. När vi säger att ögats pupill är exempelvis 4 mm så är det inträdespupillens diameter vi menar. När vi tittar på ögat och mäter med en linjal så ser pupillen ut att ha den diametern. IP avbildas på AS som avbildas på UP om man går åt höger i figuren, alltså: En huvudstråle går mitt i AS, vilket betyder att den också går mitt i IP och UP när den bryts genom systemet. En randstråle går i kanten på AS, vilket betyder att den också går i kanten på IP och UP när den bryts genom systemet. För att räkna ut läge och storlek på IP och UP för linssystemet i Figur 14.4 och Figur 14.5 använder vi avbildningsformeln (D IP, D AS och D UP är diametrarna på respektive IP, AS och UP): IP är det objekt som ger AS som bild vid avbildning i lins 1: L AS = L IP + F 1 m = D AS DIP = L IP L AS UP fås som bild när AS (som objekt) avbildas i lins 2: L UP = L AS + F 2 m = D UP DAS = L AS L UP I detta fall är IP och UP virtuella bilder, men det behöver inte vara så (se t.ex. kikare och mikroskop).

74 Optik 1 72 Exempel: Ögats inträdespupill Var ligger inträdespupillen i Emsleys ögonmodell på sidan 67 och hur stor blir den om vi antar att öppningen i iris är D AS = 6 mm? Figur 14.6 Ögats inträdespupill Iris (AS) sitter intill linsens främre yta i ögat. Det är bara hornhinnan som sitter framför AS och vi får avbilda genom denna. Med data från ögonmodellen får vi: n = 1,0 n = 1,3333 r = 7,80 mm FHornhinna l AS = 3,60 mm ( n n) / r 42,7 D L n / l 370,4 D AS AS Avbildning L AS = L IP + F Hornhinna ger: L IP n / l 327,6 D => l 3,05 mm IP D / D m L / L 0,885 => D AS IP IP AS IP 1,13 D 6,8 mm AS IP Ögats inträdespupill ligger alltså 3,05 mm in i ögat och är 13 % större än den verkliga öppningen i iris.

75 Optik 1 73 Föreläsning 15 (kap 5.8 i Optics) Synfält Fältstopp och synfält AS (IP, UP) avgör hur ljus bilden av ett objekt nära optiska axeln blir. Om objektet ligger utanför optiska axeln kommer diametern på någon annan lins/öppning också begränsa ljuset. Denna andra lins/öppning kallas systemets fältstopp. Exempel: En tunn lins med fokallängden f =30 mm avbildar ett reellt objekt som befinner sig 90 mm framför linsen. Diametern på linsen är 20 mm och en apertur med diametern 10 mm är placerad 20 mm framför linsen. Ytterligare en apertur med diametern 10 mm är placerad precis framför bildplanet. Figur 15.1 Optiskt system med en lins och två aperturer. Blå punkter markerar linsens fokalpunkter. Om vi gissar på att den första aperturen är AS och drar en randstråle i kanten på aperturen och följer den genom systemet ser vi att strålen passerar både linsen och andra aperturen, se Figur Alltså var gissningen rätt. Första aperturen är AS (och IP). Beräkning av UP ger att den ligger 60 mm framför linsen och har diametern 30 mm. Fältstopp (FS), är den lins eller öppning som utöver AS begränsar strålknippet från en objektpunkt utanför axeln. Figur 15.2 Synfält FS begränsar hur stora objekt som kan avbildas av det optiska systemet. Synfält är den del av objektet som verkligen kan avbildas (se Figur 15.2). Det finns två sätt att ange synfält: Synfält i meter => 2h Synfält som vinkel (för avlägsna objekt) => 2w (vinkel för huvudstrålen till kanten på synfältet)

76 Optik 1 74 Metoden för att hitta FS är att gissa och testa (OBS AS måste hittas först): (1) Gissa att en öppning/lins precis intill AS är FS (2) Dra en huvudstråle mitt i AS och i kanten på det antagna FS (3) Följ huvudstrålen (med strålkonstruktion) framåt och bakåt genom systemet. (Här har man hjälp av IP och UP eftersom huvudstrålen kommer gå genom mitten på både IP och UP). (4) Testa om det stämmer. Om strålen passerar alla andra linser och öppningar var gissningen rätt. (5) Man kan även använda uteslutningsmetoden: AS, IP eller UP kan aldrig vara FS! Om FS sitter i ett mellanbildsplan eller i bildplanet själv så blir gränsen på synfältet skarp, från helt ljus bild till ingen bild alls, dvs. mörker. Om FS inte sitter i ett mellanbildsplan får man gradvis mörkare bild i kanten på synfältet. Detta fenomen kallas vinjettering. Vinjettering och synfält för halv belysning Exempel: Samma system som ovan men utan aperturen framför bildplanet. Figur 15.3 Synfält för halv belysning. I figuren ovan är det linsen själv som blir FS (uteslutningsmetoden, det finns ingen annan öppning förutom AS). Strålknippet från objektpunkten utanför axeln tappar gradvis strålar och bilden blir mörkare mot kanten av synfältet. Denna effekt kallas alltså vinjettering. Synfält för halv belysning betyder så stort objektet kan vara utan att mer än hälften av ljuset från en objektpunkt i kanten försvinner genom vinjettering. Detta är den vanligaste och viktigaste definitionen på det vi kort kallar bara synfält. Metod för att bestämma synfältet (för halv belysning) (1) Bestäm AS (2) Beräkna eventuellt IP och UP (3) Bestäm FS (4) Dra huvudstråle mitt i AS och i kanten på FS (strålen kommer också gå mitt i IP och UP). (5) Följ strålen med korrekt brytning hela vägen bakåt till objektet. OBS: Synfält för halv belysning är den mest använda definitionen på synfält och när inget annat anges är det detta man menar med synfält. Anledningen till att synfält för halv belysning är så viktigt är att ett öga inte störs av att bilden blir mörkare så länge åtminstone hälften av ljuset finns kvar.

77 Optik 1 75 Exempel: Samma system som i Figur 15.3 men vänt åt andra hållet. Figur 15.4 Synfält för halv belysning.

78 Optik 1 76 Andra definitioner av synfält (överkurs) Figurerna på i detta avsnitt visar två andra definitioner av synfält. Dessa är inte viktiga för kursen utan finns med för att man skall förstå skillnaden mot synfält för halv belysning. Figur 15.5 Synfält för full belysning Synfält för full belysning utgörs av den del av objektet som kan avbildas utan att några strålar vinjetteras, dvs. bilden är lika ljus över hela synfältet. Figur 15.6 Maximalt synfält Maximalt synfält utgörs av den del av objektet som över huvud taget kan avbildas med något ljus till bilden, dvs. bilden kommer vara nästan helt mörk mot kanten av det maximala synfältet.

79 Optik 1 77 Föreläsning 16 Kameran, vinkelförstoring, förstoringsglas (kap 5.9, 6.1 och 6.3 i Optics) Kameran Figur 16.1 Digital systemkamera Kameran är ett instrument som till flera delar fungerar mycket likt ett öga. Kamerans optik, det så kallade kameraobjektivet, motsvarar ögats hornhinna och lins, medan sensorn motsvarar näthinnan. Irisbländaren, som motsvarar pupillen, reglerar ljusmängden till sensorn och är kamerans AS. Synfältet begränsas av sensorns storlek som är kamerans FS. Precis som i fallet med ögat är objektet oftast beläget på stort avstånd och objektivets bakre fokalpunkt ligger då på sensorn. Till skillnad från ögat kan dock kameraobjektivet inte ändra styrka som ögat gör när det ackommoderar. Istället flyttas objektivet längre ifrån sensorn när man ställer in skärpan för närliggande objekt. Kameraobjektivet är vanligtvis ett sammansatt linssystem, men om vi beskriver det med hjälp av huvudplan kan vi betrakta det som en tunn lins med en effektiv styrka och fokallängd: Figur 16.2 Kamera ekvivalent optiskt system

80 Optik 1 78 Bildstorlek vid avlägset objekt Bildstorleken i kameran för ett avlägset objekt med synvinkeln w ges som tidigare (se ekvation 7.8) av h f tan w f tan w (16.1) E E (w=w i kameran eftersom det vanligtvis är luft på båda sidor) För att få en stor bild av ett litet objekt (liten synvinkel w) måste man alltså ha lång fokallängd/låg styrka: Lång fokallängd/låg styrka => stor bild Kort fokallängd/hög styrka => liten bild Synfält Synfältet i kameran (2w i Figur 16.2) bestäms av sensorns storlek (2h i Figur 16.2). Det finns flera olika standardstorlekar på den digitala sensorn. Kameran i Figur 16.1 har så kallat fullformat, där sensorn är 24 mm x 36 mm, men många digitalkameror har betydligt mindre sensorer. En kamera i en modern mobiltelefon kan exempelvis ha en sensor med storleken 4,2 mm x 5,6 mm. Synfältet påverkas också av fokallängden på objektivet. Om objektivet ger en stor bild av ett avlägset objekt så får bara bilden av en mindre del av objektet plats på sensorn och synfältet blir litet. För en kamera med en given storlek på sensorn gäller alltså att: Lång fokallängd/låg styrka => litet synfält Kort fokallängd/hög styrka => stort synfält Bländartal För att filmen eller den digitala sensorn i kameran skall kunna ge en bra bild måste mängden ljus/area i bildplanet vara på rätt nivå. Det regleras med irisbländaren i objektivet som kan ställas in på olika så kallade bländartal: ljusmängd area i bild 2 area IP area i bild D IP 2 h 2 D IP 2 = 1 bländartal 2 f E f E bländartal ( f /#) (16.2) D IP (Bländartalet betecknas ibland med symbolen f/#.) f/# ljusmängd area i bild Lågt bländartal => mycket ljus Högt bländartal => lite ljus

81 Optik 1 79 Vinkelförstoring Bildstorleken på näthinna bestäms av objektets synvinkel mot ögat, inte objektets verkliga höjd (se Föreläsning 10). Figur 16.3 Synvinkel avgör bildstorlek på näthinnan För att kunna se riktigt små objekt, eller mycket avlägsna, måste vi använda visuella instrument som har till uppgift att öka synvinkeln mot ögat för ett givet objekt. Vi vill alltså förstora synvinkeln detta kallas vinkelförstoring. Vinkelförstoring är ett viktigt begrepp för alla instrument man tittar igenom, förstoringsglas, luppar, mikroskop, kikare, glasögon mm. Vinkelförstoringen (M) är hur mycket större någonting ser ut att vara när man tittar genom ett visuellt instrument: Synvinkel med instrument M (16.3) Synvinkel utaninstrument Denna formel gäller allmänt, men i vissa fall behöver vi bestämma mer exakt vad vi menar med synvinkel utan instrument (se lupp och mikroskop). Förstoringsglas vinkelförstoring för närliggande objekt Ett förstoringsglas är en ensam positiv lins som handhållen används för att förstora ett närbeläget objekt. Vanligast är att man placerar objektet i förstoringsglasets främre fokalpunkt så att bilden som ögat tittar på ligger i oändligheten (se figuren nedan). Då kan ett avslappnat, normalsynt öga se objektet skarpt. Figur 16.4 Synvinkel med förstoringsglas Vinkelförstoring Från geometrin i Figur 16.4 får vi: synvinkel med instrument h f h f w med

82 Optik 1 80 OBS: vi räknar alltid med små vinklar när vi räknar med förstoring, d.v.s. vi antar att objektet är litet. (Därför finns inte tangens med i uttrycket ovan.) Synvinkeln utan förstoringsglas ges av figuren nedan: Figur 16.5 Synvinkel utan instrument h synvinkel utan instrument wutan q Vinkelförstoring i förstoringsglas (med bild i oändligheten) ges alltså av: w q vinkelförstoring i förstoringsglas (16.4) med M w utan f Där q är avståndet mellan objektet och ögat utan förstoringsglas. Exempel: Förstoringsglas med styrka F = +4D, avstånd från öga till tidning q = 40cm => f = 0,25 m => M = 0,40 = 1.6 ggr. 0,25 När man håller förstoringsglaset framför tidningen, på fokallängds avstånd, ser alltså texten i tidningen 1,6 gånger större ut genom linsen jämfört med vid sidan om. Synfält med förstoringsglas Förstoringsglas har en diameter på 5-10 cm, vilket är betydligt större än ögats pupill. Den röda teststrålen i figuren nedan visar att ögat är AS i systemet förstoringsglas-öga och förstoringsglaset blir då FS. Figur 16.6 Synfält i förstoringsglas Diametern på förstoringsglaset begränsar alltså synfältets storlek och ju närmare ögat är förstoringsglaset, desto större blir synfältet (se figuren).

83 Optik 1 81 Föreläsning 17 (kap 6.3, 6.4 i Optics) Lupp och mikroskop Lupp (starkt förstoringsglas) vinkelförstoring för närliggande objekt Lupp är benämningen på ett starkt förstoringsglas (ca D). En lupp hålls alltid så nära ögat som möjligt för att ge så stort synfält som möjligt. Figur 17.1 Lupp Eftersom q i figuren ovan är nästan densamma som f för luppen får vi med formeln för förstoringsglasets vinkelförstoring (ekvation 16.4): M q 1 f Ett sådant resultat verkar orimligt. En lupp borde ge större förstoring än ett förstoringsglas. Problemet är att objektet befinner sig för nära ögat (några cm) för att formeln ska ge ett användbart resultat. Man kan inte jämföra synvinkel med instrument och utan instrument som förut, eftersom om man bara tar bort luppen i Figur 17.1 är objektet för nära för att ögat skall kunna se det utan instrument. Då får man istället göra följande: M Synvinkel med instrument (17.1) Synvinkel utaninstrument med objektet på 25 cmavstånd Denna formel gäller visuella instrument där objektet utan instrument befinner sig närmare ögat än 25 cm, exempelvis lupp och mikroskop. Att man valt just 25 cm beror på att det anses vara bekvämt näravstånd. Man jämför alltså hur stort objektet ser ut genom luppen med hur stort det ser ut om objektet hålls 25 cm från ögat utan lupp. q = 25 cm anses alltså vara komfortabelt näravstånd för de flesta personer. Luppens förstoring är med denna definition: q 25 cm 0,25 1 F M f f 4f 4 F M Vinkelförstoring i lupp (17.2) 4 Formlerna för vinkelförstoring i förstoringsglas och lupp (ekv och 17.2) gäller om bilden efter linsen ligger i oändligheten. Om avståndet till objektet justeras så att bilden som ögat tittar på ligger närmare ögat blir förstorningen något annorlunda. Då får vinkelförstoringen tas fram från ekvation 16.3 och 17.1.

84 Optik 1 82 Mikroskop vinkelförstoring för närliggande objekt För att få 100 ggr vinkelförstoring i luppen krävs en fokallängd på f lupp = 2,5 mm. Det ger ohanterligt små linser och litet synfält. Ännu större förstoringar blir nästan omöjligt. I mikroskopet används därför istället två linser så att förstoringen sker i två steg: först genom objektivet sedan genom okularet. Princip Bilden i ett mikroskop är upp- och nedvänd Figur 17.2 Vinkelförstoring i mikroskopet Objektivet ger en reell, förstorad mellanbild av objektet. Objektet sitter nära objektivets främre fokalpunkt för att ge stor förstoring. Okularet fungerar som en lupp för att titta på mellanbilden. Slutbilden ligger i oändligheten vid normalinställning så att ett avslappnat, normalsynt öga kan se bilden skarpt. g = optisk tublängd (kan även betecknas med x obj ) Vinkelförstoring Lateral förstoring i objektivet m h l x obj obj obj h lobj f obj f obj g => h g f obj h Synvinkel med instrument w med h g h f f f ok obj ok (17.3) Tangens tas inte med i uttrycket eftersom vinklarna antas vara små.

85 Optik 1 83 Synvinkel utan instrument Figur 17.3 Synvinkel utan mikroskop w utan h q (17.4) Vinkelförstoring i mikroskopet w g q g q med M mobj Mok wutan f obj f ok f obj f ok Alla längder skall som vanligt räknas i samma enhet och för mikroskop sätts alltid q till 0,25 m. Total vinkelförstoring i mikroskopet är alltså lateral förstoring i objektivet gånger vinkelförstoringen i okularet (som för lupp). Ljusmängd och synfält Om vi drar strålar från objektpunkten på axeln (gröna i figuren nedan) ser vi att objektivet är AS (och IP) i mikroskopet och okularet måste då vara FS. Det gäller alltid i ett mikroskop. (17.5) Figur 17.4 Ljusmängd och synfält i mikroskopet Var skall man placera ögat när man tittar i mikroskopet? Ögat måste placeras vid UP, det ger bästa synfält! I alla visuella instrument skall ögats pupill placeras i instrumentets utträdespupill. Ofta finns någon form av stöd att hålla ögat mot (ögonmusslor) så att avståndet blir rätt. Om avståndet till ögat inte stämmer minskar synfältet genom instrumentet betydligt (jämför Figur 17.4).

86 Optik 1 84 Märkning av objektiv och okular Varken mikroskopobjektiv eller mikroskopokular är de enkla linser som är utritade i figurerna ovan, utan de är designade sammansatta optiska system där man optimerat bildkvaliteten. Exempelvis är ett mikroskopobjektiv optimerat för att användas med en viss optisk tublängd, annars blir bilden inte lika skarp. Både objektiv och okular märks med viktiga uppgifter för deras användande. Objektiv Exempel på märkning: 160/0,17 16/0,32 160/0,17 = optimal optisk tublängd g [mm] / täckglasets optimala tjocklek [mm] 16/0,32 = förstoring (m obj ) utan tecken / numerisk apertur NA (n sin u = NA) g => f obj 10 mm i detta fall m obj Okular Exempel på märkning: 10x 10x = vinkelförstoring = M ok = F ok 4 => F ok = 40 D i detta fall.

87 Optik 1 85 Föreläsning 18 (kap 6.5, (6.6) i Optics) Teleskop och kikare Teleskop (kikare) vinkelförstoring för avlägsna objekt Ju längre bort ett objekt är som vi tittar på, desto mindre synvinkeln upptar det och objektet avbildas alltså till en mindre bild på näthinnan. För att kunna se detaljer i avlägsna objekt behöver vi en större bild på näthinnan, vilket kan fås genom att förstora synvinkeln med hjälp av teleskop/kikare. Ett teleskop består av två linssystem: ett objektiv och ett okular, precis som för mikroskopet. Men i teleskopet är avståndet mellan objektiv och okular valt så att bakre fokalpunkten för objektivet sammanfaller med främre fokalpunkten för okularet (normalinställning). Princip (astronomiskt, Kepler teleskop med positivt okular) Objekt i oändligheten, bild i oändligheten! Figur 18.1 Vinkelförstoring i teleskop Bilden är upp- och nedvänd i ett teleskop med positivt okular Objektivet har lång fokallängd f obj (låg styrka) för att ge en stor mellanbild av det avlägsna objektet i bakre fokalpunkten (F obj ). Okularet fungerar som en lupp för att förstora mellanbilden. Slutbilden efter okularet skall hamna i oändligheten vid normalinställning. Då kan ett avslappnat, normalsynt öga se bilden skarpt. Normalinställning betyder att F ok och F obj sammanfaller och att avståndet mellan objektiv och okular är summan av fokallängderna * : d f f (18.1) obj ok * Vid normalinställning är systemet är afokalt: F F F df F E obj ok obj ok eftersom d. F F obj ok Ett afokalt system har oändlig fokallängd och både fokalpunkter och huvudplan ligger i oändligheten.

88 Optik 1 86 Vinkelförstoring Synvinkel utan instrument Figur 18.2 Synvinkel utan teleskop Utan teleskop tittar ögat direkt på det avlägsna objektet. Synvinkel utan instrument är alltså samma vinkel som på de parallella strålarna från överkanten av objektet på väg in i teleskopet! (se infallande röda strålar i Figur 18.1). Mellanbildens storlek Avbildning i objektivet ger mellanbildens storlek (bildstorlek vid avlägset objekt, se ekv. 7.8) * : h f obj w utan f obj w utan Synvinkel med instrument Okularet förstorar mellanbilden som en lupp, vilket ger synvinkel med instrument * : w med h f ok f obj w f ok utan Vinkelförstoring i teleskopet w M w med utan f obj f ok (18.2) Ljusmängd och synfält Figur 18.3 Ljusmängd och synfält i teleskop * Vinklarna antas vara små så tangens kan strykas, gäller alltså för w utan och w med i radianer.

89 Optik 1 87 Hur ljus blir bilden? I ett teleskop är objektivet är alltid aperturstopp (AS) och okularet fältstopp (FS). Det syns tydligt om vi drar strålar från en avlägsen objektpunkt på axeln i kanten på objektivet (gröna strålar i figuren ovan). Ögat placeras optimalt vid utträdespupillen (UP) för maximalt synfält. Likformiga trianglar i Figur 18.3 (se gröna strålar) ger utträdespupillens diameter: DUP f ok 1 D f M D IP UP obj D M IP (18.3) ( M innebär absolutbeloppet av förstoringen, dvs. förstoringen utan tecken) D UP större än pupillen bra, ögat begränsar ljusmängden, bilden lika ljus med kikaren som utan. D UP mindre än pupillen sämre, kikaren begränsar ljusmängden, bilden mörkare med kikaren än utan. Synfält Figur 18.4 Synfält i teleskop Ett extra fältstopp i mellanbildsplan ger ett skarpt avgränsat synfält (undviker vinjettering). Eftersom objektet är avlägset anges synfältet som vinkel (2w i Figur 18.4). Märkning av kikare/teleskop Exempel: 10 x 25 6,5 M x D IP synfält I exemplet är: M (vinkelförstoring) = 10 ggr D IP (diameter inträdespupill) = 25 mm 2w (synfält) = 6,5 D UP DIP 2,5 mm M (Minikikare med D UP = 2 2,5 mm är lämpliga i dagsljus. Bäst i skymning: D UP > 4 5 mm)

90 Optik 1 88 Kikare skillnader mot astronomiskt teleskop Kikare har Avståndsinställning för mer närliggande objekt (man kan ändra avståndet mellan objektiv och okular) Ofta stereoskopiskt seende (ett teleskop för varje öga) Rättvänd bild! o Prismor (mellan objektiv och okular) o Negativt okular (Galilei-teleskop) Galilei-teleskop/kikare Principen för ett Galilei-teleskop är densamma som för astronomiskt (Kepler) teleskop, förutom att okularet är negativt och mellanbilden därför utgör ett virtuellt objekt till okularet. Detta ger en rättvänd bild, men nackdelen är att UP ligger inuti kikaren. Eftersom ögat då inte kan placeras i UP blir synfältet dåligt. Figur 18.5 Galilei-teleskop Galilei-teleskop används bara i kikare med lägre vinkelförstoring (M < 2 3) annars blir synfältet allt för dåligt. Exempel på användning är synhjälpmedel och teaterkikare. Hårkors och retikelskalor Om man placerar ett transparent extraobjekt i mellanbildsplanet i ett astronomiskt teleskop eller ett mikroskop så kan man se extraobjektet överlagrat på det objekt man tittar på med instrumentet. Genom att använda en graderad skala (retikel/retikelskala) i mellanbildsplanet i mikroskop/kikare kan man direkt avläsa av objektsstorlek eller synvinklar. Ett hårkors i mellanbildsplanet till ett teleskop gör att man kan rikta teleskopet mot en viss punkt på objektet (kikarsikte).

91 Optik 1 89 Verkliga instrument (kikare och mikroskop) Kikarokular sammansatt linssystem Kikarobjektiv kan vara ensam lins Mikroskopokular kan vara två linser Mikroskopobjektiv sammansatt linssystem Tidigare givna formler för förstoring mm. i mikroskop och teleskop/kikare gäller om man räknar med huvudplan och effektiva styrkor/fokallängder för objektiv och okular. Enkla mikroskopokular (överkurs) Stort synfält i teleskop och mikroskop kräver stor diameter på okularet som utgör fältstopp. I enkla okular löser man problemet genom att sätta in en extra fältlins i mellanbildsplanet. (Denna lösning förekommer i mikroskopokular). Figur 18.6 Okular med fältlins Fältlinsen har följande för- och nackdelar: + Bryter strålarna så att ögonlinsen kan göras mindre. + Flyttar UP + Utgör FS + Minskar avbildningsfelen Smuts på fältlinsen syns i bilden Retikel kan inte placeras i mellanbildsplanet För att lösa de två sista problemen kan man antingen: Flytta fältlinsen mot objektivet => Huygens okular Flytta fältlinsen mot ögonlinsen => Ramsdens okular

92 Optik 1 90 Föreläsning 19 (kap 9 i Optics) Ljusets vågnatur, ljuskällor Ljusets natur Vad är ljus? Beroende på vem du ställer frågan till eller i vilket sammanhang får du olika svar. Men, de svar du får kommer att falla i tre olika grupper: ljus är antingen strålar, en vågrörelse, eller någon sorts partikel. Konstigt nog är det ingen motsägelse man arbetar med dessa olika modeller parallellt, och väljer modell beroende på vilken som passar bäst för tillfället. Modellerna är inte heller skilda åt utan de hänger ihop och övergår i varandra under olika förutsättningar. Optikkurserna inom optikerprogrammet täcker olika delar av dessa modeller. Vi kallar de tre modellerna för geometrisk optik (strålar), fysikalisk optik (vågrörelse) och kvantoptik (våg partikel). Figuren intill illustrerar hur de relaterar till varandra: kvantoptik är den mest kompletta modellen, som förklarar flest av ljusets egenskaper, men är också den mest komplexa modellen som är svårast att förstå och arbeta med. Att använda kvantoptik till att designa glasögon vore eländigt; även dagens datorer skulle storkna på beräkningarna som krävdes. Geometrisk optik är å andra sidan den enklaste att använda, men mycket av det vi behöver förstå kan den modellen inte förklara t.ex. varför ljus har olika färger, hur antireflexskikt fungerar, nyttan av polariserande solglasögon, eller hur näthinnan kan registrera bilder. Historik Figur 19.1 Olika modeller för ljus Tidiga beskrivningar av ljus och optik är oftast kopplade till synen och hur vi kan se föremål omkring oss. En av de tidigaste modellerna (antiken) för hur synen fungerar utgick från att ögat skickar ut någon form av strålar som känner av omgivningen, nästan som känselspröt. En konkurrerande teori utgick istället från att föremålen runt omkring oss sände ut någon slags kopia av sig själva som ögat uppfattade, okänt hur. På 1600-talet hade man förstått sambandet mellan ljuskälla objekt öga, men det fanns två teorier om vad som förmedlade synintrycken vad ljuset består av. Det viktigaste kravet vid den tiden var att beskrivningen av ljus måste kunna förklara den geometriska optikens lagar. Isaac Newton ( ) beskrev ljus som en ström av små partiklar som skickas ut av en ljuskälla och som rör sig rakt fram med hög hastighet. Partikelteorin kunde förklara både reflektionslagen och brytningslagen. Men, för att får brytningslagen rätt måste man anta att partiklarna rör sig med högre hastighet i ett tätare medium, något som inte känns intuitivt. Holländaren Christiaan Huygens ( ) var samtida med Newton och utvecklade en matematisk vågteori för ljus inspirerad av mekaniska vågor som vattenvågor och ljudvågor. Även vågteorin kunde förklara den geometriska optiken med reflektion och brytning (se Föreläsning 2). En fördel med vågbeskrivningen av ljus var att brytningslagen fås om man antar att vågen går långsammare i ett tätare medium, vilket verkar rimligt. Det som verkade tala emot vågteorin var dock att om ljus var en våg så måste det finnas ett medium där vågorna utbreder sig (t.ex. en vattenyta för vattenvågor eller luft för en ljudvåg), men ljus kunde ju gå genom vakuum. Hugens föreslog att överallt i universum finns en osynlig eter som ljusvågorna utbreder sig i. Ett annat faktum som till en början verkade tala emot att ljus var en våg, var att vågor var kända för att böja av bakom ett föremål. Men, ljus ger ju skarpa skuggor och ljusstrålarna verkar går rakt fram. Newtons starka ställning som en av världens främsta vetenskapsmän genom tiderna gjorde att vågteorin hamnade i skymundan och att Newtons beskrivning av ljus var förhärskande under hela 1700-talet.

93 Optik 1 91 Vid 1800-talets början gjordes flera upptäckter som bara kunde förklaras av att ljus är en våg. Redan tidigare hade flera experiment visat att ljus i vissa fall böjer av bakom en öppning, se figuren nedan. Figur 19.2 Diffraktion i liten öppning Fenomenet att ljus böjer av bakom ett föremål eller öppning kallas diffraktion och kan förklaras med vågteorin. Om ljuset däremot var partiklar borde de gå rakt fram efter hålet. Engelsmannen Thomas Young ( ) utförde 1803 sitt berömda dubbelspaltsexperiment (se figuren nedan) där han visar att två ljusvågor kan förstärka eller helt släcka ut varandra. Fenomenet kallas interferens och är svårt att förklara med partikelteorin, men Young visade att två vågor kan ge upphov till interferens. Figur 19.3 Interferens mellan vågor från två små öppningar Fransmannen Augustin-Jean Fresnel ( ) lade 1818 fram en vidareutveckling av Huygens vågteori och kunde förklara både diffraktion, interferens och polarisation. Fransmannen Siméon Denis Poisson ( ), som var en anhängare av Newtons partikelteori, försökte bevisa att Fresnels vågteori var fel genom att visa att teorin gav orimliga resultat. Poisson gjorde beräkningar och kom fram till att vågteorin gav att i vissa fall så finns en ljus fläck mitt i skuggan bakom ett runt objekt.

94 Optik 1 92 Detta ansåg Poisson vara ett absurt resultat som motbevisade vågteorin. Men när man sedan gjorde experiment och fann den ljusa fläcken (som kom att kallas Poissons fläck), blev fläcken istället det slutgiltiga beviset för att vågteorin var korrekt! Skotten James Clerk Maxwell ( ) arbetade med elektriska och magnetiska fält och kom fram till att dessa fält kopplade tillsammans kan ge upphov till en vågrörelse som kan utbreda sig i vakuum utan ett omgivande medium. Han visade matematiskt att hastigheten hos denna elektromagnetiska våg var konstant och överensstämde med ljusets hastighet, som tidigare uppmätts experimentellt. Han drog den viktiga slutsatsen att ljus är en elektromagnetisk vågrörelse. I början av 1900-talet gjordes flera upptäckter (Max Planck, Albert Einstein mfl.) som visade att energin i en elektromagnetisk våg (dvs. ljus) uppträder i diskreta paket, ljuskvanta. Dessa resultat utgör grunden för kvantoptiken. Geometrisk optik I geometrisk optik betraktas ljuset som strålar, som går rakt fram tills de bryts eller reflekteras i en gränsyta. Modellen fungerar utmärkt till att analysera och designa optiska system, men kan inte förklara t.ex. polarisation, interferens, eller hur ljus och materia växelverkar. Geometrisk optik kan också delas in i ytterligare en undergrupp som i figuren intill. Paraxial optik, approximerar brytningslagen vilket gör beräkningarna ännu enklare, men som också gör att vissa viktiga effekter, aberrationer, inte kommer med. Hela kursen Optik 1 har fram tills nu i princip handlat om paraxial optik. I kursen Optik 2 kommer vi att gå igenom aberrationer och bildkvalitet, och därmed täcka in mer av den geometriska optiken. Fysikalisk optik Inom fysikalisk optik betraktas ljuset som en vågrörelse, vilket gör att vi kan förklara t.ex. polarisation, interferens, eller diffraktion. De sista föreläsningarna i Optik 1 och första föreläsningarna i kursen Optik 2 kommer handla om fysikalisk optik och de delar som gås igenom är utvalda för att de har praktiska tillämpningar för optiker. Fysikalisk optik behövs för att förstå mer om färg och därmed dispersion, för att förstå hur polaroidglasögon fungerar, för att förstå hur en antireflexbehandling är uppbyggd och för att förklara ögats yttersta optiska begränsningar. Kvantoptik Figur 19.4 Indelning av geometrisk optik Om man minskar mängden ljus till en mycket låg nivå upptäcker man att energin i ljuset kommer i klumpar, masslösa ljuspartiklar som kallas fotoner. Energin hos en enstaka foton är mycket liten och beror på ljusets våglängd. Fotoner med kortare våglängd har större energi och omvänt. Inom modern kvantoptik beskrivs ljus både som en partikel och en våg samtidigt, s.k. våg-partikeldualism. Kvantoptik behövs för att förstå hur ljus växelverkar med ett material, vilket sker i alla ljuskällor (t.ex. glödlampa, solen, laser) och i alla detektorer (t.ex. CCD, film i kamera, eller näthinnan). Kvantoptik representerar också ett av 2000-talets nya stora teknikområden med tillämpningar inom exempelvis kvantdatorer. Kvantoptik kommer inte att behandlas närmare i optikkurserna Optik 1 och Optik 2.

95 Optik 1 93 Allmänt om vågor Redan på Föreläsning 1 beskrev vi ljus som en vågrörelse och liknade ljuset med en vattenvåg. Om vi har en vattenvåg som rör sig längs x-axeln och fotograferar den från sidan och alltså fryser vågen vid ett visst ögonblick får vi något som ser ut som figuren nedan. Figur 19.5 Periodisk våg En våg där toppar och dalar upprepar sig och ser lika dana ut som i Figur 19.5 kallas en periodisk våg. I figuren finns två viktiga begrepp inritade: våglängden som är avståndet mellan två på varandra följande vågtoppar, samt amplituden a som visar hur mycket vågen svänger. våglängd [m] a amplitud För alla vågor så mäts våglängden i meter, men enheten för amplituden beror på vad det är för typ av våg. Amplituden för vattenvågor är i meter, men för ljus är det elektriska och magnetiska fält som svänger och vi behöver faktiskt inte veta vad amplituden har för enhet. För både vattenvågor och ljus så är själva svängningen vinkelrät mot vågens rörelseriktning (i figuren rör sig vågen längs x-axeln, men svängningen sker längs y-axeln). Sådana vågor kallas transversella vågor. Att ljus är en transversell våg är förklaringen till fenomenet polarisation som beskrivs på Föreläsning 21. (Ljud är ett exempel på en longitudinell våg där luftmolekylerna svänger längs ljudets utbredningsriktning.) Harmoniska vågor En periodisk våg kan se på många sätt, men den enklaste formen är en så kallad harmonisk våg där vågen är sinusformad, precis som i Figur 19.5 *. En harmonisk våg kan skrivas matematiskt som: (19.1) 2 y asin( x) (19.2) Om vi fryst vågen i Figur 19.5 vid ett annat ögonblick hade vågen varit något förskjuten. Det kan vi beskriva matematiskt genom att ändra inuti sinsusfunktionen i ekvationen ovan: 2 y asin( x ) (19.3) 2 x vågens fas begynnelsefas * Det visar sig att alla vågor, oberoende av form, kan uttryckas som en summa av olika harmoniska vågor. Därför är harmoniska vågor extra viktiga.

96 Optik 1 94 Vågens fas beskriver var man befinner sig på sinuskurvan, om man är på en vågtopp, en vågdal eller däremellan. Sinusfunktionen är periodisk med perioden 2, vilket betyder att två punkter längs x-axeln där fasen skiljer sig med 2eller flera 2 alltid har samma våghöjd. Sådana punkter sägs vara i fas med varandra, se de röda punkterna i Figur Avståndet mellan punkter som är i fas är alltid ett antal hela våglängder. Två punkter längs x-axeln där fasen skiljer sig med (eller ett udda antal ) har alltid precis motsatta våghöjder, när den ena är positiv är den andra lika stor men negativ. Sådana punkter sägs vara ur fas med varandra, se de blå punkterna i Figur Avståndet mellan punkter som är ur fas är alltid ett udda antal halva våglängder. Genom att ändra vågens begynneslefas kan vi flytta vågen och se hur det påverkar de blå och röda punkterna, se figuren nedan. Figur 19.6 Harmonisk våg med varierande begynnelsefas. Röda punkter i fas, blå punkter ur fas.

97 Optik 1 95 Våg som rör sig När begynnelsefasen ökas som i Figur 19.6 blir resultatet att vågen flyttar sig. Om vi lägger till en term i fasen i ekvation 19.3 som ändras med tiden t så får vi en våg som rör sig! 2 2 y asin( x t ) (19.4) T Ekv är uttrycket för en harmonisk våg som rör sig längs positiva x-axelns rikning. T 1 T periodtiden, perioden [sekund = s] frekvensen [1/s = Hertz = Hz] Perioden T är den tid det tar för vågen att flytta sig från en vågtopp till nästa, dvs. en våglängd. Frekvensen är så många vågtoppar som passerar per sekund när vågen rör sig förbi en punkt. Frekvensen och våglängden hänger ihop med hastigheten c hos vågen: (19.5) c [m/s] (19.6) T Intensitet Med ljuset transporteras energi, och vi behöver ett mått att mäta den energin med. De flesta källor vi är intresserade av lyser under långa tidsperioder och då är vi mer intresserade av hur mycket energi de ger per sekund. Energi per sekund är effekt, och effekt mäts i Watt [W]. Ljuset är också ofta utspritt över en stor yta och då vill man istället veta hur mycket effekt vi har per belyst yta. Detta kallas till vardags intensitet I I energi effekt 2 intensitet = [W/m ] yta tid yta Intensiteten som vågen har beror på hur stor svängningen y är. Man kan visa att I blir proportionell mot tidsmedelvärdet av y 2 vilket leder till att I är proportionell * mot amplituden i kvadrat: (19.7) 2 I a (19.8) Vi härleder inte detta samband, men det kommer att användas flitigt när vi senare kommer till interferens. Elektromagnetiska vågor Maxwell visade att ljus är en elektromagnetisk vågrörelse. Det som svänger i ljusvågen är alltså både ett elektriskt och ett magnetiskt fält som alltid är vinkelräta mot varandra. Vi behöver oftast inte veta så mycket om hur de två fälten är orienterade, men när vi senare talar om polarisation och att ljuset svänger i en viss riktning så är det riktningen på det elektriska fältet vi menar. Ljushastigheten i vakuum är c ,458 km/s. Våglängden för elektromagnetiska vågor spänner över ett mycket stort område. Kosmisk strålning, mikrovågor, röntgen, värmestrålning, radiovågor och ljus är alla elektromagnetiska vågor men deras våglängd skiljer dem åt, se Figur 1.2. Synligt ljus utgör en liten del av de elektromagnetiska spektrumet med våglängder från ca 400 nm till 700 nm (1 nm = 10 9 m). Frekvensen hos ljus är Hz. * Begreppet proportionell emot, som skrivs med tecknet ~, betyder att intensiteten ges av en konstant gånger 2 amplituden i kvadrat, I K a. Men vi vet inte hur stor konstanten K är, och vi bryr oss egentligen inte heller. Det viktiga är att om a förändras så vet vi vad som händer med I t.ex. att om a fördubblas, så blir I fyra gånger så stort.

98 Optik 1 96 På näthinnan i ögat finns ljuskänsliga celler i form av tappar och stavar som reagerar på ljusets intensitet. Tapparna är de celler som är aktiva i dagsljus och som ger oss vår bästa synskärpa. (Stavarna är bara aktiva när ljuset är mycket svagt och ger oss vårt mörkerseende.) Det finns tre typer av tappar på näthinnan som är känsliga för korta, mellan respektive långa våglängder i det synliga området. Det här gör att vi kan se skillnad på olika våglängder hos ljuset genom att vi upplever att ljuset har olika färg. Våglängd [nm] Violett Blått Grönt Gult Orange Rött Vitt ljus är en blandning av alla våglängder. Ljuskällor Med ljuskällor menar vi olika sätt att generera ljus för exempelvis belysning. Vår viktigaste ljuskälla är förstås solen, men vi använder exempelvis LED-lampor för att lysa upp våra hem. En viktig egenskap hos en ljuskälla är det spektrum den har, dvs. hur effekten från ljuskällan fördelar sig över våglängderna hos ljuset den ger ifrån sig. Glödlampor Glödlampor, eld och solen ger alla ifrån sig ljus på grund av att de är mycket varma. Om man värmer upp ett material så börjar det avge elektromagnetiska vågor. Vid lägre temperaturer avges mest värmestrålning (jämför med att hålla handen ovanför en spisplatta) med långa våglängder. När temperaturen ökar så avges mer och mer strålning och våglängderna blir kortare. Vid riktigt höga temperaturer får man en stor andel synligt ljus och föremålet börjar lysa. Den elektromagnetiska strålningen från en varm yta kallas svartkroppsstrålning och spektrumet visas i figuren nedan. Figur 19.7 Svartkroppsstrålning

99 Optik 1 97 När temperaturen är runt 3000 K (2727 ºC) ser ljuset gulvitt ut och när den är runt 6000 K (5727 ºC) blir det mer blåvitt. Temperaturen som det varma föremålet har kallas därför ibland färgtemperaturen för ljuset den ger ifrån sig. Glödtråden i en glödlampa består av volfram och värms upp till ca 2700 K (2427 ºC). Solen har en temperatur på ytan som är ca 5800 K (5527 ºC). Lysrörslampor I ett lysrör så skapas ljuset genom att en ström av elektroner går genom röret som är fyllt med kvicksilver i gasform. När elektronerna, som har hög hastighet, kolliderar med kvicksilveratomerna ger de ifrån sig energi till atomerna (exciterar dem). Kvicksilvret gör sig sedan av med energin genom att skicka ut ultraviolett strålning vid 254 nm våglängd. Ett fluorescerande pulver på insidan av röret omvandlar den kortvågiga strålningen till de ljusvåglängder vi vill ha från lysröret. Ljuset från en lysrörslampa innehåller många olika våglängder och ljuset ser vitt ut, men spektrumet är mycket mer ojämnt (höga toppar för vissa våglängder) jämfört med glödlampans, se figuren nedan. Lysdiodslampor (LED-lampor) I en lysdiod skapas ljuset genom att en ström leds genom en så kallad PN-övergång i ett halvledarmaterial. Ljuset som avges från materialet har ett relativt smalt spektrum och består i princip av bara en våglängd som bestäms av halvledarmaterialet. De första lysdioderna var röda, sedan kom gröna, gula och till sist blå. Den blå lysdioden är den som används i LED-lampor för belysning och är den mest effektiva ljuskällan vi har för belysning. Forskningen som ledde fram till den blå lysdioden belönades med Nobelpriset För att göra vitt ljus av den blå lysdioden används som i lysrörslamporna fluorescerande ämnen som omvandlar en del av det blå ljuset till grönt och rött. Spektrumet från en LED-lampa är jämnare än från lysrören, men har fortfarande en del toppar jämfört med en glödlampa. Figur 19.8 Spektrum för lysrör och LED-lampa Laser Lasern är en av 1900-talets viktigaste uppfinningar med otaliga tillämpningar. Ljuset i lasern alstras genom en process som kallas stimulerad emission. Stimulerad emission, som teoretiskt förutsågs av Einstein, gör det möjligt att skapa en ljusförstärkare med speciella egenskaper. När en foton (ljuspartikel) med rätt våglängd går genom ljusförstärkaren kommer den stimuleras att skicka ut ytterligare en foton med exakt samma våglängd och i exakt samma riktning. Om vi sätter ljusförstärkaren mellan två parallella speglar kan vi få processen att snabbt upprepa sig och vi får massor med fotoner med exakt samma våglängd och ritning vi har byggt en LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Det speciella med ljuset från en laser är att det har en enda våglängd och att ljuset har en enda riktning i form av en smal, parallell stråle. (Glödlampor, solen, lysrör, LED-lampor ger i princip ifrån sig alla våglängder i alla riktningar.) Laserns våglängd bestäms av materialet i ljusförstärkaren och det finns lasrar i nästan alla våglängder. Det som gör lasrar farliga för ögat är att det parallella ljuset lätt fokuseras av ögat till en liten punkt på näthinnan som då kan få en brännskada. Inom ögonsjukvården används bl.a, gröna lasrar för operera näthinnan, infraröda lasrar för att efterbehandla gråstarr och ultravioletta lasrar för att operera närsynthet.

100 Optik 1 98 Föreläsning 20 (kap 11.1, i Optics) Dispersion, färg Optiska material växelverkan mellan ljus och materia I optiska material växelverkar ljus med materia. När ljus faller in mot en gränsyta mellan två material konstaterade vi redan på Föreläsning 2 att följande kan ske: 1. Brytning 2. Absorption 3. Reflektion 4. Spridning I paraxial geometrisk optik, som kursen hittills handlat om, har vi inte brytt oss om våglängden. Vi har antagit att optiken är likadan för alla färger (våglängder) hos ljuset. Men så är inte fallet. De flesta egenskaper hos optiska material beror på våglängden. Anledningen är att ljusets växelverkan med materien beror på avståndet mellan atomerna i materialet och dess förhållande till våglängden på ljuset. 1. Våglängdsberoende brytningsindex dispersion (uppdelning av vitt ljus i spektrum) 2. Våglängdsberoende absorption selektiv absorption (färgfilter) 3. Våglängdsberoende reflektion selektiv reflektion (färg på ytor) 4. Våglängdsberoende spridning (himlen är blå) Dispersion För genomskinliga material är absorption och spridning liten och brytningsindex bestämmer materialets egenskaper. Exempel: Bra glas <50 % absorption på 1 m. Bra optisk fiber <50 % absorption på 10 km! Nästan alla genomskinliga material har högre brytningsindex för kortare våglängder. Blått ljus högre brytningsindex bryts mer Rött ljus lägre brytningsindex bryts mindre Oftast 0,5 2 % skillnad i n mellan blått och rött Nästan alltid betyder stort n också stor skillnad mellan olika våglängder (dvs. högbrytande glas har mer dispersion) Figuren nedan visar brytningsindex n(λ) som funktion av våglängden för två olika glasmaterial. Ett glas med högt brytningsindex (högbrytande) och ett standardglas (lågbrytande). Figur 20.1 Dispersion i två olika glassorter

101 Optik 1 99 Eftersom brytningsindex n ändras med våglängden (färgen) kommer olika färger hos ljuset att brytas olika genom prismor och linser. Figuren nedan visar hur en stråle med vitt ljus delas upp i sina olika färger när den bryts genom ett prisma. Figur 20.2 Dispersion i prisma Avböjningsvinkeln genom ett tunt prisma med liten toppvinkel a ges av (se ekvation 3.2): v ( n 1) a (20.1) grönt grönt Spektrallinjer Eftersom brytningsindex hos materialet varierar med våglängden måste vi noga specificera vilken våglängd vi menar när vi räknar ut avböjningen i prismat. Det är alldeles för otydligt vad som menas med grönt ljus i ekvation För åstadkomma detta använder man vissa spektrallinjer hos några grundämnen i gasform. En atom av ett visst ämne kan fås att skicka ut ljus vid bestämda våglängder, spektrallinjer, som är karaktäristiska för just det grundämnet. Tabellen nedan visar några sådana spektrallinjer och deras beteckningar. Tabell 20.1 Spektrallinjer [nm] Grundämne Beteckning Färg 656,28 Väte C Röd 643,85 Kadmium C Röd 587,56 Helium d Gul 546,07 Kvicksilver e Grön 486,13 Väte F Blå 479,99 Kadmium F Blå När man experimentellt mätt upp brytningsindex för olika material har man använt ljus från olika spektrallinjer. Istället för att skriva blått, grönt eller rött kan man alltså använda beteckningarna för motsvarande spektrallinje. Man behöver ofta en kort, en mellan och en lång våglängd. Vanligt är att man väljer spektrallinjerna F, d och C: n n n F d C n( ) kort våglängd (blått) F n( ) mellanvåglängd ( grönt, egentligen gult) d n( ) lång våglängd (rött) C När man talar om blått, grönt och rött är det oftast dessa våglängder man menar. Andra röda, blå eller gröna våglängder förekommer, t.ex. λ e =546,07 nm (grönt, kvicksilver), men i så fall anges detta tydligt.

102 Optik Abbetal Om vi använder dessa beteckningar kan vi skriva avböjningen i det tunna prismat som: v ( n 1) a F F v ( n 1) a d d v ( n 1) a C C (20.2) Brytningen i prismat blir alltså olika för rött och blått ljus på grund av dispersionen i glasmaterialet. Denna effekt kan man utnyttja för att dela upp vitt ljus i ett spektrum. Prismor (med stor toppvinkel) har historiskt använts i spektrometrar för detta ändamål. Om man istället, som optiker gör, använder ett tunt prisma för att titta igenom (se Figur 3.4), kommer man se färgade kanter på föremål. Det är en negativ effekt som kallas kromatisk aberration och som blir speciellt besvärande i glasögon med högbrytande glas (eftersom de också har hög dispersion). Mer om det i kursen Optik 2. Relativ dispersion är ett mått på hur mycket dispersion ett material har och motsvarar den procentuella skillnaden i avböjningsvinkel mellan blått och blått ljus i ett prisma: vf vc nf nc Relativ dispersion v n 1 d d Den relativa dispersionen är ca 1,5 % 3 % i glas- och plastmaterial som används till glasögon. Ett högt värde betyder mycket dispersion. Ett vanligare sätt att ge dispersionen är dock Abbetal V: V d 1 nd 1 relativ dispersion n n F C (20.3) Abbetal (20.4) Index d på Abbetalet V d visar att just dessa spektrallinjer (F, d och C) använts. Man kan använda andra spektrallinjer, t.ex. Ve ( ne 1) / ( nf ' nc '). Ibland skriver vi bara V för Abbetalet och då menar vi underförstått V d eller att det inte spelar så stor roll vilket. Högt Abbetal låg dispersion, liten skillnad mellan våglängder Lågt Abbetal hög dispersion, stor skillnad mellan våglängder Abbetalet varierar mellan ca 30 och 60 för normala optiska material för exempelvis glasögon. Det finns mängder av olika glas- och plastmaterial som används för optiska tillämpningar. Tabell 20.2 nedan ger några exempel. Dispersion i tunn lins Styrkan för en tunn lins med brytningsindex n i luft ges av (se ekvation 7.3): 1 1 F n1 r1 r2 Dispersionen i materialet kommer göra att linsen får olika styrka för rött, grönt och blått ljus. Figur 20.3 Dispersion i tunn lins

103 Optik Skillnaden i styrka mellan blått och rött ljus ges av: 1 1 ( nf n ) 1 1 C Fd FF FC ( nf nc ) ( nd 1) r1 r 2 ( nd 1) r1 r 2 Vd (20.5) Att bilden hamnar på olika avstånd efter linsen beroende på våglängd kommer ge kromatisk aberration och sämre bildkvalitet. Mer om det i kursen Optik 2. Tabell 20.2 Data för några vanliga optiska material Material n d V d n F n e n C Densitet [g/cm 2 ] Mineralglas * N-BK7 1, ,17 1, , , ,51 N-K5 1, ,48 1, , , ,59 N-BAK4 1, ,98 1, , , ,05 LF5 1, ,85 1, , , ,22 F2 1, ,37 1, , , ,60 N-SK16 1, ,32 1, , , ,58 SF2 1, ,85 1, , , ,86 N-LAK8 1, ,83 1, , , ,75 N-LAF2 1, ,85 1, , , ,30 SF4 1, ,58 1, , , ,79 SF6 1, ,43 1, , , ,18 SF57 1, ,83 1, , , ,51 Plastglas PMMA 1, ,45 1, , , ,19 CR39 1, ,54 1,5040 1,5001 1,4956 1,32 Polykarbonat 1, ,89 1, , , ,20 Polystyren 1, ,90 1, , , ,06 MR-7 1, ,56 1,6748 1,6648 1,6539 1,35 Vatten 1, ,77 1, , , ,997 Selektiv absorption De flesta material är inte genomskinliga (transparenta) utan när ljuset går genom materialet kolliderar fotonerna med atomerna i materialet och energin i ljusvågen omvandlas gradvis till värme. Denna process kallas absorption. Figur 20.4 Absorption Andelen av ljuset som kommer igenom ett material med en viss tjocklek kallas för transmittans, T: * Data tagna från datablad från tillverkaren SCHOTT Data tagna från tabell 14.1 i M. H. Freeman, C. C. Hull (2003), Optics, 11:e upplagan, Butterworth-Heinemann

104 Optik I T T I 0 (0 T 1) (20.6) Där I 0 är intensiteten på infallande ljuset och I T intensiteten på ljuset som kommer igenom. Transmittansen minskar med ökad tjocklek på materialet. Om t.ex. 1 mm av materialet släpper igenom 50 % (0,5) av ljuset kommer 2 mm släppa igenom 0,5 0,5 0,25 25 % osv. Det leder till att transmittansen beror av tjockleken enligt kurvan i Figur 20.4 *. (Här bortser vi från att en del av ljuset reflekteras vid ytorna.) Absorptionen och därmed transmittansen beror på våglängden hos ljuset: T = 0 för alla våglängder Ogenomskinligt material T 1 för alla våglängder Genomskinligt, ofärgat material (t.ex. glas) T = konstant<1 för alla våglängder Neutral absorption, neutralt grått material/filter T varierar med våglängden Selektiv absorption, färgat material/filter (t.ex. färgat glas) Selektiv reflektion Figur 20.5 Selektiv absorption färgfilter Vid gränsytan mellan två material reflekteras en del av ljuset som träffar ytan. Om ytan är matt sprider sig det reflekterade ljuset i alla riktningar efter reflektionen. Denna diffusa reflektion är det som gör att vi ser ytorna på alla föremål omkring oss. Figur 20.6 Reflektion * T e t, där [mm -1 ] kallas absorptionskoefficient.

105 Optik Andelen av ljuset som reflekteras kallas för reflektans, R: I R I R 0 Reflektansen beror på våglängden hos ljuset: (0 R 1) (20.7) R liten för alla våglängder Svart yta R stor för alla våglängder Vit yta R = konstant<1 för alla våglängder Grå yta R varierar med våglängden Selektiv reflektion, färgad yta, målarfärg Våglängdsberoende spridning I vissa material absorberas inte ljuset, men atomerna eller molekylerna i materialet får istället ljuset att ändra riktning. Det kallas spridning. Exempel på material med stor spridning är vattenånga, rök mm. Spridningen kan också bero på våglängden hos ljuset. När ljuset sprids av små partiklar (mindre än våglängden hos ljuset) så blir spridningen kraftigt våglängdsberoende: Spridning från små partiklar 1 4 Blått ljus sprids mest! * Spridningen högt uppe i atmosfären orsakas av små molekyler i luften och sprider därför blått ljus mycket mer än grönt och rött ljus. Det är orsaken till både att himlen ser blå ut på dagen och att solnedgången ser rödaktig ut, se figurerna nedan. I ögat sker också en viss spridning av ljuset, mest i hornhinnan och linsen. Även i ögat sprids blått ljus mer än rött. Figur 20.7 spridning i atmosfären * blått =400 nm, sprids 9 ggr mer än rött =700 nm eftersom 4 4 (1/ ) / (1/ ) 9,3 blått rött

106 Optik Föreläsning 21 (kap i Optics) Polarisation För att förstå hur polariserande solglasögon fungerar måste vi veta vad polarisation är, sedan hur polarisationsfilter fungerar, och till sist varför reflexer från ytor ofta är polariserade. Polarisation vad är det? Fältet * hos en ljusvåg kan svänga i flera olika riktningar. I figuren nedan visas en våg som rör sig längs x-axeln. Då kan fältet svänga längs y-axeln, z-axeln eller en kombination av dessa. (Dock ej längs x- axeln eftersom ljus är en transversell vågrörelse) Figur 21.1 Våg som svänger längs y-axeln med amplitud a y och begynnelsefas δ y och längs z-axeln med amplitud a z och begynnelsefas δ z Eftersom de två vågorna i figuren ovan egentligen är två komponenter av samma våg, måste de ha samma våglängd λ och samma period T. Däremot kan amplituden a och begynnelsefasen δ vara olika, vilket vi kan markera genom att kalla dem a y och δ y respektive a z och δ z. Hela ljusvågen ges av svängningen i y-led och svängningen i z-led tillsammans. För att illustrera hur polarisationen hos vågen kan se ut ritar vi upp hur svängningen ser ut i y-z-planet. (Tänk dig att du är vid origo och tittar längs x-axeln, som är ljusets riktning. Då kommer fältet variera enligt figurerna nedan när vågen rör sig framåt.) Figur 21.2 Exempel på olika polarisationstillstånd * När vi talar om riktningen på fältet i en ljusvåg menar vi det elektriska fältets riktning.

107 Optik Linjärpolariserat ljus innebär att ljusvågen svänger i ett plan (se figuren ovan). Ljuset blir linjärpolariserat när svängningen i y-led är precis i fas med svängningen i z-led, dvs. när fasskillnaden mellan komponenterna är y z =. (Om komponenterna är precis ur fas med varandra, dvs. =, är ljuset också linjärpolariserat men med annan riktning.) Linjärpolariserat ljus får man exempelvis från vissa lasrar eller genom att använda ett polarisationsfilter, se nedan. Om fasskillnaden mellan polarisationskomponenterna i y-led och i z-led är =± och amplituderna är lika stora får man cirkulärpolariserat ljus, se figuren ovan. Om fasskillnaden har något annat värde, som inte ger linjärpolariserat eller cirkulärpolariserat ljus, så är ljuset elliptiskt polariserat. Vanligt ljus (ljus från solen, vanliga lampor) är opolariserat. Det innebär att svängningen på ljuset snabbt byter riktning många gånger per sekund och ljuset svänger slumpmässigt åt alla håll. För opolariserat ljus ändrar sig fasskillnaden mellan y- och z-komponenterna hela tiden. Polarisationsfilter Ett polarisationsfilter (t.ex. polariserande solglasögon) består av mycket täta linjer av ett ledande material de ska ligga tätare ihop än en våglängd. När ljus går igenom ett sådant filter släpps ena polarisationsriktningen igenom, men inte den andra *. Ljuset efter ett polarisationsfilter blir alltid linjärpolariserat längs filtrets genomsläppsriktning, oavsett vad det hade för polarisationstillstånd innan filtret. Hur mycket ljus kommer igenom ett polarisationsfilter? Det beror på den infallande polarisationen enligt figuren nedan. Figur 21.3 Polarisationsfilter. Ljuset går åt höger i figuren Om det infallande ljuset är opolariserat med intensiteten I 0 släpper polarisationsfiltret igenom hälften av ljuset och intensiteten efter filtret blir I 0 /2. Om det infallande ljuset är linjärpolariserat med intensiteten I släpper polarisationsfiltret igenom en del av ljuset. Intensiteten efter filtret beror på vinkeln mellan infallande polarisationsriktning och filtrets genomsläppsriktning enligt följande : 2 I' Icos Malus lag (21.1) Exempel: Ɵ=90, korsade polarisationsfilter I = I cos 2 90 = 0 Inget kommer igenom! * Något oväntat är det polarisationsriktningen längs med linjerna som inte kommer igenom, men grubbla inte för mycket på det. 2 cos betyder 2 (cos( ))

108 Optik Dubbelbrytning I en del material är ljusets hastighet olika för olika polarisationsriktningar. Sådana material kallas dubbelbrytande eftersom det finns två brytningsindex, en för varje polarisationsriktning. Ett material kan vara dubbelbrytande för att det har en inbyggd asymmetri som beror på hur atomstrukturen ser ut i materialet. Men, vanliga material som normalt inte är dubbelbrytande, som plast och glas, kan också bli dubbelbrytande om man utsätter det för spänningar (tryck eller drag). Det sistnämnda kallas spänningsdubbelbrytning. Figur 21.4 Dubbelbrytande material. Ljuset går i x-axelns riktning. Enkla dubbelbrytande material har en symmetriaxel. Ljus polariserat längs symmetriaxeln får brytningsindex n e, så kallat extraordinärt index. Ljus polariserat vinkelrätt mot symmetriaxeln får brytningsindex n o, så kallat ordinärt index. Dubbelbrytning kan leda till att ljuset delas upp i två linjärpolariserade vågor i olika riktningar, som t.ex. i ett prisma gjort av dubbelbrytande material, se figuren nedan. Figur 21.5 Dubbelbrytande prisma Men, dubbelbrytning kan också leda till att man får en fasskillnad mellan de två polarisationskomponenterna, utan att de delas upp från varandra, så som i Figur Eftersom fasskillnaden mellan polarisationskomponenterna påverkar polarisationen (se Figur 21.2) så kommer ett dubbelbrytande material ändra polarisationen hos ljuset. Figuren nedan visar hur infallande linjärpolariserat ljus påverkas av ett dubbelbrytande material om fasskillnaden blir /2 eller.

109 Optik Figur 21.6 Ändring av polarisation genom dubbelbrytning. Materialets symmetriaxel ligger längs y-axeln. Om ett dubbelbrytande material placeras mellan två korsade polarisationsfilter kommer ljus komma igenom där dubbelbrytningen vrider polarisationen. Denna effekt kan man t.ex. använda för att hitta spänningar när man kontrollerar monteringen av glas i bågar! Fasskillnaden efter den dubbelbrytande plattan i Figur 21.4 ges av (se optisk vägskillnad på Föreläsning 22): 2 ( ned nod ) (21.2) Fasskillnaden (och därmed polarisationsvridningen) beror alltså av hur dubbelbrytande materialet är, av hur tjockt materialet är, och framför allt av våglängden. Det förklarar varför man får färgeffekter när man placerar ett starkt dubbelbrytande material mellan två korsade polarisationsfilter. Polarisation genom reflektion Brewstervinkel Opolariserat ljus som reflekteras från en blank yta, t.ex. från en vattenyta, blir ofta linjärpolariserat. Det sker om infallsvinkeln på ljuset ligger i eller nära den så kallade Brewstervinkeln, i b, se figuren nedan. Figur 21.7 Brewstervinkel Brewstervinkeln inträffar när det är 90º mellan riktningen på det reflekterade ljuset och riktningen på det brutna ljuset som går in i materialet. Förklaringen är att den reflekterade vågen uppstår genom att den brutna vågen skapar vibrationer hos molekylerna i det översta lagret av materialet som vågen går

110 Optik in i. Vibrationerna sker i polarisationsriktningen hos den brutna vågen. Sett från den reflekterade vågen finns dock bara en vibrationsriktning som kan ge upphov till polarisationen hos det reflekterade ljuset som därmed blir linjärpolariserat vinkelrätt mot infallsplanet (papprets plan i Figur 21.7). Vid Brewstervinkeln gäller att i b + i b = 90. Insatt i brytningslagen får vi då * : n ' tani b (21.3) n Exempel: polariserande solglasögon Reflexer från vattenytor kan vara besvärande i solsken. Om solen står någotsånär i rätt höjd, så att ljuset faller in mot vattnet nära Brewstervinkeln, kommer det reflekterade ljuset från vattenytan vara linjärpolariserat. Då kan man ta bort reflexerna helt med hjälp av ett polarisationsfilter framför ögat med vertikal genomsläppsriktning, se figuren nedan. Brewstervinkeln mot vatten blir: tan i 4 / 3 => b i 53 b Figur 21.8 Solglasögon med polarisationsfilter Solljus som reflekteras från andra ytor som inte är blanka är opolariserat och släpps igenom till hälften av de polariserande solglasögat. * Härledning av formeln för Brewstervinkeln: i b + i b = 90 => i b = 90 i b Sätt in detta i brytningslagen n sin i b = n sin i b = n sin(90 i b ) = n cos i b Det kan vi skriva om till sin i b = n cos i b n <=> tan i b = n n

111 Optik Fresnels formler När ljus träffar en gränsytayta mellan två transparenta material vet vi hur det reflekteras (reflektionslagen) och hur det bryts (brytningslagen). Vi skulle också vilja veta hur stor andel av ljuset som reflekteras (reflektans R [%]), och hur stor andel av ljuset som bryts och går in i materialet (transmittans T [%]). Från föregående avsnitt förstår vi att R och T kommer att bero både på materialens brytningsindex, ljusets infallsvinkel och på vilken polarisation ljuset har. Vi gör ingen härledning här, utan konstaterar bara att sambandet mellan reflektansen R,och infalls- och brytningsvinklarna kallas Fresnels formler. Formlerna ges nedan och figuren visar R som funktion av infallsvinkel för exemplet luft-glasyta. Figur 21.9 Fresnels formler För ljus polariserat i infallsplanet (papprets plan i Figur 21.9; kallas parallellt polariserat, ) gäller: R 2 I R tan ( i i') 2 I0 tan ( i i ') (21.4) För ljus polariserat vinkelrätt mot infallsplanet (kallas vinkelrätt polariserat, ) gäller: R 2 I R sin ( i i') 2 I0 sin ( i i ') Det ljus som inte reflekteras kommer att transmitteras (brytas och gå in i det nya materialet): T 1R T 1R Vinkelrätt infall När ljuset faller in vinkelrätt mot ytan, så infallsvinkeln i är noll eller nära noll, blir reflektansen densamma för alla polarisationer. Fresnels formler kan då förenklas till: R n n' n n' 2 2 (21.5) (21.6) (21.7) Då beror reflektansen enbart av skillnaden i brytningsindex. Stor skillnad ger högt R, liten skillnad ger litet R. OBS: R blir densamma oavsett vilket håll ljuset kommer ifrån! Exempel: Vanligt plastglas i vinkelrätt infall, n=1, n =1,5 ger 2 (11.5) 2 (11.5) R % Exempel: Högbrytande plastglas i vinkelrätt infall, n=1, n =1,74 ger 2 (11,74) 2 (11,74) R %

112 Optik Föreläsning 22 Interferens (kap , i Optics) Hittills när vi beskrivit ljusets vågnatur har vi tänkt oss en harmonisk vågrörelse i taget. Om vi har två eller flera ljusvågor samtidigt kan vi få fenomenet interferens som är typiskt för alla vågor. Interferens mellan två vågor betyder kort att vågorna läggs ihop till en total våg, där vågorna antingen förstärker varandra eller släcker ut varandra, beroende på omständigheterna. Interferens är bl.a. grunden för hur antireflexbehandlingar av glasögon är uppbyggda och hur moderna, multifokala intraokulärlinser * fungerar. En grundläggande förståelse för interferens är också nödvändigt för att förklara fenomenet diffraktion som ger den yttersta begränsningen av ögats bildkvalitet. Antireflexbehandlingar beskrivs på Föreläsning 23 och diffraktion kommer i början av kursen Optik 2. Lägga ihop vågor superpositionsprincipen Figuren nedan visar två ljusvågor som sammanfaller i punkten P. Figur 22.1 Interferens mellan två vågor De två vågorna var för sig i punkten P kan skrivas som (se ekvation 19.4): y a sin( x t ) a sin( ) T y a sin( x t ) a sin( ) T Om man befinner sig i P upplever man en sammanlagd ljusvåg som är summan av de två vågorna: y y y tot 1 2 Att vågor kan läggas ihop på detta sätt kallas superpositionsprincipen och gäller alla vågor, både ljud och ljus. I Figur 22.1 är vågorna precis ur fas när de möts i P och y 2 = y 1. Då kommer vågorna släcka ut varandra och vi får lite ljus just där (destruktiv interferens). I en annan punkt kan istället vågorna vara i fas och då förstärker de varandra (konstruktiv interferens) och vi får mycket ljus i den punkten (jämför Figur 19.3). Ljusvågorna rör sig snabbt framåt och y 1 och y 2 varierar mycket snabbt med tiden. Ögat och andra detektorer, som t.ex. sensorn i en kamera, kan inte mäta den snabbt varierande ljusvågen direkt utan registrerar vågens intensitet som är ett tidsmedelvärde. Total intensitet i P ges av: I y ( y y ) (strecket ovanför markerar tidsmedelvärde) tot 2 2 tot 1 2 * Intraokulär lins är en plastlins som ersätter ögats egen lins vid en gråstarrsoperation. Multifokal betyder att linsen har flera styrkor samtidigt så att man kan se både på långt håll och nära. Superpositionsprincipen gäller så länge intensiteterna hos vågorna inte är för höga vilket gäller alla ljuskällor som vi normalt stöter på.

113 Optik Om vi sätter in uttrycken för de två vågorna och tar bort alla termer som uppenbart har tidsmedelvärdet noll får vi efter en del räknande: I I I 2 I I cos( ) (22.1) tot interferensterm Där är fasskillnaden mellan vågorna: 1 2 ( x t ) T1 1 ( x t ) T2 2 och I 1 och I 2 är intensiteterna för varje våg för sig om de varit ensamma i punkten P. Koherens Inkoherenta vågor Cosinus varierar mellan 1 och +1. Om fasskillnaden ändras med tiden så blir tidsmedelvärdet av cos() noll och interferenstermen i ekvation 22.1 försvinner: I I I (inkoherenta vågor) (22.2) tot 1 2 Det är den överlägset vanligaste situationen när det gäller ljus. Minsta skillnad i våglängd/frekvens mellan vågorna leder till detta. Om t.ex. två ficklampor lyser på en vägg så blir totala intensiteten bara summan av intensiteterna. Ljuset från den ena ficklampan kan inte interferera med ljuset från den andra och släcka ut det eftersom de inte kan ha exakt samma våglängd. Faktum är att om ljuset kommer från två olika ljuskällor kommer de aldrig kunna interferera med varandra. Även om källorna skulle ha samma våglängd och frekvens (t.ex två lasrar) så skulle begynnelsefaserna 1 och 2 ändå ändra sig snabbt oberoende av varandra. Vågor som inte kan interferera med varandra kallas inkoherenta. Koherenta vågor För att vi skall få interferens så måste fasskillnaden mellan vågorna vara konstant. Enda möjligheten för detta är att de två vågorna har samma våglängd och ursprungligen kommer från samma ljuskälla så att 1 = 2 =, T 1 =T 2 och 1 = 2. Då får vi: I I I 2 I I cos( ) (koherenta vågor) (22.3) tot ( x1 x2) x x=(x 1 x 2 ) är vägskillnaden mellan vågorna. Vågor som interfererar med varandra kallas koherenta. Om ljuskällan innehåller flera våglängder så får inte heller vägskillnaden x mellan vågorna vara för stor för då blir fasskillnaden väldigt olika för olika våglängder och interferensen suddas ut. Den största vägskillnad man kan ha och fortfarande se interferens mellan vågorna kallas ljuskällans koherenslängd. Tabellen nedan visar koherenslängden för några olika ljuskällor. Ljuskälla Vitt ljus (solen, vanlig lampa) Enfärgad lysdiod Laser Koherenslängd < 1 m några m dm till km

114 Optik Den långa koherenslängden hos lasrar är anledningen till att vi lättare ser interferensfenomen med lasrar än med vanliga ljuskällor. Konstruktiv och destruktiv interferens Koherenta vågor kan interferera med varandra. Vågornas intensiteter I 1 och I 2 är alltid positiva men interferenstermen kan bli både negativ och positiv, beroende på värdet av cos(). Konstruktiv interferens Figur 22.2 cosinusfunktionen Om de två koherenta vågorna är i fas med varandra får vi konstruktiv interferens (kallas också interferensmaximum) med maximal intensitet (mycket ljus i punkten). Då gäller: I I I 2 I I tot , ±2π, ±4π, ±6π... (konstruktiv interferens) (22.4) x x1 x2 0, ±, ±2, ±3... När den ena vågen fått gå ett antal hela våglängder längre än den andra, är vågorna i fas och vi får konstruktiv interferens. Destruktiv interferens Om de två koherenta vågorna är ur fas med varandra får vi destruktiv interferens (interferensminimum) med minimal intensitet. Då gäller: I I I 2 I I tot ±π, ±3π, ±5π, ±7π... (destruktiv interferens) (22.5) x x x 0, ±, ±3, ± När den ena vågen fått gå ett udda antal halva våglängder längre än den andra, är vågorna ur fas och vi får destruktiv interferens. Exempel: Dubbelspalt Hur skapar man två vågor som kan interferera med varandra men som från början kommer från samma ljuskälla? Ett sätt är att dela upp vågfronten från ljuskällan i två nya vågor genom att låta dem passera två små öppningar, se Figur 19.3 och figuren nedan. Bakom de två öppningarna sprider ljuset ut sig på grund av diffraktion (se kursen Optik 2 ) och en våg från vardera av öppningarna träffar en punkt P på skärmen och interfererar med varandra. De två vågorna får gå olika långt och vägskillnaden blir x. Den totala intensiteten i en punkt på skärmen ges av ekvation 22.3, men eftersom intensiteterna i de två vågorna är lika (I 1 = I 2 = I) får vi: I I I 2 I I cos( ) 2 I(1 cos( )) tot 2 x

115 Optik Figur 22.3 Interferens i dubbelspalt När vågorna är i fas med varandra får vi interferensmaximum med stor intensitet på skärmen (det blir ljust). Det inträffar när 0, ±2π, ±4π, ±6π... x 0, ±, ±2, ±3... (interferensmaximum) Mitt emellan de olika de olika maxima får vi interferensminimum där det är helt mörkt och intensiteten blir noll. De ljusa och mörka områdena på skärmen kallas tillsammans för ett interferensmönster. Figuren visar interferensmönstret för tre olika våglängder (blått, grön och rött). När vägskillnaden x blir större mellan vågorna så stämmer inte interferensmönstren för de olika våglängderna överens längre och mönstret blir svårare att se. Se med begreppet koherenslängd ovan. Optisk väg/optisk vägskillnad Hittills har vi tänkt oss att vågorna som interfererar har gått i luft. Om ljuset går in i ett material med brytningsindex n är ljusets hastighet i materialet, c n, långsammare än i hastigheten i vakuum, c 0 : c n c0 n Eftersom frekvensen,, på ljuset inte gärna kan ändras vid en gränsyta (se figuren nedan) och c så måste våglängden n inuti ett material bli kortare jämfört med våglängden i vakuum: c 1 c n n 0 n n Figur 22.4 Optisk väg

116 Optik Alltså blir våglängden kortare i t.ex. glas än i luft. Då hinner ljuset med fler perioder på samma sträcka. Ljuset som går från B till P i Figur 22.4 har hunnit med fler perioder än om det gått samma sträcka i luft. Fasförändring från B till P: x x x ( x nx x ) n optisk väg L Om vi vill veta hur fasen förändras när ljuset går genom flera olika material beräknar vi alltså optisk väg, L, som är sträcka gånger brytningsindex: L x1n 1 x2n2 x2n3... (optisk väg) (22.6) Om vi har två vågor som gått var sin optisk väg L 1 och L 2 för att sedan interferera med varandra så får vi fasskillnaden utifrån optisk vägskillnad L L1 L2 enligt: 2 L (22.7) När vi skall räkna på interferens när vågorna inte bara går i luft så måste vi alltså byta ut vägskillnad x mot optisk vägskillnad L i det som gjorts i tidigare avsnitt. Fasskillnaden kan också påverkas av reflektioner, se nästa föreläsning.

117 Optik Föreläsning 23 (kap i Optics) Antireflexbehandling De två ytorna på ett glasöga reflekterar ca 4 7 % vardera. Antireflexbehandling av glasögon och andra optiska ytor minskar reflexen betydligt genom att utnyttja destruktiv interferens i tunt skikt. Interferens i tunna skikt kan också användas för att göra speglar med mycket hög reflektans eller speciella färgfilter som reflekterar eller släpper igenom vissa våglängder. Interferens i tunt skikt Figuren nedan visar hur interferens i tunt skikt uppstår. Ljuset från ljuskällan delas upp i två olika vågor genom att en del av ljuset reflekteras i den övre ytan och en del i den nedre ytan i det tunna skiktet. De två vågorna kommer från samma punkt på ljuskällan, men har gått olika långt när de interfererar efter reflektionen från ytan. För att vi skall få någon interferens med vitt ljus får dock inte skiktets tjocklek vara större än koherenslängden hos vitt ljus, som är <1 m. Skiktet måste alltså vara väldigt tunt! Figur 23.1 Interferens i tunt skikt Om de två vågorna från det tunna skiktet interfererar konstruktivt kommer de förstärka varandra och vi får stor reflektion från ytorna tillsammans. Skiktet fungerar då som en spegel. Om de två vågorna interfererar destruktivt och släcker ut varandra får vi liten reflektion. Skiktet fungerar då som en antireflexbehandling. För att veta när det blir konstruktiv eller destruktiv interferens måste vi bestämma den optiska vägskillnaden mellan vågorna. Figur 23.2 Geometri vid interferens i tunt skikt

118 Optik Optisk vägskillnad Figur 23.2 visar hur de två strålarna som interfererar reflekteras och bryts i det tunna skiktet. Stråle 2 får gå fram och tillbaka genom det tunna skiktet och får en längre optisk väg än stråle 1 fram till den röda vågfronten i figuren. Därifrån går de sedan lika långt. Den optiska vägskillnaden mellan vågorna blir L n x z. Om vi utnyttjar geometrin i figuren får vi efter lite räkningar: 2 f L 2n d cos( i) (23.1) Fasskillnad f När en ljusvåg reflekteras mot en yta får den ett extra fasskift på (motsvarar en halv våglängd) om den reflekteras mot ett material med högre brytningsindex (mot ett tätare medium). Om den reflekteras mot ett material med lägre brytningsindex (mot ett tunnare medium) blir det inget extra fasskift. Fasskillnaden mellan vågorna vid interferens i tunt skikt ges därför av: 2 L (när en av vågorna reflekteras mot tätare) 2 L (när båda vågorna reflekteras mot tätare) Konstruktiv interferens, maximum (mycket ljus reflekteras, spegel) 0, ±2π, ±4π, ±6π... => 2n f d cos( i) m (när en av vågorna reflekteras mot tätare) (23.2) 2 2n d cos( i) m (när båda vågorna reflekteras mot tätare) (23.3) f m = 1, 2, 3, 4, Destruktiv interferens, minimum (lite ljus reflekteras, antireflex) ±π, ±3π, ±5π, ±7π... => 2n d cos( i) m (när en av vågorna reflekteras mot tätare) (23.4) f 2n f d cos( i) m (när båda vågorna reflekteras mot tätare) (23.5) 2 m = 1, 2, 3, 4, Hur mycket ljus som reflekteras från det tunna skiktet beror alltså på både tjockleken på skiktet, våglängden hos ljuset och infallsvinkeln. För en viss tjocklek på det tunna skiktet reflekteras vissa våglängder mycket (interferensmax) och vissa våglängder reflekteras lite (interferensminimum). Det gör att reflexen ser färgad ut. Färgen på reflexen beror också på vinkeln som man tittar på ytan ifrån. Interferens i tunt skikt förklarar de skimrande färgerna hos exempelvis såpbubblor, oljespill på en vattenyta och pärlemor. Figur 23.3 Interferens i tunt skikt - såpbubbla

119 Optik Antireflexbehandling (AR) En gränsyta mellan luft och glas reflekterar ca 4 7 % av ljuset vid vinkelrätt infall beroende på hur högt brytningsindex glaset har (se avsnittet om Fresnels formler på Föreläsning 21). Det finns två anledningar till att man kan vilja minska reflexerna med en antireflexbehandling. 1) För att få igenom så mycket ljus som möjligt. En glasyta släpper igenom % av ljuset (resten reflekteras). De två ytorna på ett glasöga släpper igenom totalt runt % av ljuset (0,93 2 0,96 2 ). Att bilden på näthinnan blir några få procent mörkare har dock antagligen ingen märkbar påverkan på vår synförmåga. (Man ser nog inte så mycket bättre.) Om man däremot har t.ex. ett kameraobjektiv med många linser och därmed många ytor kan ljusförlusten bli betydande. 2) För att undvika störande reflexer. Med en bra AR-behandling kan reflexerna från varje yta bli 10 gånger mindre jämfört med obehandlade glas. Enskikts AR När man tittar på någon som har glasögon, eller fotograferar personen med blixt, så minskar alltså reflexerna från glasögonen kraftigt med AR-behandling och därmed syns personens ögon bättre. (Man ser bättre ut!) Om man har ljus bakifrån kan reflexen i glasögat också tänkas komma in i ögat på glasögonbäraren och påverka synen negativt. En enkel AR-behandling består av ett enda, jämntjockt, tunt skikt som läggs på glaset så att man får destruktiv interferens mellan de reflekterade vågorna över hela glasytan. AR-behandling görs normalt för vinkelrätt infallande ljus. Figuren nedan visar ett tunt AR-skikt vid vinkelrätt infall (OBS: reflekterade strålarna är förflyttade i sidled för att särskilja dem). Figur 23.4 AR-skikt Total intensitet hos det reflekterade ljuset ges av den vanliga interferensformeln: I I I 2 I I cos( ) R Vi vill att detta skall bli så litet som möjligt, helst skall inget reflekteras. Vi vill alltså ha destruktiv interferens där vågorna släcker ut varandra helt. För att åstadkomma detta måste vi välja rätt material på det tunna skiktet och rätt tjocklek.