Matematiken på de 2-åriga linjerna

Transkript

1 Matematiken på de 2-åriga linjerna Från och med i höst tillämpas en ny kursplan på de 2-åriga SoEklinjerna i gymnasieskolan. Göran Emanuelsson och Lennart Wendelöv har på sidorna sammanställt några inlägg från den SÖ-kurs, där en del av nyheterna togs upp. Förståelse för geometri GÖRAN LINDAHL Vid undervisning i matematik kan man i stort sett välja mellan två principiellt olika vägar. Den ena innebär att läraren i detalj instruerar eleven hur denne bör gå till väga vid lösandet av olika typer av problem. Den andra innebär att eleven själv får söka sig fram till lämpliga metoder. Man får då börja med mycket enkla problem och sedan successivt öka svårighetsgraden. Fördelen med den senare vägen är att, om den fungerar, den gynnar "förståelsen" av matematik. Det är särskilt två områden som lämpar sig för en förståelseinriktad undervisning nämligen bråkräkning och geometri. Båda dessa har tyvärr tonats ned från mitten av 60-talet. Då geometrin nu åter ska komma tillbaks på allvar i skolan behöver man inte samtidigt återinföra den euklidiska axiomatiska uppbyggnaden. Det räcker med att man experimentellt kan "verifiera" vissa satser och att man ur dessa kan logiskt härleda andra. En sådan uppläggning ger också ökade möjligheter att låta eleverna själva upptäcka vissa samband. Vid grupparbeten diskuterades vilka satser som bör uppfattas intuitivt, vilka som bör bevisas och vilka som bör kontrolleras med mätningar. Man får låta elevernas inställning avgöra. Det är ju ingen idé att tvinga på eleverna ett bevis för en sak de tycker är helt självklar. Vi diskuterade också vilka möjligheter man har att öka de laborativa inslagen i geometriundervisningen. Man nämnde t ex volymmätningar med hjälp av vatten eller sand, areamätning med hjälp av snabbvåg och klipp- och vikningsövningar med papper.

2 Lgr 80 och de 2-åriga linjernas matematik GÖRAN EMANUELSSON Matematik har fått högre status än tidigare. Den betraktas numera som kommunikationsämne och överallt i Lgr 80 nämns vikten av att alla får grundläggande färdigheter i att läsa, skriva och räkna. Varje lärare en matematiklärare! De grundläggande färdigheterna kommer att testas med diagnostiska prov på alla stadier i grundskolan. De av SÖ utgivna proven innehåller gemensamma uppgifter, så att man kan följa hur färdigheterna utvecklas från ett stadium till ett annat. En lärarhandledning till de diagnostiska proven föreslår åtgärdsprogram då resultaten inte är de önskade. Resultaten på några standardprovsuppgifter diskuterades livligt. Standardproven för åk 9 (nov) är uppdelade i fyra delar: Huvudräkning (60 uppgifter på 20 minuter) Överslagsräkning och taluppfattning (20 uppg. på 15 min) Räkning med papper och penna (20 24 uppg. på 70 min) Problemlösning med miniräknare (15 20 uppg. på 70 min) De två första proven är gemensamma för allmän och särskild kurs. Flera kursdeltagare ansåg att en del av de önskvärda momenten i högstadiets matematikkurs var mer omfattande än motsvarande moment på 2-årig SoEk-linje. Det ledde till en diskussion om vi har för låga krav på eleverna? Många som går dessa linjer blir lärare och kommer själva att undervisa i matematik! Alarmerande rapporter kommer också från Lärarhögskolorna. De intagnas matematikkunskaper blir allt sämre. Några karaktäristika i Lgr 80:s kursplan i matematik berördes: Betoningen av att undervisningen ska vila på elevernas förkunskaper. En elev får inte börja med ett nytt moment utan tillräcklig grund från tidigare moment. (Hur ofta syndar vi inte mot det?) Vidare problemlösningens betydelse. För att kunna lösa ett problem krävs att man kan förstå problemet och har en lösningsmetod, man kan klara de numeriska beräkningar som krävs, man kan analysera, värdera och dra slutsatser av resultatet. I NÄMNAREN har publicerats tre arbetsområden för problemlösning enligt ovan, utprovade på högstadiet och/eller 2-årig linje: Ett rikare föreningsliv, nr 2 årgång 7 Matematik för kapitalister, nr 3 årgång 7 Resemontörens problem, nr 4 årgång 7 Grundskolans kursplan i matematik är differentierad. För varje stadium anges nödvändiga och önskvärda kunskaper. Det innebär stor spridning i färdigheter och kunskaper när eleverna börjar i gymnasieskolan inte minst på de 2-åriga linjerna. Elevernas förkunskaper måste noggrannt kartläggas för att matematiklektionerna ska bli meningsfulla.

3 Yrkesmatematiken Var och hur? FLEMING FALKENSTAD Den nya kursplanen i matematik för 2-årig linje inbjuder verkligen till många konkreta tillämpningar. På kursen redovisade jag exempel på hur matematiken kommer till användning i ämnet verkstadsteknik. Konkreta exempel från svarvning och kantbockning visar betydelsen av att kunna läsa av olika nomogram och tabeller, att göra mätningar med skjutmått och mikrometerskruv och att kunna beräkna måttavvikelser för toleranser. Med skumgummimodell och verkliga föremål kan visas hur material beter sig vid bearbetning och vikten av att kunna beräkna bockningsvinklar och ämneslängder. Enligt läroplanen kan också matematiklektioner läggas upp inom dessa områden för de elever som har matematik som tillval. Några exempel på elevtester och provuppgifter från industriskolor redovisades och diskuterades. Vad är detta? Inom geometrin finns många möjligheter att laborera med matematik. För denna kurs hade jag också framställt en geometrisk uppgift som behandlade linjers verkliga längd, hur man beräknar, och hur man praktiskt använder några metoder för att få fram utbredningar till kroppar med olika form. Datalära LARS-ERIC BJÖRK Innehållet i skolans datalärakurs diskuterades utifrån DA TALÄRA en handledning, fortbildningsavdelningen i Göteborg och Liber UtbildningsFörlaget. Först behandlades datorn i samhälle och skola: Den historiska utvecklingen, integritetsproblemen, jobben och arbetsmiljön, det sårbara Sverige, teledata och andra s k nya medier. Så var det dags för egna övningar vid de smådatorer som företag ställt till förfogande. Deltagarna fick välja mellan tre ambitionsnivåer: Nybörjarnivå (för dem som ville se ett metodiskt exempel på hur nybörjarprogrammering kan introduceras) Mellannivå (datorlaborationer i matematik) Avancerad nivå (arbete med grafik, strängar och filhantering) Programmering i skolan handlar ofta om enkla beräkningsexempel. Detta kan lätt ge en skev bild av vad datorer sysslar med. Därför fick deltagarna köra ett antal färdiga program, som visar olika typer av databehandling: Beräkningar, simuleringar, sorteringar, informationssökning i register, grafisk framställning m m. Möjligheterna att använda datorn som hjälpmedel vid projektarbeten visades med de båda programmen Befolkningsprojektioner och Villauppvärmning. Programmen är framtagna på initiativ av fortbildningsavdelningen i Göteborg. (Elev- och lärarmaterial med programdiskett/kassett finns till våra vanligaste skoldatorer. Red:s anm.)

4 Att ljuga med statistik GÖRAN ANDERSSON Jag gav under kursen ett antal exempel på "hur man ljuger med statistik", men jag vill poängtera vikten av ett konstruktivt synsätt. Statistik är ett ovärderligt beslutsunderlag och det finns mängder av god statistik som rätt tolkad kan avslöja fördomar, ge insyn i hur samhället sköts och bli "murbräcka för reformer". Från mina perioder som gymnasieinspektör har jag ett högst positivt intryck av dagens gymnasieskola, men jag anser att utbildningen i att kommunicera med statistik är sorgligt försummad. Här följer ett exempel som jag hoppas NÄMNARENs läsare vill ta upp i matematikundervisningen. Diagrammet är hämtat från en lärobok i samhällskunskap för åk 2 i gymnasiet. Diskutera exempel av det här slaget med samhällskunskapslärarna! Avsnittet ifråga berättar att levnadsstandarden under en hundraårsperiod har stigit genom att lönerna har ökat mer än priserna (något som ju är helt riktigt). Ingen direkt hänvisning görs till diagrammet (som ju bara omfattar fyra år) men å andra sidan finns heller ingen annan illustration av standardhöjningen. Hur som helst är diagrammet vilseledande. Och om avsikten har varit att illustrera en standardhöjning mellan 1974 och 1978 så har författarna lurat sig själva. Kurvornas mycket olika lutning kan ge en okritisk läsare intrycket att lönerna rakat i höjden mycket mer än priserna under perioden. Det som är intressant här är emellertid den procentuella ökningen i respektive serie (här kan man propagera lite för logaritmiska diagram). Om man inte uppmärksammar brottet mitt på andra axeln är det dock risk att man får en överdriven uppfattning även av den procentuella ökningen i löneindex. Det är ganska svårt att läsa av indextalen för 1978 eftersom det inte finns något rutnät. Man ser i alla fall att det för båda serierna rör sig om ökningar på ca 50 % under perioden: i löneindex från drygt 1000 till en bit över 1500, i konsumentprisindex från strax över 300 till ca 450. Lärobokstexten ger ingen närmare information. Diagrammet är helt luftlandsatt. Låt oss räkna lite grann på de här serierna med hjälp av uppgifter ur den officiella statistiken. Löneindexkurvan stämmer bäst överens med index över industriarbetarnas genomsnittliga timlön 1) i november resp år. Tabell 1 visar indextalen med basår enligt diagrammet. Inom parentes står indextalen omräknade med nov 1974 som bas. Löneindex har alltså ökat 53 % och KPI 44 %. Detta behöver dock inte betyda att levnadsstandarden stigit. Inkomstvariabeln är ju genomsnittlig lön per timme och före skatt. Det förefaller troligt att marginalskatteeffekter äter upp minst hela differensen på 9 %-enheter. Dessutom måste man ta hänsyn till arbetstidsförkortningar och ändradebidrag. Om så en gammal sanning: Resultatet av en jämförelse beror på vad man jämför med. Mellan 1975 och 1978 har löneindex faktiskt ökat mindre än KPI, 28 % resp 32 %! I undervisningen kan man låta eleverna sammansmälta innehållet i de båda tidsserierna till en, nämligen löneindex i fasta priser, se tabell 2 (vill man framhäva minskningen från 1975 ännu mer kan eleverna som övning räkna om till 1975 och/eller 1976 som basår). 1) Den genomsnittliga förtjänsten per timme av tidlön eller ackordslön inkl eventuella tillägg för obekväm arbetstid och övertid. Helgdagslön, semesterlön, permitteringslön ingår inte i detta lönebegrepp.

5 Företagsspelet HANS BROLIN I denna laboration studerar man två företag A och B som arbetar med två olika strategier. Båda företagen har samma startkapital, vilket får konkretiseras av 10 tärningar. Ett års verksamhet åskådliggöres genom att tärningarna kastas. Varje sexa ger då företaget en tärning i vinst. Företaget A använder strategin att investera vinsten i företaget. Om man första året vann 3 tärningar kastar man det andra året 13 tärningar. Blev vinsten detta år 4 tärningar kastar man det tredje året 17 tärningar osv. Företaget B däremot lägger varje år vinsten åt sidan och kastar alltså även andra, tredje, fjärde... året 10 tärningar. Man kan säga att detta företag konsumerar vinsten. Laborationen genomförs lämpligen i grupper med tre elever per grupp. Varje grupp studerar de båda företagens utveckling under 15 år. Man antecknar i ett protokoll hur många tärningar företagen har år från år. Vad gäller företaget B antecknar man alltså summan av de 10 tärningar som kastas och den sammanlagda vinsten. Varje grupp åskådliggör sina resultat i ett diagram. Slutligen sammanförs gruppernas resultat i en tabell och i ett diagram. Grafen som visar företagets B resultat kommer att mycket väl överensstämma med en rät linje och är alltså välkänd för eleverna. Den graf som visar A:s resultat är emellertid ännu okänd. Man härleder tillsammans med eleverna först det uttryck som beskriver företagets B resultat: y är antalet tärningar och n antalet år Figur och uttryck stämmer överens. Därefter härleder man ett uttryck som beskriver A:s resultat och får: Detta är en ny funktion för eleverna. Laborationen kan här gå över i studiet av exponentialfunktioner.