Introduktion till analys A, 7.5 hp

Transkript

1 Introduktion till analys A, 7.5 hp Studiehandledning 12 / 6 / 7

2 Innehållsförteckning Inledning 3 Introduktion 3 Om studierna 3 WebCT diskussionsforum 3 Adresser, telefonnummer, WebCT och e-post 4 Hur får jag tillgång till WebCT? 4 Nödlänk 4 Kontaktinformation 4 Vad skall jag läsa, och när? 5 Viktiga datum 5 Träffen 5 Innan första träffen 5 Planering 6 Litteratur 6 Detaljplanering 6 Anteckningar 7 Insändningsuppgifter, bonuspoäng och examination 12 Insändningsuppgifter 12 Bonuspo äng till tentan 12 Anmälning till tentan 12 Examination och betyg 12 Hur man redovisar uppgifterna 12 Till sist / 6 / 7 2( 2)

3 Inledning Detta är en studiehandledning till kursen Matematik A, Introduktion till analys A, 7.5hp. Den är anpassad för nätstudier, och just denna upplaga är för gruppen våren 28. Introduktion Hej, och välkomna till kursen Introduktion till analys A. Syftet med denna kurs är att ni skall tillägna er grundläggande insikter och färdigheter i differentialkalkyl för funktioner av en reell variabel. De viktiga områden som kursen behandlar är funktioner, gränsvärden, kontinuitet och derivata. Ni känner till en del sådant sedan gymnasiet, men nu börjar vi om från början, och nu gör vi det betydligt grundligare. Med insikter menas förståelse för teorin, hur satser hänger ihop och följer av varandra, att se helheten. Med färdigheter menas förmåga att rent praktiskt lösa matematiska problem på området med metoder som inhämtas under kursen. Det är ofta färdigheterna man tänker på, men insikten är minst lika viktig. Färdigheterna inhämtas genom mycket övningsräkning. Insikterna får man genom övningsräkning, men framför allt genom att diskutera med andra. För att underlätta detta, finns diskussionsforum och chatroom på WebCT. Om studierna På träffarna kommer vi naturligtvis att gå igenom det viktigaste i teorin, men allt hinns inte med på så kort tid. Därför kommer det att krävas en stor arbetsinsats i form av egna studier. Det innebär att det kommer att krävas att ni är motiverade och beredda på att ta ett stort ansvar för era studier. Det är inte läraren som lär ut, utan ni som lär in, och där är läraren ett stöd som gärna hjälper till. Denna handledning är till för att underlätta era studier på hemmaplan. Här står allt viktigt om det praktiska runt kursen, och här kommenteras de olika momenten. Tips ges om särskilt viktiga delar av teorin, och om uppgifter som kan vara bra att göra. Detta är dock endast förslag som kan ses som en guide genom kursen. Dessutom ingår insändningsuppgifter som både hjälper er att hålla takten och som ger extra övning och tillfälle till dialog med läraren medan ni studerar hemma. Insändningsuppgifterna kan också ge bonuspoäng till tentamen, mer om detta senare. Insädningssuppgifterna sänds ut vid ett senare tillfälle via e-post (se viktiga datum). Det absolut viktigaste är att jobba lite varje dag i stället för att koncentrera arbetet till några få långa dagar. Lämplig arbetsinsats kan vara minst 2-4 timmar varje dag. WebCT diskussionsforum Utnyttja diskussionsforum och chatroom i WebCT (mer nedan) och se till att få prata matematik mellan träffarna. Meningen är att ni även skall ha kontakt mellan träffarna för att kunna vara lite stöd åt varandra under studierna. Ofta kan det vara så att man inte direkt behöver hjälp, utan snarare behöver fundera tillsammans med någon hur man skall tolka ett visst moment. Naturligtvis går det bra att fråga andra också, eller läraren, men förhoppningen är att diskussionsforum och chattroom i WebCT skall vara en viktig del i era studier, och att ni skall samarbeta aktivt. Det är bra om man ställar alla frågor på diskussionsforum, då kan alla studenter få glädja av svaren. Just diskussionen kring olika matematiska moment, hur man kan tolka och förstå, hur man kan lösa problem på olika sätt etc. är en viktig del i att lära sig matematik. Ni skall inte bara lära er att räkna, ni skall också kunna tala matematik, och det lär man sig bäst genom att just tala. Faktum är att man kan lära sig mycket av att hjälpa någon. När man blir tvungen att formulera sig för att förklara något inser man ofta saker man inte direkt tänkt på. 12 / 6 / 7 3( 3)

4 Adresser, telefonnummer, WebCT och e-post Kursen har en plats på WebCT, och om du är registrerad på kursen går det at logga in med din användaridentitet från studentportalen via (OBS!. inte www). WebCT är ett Internetbaserat kursverktyg som används av Mittuniversitetet, både i distans- och campusundervisning. I WebCT kan läraren lägga ut kursmaterial, inlämningsuppgifter och tester. Studenter och lärare kan kommunicera med varandra via mail, diskussionsforum eller chatt. Det du behöver för att använda WebCT är en dator med Internetuppkoppling och webbläsare. Hur får jag tillgång till WebCT? För att få tillgång till en kurs i WebCT måste du vara registrerad på den aktuella kursen. När detta är gjort kan du med din användaridentitet från studentportalen gå till WebCT. OBS! Är din användaridentitet i studentportalen ny kan det ta upp till en timme innan din WebCT inloggning fungerar. I studentportalen finns en direktlänk till WebCT, som leder till "My WebCT". Där finns en lista med länkar till den eller de WebCT-anslutna kurser du är registrerad på. Du väljer önskad kurs genom att klicka på motsvarande länk. Har du frågor om WebCT: Endast kursrelaterade frågor ställs till din lärare Övriga allmänna och tekniska WebCT-frågor ställer du till Mittuniversitetets WebCT-support på Frågor som rör studentportalen, inloggning, lösenord, e-post, etc. ställer du till studentportalens helpdesk Nödlänk I början kommer information också att finnas på en öppen hemsida: Kontaktinformation Under kursens gång kommer det säkert att uppstå frågor runt kursen. Då går det alltid bra att höra av sig. Insändningsuppgifter skall också skickas in till mig. Både brev och e-post går bra att använda. Pia Heidtmann Mittuniversitetet Institutionen för teknik, fysik och matematik (TFM) Sundsvall e-post: pia.heidtmann@miun.se Har ni mer generella frågor kan ni vända er till Klas Forsman, som är studierektor. Han har telefon och e-post klas.forsman@miun.se Har ni frågor av administrativ karaktär kan ni vända er till Britt-Marie Backlund, som är sekreterare för matematikkurser på TFM. Hon har telefon och e-post britt-marie.backlund@miun.se 12 / 6 / 7 4( 4)

5 Vad skall jag läsa, och när? I det nedanstående kommenteras teorin och litteraturen. Kursen definieras av de sidor och kapitel som står upptagna. Detta är ett förslag som kan ses som en guide genom kursen. Det kan vara på sin plats med en allmän kommentar om kursboken. Den innehåller en hel del bra förklarande text, och inte bara korta härledningar och matematik. Det gör att man kan läsa långa stycken som en vanlig bok. Detta betyder två saker. Det ena är att man får mycket mer bakgrund och förklaringar än ni kanske är vana vid, vilket bör göra det lättare att förstå. Det andra är att boken därmed blir tjockare än ni är vana vid. Det betyder inte att kursen är större. En svensk bok skulle bara ha använt hälften så många sidor genom att helt enkelt inte ha speciellt mycket bakgrund och förklaringar. Boken innehåller också en stor mängd övningar. Det är inte alls meningen att man skall lösa alla. Man bör i stället själv avgöra när man kan ett moment och därmed gå vidare. Om ett moment är svårare kan man lösa fler uppgifter just där. Man kan också spara en del uppgifter till repetition. Som alla amerikanska böcker har den också bara svar till udda uppgifter. Notera också att uppgifterna är märkta med symboler. * betyder att det är en svårare uppgift. Sedan finns det även symboler för om man skall ha räknare, grafritande räknare eller t.o.m. dator. Dessa typer av uppgifter behöver man bara göra om man vill och har rätt hjälpmedel. Varje kapitel (utom Preliminaries ) avslutas med Chapter Review. Där är det lämpligt att som repetition fundera över det som står under Key Ideas, samt lösa Review Exercises. Vi kan anse att Challenging Problems ligger utanför kursens ram. Viktiga datum Följande datum kan vara viktiga att komma ihåg för denna kurs, och kan också tjäna som en vink om hur långt man bör ha hunnit läsa vid dessa tidpunkter. Torsdag vecka 4: Träff 1 i Härnösand (läsa t.o.m. Komplexa tal (jmf. detaljplanering nedan)) Torsdag vecka 8: Träff 2 i Härnösand (läsa t.o.m. Trigonometriska funktioners derivator (jmf. detaljplanering nedan) 3 mars: Sista Inlämningsdag för insändningsuppgifterna (de ska senast vara mig tillhanda detta datum) Torsdag vecka 11: Träff 3 i Härnösand (läsa t.o.m. Numerisk lösning av ekvationer (jmf. detaljplanering nedan)) 19 mars: Tentamen. 22 april: Omtentamen 1 augusti: Omtentamen 2 Träffen Det är viktigt att ni kommer väl förberedda till träffarna, så kan vi använda tiden till det ni tycker är viktigast. Läs därför igenom i förväg och räkna uppgifter, så att ni kan ställa frågor på det som varit svårt. Skicka gärna frågeställningar till träffens diskussionsforum i WebCT som vi kan diskutera gemensamt vid träffarna. Innan första träffen Skumläs de avsnitt som skall gås igenom vid första träffen, samt räkna en del uppgifter. Det är lättare att ta till sig det om man sett lite av det innan vi går igenom det tillsammans (men man behöver inte lära sig det innan). Förbered frågor och annat ni vill diskutera vid träffen. Eventuellt får ni denna studiehandledning i samband med första träffen, och då är ju ovanstående av naturliga skäl inte möjligt att genomföra. Det skall nog gå bra ändå. 12 / 6 / 7 5( 5)

6 Planering Litteratur Adams Calculus, sixth edition, Addison-Wesley, ISBN Anton Rorres Elementary Linear Algebra, Applications Version, 9th edition, J.Wiley & Sons, ISBN , betecknas A Lite extra material och extra uppgifter kommer att finnas på WebCT. Detaljplanering Översiktliga delar eller svåra uppgifter kan vara satta inom parentes. Anteckningar till kursavsnitten finns nedan. I avsnittet Viktiga datum ovan finns en vink om hur långt man bör ha hunnit läsa innan varje träff. Kursavsnitt Kap Sidor Övningar Intervall, absolutbelopp, olikheter P.1 5,6, udda nummer Elementära funktioners grafer Sammansatt funktion Trigonometriska formler och ekvationer P.4 P.5 P , 11-13, 17-21, udda nr , Trigonometriska formler och ekvationer P , 7,8 Extra papper: 1,2,3a-e,3h Trigonometriska formler och ekvationer P , (13-16), 19-3 Extra papper: 3f,g,4,5 Komplexa tal A: :1, 3-18; 1.2:1-19, Komplexa tal A: :1-11, Algebraiska ekvationer och faktorisering Extra material Extra uppgifter av polynom P.6 Gränsvärden av funktioner udda nummer Kontinuitet (Formell definition av gränsvärden Tangenten och dess lutning Derivata Deriveringsregler Kedjeregeln Trigonometriska funktioners derivator Medelvärdessatsen Derivatan som förändringshastighet Högre derivator Implicit derivering Invers funktion Potenser och logaritmer Derivata av exponential- och logaritmfunktion Standardgränsvärden då x "! Arcusfunktioner Tillämpning på implicit derivering Extremvärden ) udda nummer 1,3,5,7,17,21,23,25,29 3,7,17 11, udda nummer 1,3,5,7,13,15,31,33, udda nummer 35,37,39,41,43,45,49,51,53 9,11,13 1,3,5 1,3,5,9,11,13 1,3,5,7,9,21,22,25,29 3.3: 1-9 udda nummer udda nummer 47,55,59,61,63, ,3,19,21,23, ,3, udda nummer Grafritning med asymptoter , 7-17 udda nummer Optimering Numerisk lösning av ekvationer Tentamen 19 mars ,5,7,11,13,17,21,23,25,29,31,35 1,3,5,7,9 12 / 6 / 7 6( 6)

7 Anteckningar Kapitel P.1 introducerar de reella talen, den reella axeln (tallinjen), intervall, olikheter och absolutbelopp. Det är viktigt att känna till hur intervall tecknas, och förstå skillnaden mellan öppna och slutna intervall. I boken använder man en vanlig parentes för att beteckna en öppen intervallände, och en hakparentes för en sluten. Ibland används bara hakparenteser, och då betyder en parentes som är riktad mot intervallet en sluten ände, och en parentes som är riktad från intervallet en öppen ände. Således betyder t.ex. följande samma halvöppna intervall: [a, b[ och [a, b). I kapitel P.4 möter vi det viktiga funktionsbegreppet, som är mycket centralt inom analysen. Till en funktion hör en tillordningsregel (beräkningsformel), en definitionsmängd och en värdemängd. Ett vanligt sätt att åskådliggöra funktioner är grafer. Det är därför viktigt att kunna tolka grafer, och att själv kunna rita dem. Udda och jämn symmetri är intressanta begrepp, medan reflektion i räta linjer kan läsas kursivt. I kapitel P.5 lär vi oss att skapa nya funktioner. Ett uppenbart sätt är att kombinera funktioner med de fyra räknesätten. Ett annat sätt är sammansatta funktioner, dvs där man stoppar in en funktion i en annan. Det kan betecknas och uttalas på flera sätt: f ( g( x)) = f o g( x). Detta kan uttalas f av g av x. Den senare beteckningen kan även uttalas f o g av x, eller f boll g av x. Här får man tänka efter hur definitionsmängden av den sammansatta funktionen ser ut. Ett tredje sätt att skapa nya funktioner är genom styckvis definition, med olika formler i olika intervall. Man inser snart att man kan skapa i stort sett vilka funktioner som helst, och definitivt oändligt många olika. I kapitel P.7 definieras de trigonometriska funktionerna. Till att börja med möter vi sinus- och cosinusfunktionerna. Vi definierar här dessa utifrån enhetscirkeln, som kommer att användas mycket i dessa sammanhang. Det är därför viktigt att sätta sig in i både definitionen av dessa funktioner, och själva enhetscirkelns roll. Vinklar mäter vi alltid i radianer (tänk på det när ni försöker använda en räknare som är inställd på grader). I avsnitten Some Useful Identities och Some Special Angles tar man upp några saker som man bör lära sig genom att utnyttja enhetscirkeln. Efter ett tag kommer man säkert ihåg en del av det utantill, men man bör alltid kunna rekonstruera detta med hjälp av enhetscirkeln. I avsnittet The Addition Formulas tar man upp additionsformlerna och några formler till. Dessa ser man inte uppenbart i enhetscirkeln, varför det faktiskt är lämpligare att lära sig dem utantill. Av de övriga trigonometriska funktionerna som tas upp bryr vi oss bara om tangens-funktionen. Cotangens kan man ibland se i svenska böcker, secant och cosecant bara i amerikanska. Det avslutande Trigonometry Review tar upp sinusoch cosinussatserna. Fundera igenom vad som menas med att en funktion är periodisk. Man bör kunna skissera sinus-, cosinus- och tangens-funktionerna. I tilläggsmaterialet Extra uppgifter finns uppgifter på lösning av trigonometriska ekvationer bl a av typen a sin x + b cos x = c. Denna ekvation löser man genom att skriva om a sin x + b cos x = c till 2 2 b # a = Acos$ A sin( x +!), där A = a + b, tan! = och " a! b = Asin$ Uttrycket a sin x + b cos x = c kan skrivas A cos! sin x + Asin! cos x = Asin( x +!) enligt additionsformeln. Detta kallas amplitud-fasvinkelform. c Ekvationen har nu följande utseende A sin( x +!) = c vilket medför att sin( x +!) = och kan lätt A lösas. Lös uppgifterna 4 och 5 på Extra uppgifter. Komplexa tal, binomiska ekvationer. Detta är nytt för den som inte har läst E-kursen i gymnasiet. I kapitel 1.1 i A läser du allt utom exempel 6 på sid 526. I kapitel 1.2 i A läser du allt utom beviset längst ner på sid 529 samt exempel 4 s 53. Välj Alternativ Solution på exempel 3 sid 53. Satserna och är viktiga att kunna. I kap 1.3 i A läser du allt. Här skriver man om det komplexa talet från rektangulär form till polär form, dvs z = x + iy 12 / 6 / 7 7( 7)

8 y skrivs som z = r cos! + i sin! där r = z och tan! =. Vinkeln kallas det komplexa talets argument x och skrivs arg z =!. Notera att argumenten adderas då två komplexa tal multipliceras och subtraheras vid division. Med hjälp av de Moivres formel löser man den binomiska ekvationen! n = z. Observera att den binomiska ekvationen har n olika rötter, argumentet mellan varje par av närliggande rötter är 2!. Läs exempel 3 på sid 537 som behandlar lösningen av ekvationen 3 z =! 8. På sid 54 n i! definieras det komplexa talet på exponentiell form, cos! + i sin! = e. Ett komplext tal kan skrivas på tre olika former i! z = x + iy = r(cos! + i sin! ) = re Andragradsekvationer 2 I extra materialet behandlas andragradsekvationer av typen z + (2i! 3) z + 5! 5i = som inte kan lösas med standardlösningsformeln för andragradsekvation, då koefficienterna inte är reella tal. Se exempel 6.14 och 6.15 i extra materialet. Algebraiska ekvationer och faktorisering av polynom Ett (komplext) polynom p (z) i variabeln z är ett uttryck av typen p( z) = a a n n! 1 n z + an! 1 z a1z +,, a1 an är komplexa tal. Polynomet är av grad n om n! där koefficienterna a,..., a. Ett tal z! C är ett nollställe till p (z) om p ( z ) =, dvs om z är en rot till ekvationen p ( z) =. Om p (z) kan skrivas p ( z) = q( z) r( z) där q (z) och r (z) också är polynom, så kallas dessa polynom faktorer i p (z) eller delare till p (z). Man säger också att p (z) är delbart med q (z) och r (z). Faktorsatsen Polynomet p (z) har faktorn ( z! z ) om och endast om z är ett nollställe till p (z). Bevis: (!) Antag att ( z! z ) är en faktor i p (z) dvs. p ( z) = ( z! z ) q( z). Med z = z får uttrycket utseendet p z ) = ( z! z ) q( ) ( z ( )! z = vilket måste bli eftersom z. Alltså är z ett nollställe till p (z). (!) Antag att p ( z ) = dvs z är ett nollställe till p (z). Division av ett polynom p (z) med p( z) k ( z! z ) ger = q( z) +, k! R ( z " z ) ( z " z ) vilket kan skrivas som p ( z) = ( z! z ) q( z) + k. Med z = z får vi p ( z ) = ( z! z ) q( z ) + k och eftersom z! z ) q( z ) har vi att p ( z ) = k. ( =, Men enligt antagandet vet vi att p ( z ) =, vilket innebär att k =. z! z ) är alltså en faktor i ( p (z) d.v.s. p ( z) = ( z! z ) q( z). Algebrans fundamentalsats Varje polynom av grad! 1 har minst ett komplext nollställe. 12 / 6 / 7 8( 8)

9 Detta bevisade Gauss i sin doktorsavhandling år Han var då 22 år gammal. Följande sats fås som följdsats av algebrans fundamentalsats och faktorsatsen. Sats Varje polynom p (z) av grad n! 1 kan uppdelas i n faktorer av första graden: p ( z) = an ( z! z1)( z! z2 )...( z! zn ), där z 1, z2,... zn är nollställen till p (z). Alla faktorer behöver ej vara olika. Om t.ex. faktorn ( z! z1) förekommer m gånger, sägs z 1 vara ett nollställe med multiplicitet m. Ytterligare en användbar sats för att bestämma rötter till en ekvation eller nollställen till ett polynom. Sats Om z är ett nollställe till ett polynom med reella koefficienter så är även konjugatet z ett nollställe till polynomet. Vanligtvis för att lösa en ekvation av minst tredje graden och ingen annan information finns gör en gissning av en rot, som ofta är en heltalsrot. Ex. Lös ekvationen z 3! 4z 2 + 2z + 1 = Gissning ger roten z = 1. Sedan utförs polynomdivision mellan ( z!1) och polynomet z! z + z 1, vilket ger ekvationen ( z! 1)( z! 3z! 1) =. 3 ± 13 Slutligen erhålles rötterna z = 2 uppgift 9-16 i extra materialet. och z = 1. Läs exempel 7.22 och 7.23 i extra materialet. Lös Kapitel 1.2 ger en definition av gränsvärde med ord (en formell definition kommer senare). Detta ger en möjlighet att lära känna gränsvärdesbegreppet lite närmare utan att behöva fördjupa sig i matematiska detaljer. Här bör man få tydligt klart för sig vad gränsvärde är. Här möter vi också ett antal räkneregler för gränsvärden. De flesta av dem känns kanske inte som räkneregler utan mera som självklarheter, men vi skall vänja oss vid att alltid undersöka saker grundligt, vare sig de verkar lätta eller svåra. I princip kan man säga att de vanliga räknereglerna även gäller för gränsvärden. The Squeeze Theorem kallas instängningssatsen på svenska. I kapitel 1.3 utökar man gränsvärdesdefinitionen till att klara av att funktionsvärdet och /eller variabeln blir godtyckligt stora eller små. Detta kallas generaliserade gränsvärden. Man introducerar också begreppet asymptot, vilket i princip är en rät linje som funktionskurvan närmar sig allt mer på stort avstånd från origo. Ett bra tips som dyker upp då man skall beräkna gränsvärdet av en kvot är att förkorta kvoten med den snabbast växande termen i nämnaren. Det finns ett antal standardgränsvärden som ofta dyker upp, och som det därför är bra att kunna. Vi påbörjar detta genom att göra en rankinglista över vilka funktioner som växer snabbast. I kapitel 1.4 möter vi begreppet kontinuitet, och vi ser att det är nära besläktat med gränsvärde. I princip kan man säga att en funktion är kontinuerlig om man kan rita dess graf utan att lyfta pennan. Vi få också veta att alla elementära funktioner är kontinuerliga, liksom alla kombinationer av dem. Två viktiga satser möter vi också, som kan vara värda att fundera på en del, speciellt avseende betydelsen av satsernas förutsättningar. Den ena är satsen om största och minsta värde. Den säger att en funktion, som är kontinuerlig på ett slutet intervall, antar ett största och ett minsta värde på intervallet. Den andra, satsen om mellanliggande värde, säger att en funktion, som är kontinuerlig på ett slutet intervall, antar alla värden mellan det största och det minsta värdet på intervallet. Kapitel 1.5 ger oss den formella matematiska definitionen av gränsvärde. Definitionen med ord, som vi fick i kapitel 1.2, är bra för att förstå vad gränsvärde är för något, men den är inte tillräckligt precis för att kunna hantera och bevisa satser på ett matematiskt korrekt sätt. Man kan behöva gå igenom den formella definitionen flera gånger och låta den mogna i huvudet däremellan för att fullt ut komma underfund med 12 / 6 / 7 9( 9)

10 den. Det är viktigt att ägna tid åt det nu, eftersom denna gränsvärdesdefinition återkommer i samband med derivata. I kapitel 2.1 definierar man begreppen tangent och normal till en kurva, och man diskuterar lutningen hos en kurva. Lägg märke till hur tangenten uppstår ur ett gränsvärdesresonemang. I kapitel 2.2 går man så vidare från tangent till att definiera derivata och deriverbarhet med hjälp av gränsvärde. Derivatan till en funktion är en ny funktion, som helt enkelt kan ses som lutningen på den ursprungliga funktionens graf. Se till att övertyga dig om att derivatans definition överensstämmer med detta. I princip kan man säga att en funktion är deriverbar om dess graf saknar hörn. Vidare härleder man derivatan för några vanliga funktioner. Det är viktigt att förstå hur man beräknar derivatan av en funktion genom att använda sig av definitionen av derivata, men för att inte behöva göra det alltför ofta är det också viktigt att lära sig de vanligaste derivatorna utantill. Slutligen får vi se ett antal olika sätt att beteckna derivata. I kapitel 2.3 härleder man ett antal räkneregler som man kan utnyttja i stället för att alltid gå tillbaka till definitionen för derivata, eftersom det är för besvärligt. Dessa räkneregler måste man kunna för att slippa anstränga sig alltför mycket. Till att börja med visar man det viktiga faktum att deriverbarhet medför kontinuitet, men kontinuitet medför inte deriverbarhet. Sedan följer deriveringsregler för summa och differens. Dessa är naturliga och lätta att komma ihåg. Slutligen härleder man deriveringsregler för produkt och kvot. Dessa inte självklara, och man gör klokt i att memorera dem. I kapitel 2.4 härleds kedjeregeln. Den talar om hur man deriverar sammansatta funktioner. Vi har ju tidigare sett att vi kan konstruera de mest komplicerade funktioner genom att sätta samman vanliga funktioner. För att kunna derivera dessa behöver vi denna räkneregel, som man alltså måste kunna. Det är en betydligt bättre idé att lära sig hur kedjeregeln fungerar än att försöka lära sig den utantill som en formel. I detta sammanhang brukar vi tala om inre derivata på svenska. Kapitel 2.5 härleder kort och gott derivatorna för de trigonometriska funktionerna. Det är lämpligt att memorera derivatorna för sinus-, cosinus-, och tangens-funktionerna. De övriga tre funktionerna bryr vi oss (precis som tidigare) inte om. Det kan även vara värt att lägga gränsvärdet av sin(x)/x då x går mot på minnet. I kapitel 2.6 diskuteras medelvärdessatsen ingående. Den är viktig för den kommande teorin, och dess innebörd torde stå klar utifrån den första bilden i kapitlet. Förutom detta definierar kapitlet begreppen (strängt) växande och (strängt) avtagande. Ett samlingsnamn på bägge dessa begrepp är (strängt) monoton. Begreppen skiljer sig här lite åt mellan svenska och engelska. Man visar också en koppling mellan monotonitet och derivatans tecken. Man definierar också termen stationär punkt (engelska: critical point) för en funktion, vilket är en punkt där funktionens derivata har värdet noll. Kapitel 2.7 diskuterar praktiska användningar av derivatan. Det introducerar ingen ny matematik, men kan nog vara nyttigt att läsa igenom för att få lite perspektiv. Kapitel 2.8 ger oss terminologi och beteckningar för att klara av högre ordningens derivator. Räkneregler mm är helt och hållet desamma som tidigare. Vill man ha tredje derivatan av en funktion deriverar man den helt enkelt tre gånger med samma regler som tidigare. I kapitel 2.9 får vi lära oss implicit derivering. För det mesta klarar man sig utan det, men ibland har man uttryck där den ena variabeln inte går att lösa ut och uttryckas enbart med den andra. Det kan t.ex. gälla ekvationen för vissa kurvor. Det visar sig dock att det går att derivera även här, med just implicit derivering som verktyg. Kapitel 3.1 tar upp begreppet invers funktion. En funktion har bara ett y-värde för varje x-värde, dvs om man drar en vertikal linje så skär den funktionens graf endast en gång. Ibland kan det även vara så att varje y-värde bara motsvaras av ett x-värde, dvs om man drar en horisontell linje så skär den funktionens 12 / 6 / 7 1( 1)

11 graf endast en gång (man säger då att funktionen är injektiv). Man kan då för varje funktionsvärde hitta just det tillhörande variabelvärdet. Man kan även skapa en funktion som gör det. Denna kallas den ursprungliga funktionens invers. En funktions invers ogör det funktionen gör. De är varandras motsatser. Ett exempel är att först dra roten ur ett tal och sedan kvadrera det. Rotfunktionen och kvadratfunktionen är varandras inverser (för positiva tal). Graferna till en funktion och dess invers är varandras spegelbilder i linjen y = x. Inversen till inversen är den ursprungliga funktionen igen. En strängt monoton funktion är injektiv, och alltså inverterbar. I stället för inverterbar kan man säga omvändbar. Vi får också en formel för derivatan till en invers funktion. I kapitel 3.2 får vi återuppta bekantskapen med exponential- och logaritmfunktioner. Detta är inget nytt, utan samma som lästes i gymnasiet. Om man tycker att man kan det sedan tidigare går det bra att bara skumläsa detta kapitel. Om det var länge sedan man läste gymnasiekursen, eller om man glömt delar, får man läsa mer noggrant, för det är viktigt att kunna hantera dessa funktionstyper. Kapitel 3.3 definierar den naturliga logaritmen och exponentialfunktionen. Dessa är också bekanta från gymnasiet, men definierades inte på detta sätt där. Denna framställning är väl värd att läsa, och ger också en annan syn på logaritm- och exponentialfunktionerna. Vi får här även en naturlig förklaring till talet e, basen i den naturliga logaritmen. Det är inte bara taget ur luften, som det kan verka i gymnasiet. Kapitel 3.4 diskuterar praktiska användningar av den naturliga logaritmen och exponentialfunktionen, och visar när de kan dyka upp i verkligheten. Det introducerar ingen ny matematik, men kan nog vara nyttigt att läsa igenom för att få lite perspektiv. I början härleder man i alla fall några standardgränsvärden, som har att göra med hur fort olika funktionstyper växer. Dessa är det bra att kunna (vi har även mött dessa tidigare, i samband med kapitel 1.3). I kapitel 3.5 möter vi inverserna till de trigonometriska funktionerna. Dessa har fått egna namn, och kallas arcusfunktioner. De trigonometriska funktionerna är ju egentligen inte inverterbara själva, så man inför restriktioner som man kan invertera. Man härleder även derivator till arcusfunktionerna, vilka är bra att kunna. Som tidigare bryr vi oss bara om sinus, cosinus och tangens. I kapitel 4.1 visar man upp ett antal exempel där man deriverar med avseende på tid, så att derivatorna kan tolkas som hastigheter. Det är ett antal exempel på tillämpningar/tolkningar, och introducerar inte någon ny matematik. Det visar några sätt där det abstrakta derivatabegreppet kan ges en praktisk innebörd. Kapitel 4.2 tar upp extrempunkter och extremvärden (funktionsvärdet i en extrempunkt). Dessa delas sedan in i globala och lokala, och dessa kan i sin tur vara max eller min. Ett globalt max(min)värde är det största(minsta) av funktionens alla lokala max(min)värden. En lokal extrempunkt kan bara finnas i stationära punkter (där derivatan är noll), i singulära punkter (där derivatan inte är definierad), eller i ändpunkterna till funktionens definitionsmängd. Det innebär att det bara finns ett begränsat antal punkter att pröva när man söker extrempunkter. Man visar också hur man kan använda derivatans tecken för att studera extrempunkters egenskaper (om det rör sig om max eller min). Kapitel 4.4 ger först en lite mer formell definition av asymptoter är tidigare, samt visar hur man finner dem. Sedan går man igenom en mängd saker man har nytta av när man skall rita en graf till en funktion, genom att utnyttja både funktionen, dess första och andra derivata. Detta ger en mycket god bild av den funktion man vill undersöka. Saker att fundera på är var funktionen är definierad, skärningar med axlar, symmetri, asymptoter, intervaller för växande och avtagande, extrempunkter, konkavitet och inflexionspunkter. I kapitel 4.5 går man in på optimering, som är en viktig tillämpning på derivator. Det handlar om att först översätta ett problem till matematik och sedan finna den bästa lösningen, vilket ofta handlar om att söka max eller min till någon funktion. En strategi för detta tas fram, och demonstreras i ett flertal exempel. I övrigt introduceras inte någon ny matematik. Kapitel 4.6 tar upp numerisk lösning av ekvationer. Vi berör detta översiktligt på föreläsningarna, kapitlet i boken kan skumläsas. Detta ingår i kursen på en känna till att det finns -nivå. 12 / 6 / 7 11( 11)

12 Insändningsuppgifter, bonuspoäng och examination Insändningsuppgifterna Insändningsuppgifterna kommer att rättas på samma sätt som ordinarie tentamen, så att ni kan se hur bedömningen går till och vilka krav som ställs (se avsnitt om examination). För att ni ska få tillbaka uppgifterna rättade till tentamen och om ni vill ha bonupoängen (se nedan), ska de vara inlämnade (=framme hos mig) senast det datum som anges i avsnittet Viktiga datum. Bonuspoäng till tentan Den som fått godkänt (Betyg A - E) på insändningsuppgifterna behöver inte lösa första obligatoriska uppgiften på tentan, dvs. 3 bonuspoäng. Bonuspoängen gäller endast för den ordinarie tentan och den första omtentan. Anmälning till tentamen Du kan tentera på någon av Mittuniversitetets orter (Härnösand, Sundsvall, Örnsköldsvik och Östersund), om där finns tentamensvakt och lokal tillgänglig vid detta tillfälle. Du kan även tentera på annan ort, t ex vid ett kommunalt lärcentrum, annan högskola eller annat universitet* om där finns tentamensvakt och lokal tillgänglig vid detta tillfälle och säkerheten anses tillräckligt god. *Vårdhögskolan kan kräva en avgift som studenten själv måste betala Du måste då själv ordna de praktiska arrangemangen på den plats där tentamen skall ske. Senast 3 veckor före tentamensdatum ska du skicka en fullständigt ifylld anmälningsblankett till berörd sekreterare. Blanketten finns att få via Britt-Marie Backlund. Om det saknas uppgifter på blanketten kan du riskera att tentan inte kan skickas till önskad plats. Examination och betyg Examinationen utgörs av en skriftlig tentamen, se avsnittet Viktiga datum och Mittuniversitetets schema. Examinationen sker med en tentamensskrivning, där maximala antalet rättningspoäng är 24. Förutom godkända lärandemål krävs det 9 poäng för betyget E, 1 poäng för D, 14 poäng för C och 2 poäng för betyget B. Dessutom innehåller tentamen en frivillig, ej poängsatt, uppgift som tillsammans med betyget B på den obligatoriska delen kan ge betyget A. En god behandling av den frivilliga uppgiften kan även lyfta kursbetyget ett steg från ett skrivningsbetyg E, D eller C på den obligatoriska delen. Betyget Fx innebär möjlighet att komplettera upp till betyget E. Minst tre tentamenstillfällen ges per år. Omtentor ges vid ett antal tillfällen, se Mittuniversitetets schema. Ansvarig för detta är er studierektor, dvs Klas Forsman. Vid tentamen är följande hjälpmedel tillåtna: linjal, passare, gradskiva och andra ritverktyg. Egen valfri (ej symbolhanterande) räknare medtages. Gymnasieformelsamling är också tillåten. Inför tentan kan det vara bra att känna till lite om hur bedömningen av uppgifterna sker, och hur man bör redovisa sin lösning. Detta framgår nedan. Hur man redovisar uppgifterna Lösningar skall redovisas. Varje uppgift kan ge tre poäng om inte annat anges. Vid bedömningen tas hänsyn till klarheten i redovisningen. Om beteckningar införs skall de förklaras, gärna i en figur. Uppställda ekvationer och andra samband skall motiveras, så att tankegången lätt kan följas. Lösningar med undermålig redovisning, t ex slarvig figur, rättas ej. Lösningar till geometriska uppgifter (även grafer, tangenter osv) skall förses med figur. Cirklar dras med passare, räta linjer med linjal. 12 / 6 / 7 12( 12)

13 Lösningar skall alltid kontrolleras om det är möjligt, t.ex. genom att sätta in svaret i ursprunglig ekvation. Varje löst uppgift avslutas med ett svar, som (vanligen) med en fullständig mening sammanfattar lösningens resultat. Orimliga svar, där orimligheten ej har kommenterats, leder ofta till noll poäng. Rimliga svar, som är felaktiga p g a något obetydligt räknefel, kan ändå ge tre poäng. Om inget annat anges skall svar ges exakt. Vid uppgifter av tillämpad natur avrundas dock svaret till lika många värdesiffror som i sämsta ingångsdata. I räkningar som föregår slutresultatet avrundas dock till minst ytterligare en värdesiffra. Till sist Till sist hoppas jag att kursen varit givande och att ni fått ut det ni ville av den. Kom gärna med synpunkter på vad som kan förändras och förbättras. Lycka till på tentan och i fortsatta studier! 12 / 6 / 7 13( 13)