1. Kinematik (läran om rörelse)

Transkript

1 1. Kinematik (läran om rörelse) L1 Kinematik är det område inom fysiken som behandlar rörelse hos olika objekt. Vi definierar här rörelse som begrepp, och hur vi kan beskriva rörelse hos föremål. 1.1 Position Ett föremål upptar alltid någon plats i universum. Genom att bestämma en utgångspunkt kan varje objekts plats namnges i förhållande till utgångspunkten detta är föremålets position. I universum har vi tre koordinater för rummet, så varje objekts position ges av tre tal; längd (x), bredd (y), och höjd från startpunkten ( z). I det här avsnittet nöjer vi oss med att bara undersöka x axeln, vi förenklar alltså situationen till bara en dimension alla objekt är på en linje. x anger positionen för föremålet. 20Coordinate.gif 1

2 Ex. 1 Ange positionerna för barnet och skoleleven. 2

3 1.2 Rörelse = förändring av position L1 För att ett föremåls position skall ändras, måste det röra på sig. Rörelse inbegriper alltså förändring av position. 1.3 Sträcka = mängden av förändring i position, Δx Då ett föremål börjar röra sig, har det en en startpunkt för rörelsen. Detta är föremålets startposition x 1. Då föremålet stannar är dess position slutposition för rörelsen, x 2. Sträckan, eller förändringen i position, definieras som avståndet mellan startposition och slutposition och betecknas med Δx: Sträckan anger inte bara hur mycket föremålet rör sig, utan också åt vilket håll! Om Δx får ett positivt värde rör sig föremålet i den positiva riktningen, om Δx får ett negativt värde rör sig föremålet åt motsatt håll. 3

4 Ex. 2 Hurudan sträcka rör sig musen? 4

5 1.4 Hastighet, v L1 Ett föremål kan röra sig olika snabbt, på vardagsspråk säger vi att något rör sig "fort", eller "långsamt". Inom fysiken kan vi ge en exakt beskrivning av hur snabbt föremålet rör sig. Hastigheten anger hur snabbt, och åt vilket håll, föremålet rör sig Medelhastighet Medelhastigheten definieras som förändring i position dividerad med tid som gått: Δx Δt t 1 = tidpunkt då föremålet är i position x 1. t 2 = tidpunkt då föremålet är i position x 2 (senare tidpunkt). Vi kan beräkna medelhastigheten ur en graf över rörelsen i ett (t,x) koordinatsystem genom att beräkna riktningskoefficienten för en linje mellan de två punkter som undersöks, se bilden ovanför. 5

6 L1 Ex. 3 Vad är musens hastighet? 6

7 Ex. 4 L1 Planet flyger från Acme till Bend på 2,0 h, och från Bend till Cote på 1,0 h. Hur stor är medelhastigheten (i km/h)? 7

8 Ex. 5 L1 Vad är medelhastigheten mellan A och B? 8

9 1.4.2 Momentan hastighet L1 Ett föremål rör sig sällan med bara en hastighet hastigheten varierar. Vi kan ange hastigheten vid ett visst, enskilt ögonblick med hjälp av den momentana hastigheten. Vi beräknar den momentana hastigheten vid en viss tidpunkt genom att rita en tangent till kurvan i (t,x) koordinatsystemet, och beräkna riktningskoefficienten för tangenten. Detta följer metoden för uträkning av medelhastighet. 9

10 Ex. 6 L1 Ett föremål rör sig längs x axeln enligt grafen. Beräkna den momentana hastigheten för föremålet i punkterna A, B och C. 10

11 1.4.3 Likformig rörelse x(m) L1 Då rörelsen är likformig ändras inte hastigheten. Den momentanta hastigheten är konstant, likaså medelhastigheten de har samma värde. Rörelsen bildar en rak linje i ett ( t,x) system. Linjen är stigande eller fallande beroende på rörelsens riktning. t(s) I ett (t,v) system bildar rörelsen en vågrät linje hastigheten ändras inte. v(m/s) Vi får sträckan som föremålet rör sig genom att beräkna arean under grafen i ( t,v) systemet. Detta kan uttryckas som Sträcka, Δx där v är hastigheten och t den åtgångna tiden. Om föremålet vid tiden t = 0 är i positionen x 0 kommer det efter tiden t att befinna sig i positionen x. Vi kan bestämma x genom att addera ändringen i position med den ursprungliga positionen : 11

12 Ex. 7 x(m) L1 t(s) Hur stor sträcka rör sig föremålet under de 6 första sekunderna? Besvara uppgiften grafiskt, och numeriskt. Beräkna slutpositionen. 12

13 1.5 Acceleration, a L2 Ett föremål kan ändra sin hastighet, dvs. fart eller rörelseriktning. Vi beskriver hastighetsändringen med begreppet acceleration. Accelerationen anger hur mycket, och åt vilket håll, hastigheten ändras på en viss tid Medelacceleration Medelacceleration definieras som förhållandet mellan ändringen i hastighet och tid som gått: v 1 = starthastighet, vid tiden t 1 v 2 = sluthastighet, vid tiden t 2 13

14 Ex. 8 Ange musens medelacceleration mellan tiden 2,5 och 4,5 sekunder. 14

15 1.5.2 Momentan acceleration L1 Accelerationen kan vara jämn, så att hastigheten hela tiden ändras lika mycket, eller ojämn. Vi kan beskriva hur hastigheten ändras i ett visst ögonblick med hjälp av den momentana accelerationen. Vi kan beräkna den momentana accelerationen genom att rita en tangent till grafen över hastigheten i ett (t,v) koordinatsystem, och beräkna riktningskoefficienten för tangenten. Detta följer metoden för uträkning av medelacceleration. 15

16 Ex. 9 Grafen visar musens hastighet som funktion av tiden. Ange den momentana accelerationen vid punkterna A, B, C och D som antingen positiv, negativ eller noll. 16

17 1.5.3 Likformigt accelererad rörelse Om hastigheten hela tiden ändras lika mycket och i samma riktning, är rörelsen likformigt accelererande medelaccelerationen och den momentana accelerationen är då hela tiden lika stora och har samma värde. Likformig accelererad rörelse kan beskrivas som en rät linje i ett (t,v) system. Linjen kan vara stigande eller fallande, beroende på accelerationens riktning. v(m/s) t(s) L1 Om ett föremål på tiden t ändrar sin hastighet från starthastigheten v 0 till sluthastigheten v, kan vi beskriva accelerationen i formen Om rörelsen startar från vila är v 0 = 0, och vi kan då ge sluthastigheten som Om föremålet har starthastigheten v 0 och rörelsen är likformigt accelererad, kan vi ge sluthastigheten v efter tiden t i formen 17

18 Ex. 10 L1 Musen rör sig likformigt 10,3 m på 4,15 s. Därefter accelererar den likformigt med accelerationen 1,22 m/s 2 i 5,34 sekunder. Vilken är dess sluthastighet? Ex. 11 Metrotåget accelererar likformigt med en acceleration av 1,90 m/s 2. Det ökar sin hastighet från 4,47 m/s till 13,4 m/s. Hur lång tid tar hastighetsökningen? 18

19 1.5.4 Sträcka vid likformigt accelererad rörelse: v(m/s) L1 I ett (t,v) system bildar en likformigt accelererad rörelse en rät linje. Linjens ekvation ges av uttrycket för hastighet; v = v 0 + at. Vi kan ange sträckan Δx som ytan under grafen. Vi vill nu räkna ytan under linjen, och härleda ett uttryck för sträckan vid likformigt accelererad rörelse. Vi delar in ytan i en rektangel och en triangel; rektangelns yta motsvarar sträckan Δx 1 = v 0 t, dvs, den sträcka som föremålet rör sig om hastigheten är konstant. Triangelns yta motsvarar den sträcka som nu kommer till på grund av hastighetsökningen; Δx 2 = 1/2 at 2. Totalt rör sig föremålet sträckan Δx = Δx 1 + Δx 2, eller v 0 t(s) Om föremålet i början av rörelsen är i positionen x 0, kan vi ge slutpositionen x: 19

20 Ex. 12 L1 Musen rör sig 11,8 meter på 3,14 s. Dess rörelse är likformigt accelererad, a = 1,21 m/s 2. Beräkna start och sluthastigheten för den observerade rörelsen. 20

21 2. Vektorer L2 Sträcka, hastighet, acceleration och kraft är alla vektorstorheter. Till skillnad från skalära storheter som massa, längd och tid måste vektorer anges både med storlek och riktning. Vi går igenom grundreglerna för vektorberäkning i den mån de behövs för fysikberäkningar. Vektorer betecknas ofta med ett streck ovanför storheten, eller med fetstil: 2.1 Vektorpilar Vektorer anges med hjälp av pilar, där pilens riktning visar vektorns riktning och pilens längd motsvarar vektorns storlek. 2.2 Räkneoperationer med vektorer Addition Vektorer adderas enklast genom att flytta den ena vektorn så att den börjar där den andra vektorn slutar. Summan är den vektor som kan dras från den första vektorns början till den andra vektorns slut. Subtraktion Vektorer subtraheras så, att man i fallet A B först ritar ut vektorn B:s motsatta vektor B, och därefter utför additionen A + B. 21

22 2.3 Indelning i komponenter L2 En vektor kan alltid indelas i komponenter; det innebär att man delar vektorn i två vektorer som är vinkelräta motvarandra, vanligen längs x och y axeln. Delarnas summa är den ursprungliga vektorn. Vi kan ange en vektor med hjälp av dess komponenter. Vektorn v kan anges i formen v = (v x, v y ), där v x är vektorns längd i x led och v y är vektorns längd i y led Längden av en vektor i komponentform Om vi vill veta storleken på en vektor i komponentform kan vi använda oss av Pythagoras sats; vektorn A:s längd är, där A x och A y är vektorn A:s komponenter. 22

23 Ex. 13 Ange hastighetsvektorn i komponentform, och beräkna hastighetens storlek(= vektorns längd). 23

24 2.3.1 Addition och subtraktion av vektorer i komponentform Då vektorerna ges i komponentform kan vi addera och subtrahera de enskilda komponenterna för att få resultatvektorn. För vektorerna A = (A x, A y ) och B = (B x,b y ) fås summan och differensen A + B = (A x + B x, A y + B y ) A B = (A x B x, A y B y ) 24

25 Ex. 14 Båten rör sig med den angivna hastigheten i lugnt vatten. Beräkna dess hastighet då den rör sig i floden, som har den angivna strömningshastigheten. Ange svaret i komponentform, och beräkna storleken av hastigheten. 25

26 1.5 Relativ rörelse L Referenssystem Föremåls rörelse kan betraktas ur olika synvinkel vi talar om att man kan betrakta rörelsen ur olika referenssystem. Då man undersöker rörelse bör man hålla sig till ett (valfritt) referenssystem. Referenssystemet antas vara i vila, och föremålens rörelse och hastighet osv. anges i förhållande till referenssystemet (På engelska talar man om "frame of reference"). Ett föremåls rörelse kan beskrivas på olika sätt beroende på vilket referenssystem som används Relativ hastighet Observatörer i olika referenssystem som rör sig i förhållande till varandra kan uppmäta olika hastigheter för samma objekt; detta begrepp kallas relativ hastighet. Mannen har tåget som referenssystem, han ser bollen röra sig med 10 m/s. Kvinnan har marken som referenssystem, hon ser både tåget och bollen röra sig. Bollen rör sig med högre hastighet i hennes referenssystem. För att få hastigheten v OA för objektets rörelse i referenssystemet (A) som är i vila, skall objektets hastighet v OB i det rörliga referenssystemet B och det rörliga referenssystemets hastighet v BA i förhållande till det orörliga referenssystemet vektoradderas. 26

27 Ex. 15 Sarah ser tåget röra sig med 5 m/s, och Ted sparkar bollen med hastigheten 5 m/s i sitt referenssystem. a) Vilken är bollens hastighet i Sarahs referenssystem? b) Vilken hastighet har Sarah i bollens referenssystem? c)vilken hastighet har Ted i bollens referenssystem? 27

28 Ex. 16 Båtens motor ger den en hastighet av 1, 50 m/s i förhållande till vattnet i floden. Floden rör sig med hastigheten 3,00 m/s i förhållande till stranden. Vad är båtens hastighet i förhållande till stranden? 28

29 2. Dynamik Vi har lärt oss analysera rörelse och acceleration hos föremål, men vad är det som orsakar rörelsen och accelerationen? 2.1 Kraft, F Alla fysiska föremål växelverkar med varandra på något sätt. De kan påverka varandra på olika sätt; löst definierat kan krafter mellan föremål "skuffa"eller "dra". Krafter kan vara kontaktkrafter, dvs föremålen är i direktkontakt med varandra, eller distanskrafter, vilket betyder att föremål kan påverka varandra på avstånd utan direktkontakt. Exempel på distanskrafter är magnetism, gravitation. Exempel på kontaktkrafter är friktion, luftmotstånd, spännkrafter i rep. 2.2 Kraftriktning, nettokraft, kraftens enhet En kraft på ett föremål har alltid en storlek och en riktning. Om fler än en kraft påverkar samma föremål, kommer de att samverka som om det bara fanns en kraft på föremålet, en så kallad nettokraft, som betecknas ΣF. Man anger krafterna på ett föremål som vektorer. Nettokraften fås genom vektoraddition av krafterna. Kraften mäts i en enhet kallad newton, som förkortas N. Om det finns en nettokraft på ett föremål kommer föremålet att accelerera. Om krafterna tar ut varandra, finns det ingen nettokraft. Då säger vi att krafterna är i jämvikt. I det läget kommer föremålet inte att accelerera hastigheten ändras alltså inte. Nettokraft på tyngden, nettokraft på blocket; båda accelererar! Krafterna tar ut varandra. Fjädern och boken hålls stilla. Lådan rör sig med jämn hastighet. 29

30 2.3 Newtons lagar Isaac Newton gjorde flera stora bidrag till fysiken under sin livstid. Ett av dem var hans behandling av mekaniken. Han formulerade tre lagar för mekaniken som används i vår vardag ännu idag: Tröghetslagen: Newton insåg att det naturliga tillståndet för en kropp är att behålla sitt rörelsetillstånd; Föremål fortsätter att röra sig utan att ändra hastighet ända tills något påverkar dem. Det krävs inte någon kraft för att hålla föremål i rörelse om de inte påverkas av någon inbromsande kraft. Föremål i vila måste påverkas av en kraft för att de skall börja röra på sig. Han formulerade detta i sin första lag, kallad tröghetslagen: "En kropp kommer att befinna sig i ett tillstånd av vila ELLER likformig rätlinjig rörelse, om den inte påverkas av någon nettokraft." 30

31 2.3.2 Newtons andra lag Newton insåg att en kropps rörelstillstånd kommer att ändras olika mycket beroende på två saker; hur stor nettokraft som påverkar den, och hur stor massa föremålet har. Han formulerade detta i sin andra lag, som även kallas dynamikens grundlag: "En nettokraft som påverkar en kropp ger kroppen en acceleration vars storlek är direkt proportionell mot kraftens storlek och omvänt proportionell mot kroppens massa." Den lyftande kraften F uppåt är större än tyngden mg neråt. Väskan påverkas av en nettokraft uppåt och får en acceleration a uppåt. Matematiskt uttrycks lagen enligt: ΣF är nettokraften, m är kroppens massa, och a är accelerationen. Kraftberäkningar Då vi analyserar siutationer med krafter och vill beräkna krafternas inverkan hänvisar vi ALLTID till Newtons andra lag i vår behandling! 31

32 Ex. 17 En bok med massan 500 g ligger på ett bord. Den börjar skuffas åt höger med en kraft på 15 N. Friktionen motverkar rörelsen med en kraft på 4 N. Vad sker med boken? 32

33 2.3.3 Aktions reaktionslagen: Den tredje lagen om hur föremål påverkar varandra kallas aktions reaktionslagen. Den säger att föremål alltid påverkar varandra lika mycket, men i motsatt riktning. "En kropp A som påverkas med någon kraft F av en annan kropp B, påverkar i sin tur tillbaka på kropp B med en lika stor och motsatt riktad kraft F." Matematiskt uttrycks detta: Det går alltså inte att påverka ett föremål utan att själv påverkas tillbaka! Om krafterna är lika stora och motsatt riktade, varför tar de inte ut varandra? Hur kan äpplet sätta apelsinens vagn i rörelse? Svaret är att krafterna påverkar olika föremål. De två aktionsreaktionskrafterna påverkar aldrig samma föremål, så de tar inte ut varandra! 33

34 Ex. 18 Beräkna väskans acceleration. 34

35 Ex. 19 Jorden drar äpplet mot sig med en kraft av 1, 5 N. Påverkar äpplet jorden? 35

36 Ex. 20 Lådans massa är 12 kg. 36

37 2.4 Kraftfigurer För att analysera en situation där krafter verkar på och mellan föremål, är det ofta nödvändigt att rita en kraftfigur.man fokuserar då på ett föremål i taget och ritar in alla de krafter som påverkar det. L5 Diagrammet ritas oftast så, att man ritar in krafterna som verkar på föremålet enligt var de verkar på föremålet. Tyngden verkar i mittpunkten av föremålet, stödkraften från underlaget på botten av föremålet, och så vidare Indelning i kraftkomponenter I de flesta situationer verkar krafterna inte bara i koordinataxlarnas riktning. Vi måste då betrakta krafterna i x axelns riktning skilt för sig och krafterna i y axelns riktning skilt för sig. För att göra det, måste vi indela krafterna i komponenter. Då vi vet vinkeln mellan kraftens riktning och någon av koordinataxlarna, kan vi använda trigonometri för att beräkna kraftens komponenter i axlarnas riktning. Därefter ritar vi krafterna i en kraftfigur och analyserar situationen. Den ursprungliga kraften behöver nu inte längre betraktas. 37

38 Ex. 21 L5 Rita en kraftfigur över hur lådan påverkas, och beräkna lådans acceleration, då dess massa är 2 kg. Följ de sex stegen på sidan

39 Ex. 22 L5 Beräkna nettokraften på bollen i x och y axelns riktning, samt accelerationen för bollen i x led och y led. 39

40 Ex. 23 L5 En helikopter med massan 3770 kg genererar lyftkraften F. Då den är tom, accelererar den meda = 1,37 m/s 2. Helikoptern överlastas, så att den nätt och jämnt inte lyckas lyfta. Hur stor är lastens massa? 40

41 Ex. 24 L5 Beräkna spännkraften i snöret. 41

42 3. Olika krafter och deras egenskaper L5 3.1 Tyngd, G Ett föremåls tyngd är den kraft med vilken föremålet dras mot jorden. Tyngden riktas alltid mot jordens medelpunkt, dvs "nedåt". Tyngdens storlek kan beräknas med hjälp av Newtons andra lag; F = ma, men vi använder G för kraften, m för massan, och g för accelerationen alla föremål får ju fall accelerationen g på grund av tyngdkraften. Vi får alltså: 3.2 Spännkraft, T En spännkraft är en sådan dragande kraft som förmedlas via ett snöre, rep, kedja eller liknande. Man antar då att 1) snöret inte sträcks ut av kraften det förmedlar, och att kraften är oförändrad från ena änden till andra, samt 2) att snöret inte har någon massa. 42

43 3.3 Stödkraft = normalkraft, N L6 Stödkrafter uppträder då två föremål är i direkt kontakt och påverkar varandra. Stödkrafter uppkommer vanligen som en reaktion på gravitationspåverkan. Stödkraften verkar alltid vinkelrätt mot underlaget! 3.4 Krafter på lutande plan Då man undersöker ett föremål på ett lutande plan är det bäst att skapa ett koordinatsystem med x längs underlaget och y vinkelrätt mot det. Därefter beräknar man de påverkande krafternas komponenter längs axlarna. Genom att skapa en kraftfigur är det därefter lätt att behandla situationen i x led och i y led. Tyngden G verkar alltid lodrätt nedåt, så den får en komponent i x led och en i y led. Stödkraften från underlaget är lika stor som tyngdens y komponent. Tyngdens x komponent verkar nedåt längs underlaget. Deras värden är alltid då α är planets lutningsvinkel. 43

44 Ex. 25 L6 Bestäm stödkraftens riktning och storlek, då lådans massa är 5 kg och planets lutningsvinkel är 25 grader. 44

45 Ex. 26 L6 Beräkna bilens acceleration. 45

46 3.5 Fjäderkraft, F = kx L6 Som vi lärde oss i kurs Fy 3, kommer den återbördande kraften i en fjäder, ett gummiband, eller motsvarande att bero på hur mycket fjädern dragits ut eller pressats ihop från sitt grundtillstånd. Ändringen betecknas med x. Dessutom beror kraften på fjäderns egenskaper, vilket betecknas med fjäderkonstanten k. Kraften är alltid riktad åt motsatt håll än ändringen i position, vilket betecknas med minustecknet. 3.6 Lyftkraft, L Ett föremål som nedsänks i en vätska kommer att påverkas av en lyftkraft som orsakas av vätskan. Arkimedes insåg att lyftkraftens storlek är lika stor som tyngden för den vätskemängd som pressas undan av föremålet. Om vi känner till den undanträngda vätskans volym och densitet kan vi räkna ut dess massa, multiplicerar vi ännu massan med g få vi tyngden, som alltså är lika stor som lyftkraften. Enkelt uttryckt är lyftkraften där ρ är vätskans densitet. Lyftkraften påverkar också föremål i en gas på samma sätt. 46

47 Ex. 28 L6 Beräkna fjäderkraften. 47

48 Ex. 29 L6 Vikten är i vila. Beräkna spännkraften i snöret. Hur mycket har fjädern töjts ut från sin ursprungliga position? 48

49 Ex. 30 L6 Trästycket har tyngden 43 N, och undantränger 0,0030m 3. Hur stor är lyftkraften? Flyter trästycket i vatten? 49

50 Ex. 31 L6 Med hur stor kraft påverkar masken och kroken fiskelinan? 50

51 Ex. 32 L6 Luftskeppet är ankrat till marken med två linor, vilka båda motverkar luftens lyftkraft lika mycket. Hur stor är kraften som skeppet påverkar linorna med? 51

52 Ex. 33 L6 Isens densitet är 917 kg/m 3 och vattnets densitet är 1030 kg/m 3. Hur stor del av isberget är under vattenytan? 52

53 3.7 Mediets motstånd L7 Då en kropp rör sig i ett medium, kommer det (mediet) att motverka kroppens rörelse. Storleken på mediets motstånd beror på flera faktorer; kroppens form, arean vinkelrätt mot rörelsen, mediets beskaffenhet, och hastigheten kroppen rör sig med i förhållande till mediet Luftmotstånd För luft gäller att kraften som gör motstånd mot rörelsen har storleken C är objektets formfaktor; den varierar beroende på vilken form kroppen har. ρ är luftens densitet. A är den yta som är vinkelrätt mot rörelseriktningen, och v är kroppens hastighet. Terminalhastighet Då föremålet faller, ökar dess hastighet. Då ökar också luftmotståndet. Till slut är luftmotståndet lika stort som föremålets tyngd. De två krafterna tar ut varandra; nettokraften är noll. Föremålet kommer att fortsätta alla, men hastigheten kommer att hållas konstant. Denna hastighet kallas terminalhastighet. Vi kan härleda ett uttryck för den: 53

54 Ex. 34 L7 Härled uttrycket för terminalhastigheten. 54

55 Ex. 35 C = 0,49 ρ = 1,1 kg/m 3 L7 Beräkna terminalhastigheten. 55

56 3.8 Friktion L7 Friktion uppkommer mellan förmål som är i kontakt med varandra. Ojämnheter i materialen "tar tag" i varandra, och friktionen motverkar (glid)rörelse mellan föremålen. Friktionens storlek beror på föremålens material släta material orsakar lägre friktion än ojämna Statisk friktion = vilofriktion Ett föremål i vila på ett horisontellt underlag börjar inte genast röra sig då det skuffas eller dras åt sidan. En motverkande kraft, vilofriktionskraften, uppstår samtidigt med den skuffande kraften. Vartefter den skuffande kraften växer, växer också vilofriktionen ända upp till en viss gräns, den så kallade maximalt utvecklade vilofriktionen. Då den skuffande kraften växer över denna gräns, kan inte friktionen längre hålla föremålet i vila, och föremålet börjar röra sig Vilofriktionens storlek beror på föremålets och underlagets material detta anges med ett tal, vilofriktionskoefficienten μ 0. Dessutom beror vilofriktionen på hur mycket underlaget påverkar föremålet, dvs. stödkraften N. Vi kan nu ge ett enkelt uttryck för vilofriktionskraften: Observera att friktionen inte beror på arean! Kan du motivera varför? 56

57 Ex. 36 L7 Beräkna den maximalt utvecklade vilofriktionen (=utgångsfriktionen), då μ 0 =0,31. 57

58 3.8.2 Kinetisk friktion = glidfriktion L7 Då ett föremål glider längs en yta påverkas det av en kraft som bromsar in rörelsen, den så kallade glidfriktionen. Glidfriktionens storlek beror precis som vilofriktionen av materialet och stödkraften mot underlaget. Skillnaden är att glid friktionskoefficienten μ är mindre än vilofriktionskoefficienten μ 0. Glidfriktionen är alltså mindre än vilofriktionen! Dessutom är glidfriktionens värde konstant. Uttrycket för vilofriktionen är Rullningsfriktion Det finns även en kraft som motverkar rullning hos föremål. Denna rullningsfriktion är mycket mindre än både glidfriktion och vilofriktion. 58

59 Ex. 37 L7 Beräkna glidfriktionskraften. 59

60 Ex. 38 L7 Glidfriktionskoefficienten mellan golvet och lådan är 0,200. Hur stor är spännkraften i snöret? 60

61 4. Energins bevarande Avsnittet behandlar de lagar som gäller för energiomvandlingar i mekaniska system. 4.1 Mekanisk energi Mekanisk energi indelas i kinetisk energi och potentiell energi. Den totala mekaniska energin i ett system är summan av kinetisk och potentiell energi Kinetisk energi, rörelse energi En kropp som rör sig har kinetisk energi, E k. Storleken på energin beror på kroppens massa och hastighetens kvadrat. Hastighetens riktning inverkar inte på energin. Kinetiska energin beskrivs av uttrycket: Ett arbete som utförs på en kropp kan förändra den kinetiska energins värde. Detta kan vi uttrycka som 61

62 Ex. 39 De fyra bob åkarna spurtar igång den 235 kg tunga kälken och uppnår på den 50 m långa startsträckan hastigheten 10 m/s. Med antagandet att friktion och luftmotstånd kan borträknas, med hur stor konstant kraft skuffar de? 62

63 4.1.2 Potentiell energi Potentiell energi betecknas E p. En kropps potentiella energi beror på dess position och vilka krafter som verkar på den Gravitationell potentiell energi Vi undersöker först den potentiella energi som förknippas med gravitation.kraften som övervinns är tyngden, G = mg. Man lyfter kroppen till en viss höjd h från startpunkten. Den rör sig alltså en sträcka h. Arbetet som utförs är då Arbetet som utförs mot tyngden lagras som potentiell energi. Man säger att gravitationen är en konserverande kraft, eftersom arbetet lagras. (Inte alla krafter är konserverande ett arbete utfört mot friktion lagras inte, till exempel). Vi får alltså ett uttryck för potentialenergin i gravitationsfält: m är massan, h är höjden, g är fallaccelerationen (g = 9,81m/s 2 ). Potentialenergin anges alltid i förhållande till någon nollnivå, som man kan välja fritt i varje situation. Höjden anges i förhållande till denna nollnivå. Om kroppen är ovanför nollnivån har den positiv potentialenergi, E p > 0 Om kroppen är under nollnivån har den negativ potentialenergi, E p < 0 Om kroppen är precis på nollnivån har den ingen potentialenergi, E p = 0 63

64 Ex. 40 I Niagarafallen rinner ungefär kg vatten per sekund. Hur stort arbete utför gravitationen på vattnet, då det faller 51,0 m? 64

65 Elastisk potentiell energi Då en fjäder töjs ut, utförs ett arbete mot fjäderns återbördande kraft. Arbete lagras som potentiell energi i fjädern. Fjäderkraften är alltså liksom gravitationen en konserverande kraft. Vi kan härleda ett uttryck för energin i fjädern: Den största möjliga energin i fjädern fås då fjädern är maximalt uttöjd. Denna energi kallas fjäderns totala energi och betecknas A är fjäderns amplitud, dvs den största uttöjningens värde. 65

66 Ex. 41 Hur stor potentiell energi är lagrad i fjädern? 66

67 4.2 Konserverande krafter Vi har nämnt konserverande krafter tidigare gravitation är konserverande, och kraften i en fjäder är konserverande. Men vad innebär det? Vi betraktar ett föremål som rör sig på en sluten bana. Föremålet startar och stannar i samma punkt, och kraften verkar på den hela tiden. Om det totala arbetet på föremålet är noll efter att den rört sig hela banan, är kraften konserverande. Gravitationen utför positivt arbete då vagnen åker nedåt, och negativt då den åker uppåt. Det totala arbetet på vagnen är noll. Då friktionen beaktas, slipper vagnen inte hela vägen tillbaka friktionen har utfört ett arbete, som hela tiden minskar vagnens rörelseenergi. Friktionen bevarar inte det arbete den gör och är en icke konservativ kraft. På grund av friktionen måste energi tillföras vagnen för att den skall komma ända upp på toppen. 67

68 4.3 Energiprincipen L10 Energiprincipen är en av naturens konservationslagar. Den säger att energi inte kan förstöras, endast omvandlas. Vi ser först på en något mindre exakt version av detta; lagen om den mekaniska energins bevarande Den mekaniska energins bevarande I ett mekaniskt system har ett föremål kinetisk energi, potentiell energi eller bådadera. Då vi antar att endast konserverande krafter påverkar föremålet, kan vi säga att den totala energin i systemet bevaras. Detta kan sägas som att summan av kinetiska och potentiella energin är konstant: Eftersom den totala energin är konstant, måste den vara lika stor i början av en situation som i slutet: Detta är lagen om den mekaniska energins bevarande. Den kan användas då endast konservarande krafter påverkar systemet. Med andra ord, den kan inte användas om friktionskrafter inverkar! Energins bevarande vid svängningsrörelse. I en fjäder är energin som störst då fjädern är som mest uttöjd eller ihoptryckt. Detta motsvarar fjäderns totala energi. Vi kan skriva lagen om den mekaniska energins bevarande för en fjäder i formen 68

69 Ex. 42 L10 Sam är som högst upp i sina skutt. Beräkna hans hastighet då han når studsmattan. 69

70 Ex. 43 L10 Beräkna strykjärnets hastighet då det når jämviktsläget. Underlaget är friktionsfritt, strykjärnets massa är 6,7 kg. 70

71 Ex. 44 L10 Blocket hålls så att fjädern varken är ihoptryckt eller utsträckt. Beräkna hur långt neråt det rör sig då det släpps, innan det svänger tillbaka igen. 71

72 4.3.2 Energiprincipen L10 Lagen om den mekaniska energins bevarande är användbar vid sådana tillfällen då man kan bortse från friktion och då inga yttre krafter påverkar systemet. I de flesta situationer är detta dock inte fallet, utan vi måste beakta även det arbete som friktionen och yttre krafter gör på ett system. Friktionen är inte en konserverande kraft, så vi kan inte använda lagen om den mekaniska energins bevarande. Energiprincipen gäller dock fortfarande; energin kan inte förstöras, endast ändra form. Friktionsarbetet kommer alltid att omvandla en del av den mekaniska energin till värme, som flyr ut ur systemet. Å andra sidan kan yttre krafter öka den mekaniska energin. Det leder till att vi måste skriva energiprincipen i formen W är nu det arbete som någon yttre nettokraft utför på systemet. 72

73 Ex. 44 Beräkna blockets kinetiska energi i den nedre positionen. 73

74 5. Rörelsemängd och impuls L Rörelsemängd, p Då en kropp rör sig med någon hastighet v, har den en egenskap som kallas rörelsemängd. Rörelsemängden är produkten av kroppens massa och dess hastighet, vilket vi kan skriva i formen Rörelsemängden är en vektor, så den har både storlek och riktning. Rörelsemängdens enhet är kgm/s. Den större bilen har både högre hastighet och större massa än den mindre bilen, så dess rörelsemängd är betydligt större. 74

75 Ex. 47 Beräkna leksaksbilens rörelsemängd. 75

76 5.2 Impuls, I För att ändra ett föremåls rörelsetillstånd krävs att det påverkas av någon nettokraft. en nettokraft som påverkar ett föremål ger det en acceleration, så hastigheten ändras. Eftersom hastigheten ändras, måste också rörelsemängden ändras. Vi kan ge ett uttryck som sammanbinder Newtons 2:a lag med ändringen av rörelsemängd: L12 Bollen närmar sig sällträet med en viss rörelsemängd. Vi använder oss här inte av annat än bekanta definitioner. Vi kan nu sammankoppla de två yttersta uttrycken och få: Vi har fått att en nettokraft som påverkar ett föremål under en viss tid, orsakar en viss ändring i rörelsemängd. Medan sällträet är i kontakt med bollen, påverkas bollen av en varierande kraft. Produkten av kraft och tid kallas impuls, och betecknas I. Den är en vektor, och dess enhet är Ns, newtonsekund. Vi kan ge ett uttryck för impulsen: eller, med stöd av det tidigare sagda: Kraften minskar till noll då bollen lossnar från sällträe Bollens rörelsemängd har ändrats dramatiskt, på grund av impulsen från sällträet. Impuls orsakar alltså alltid en ändring i rörelsemängd. Impulsens storlek, dvs. ändringen i rörelsemängd, kan beräknas genom att beräkna arean under grafen (t,f) koordinatsystemet. 76

77 Ex. 48 Längdhopparens hastighet är 7,8 m/s just innan hon träffar marken. Beräkna landningens impuls. (Använd förändringen i rörelsemängd) 77

78 Ex. 49 L12 Beräkna medelkraften i slaget. Använd begreppen rörelsemängd och impuls. 78

79 Ex. 50 L12 Ett föremål med massan 5,0 kg påverkas av en kraft som har en konstant riktning. Kraftens storlek förändras enligt figuren. Hur mycket ändras föremålets hastighet medan kraften verkar? 79

80 5.3 Rörelsemängdens bevarande Ett system som inte påverkas av yttre krafter bevarar sin rörelsemängd. Detta innebär att om rörelsemängden har ett visst värde vid någon tidpunkt, kommer den att ha samma värde även vid någon senare tidpunkt. Den vita biljardbollen sätts i rörelse och har då någon rörelsemängd p 1. Den träffar den gula bollen och stannar helt. Rörelsemängden måste bevaras den gula bollen sätts i rörelse och har nu rörelsemängden p 2. Här bortses från friktion och luftmotstånd, vilka kan antas vara små. Lagen om rörelsemängdens bevarande säger att summan av rörelsemängderna för ett system i början av en situation alltid är lika stor som summan av rörelsemängderna efteråt, om inga yttre krafter påverkar systemet. Detta kan skrivas som Systemets rörelsemängd = p 1 Systemets rörelsemängd = p 2 = p 1 Här är n antalet partiklar i systemet. I situationen med biljardbollarna är n = 2, så vi skulle få uttrycket Dessutom vet vi att den gula bollens rörelsemängd i början ( p 2,b ) är noll, medan den vita bollens rörelsemängd i slutet ( p 1,s ) är noll, så vi kan förenkla till OBS! Det allmänna uttrycket gäller även för situationer där alla partiklar i systemet rör på sig både i början och i slutet! 80

81 Ex. 51 De två bollarna har lika stora massor. Den vita bollen träffar den stillastående gula bollen rakt från sidan och stannar. Beräkna den gula bollens hastighet efter kollisionen. 81

82 Ex. 52 Astronauten har massan 55,0 kg och är i vila i förhållande till rymdskeppet. Hon håller i en påse frystorkad astronautmat som har massan 4,00 kg. Vilken hastighet måste hon ge påsen, om hon själv vill röra sig med hastigheten 0,500 m/s åt vänster? 82

83 Ex. 53 Hal krockar till Larrys stillastående bil och studsar själv bakåt. Larrys bil börjar röra sig 0,800 m/s framåt. Hals bil hade före kollisionen hastigheten 1,50 m/s framåt. Vad är Hals hastighet efter kollisionen? 83

84 5.4 Kollisioner I Ex såg vi exempel på olika typer av kollisioner. Gemensamt för alla kollisioner är att den totala rörelsemängden bevaras (om inga yttre krafter inverkar, eller om kollisionen kan antas hålla på så kort tid att de yttre krafterna är små). Vi kan indela kollisioner i två typer beroende på vad som sker med systemets totala kinetiska energi Elastiska kollisioner En kollision är elastisk, om den totala kinetiska energin före kollisionen är lika stor som den totala kinetiska energin efter kollisionen. Ett exempel på en elastisk kollision är biljardbollarna i avsnitt 5.3. Startoch sluthastigheterna är lika stora, och bollarna har lika stora massor den kinetiska energin måste vara lika stor före och efter. En elastisk kollision; E k,b = E k,s. OBS! Elastiska kollisioner existerar inte i den reella världen, det finns alltid någon yttre kraft som inverkar på systemet. Begreppet är dock användbart just i sådana situationer då den yttre kraften kan antas vara liten Icke elastiska kollisioner En kollision där den totala kinetiska energin inte bevaras, kallas inelastisk eller ickeelastisk. De två spelarna kolliderar, men de studsar inte ifrån varandra utan fortsätter tillsammans som en "partikel". Den nya hastigheten är lägre, vilket gör att den kinetiska energin är lägre än före kollisionen. En kollision kallas fullständigt inelastisk, om partiklarna fastnar i varandra och fortsätter som en enda partikel. En inelastisk kollision; E k,b E k,s Explosioner En explosion kan betraktas som en kollision; partiklar som inte rörde sig före explosionen sätts i rörelse av kraften från detonationen. I detta fall ökar den kinetiska energin men rörelsemängden för systemet som helhet bevaras också här! 84

85 Ex. 54 Den lila bollen träffar den gröna i en elastisk kollision. Beräkna de två bollarnas hastigheter i slutet. (Detta är ett klassiskt fysikproblem. Använd rörelsemängdens bevarande, och att den kinetiska energin bevaras.) 85

86 Ex. 55 De två spelarna springer rakt emot varandra med de givna hastigheterna och kolliderar fullständigt inelastiskt. Beräkna deras gemensamma hastighet efter kollisionen. 86

87 Ex. 56 Ex. 54 De två bollarna rör sig mot varandra och kolliderar elastiskt. Beräkna sluthastigheterna. Den lila bollen träffar den gröna i en elastisk kollision. Beräkna de två bollarnas hastigheter i slutet. (Detta är ett klassiskt fysikproblem. Använd rörelsemängdens bevarande, och att den kinetiska energin bevaras.) 87

88 Ex. 57 Den röda bollen är till en början i vila. Med vilken vinkel mot x axeln rör den sig efter den elastiska kollisionen? 88

89 Ex. 58 Systemet i bilden kallas en ballistisk pendel, och används för att beräkna hastigheten för kulor. Kulan med massan m 1 =0,030 kg avfyras och träffar träblocket med massan m 2 = 0,45 kg. Tillsammans svänger kulan och blocket upp till den givna höjden. Beräkna kulans ingångshastighet. 89