Problemlösning i matematik En undersökning kring elevers tillvägagångssätt vid problemlösning i grupp

Transkript

1 Examensarbete Problemlösning i matematik En undersökning kring elevers tillvägagångssätt vid problemlösning i grupp Författare: Emelie Bildh & Johanna Estunger Termin: HT 2011 Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Grundnivå Kurskod: GO7483

2 Problemlösning i matematik En undersökning kring elevers tillvägagångssätt vid problemlösning i grupp. Problem solving in mathematics A survey of pupils approaches within problem solving in group. Abstrakt Vi har valt att genomföra vårt examensarbete med utgångspunkt inom området problemlösning. Syftet var att undersöka elevers tillvägagångssätt vid problemlösning i grupp med fokus på elevgrupper i årskurs 4. Metoderna vi använde oss utav var observationer och intervjuer med fem elevgrupper när de arbetade med en av oss framtagen problemuppgift. Vi har även intervjuat elevernas matematiklärare. Resultatet visar att elevgrupperna använder sig av tre olika strategier: gissa och pröva, rita bilder samt göra en tabell. Elevernas samarbete i gruppen varierar, en del grupper samarbetar inte alls, medan andra hjälps åt under hela arbetsgången. Förhållningssättet till att lösa problem hos eleverna skiljer sig åt men majoriteten av eleverna har ett öppet förhållningssätt. Nyckelord Förhållningssätt, problemlösning, problemlösningsstrategier, samarbetsförmåga Emelie Bildh & Johanna Estunger Antal sidor: 40

3 Innehållsförteckning Nyckelord Inledning Syfte och frågeställningar Definition av problem Definition av tillvägagångssätt Bakgrund Historik Problemlösning i styrdokumenten Problemlösning som begrepp Varför problemlösning Problemlösningsstrategier Elevers förhållningssätt till problemlösning Problemlösning i grupp Lärarens roll i undervisningen Undervisning om problemlösning Elevers arbete med problemlösning Metod Metodval Observationer Intervjuer Etiska aspekter Urval Datainsamlingsmetoder Genomförande Resultat Elevgrupp Elevernas lösningsstrategier Elevernas samarbetsförmåga Elevernas förhållningssätt Elevgrupp Elevernas lösningsstrategier Elevernas samarbetsförmåga Elevernas förhållningssätt Elevgrupp Elevernas lösningsstrategier Elevernas samarbetsförmåga... 18

4 5.3.3 Elevernas förhållningssätt Elevgrupp Elevernas lösningsstrategier Elevernas samarbetsförmåga Elevernas förhållningssätt Elevgrupp Elevernas lösningsstrategier Elevernas samarbetsförmåga Elevernas förhållningssätt Intervju med lärare Analys Elevernas strategier Elevernas samarbetsförmåga Elevernas förhållningssätt Lärarintervjuer Diskussion Metoddiskussion Resultatdiskussion Förslag till vidare forskning Bilagor Referenser... 32

5 1. Inledning Vad finns det för problem med ett problem? Det är en fråga som kan vara svårtolkad eller verka förvirrande men med lite betänketid är den intressant på många plan. Vi möts ofta av problematiska situationer i vardagen och en del upplever vi mer problematiska än andra. Vad ett problem innebär kan definieras på olika sätt och vi finner olika lösningar beroende på vilka kunskaper och erfarenheter vi har. Att lösa problem lär sig människor i tidig ålder och Lester (1996) menar att barn är problemlösare av naturen (s. 91). I skolans verksamhet ska elever ges möjlighet att arbeta med problemlösning i matematikundervisningen vilket är det område som vår undersökning kommer att behandla. Elevers sjunkande kunskaper i matematik har lett till att media lyft ämnet till diskussion. I Skolinspektionens rapport 2009:5 visar resultatet att svenska skolor har svårt att uppfylla elevernas mål i matematik när det gäller kompetens inom området problemlösning. Elevernas sjunkande kunskaper i matematik har bidragit till att Skolverket har fått i uppdrag av regeringen att fördela bidrag under tre år, en så kallad matematiksatsning (Palm & Furness, 2010). I Lgr 11 finns kunskapsområden som varje elev ska ha mött när de slutar grundskolan och problemlösning är ett av dessa områden. Ett syfte med undervisningen i matematik är att bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att formulera och lösa problem (s. 62). Detta innebär att lärare måste lägga vikt vid problemlösning i sin undervisning och ge eleverna förutsättningar att utveckla förmågan att lösa problem och välja lämpliga strategier och metoder. Under vår utbildning till lärare för grundskolans tidigare år har vi diskuterat hur elever på bästa sätt kan ges förutsättningar att få rätt sorts kunskap och verktyg för att utvecklas. Matematik ligger oss varmt om hjärtat och därför har vi valt att arbeta med detta ämne och fördjupa oss inom området problemlösning. Ur undervisningssynpunkt tycker vi att det är intressant och relevant att ta reda på mer om hur elever går tillväga när de möter problemuppgifter i grupp. Vi är också intresserade av vilka strategier som eleverna använder, hur de samarbetar med varandra samt vilket förhållningssätt de har till att lösa problem. Genom vår undersökning hoppas vi få mer kunskap och erfarenhet om problemlösning. Detta för att skapa förutsättningar för oss i vår lärarroll att ge problemlösning en mer betydelsefull plats i vår framtida matematikundervisning. 1

6 2. Syfte och frågeställningar Vårt syfte är att undersöka elevers tillvägagångssätt vid problemlösning i grupp. Vi fokuserar på elever i årskurs 4. Utifrån detta syfte har vi valt följande frågeställningar: Vilka strategier använder sig eleverna av när de ska lösa problemuppgifter? Hur fungerar gruppens samarbetsförmåga? Vilka förhållningssätt har eleverna till problemlösning? 2.1 Definition av problem Vår tolkning av problemlösning i detta arbete är problem i form av textuppgifter. Vår hypotes är att de grundläggande faktorerna för att eleverna ska kunna lösa problemuppgifter är att de kan tolka och förstå problemet och i slutskedet kan besvara det som efterfrågas i uppgiften. 2.2 Definition av tillvägagångssätt Begreppet tillvägagångssätt definierar vi som en beskrivning av hur eleverna arbetar med uppgiften, från att de läser den till att de har kommit fram till en lösning. I tillvägagångssättet inkluderar vi elevernas val av strategi, deras samarbetsförmåga samt vilket förhållningssätt de har vid arbete med problemuppgiften. 2

7 3. Bakgrund I vår bakgrund ges ett historiskt perspektiv kring problemlösning i skolan samt hur området behandlas i Lgr 11. Vidare ges en inblick i problemlösningens betydelse och hur begreppet definieras av olika författare. Problemlösningsstrategier, elevers förhållningssätt, problemlösning i grupp samt lärarens roll är också rubriker som belyses i detta avsnitt. 3.1 Historik I alla tider har människor strävat efter att lösa problem och det ligger i den mänskliga naturen att försöka hitta strategier och metoder för att lösa dessa (Emanuelsson m.fl., 1995). Forskare och matematiker anser att problemlösning ligger till grund för matematiken och att undervisningen därför borde genomsyras av detta (Ahlberg, 1995). I skolan har matematik länge varit ett centralt ämne och under det senaste decennierna har problemlösning fått en mer betydelsefull roll i undervisningen. En av de första som uppmärksammade detta område var George Polya som undervisade i matematik vid Stanford University. Polya frångick den traditionella matematikundervisningen och utmanade istället eleverna med problemuppgifter och ville att eleverna skulle hitta egna lösningsstrategier. Polya förespråkade även att eleverna skulle möta vardagsanknutna problem och använda olika metoder för att lösa dessa (Möllehed, 2001). Den svenska skolans styrdokument har lagt olika stor vikt vid problemlösning. I Lgr 80 var problemlösning ett område som uppmärksammades till stor del. Undervisningen skulle kopplas till elevernas vardag och innehålla mycket skriftliga problem som kunde leda till olika tolkningar och diskussioner (Ahlberg, 1995). Gran (1998) skriver att i Lgr 80 fick problemlösning en separat placering för att lyfta dess viktiga relevans. En problemuppgift ansågs vara en uppgift där eleven fick arbeta sig fram steg för steg till en lösning och där läraren stöttade i form av frågeställningar om eleven behövde hjälp. I Lpo 94 fokuserades undervisningen kring de fyra kunskapsformerna: fakta, förståelse, färdigheter och förtrogenhet (Ahlberg, 1995). Förståelsen kring matematik har fått en mer betydande roll i Lpo 94 än i Lgr 80, men området har ändå inte fått någon genomslagskraft i undervisningen. Det är svårt för elever att utveckla sin förståelse genom att enbart träna färdigheter i läroboken (ibid). Lgr 11 utgår från samma grund som Lpo 94, men i kommentarmaterialet till kursplanen i matematik beskrivs det att den nya läroplanen lägger större vikt vid att konkretisera de olika kunskapsområdena. Problemlösning är numera ett eget kunskapsområde i matematikens kursplan och på flera ställen lyfter Lgr 11 fram problemlösningens betydelse i ämnet. 3.2 Problemlösning i styrdokumenten I Lgr 11 står det följande om problemlösning i syftestexten för matematik: Matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet som är nära kopplad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen (s. 62). Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer (s. 62). 3

8 Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar förmågan att argumentera logiskt och föra matematiska resonemang. Eleverna ska genom undervisningen också ges möjlighet att utveckla en förtrogenhet med matematikens uttrycksformer och hur dessa kan användas för att kommunicera om matematik i vardagliga och matematiska sammanhang (s. 62). I det centrala innehållet för årskurs 4-6 står det att eleverna ska möta följande moment i undervisningen: Strategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer. Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer (Lgr 11, s. 65). 3.3 Problemlösning som begrepp Vid studier av hur begreppet problem definieras finns det ett flertal uppfattningar om vad det betyder och innebär. I vardagen används begreppet när en person ställs inför en svårighet som behöver lösas men det kan även användas i exempelvis matematiska sammanhang och tolkas då som en uppgift som kräver en kognitiv ansträngning (Ahlberg, 1992). Det är relationen mellan individen och uppgiften som avgör om uppgiften är ett problem och detta skriver även Emanuelsson m.fl. (1996) och uttrycker att det är individens förutsättningar, erfarenheter och kunskaper som avgör vad som är ett problem för denne eller inte. Hagland m.fl. (2005) diskuterar också begreppet problem och definierar det som en speciell typ av uppgift som ska uppnå tre villkor. Det första villkoret är att det ska vara en uppgift som en person vill eller behöver lösa. Det andra villkoret är att personen inte har bestämt på förhand hur han eller hon ska lösa uppgiften och det sista villkoret är att det krävs en ansträngning av denne att lösa problemet. Utifrån dessa tre villkor menar Hagland m.fl. (2005) att samma uppgift kan vara ett problem för en person medan det kan vara en rutinuppgift för någon annan. Om en person har mött en uppgift flertalet gånger som till en början var ett problem, kan rutiner och strategier befästas så att uppgiften har utvecklats till en rutinuppgift. Hagland m.fl. (2005) delar även upp olika problemuppgifter i två kategorier där den ena kategorin är de problem som beskrivs utifrån de tre villkoren. Den andra kategorin är rika problem och det finns ett antal kriterier för dessa. Taflin (2007) utvecklar i sin avhandling begreppet rika problem och definierar det utifrån sju kriterier. Det första är att problemet ska introducera eleverna till viktiga matematiska idéer. Det andra är att problemet ska vara lätt att förstå och att alla ska kunna arbeta med det. Det tredje kriteriet ska eleverna uppleva problemet som en utmaning som kan vara påfrestande och tidskrävande att lösa. Det fjärde kriteriet är att problemet ska kunna lösas på flera olika sätt och det femte är att problemet ska uppmuntra till olika typer av matematiska diskussioner baserat på elevernas olika lösningar. Det sjätte kriteriet är att problemet ska fungera som en brobyggare och det sista kriteriet innebär att uppgiften motivera elever och lärare till att skapa egna problem. Ahlberg (1992) presenterar olika problemtyper där utgångspunkten tas utifrån vilka lösningsstrategier som används. En problemtyp är enstegsproblem som innebär att orden i en textuppgift översätts till ett matematiskt uttryck och denna typ av problem förekommer ofta i matematikböcker. Om textuppgiften kräver beräkningar i två eller flera steg för att lösa problemet kallas denna typ av problem för flerstegsproblem. Den 4

9 tredje typen av problem som Ahlberg (1992) presenterar är processproblem, vilket innebär att problemet löses genom att föra logiska resonemang och diskussioner alternativt tillverka tabeller eller diagram. Processproblem kan även lösas genom att man ritar en bild eller letar efter mönster. En fjärde typ av problem är tillämpningsproblem och för att lösa dessa måste det finnas fler komponenter än endast ett matematiskt innehåll i uppgiften. Individers levnadsvanor, intressen och egenskaper är exempel på komponenter som kan vara betydelsefulla i denna typ av problem men det matematiska innehållet ska fortfarande genomsyra problemuppgiften. 3.4 Varför problemlösning Idag är det en nödvändighet att kunna lösa olika slags problem vi ställs inför, dels för att klara av vardagsmässiga rutiner och dels för att utvecklas i yrkeslivet (Ahlberg, 1995). Flera matematiker framhåller att undervisningen i matematik borde genomsyras av problemlösning eftersom det anses vara grunden för att förstå matematik (ibid). Hagland m.fl. (2005) menar att arbete med problemlösning leder till att eleverna utvecklar förmågor som de har stor nytta av i vardagen. Att tänka kreativt, logiskt och att vara strukturerad är några av de förmågor som lyfts. Emanuelsson m.fl. (1996) framhåller precis som Ahlberg (1995) fram betydelsen av problemlösning i undervisningen som ett medel för att kunna förbereda sig på kommande situationer i vardagslivet. Detta betonas även i matematikens kursplan där det står att eleverna ska ges förutsättningar att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa (Lgr 11, s. 62). Att lyfta fram problem som kan förekomma i vardagen gör att eleverna får en bredare förståelse för matematikens innebörd och då skapas även bättre förutsättningar för att eleverna ska uppleva undervisningen som lustfylld (Emanuelsson m.fl., 1996). I den litteratur vi läst beskriver flera författare olika förmågor som eleverna utvecklar i samband med att de arbetar med problemlösning. Detta är också ett argument i diskussionen om varför arbetet med problemlösning är så betydelsefullt. Malmer (2002) menar att det är viktigt att både lärare och elever inser det stora värdet som problemlösning har och att det i undervisningen ges utrymme till detta. Här ges exempel på vad eleverna utvecklar i samband i arbetet med problemlösning: Öva på att läsa och tolka en text Utveckla det logiska tänkandet Fantasi och kreativitet Samtala, argumentera, diskutera Lära sig att tillämpa olika lösningsstrategier Sovra bland text, fakta, diagram m.m. Kritiskt granska fakta och resultat Lära sig att behärska hjälpmedel, ex miniräknare Upptäcka matematikens användning i andra ämnen Möta och hantera vardagens mattesituationer (Malmer, 2002, s. 192) För att utveckla dessa punkter måste eleverna möta problemuppgifter systematiskt under en lång tid (Malmer, 2002). Det måste finnas tid att utveckla elevernas olika förmågor och Emanuelsson m.fl. (1996) framhåller att arbetet med problemlösning stärker elevernas självförtroende om det utförs på rätt sätt. Detta menar även Hagland m.fl. (2005) som uttrycker att elever som hittar en lösning till ett problem som de har haft svårigheter med stärks i tilltron till sin egen förmåga och detta motiverar dem till 5

10 att lära sig mer. Därför är det en fördel att börja med enklare problem som eleverna känner att de behärskar, för att sedan successivt öka svårighetsgraden och utmana eleverna ytterligare (Emanuelsson m.fl., 1995). 3.5 Problemlösningsstrategier I Lgr 11 uttrycks det att eleverna ska utveckla kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat (s. 62). Lester (1996) beskriver följande strategier som eleverna använder sig av när de löser problemuppgifter: välja en eller flera operationer att arbeta med rita bilder arbeta baklänges göra en lista skriva upp en ekvation dramatisera situationen göra en tabell eller ett diagram gissa och pröva lösa ett enklare problem använda laborativa material eller modeller (Lester, 1996, s. 88) Dessa ovanstående punkter har flera författare som vi mött i litteraturen nämnt som lämpliga strategier att använda vid problemlösning, men Lester (1996) är den författare som de främst utgår ifrån. En strategi som Lester (1996) inte nämner men som Hatami (2008) diskuterar i sin artikel är att använda sig av ordargumentation. Att använda språket vid matematiska problem är en form av retorisk matematik, vilket innebär att personen som ska lösa problemuppgiften samtalar och resonerar sig fram istället för att använda sig av matematiska modeller eller algoritmer. Om det sistnämnda används är det istället symbolisk matematik som berörs. Hatami (2008) presenterar tre olika nivåer av lösningar där nivå 1 handlar om att lösa uppgiften genom bild/figurativ argumentation eller ordargumentation, dessa är exempel på retoriska lösningar. På nivå 2 handlar om att gå från retorisk matematik till symbolisk matematik. För att nå upp till nivå 2 är det viktigt att eleverna är förtrogna med att lösa uppgifter på nivå 1. På nivå 3 används endast symbolisk matematik i form av förstagradsekvationer och en del ekvationssystem och lärare kan förenkla dessa för elever i grundskolan genom att använda laborativt material. Att kombinera dessa tre nivåer genom att överföra den retoriska matematiken till den symboliska, gör att eleverna ser relationen mellan de olika uttryckssätten. Därmed får de en större förståelse för dessa samtidigt som de utvecklar sitt kritiska tänkande. Att använda sig av bilder är något som Ahlberg (1995) diskuterar och framhåller som ett bra redskap vid problemlösning. Bilder som eleverna ritar kan vara en förenklad symbol för det som bilden egentligen representerar, exempelvis kan ett träd avbildas som ett streck eller en ring. När elever ritar bilder får de en visuell upplevelse av problemet som bidrar till förståelsen av det matematiska innehållet (Ahlberg, 1995, s. 78). Berggren & Lindroth (1997) belyser några områden som är viktiga för eleverna att behärska för att de ska kunna lösa problemuppgifter: taluppfattning, huvudräkning, rimlighetsbedömning och överslagsräkning. Om eleverna har kunskaper om dessa kan 6

11 de på ett effektivt sätt finna strategier och olika lösningsmetoder. Även Malmer (2002) skriver om de ovanstående punkterna som lämpliga strategier för eleverna att använda. Möllehed (2001) har i sin avhandling utformat en modell som belyser de viktigaste faktorerna för att lösa problemuppgifter. Den första faktorn är att eleven kan förstå problemuppgiftens innehåll, ord och uttryck. Uppgiften kan också innehålla en figur som eleven behöver tolka och verklighetsanknyta för att förstå. Faktorn förståelse knyter Möllehed (2001) an till faktorerna textförståelse, verklighetsuppfattning och visuell förståelse, dessa anses vara grunden för problemlösning. Andra viktiga faktorer för att kunna lösa problemuppgifter är allmänna begrepp, allmänna relationer och logik. Dessa innebär att eleven har ett logiskt tänkande, känner till vissa begrepp samt kan se samband/relationen mellan delar och helhet. Den sista faktorn Möllehed (2001) beskriver är separation som innebär att eleven kan hålla isär de olika delarna i uppgiften. Problemuppgifter kan se annorlunda ut och därför behöver inte alla dessa faktorer användas vid varje uppgift, men om eleven behärskar samtliga faktorer har eleven utvecklat en bredd och kan möta olika typer av uppgifter. Möllehed (2001) upptäckte i sin undersökning att det som många elever har svårigheter med vid problemlösning är att de missuppfattar textens innehåll, bildtolkning och att verklighetstolka problemet, vilket leder till att eleven avstår från att försöka lösa uppgiften. Möllehed (2001) definierade ett antal brister i textförståelsen som uppstår när elever löser problemuppgifter. De som inte förstått problemuppgiften kunde göra en beräkning för att ge ett svar trots att de saknade lösningsmetod, detta benämns som meningslösa beräkningar. Fler förekommande brister var att eleverna missförstod vissa ord i texten, missade detaljer, missförstod vad som efterfrågades eller förändrade problemet så att det blev enklare att lösa. Fel uppstod på grund av att de hade förutfattade meningar, exempelvis genom att de delade upp lika, trots att det i texten efterfrågades att den ena skulle ha fem mer än den andre. Det vanligaste felet var att de missförstod innebörden i texten och vad problemet gick ut på (ibid.). Malmer (2002) belyser att enstaka matematikord kan vålla problem och förvirra för eleverna. I textuppgifter förekommer ofta signalord som exempelvis längre och hälften och dessa uppmanar till att använda ett visst räknesätt. Det är viktigt att eleverna får möta varierade textuppgifter så att de utvecklar både sitt ordförråd och sina matematiska kunskaper. 3.6 Elevers förhållningssätt till problemlösning Ahlberg (1992) har genomfört en studie som syftar till hur lågstadieelever upplever och förstår aritmetisk problemlösning i en skolkontext utifrån sina erfarenheter. Utformningen av undersökningen innebar att vid ett antal tillfällen fick elever arbeta med problemuppgifter i klassrummet som de först skulle lösa på egen hand. Därefter skulle de prata i smågrupper om problemet och redovisa vad de hade kommit fram till för resultat. Slutligen skulle gruppen välja ut en lösning utifrån deras tidigare beräkningar och redovisa inför hela klassen. Ahlberg (1992) genomförde även i sin studie intervjuer med några utvalda elever och deras klasslärare. Elevernas förhållningssätt till problemlösning är olika beroende på deras kunskaper i ämnet samt deras tidigare erfarenheter kring problemlösningssituationer. Hur eleverna förhåller sig till problemlösning visar sig oftast tidigt i problemlösningens inledningsskede. Eleverna kan inta ett förgivettaget förhållningssätt, vilket innebär att de inte gör någon större ansträngning för att försöka lösa uppgiften. De elever som inte tar sig an problemet menar att det inte har förmågan att lösa det, att de är trötta, eller att de tycker att problemet är svårt. Ahlberg (1992) upplever att elevernas eftersträvar att få 7

12 byta aktivitet istället för att försöka lösa uppgiften eftersom de upplever problemlösningssituationen som besvärlig. Eleverna kan också inta ett öppet förhållningsätt, som innebär att de visar engagemang och vilja till att lösa problemet de möter. De fokuserar endast på problemets innehåll och ser det som en process att finna en lösning och det är inte nödvändigt för dessa elever att hitta ett svar direkt. I undersökningen som Ahlberg (1992) gjorde tillfrågades även eleverna vid intervjuer om de lärde sig någonting under de tillfällen som de arbetade med problemlösning i matematikundervisningen. Sammanfattningsvis var svaren att de lär sig att räkna matematik på olika sätt och de lär sig att lösa problem. Enligt undersökningen visar resultatet även att eleverna tycker det är givande att få sitta och diskutera problemen gruppvis, eftersom de då ser att det finns olika lösningar av problem och att de kan göra på olika sätt för att komma fram till en lösning. En del elever upplever diskussionerna i smågrupperna som obehagliga eftersom de inte kunde räkna ut rätt svar eller att andra i gruppen var emot den enskilde eleven vid diskussion. Läraren kan påverka elevernas förhållningssätt genom sin inställning och sitt sätt att vara gentemot eleven. Om eleverna kan lösa problem och känner att de utmanas av det stärks deras självförtroende och de ökar även tron på sin egen förmåga. Detta ger bättre förutsättningar för elevernas förhållningssätt till problemlösning både enskilt och i grupp (Hagland m. fl., 2005) Problemlösning i grupp En varierande undervisning med arbete både enskilt och i grupp uppmuntrar eleverna till att vara engagerade, kreativa och reflekterande i sitt lärande. Grupparbeten uppmuntrar eleverna till att diskutera med varandra och föra ett matematiskt resonemang för att lösa uppgiften (Nyström & Palm, 2001). Berggren & Lindroth (1997) anser att ett arbetssätt där den matematiska kommunikationen är i fokus är ett utmärkt diagnostiserande redskap eftersom elevernas svårigheter i matematik är svåra att dölja vid denna typ av uppgifter. Ahlberg (1995) skriver att människor till vardags är vana att lösa problem tillsammans med andra. I matematikundervisningen är det vanligt förekommande att lektionerna består av enskilt arbete i läroboken, vilket leder till att kommunikationen blir begränsad till enbart dialog mellan lärare och elev. Nyström & Palm (2001) definierar positiva aspekter med grupparbete som att elevernas lärande ökar både i allmänhet och kring specifika mål, ger ökad motivation samt en överensstämmelse med styrdokumenten. Vid ett fungerande grupparbete utbyter eleverna tankar och olika lösningsstrategier som gör att deras idéer utvecklas och kan utmynna i reflektioner som är positivt för deras lärandeprocess. För att eleverna ska ges möjlighet att utveckla sin förmåga att kunna argumentera och kommunicera om matematiska begrepp på ett meningsfullt sätt är grupparbete att föredra (ibid). I Skolverkets rapport Lusten att lära - med fokus på matematik (2003) står det att elever beskriver problemlösning i grupp som exempel på lärorika lektioner och att det är roligt med variation i matematikundervisningen. De ser mycket positivt på arbete i grupp och beskriver att de får idéer om hur man kunde räkna ut olika saker när andra redovisade sina uppgifter. Ibland lär man sig mer när kompisar förklarar (s. 30). Det finns även svårigheter och problem som kan uppstå vid grupparbeten som är viktiga för läraren att beakta. Ett problem som Nyström & Palm (2001) tar upp är att det kan vara svårt att se till att alla i gruppen kommer till tals, får föra fram sin åsikt 8

13 och kan lyssna på varandra. Samarbetsförmågan kan variera beroende på gruppens sammansättning. Andra faktorer som spelar in i hur väl samarbetet fungerar i gruppen är kön, kunskapsnivå, status i gruppen och personliga egenskaper. Studier har visat att elever som har högre status i gruppen är mer aktiva än de med lägre status (ibid). 3.8 Lärarens roll i undervisningen Lärarens roll och förhållningssätt vid elevernas arbete med problemlösning är mycket viktigt för att skapa goda lärandesituationer. Det är dels aspekter som läraren ska tänka på i sin undervisning om problemlösning och dels hur denne ska förhålla sig när eleverna arbetar med problemuppgifter (Ahlberg, 1995). Emanuelsson m.fl., (1995) beskriver att syftet med lärarens roll vid elevernas arbete med problemlösning ska vara att stimulera, intressera och ge eleverna upplevelser i matematikundervisningen. Att skapa ett bra klassrumsklimat där eleverna känner sig trygga och vågar uttrycka sig samt att ge eleverna det självförtroende och stöd de behöver för att lyckas är också en viktig del i lärarens roll Undervisning om problemlösning Lester (1996) beskriver att det tar lång tid att utveckla förmågan att bli en duktig problemlösare. Det som krävs är att elever måste få möta och lösa många olika slags problem. Undervisningen i problemlösning är betydelsefull och den ska ge eleverna de rätta verktygen för att de ska kunna utveckla sin problemlösningsförmåga och det är en fördel om det sker systematiskt (ibid). Problemlösning handlar om relationen mellan elev och problem, vilket är en viktig aspekt att tänka på vid planering av undervisningen inom detta område (Ahlberg, 1995). Hagland m.fl. (2005) menar att det inte ger eleverna så stor nytta att undervisa om vilka olika metoder och strategier som finns utan föredrar hellre att lyfta fram elevernas olika tillvägagångssätt i samband med en klassrumsdiskussion efter ett problemlösningstillfälle. Då kan man diskutera och synliggöra likheter och skillnader i de olika metoder och strategier som eleverna har använt. Detta skapar bättre förutsättningar för eleverna att bli medvetna om olika metoder och strategier och kan med fördel synliggöras av eleverna genom att eleverna får presentera sitt tillvägagångssätt inför de övriga i klassen Elevers arbete med problemlösning När eleverna arbetar med problemlösning menar Hagland m.fl. (2005) att läraren ska ta tillvara på de tankar och idéer eleverna har och bygga vidare på dessa. Då visar läraren att denne tycker att elevernas tankar är viktiga och detta stärker dem i deras fortsatta arbete (ibid). Det är viktigt att göra eleverna medvetna om att vid arbetet med problemlösning är det elevens tankeprocess som är central och inte hur fort eleven löser en uppgiften. Det är en stor fördel om eleverna ges tillräckligt med tid för att lösa problem och här är lärarens roll viktig eftersom det är han/hon som skapar klimatet (Emanuelsson m.fl., 1995). Taflin (2007) anser att läraren är en viktig faktor för att ett, i detta fall, rikt problem ska fungera i klassrummet. Detta innebär att problemets syfte måste vara väl genomtänkt och läraren bör tänka på att inte ge eleverna ledtrådar som kan förstöra deras tankegångar när de arbetar med problemet. I rollen som lärare är det svårt att påverka och förändra de faktorer som är bakomliggande i elevens förutsättningar för lärande. Det är istället elevernas erfarenheter som läraren ska bygga vidare på i sin undervisning för att utveckla elevernas kunskaper ytterligare. Problemlösning är ett exempel på undervisning i 9

14 matematiken som ger dessa förutsättningar om den sköts på rätt sätt utifrån den förväntade lärarrollen (Ahlberg, 1995). 10

15 4. Metod I följande avsnitt presenteras vår metod utifrån rubrikerna: metodval, etiska aspekter, urval, datainsamlingsmetoder samt genomförande. 4.1 Metodval För att uppnå arbetets syfte och besvara våra frågeställningar är det viktigt att välja ut lämpliga metoder för undersökningen (Johansson & Svedner, 2006). Efter att vi tagit del av litteratur kring metodik från Bryman (2002) samt Johansson och Svedner (2006) ansåg vi att observationer och intervjuer var lämpliga metoder. Det är en fördel att använda sig utav både observationer och intervjuer för att få ett bra underlag för analys. Den ena metoden kan förstärka den andra och tvärtom, exempelvis kan intervjun vara ett komplement och klargöra vissa delar av observationstillfället för observatören (Johansson & Svedner, 2006) Observationer Vi har valt att använda oss utav deltagande observation, vilket enligt Johansson och Svedner (2006) innebär att observatören är med i den aktivitet som observeras. I vårt fall innebär detta att vi kommer att vara med och observera elevernas tillvägagångssätt vid problemlösning i grupp. Vi kommer inte att hjälpa eleverna att lösa problemet men om de inte lyckas lösa uppgiften på egen hand kommer vi efter observationstillfället att hjälpa dem att komma fram till rätt svar. Detta påverkar inte elevernas resultat men vi vill gärna att eleverna ska lämna observationen och veta vad som är rätt svar på uppgiften. Fördelar med att göra en deltagande observation i undersökningen är att observatörerna får ta del av den sociala verklighet som finns vilket ger en tydligare bild av hur det kan se ut i en lärandesituation, till skillnad från att göra en enkätunderundersökning. En deltagande observation brukar kompletteras av kvalitativa intervjuer menar Bryman (2002). Detta har vi har valt att göra i vår undersökning i samband med observationerna Intervjuer Vi har valt att använda oss utav kvalitativa intervjuer där elevernas lärare och elevgrupperna ska intervjuas. Eleverna intervjuade vi direkt efter att de fått lösa uppgiften. Lärarna intervjuade vi efter att vi hade observerat hur eleverna löste problemuppgiften. Enligt Johansson och Svedner (2006) innebär en kvalitativ intervju att frågeområdena för intervjun är fasta men att frågorna och svarsalternativen inte är givna på förhand. Det innebär också att intervjuerna registreras genom att spelas in och sedan med fördel transkriberas för att kunna bearbeta materialet på ett kvalitativt sätt. Det som är viktigt att tänka på vid en kvalitativ intervju är att ställa rätt sorts frågor till personen som intervjuas och undvika ja/nej-frågor samt varför-frågor i så stor utsträcknings som möjligt. Frågor som istället bör användas är de med mer öppen karaktär där personen som intervjuas får ge mer fylliga svar och djup i sina förklaringar (ibid). 4.2 Etiska aspekter I vår undersökning har vi gjort etiska överväganden där vi har utgått från de forskningsetiska principer som Vetenskapsrådet (2002) har utformat. Dessa bygger på att alla personer som deltar i undersökningen behandlas med hänsyn och respekt. I vår undersökning följer vi det informationskrav som finns, vilket innebär att vi ska 11

16 beskriva syftet på ett begripligt sätt för de som är berörda. Vidare följer vi även samtyckeskravet, som betyder att deltagarna själva får bestämma om de vill delta i undersökningen eller inte. Eftersom eleverna som deltar i vår undersökning är under 15 år har även målsman blivit informerad om undersökningen genom ett informationsbrev (se bilaga 1). Ett annat krav som vi följer är konfidentialitetskravet, som innebär att alla som deltar i undersökningen kommer att vara anonyma, likaså skolornas namn och orterna som vi utför undersökningen i. I vår resultatdel har vi valt att ge personer som vi intervjuar och observerar andra namn än vad de egentligen har. Det insamlade materialet kommer vi endast att använda till undersökningen, alltså kommer vi att radera ljudfiler och förstöra allt insamlat material efter undersökningens slut, detta enligt nyttjandekravet. 4.2 Urval Vi har observerat och intervjuat fem elevgrupper som går i årskurs 4 på två olika skolor. Vi har även intervjuat elevernas matematiklärare. Den ena skolan, som vi kallar Blåbärsskolan är en F-4 skola. I den klass som vi har observerat går det tio elever varav fyra är flickor och sex är pojkar. Den andra skolan, som vi kallar för Lingonskolan är en F-6 skola. I denna klass går det 17 elever varav åtta är flickor och nio är pojkar. Anledningen till att vi valt två klasser är att vi ville genomföra observationer med minst fyra grupper och det skulle vara 3-4 elever i varje grupp. För att vara säkra på att tillräckligt många elever kunde delta i undersökningen valde vi två klasser som vi tidigare varit i kontakt med. Vi har valt att arbeta med elevgrupper i årskurs 4 eftersom vår förhoppning är att elever i denna ålder har utvecklat och förvärvat matematiska kunskaper för att göra sig förstådda både muntligt och skriftligt vid arbete med problemuppgifter. Eftersom vi blir utbildade för undervisning för grundskolan tidigare år i anser vi att erfarenheten av att arbeta med årskurs 4 ger oss verktyg och kunskaper oavsett vilken årskurs vi kommer att arbeta i. Vid intervjuerna av elevgrupperna hade vi ett antal grundläggande frågeställningar (se bilaga 2) där vi använde oss utav råd från Johansson och Svedner (2006). Syftet med intervjuerna var att ge eleverna möjlighet att förklara sitt tillvägagångssätt av uppgiften, vilket förhållningssätt de har generellt till problemlösning samt hur de själva upplever att det är att arbeta i grupp. Vid intervjun av matematiklärarna använde vi oss utav frågeställningarna i bilaga 3. Syftet med att intervjua elevernas matematiklärare var att ge oss information om hur ofta eleverna arbetar med problemlösning, urval av problemuppgifter som eleverna arbetar med samt hur läraren ser på arbete enskilt respektive i grupp. Detta för att vi ska få en tydligare bild över hur eleverna arbetar med problemlösning och kunna dra slutsatser om detta påverkar resultatet. 4.3 Datainsamlingsmetoder Vi har använt oss av olika metoder vid insamling av data där både observationer och intervjuer av eleverna blir ett underlag för vårt resultat och vår analys. Genom att observera eleverna vid problemlösning i grupp får vi svar på vår första frågeställning. För att underlätta och strukturera upp observationstillfället har vi valt att använda oss av en observationsmanual (se bilaga 4). Manualen har vi utformat utifrån rekommendationer från Johansson och Svedner (2006). 12

17 Vi har spelat in alla intervjuer och observationstillfällen på ljudfil och därefter transkriberat dem. Detta är något som Bryman (2002) och Johansson och Svedner (2006) anser är viktigt för att uppnå kvalitet i det resultat som ska analyseras. Genom att använda oss av dessa datainsamlingsmetoder är vår förhoppning att vi ska få underlag så att vi kan uppnå undersökningens syfte. Att uppnå validitet innebär att det mätta resultatet stämmer överens med undersökningens syfte. Validiteten förutsätter sedan undersökningens reliabilitet som mäter hur noggrant undersökningen genomförts (Bryman, 2002). För att uppnå en så hög reliabilitet som möjligt spelade vi in observationerna och intervjuerna på ljudfil. Vi förde även diskussioner kring de observationer och intervjuer som gjorts för att göra resultatet så tillförlitligt som möjligt. 4.4 Genomförande Vi kontaktade två lärare som undervisar i matematik i årskurs 4 och frågade om det fanns möjlighet att genomföra vår undersökning i deras klasser. Vi förklarade syftet med undersökningen och berättade i stora drag hur vi hade tänkt genomföra observationer och intervjuer med eleverna. Vi fick ett godkännande från lärarna och därefter mailade vi ut ett informationsbrev som de skulle dela ut till elevernas vårdnadshavare (se bilaga 1). Veckan innan vi genomförde observationerna och intervjuerna med elevgrupperna kontaktade vi elevernas lärare och frågade hur många elever som kunde delta i undersökningen. Det var några elever som inte kunde delta av olika anledningar. Observationerna genomfördes i grupper om 3-4 elever. Vi bad läraren göra gruppindelningen för att denne känner eleverna och de visste även vilka som fick delta i undersökningen. Under samtliga observationer var vi båda närvarande och förde anteckningar med observationsmanualen som stöd. Intervjuerna med eleverna gjordes efter avslutad observation. Lärarintervjuerna genomförde vi efter att vi avslutat undersökningen med eleverna på respektive skola. På Blåbärskolan genomförde vi alla observationer och intervjuer i ett rum placerat bredvid elevernas klassrum. På Lingonskolan genomförde vi undersökningen i ett mindre grupprum. Samtliga elevgrupper fick sitta tillsammans runt ett bord i en avslappnad och lugn miljö. Inledningsvis fick eleverna varsitt papper där uppgiften presenterades som de fick läsa igenom. Därefter frågade vi elevgruppen om de hade några frågor annars fick de börja arbeta med uppgiften. Samtliga elevgrupper har arbetat med följande problemuppgift (se bilaga 5): I ett slott fanns det 26 stycken ljusstakar, en del sjuarmade och resten fyrarmade, tillsammans var det 128 armar. Hur många av ljusstakarna var fyrarmade? (Hatami, 2008, s. 46). I valet av problemuppgift ville vi att uppgiften skulle ge utrymme för olika slags strategier och att den skulle kunna lösas av samtliga elevgrupper oavsett vilken kunskapsnivå de befann sig på. Utifrån detta konstaterade vi att det var svårt att finna en problemuppgift som innehöll nästintill samtliga lösningsstrategier som Lester (1996) beskrivit, vi fick istället välja en uppgift som innehöll fler än en lösningsstrategi. Uppgiften skulle vara lämplig att arbeta med för elever i årskurs 4 och vi ville också att den skulle vara tidskrävande i syfte att uppmuntra till diskussioner i grupperna. Vår förhoppning var att uppgiften skulle ge eleverna utrymme att utveckla det logiska tänkandet och använda sin kreativitet och fantasi i 13

18 samtal med övriga i gruppen. Enligt Ahlberg (1992) är denna typ av uppgift ett processproblem och för att lösa den krävs att eleverna för ett logiskt resonemang och exempelvis ritar en bild eller letar efter ett mönster. 14

19 5. Resultat Under denna rubrik presenteras undersökningens resultat utifrån de observationer och intervjuer som genomförts där varje elevgrupp presenteras i genomförandeordning. Elevernas intervjuer har vävts in i respektive grupp och avslutningsvis presenteras resultatet av lärarintervjuerna. Elevgrupp 1 och 2 går på Blåbärskolan och elevgrupp 3, 4 och 5 går på Lingonskolan. 5.1 Elevgrupp 1 Elevgrupp 1 består av fyra elever, en flicka som vi kallar Malin samt tre pojkar som benämns som Oskar, Johan och David. Eleverna är vana att arbeta i grupp men upplever inte att de arbetar med problemlösning speciellt ofta Elevernas lösningsstrategier Eleverna i grupp 1 arbetar enskilt med att lösa uppgiften och de strategier de använder skiljer sig från varandra. Alla elever är inledningsvis avvaktande och det är Oskar som börjar med att rita upp 26 prickar på sitt papper. Han är fundersam och säger att: Egentligen måste vi ta reda på hur många sjuarmade det är, eftersom alla blir 26 så får man ta bort det talet och se hur många fyrarmade det är kvar. Kolla här, om vi har 26 så delar vi de, så blir det ju 13, för blir ju 26, sen så tar man 13 7, så blir det 93 så jag tror att det är 93. Malin ritar upp 26 streck på sitt lösblad och därefter gör hon en uppställning enligt =388, men vet sedan inte hur hon ska gå vidare. Oskar delar upp de 26 ljusstakarna i två delar så att det blir 13 stycken ljusstakar. Han multiplicerar 13 4 och säger att det blir 52 fyrarmade ljusstakar. Johan börjar med att rita en sjuarmad ljusstake och därefter skriver han upp talen 1-26 efter varandra. Johan ritar även upp 26 streck och grupperar dessa i tre grupper. Efter en stund byter han strategi och halverar 128 armar tre gånger. David skriver 100 sjuarmade och 28 fyrarmade på sitt lösblad. Sammanfattningsvis använder sig eleverna flera strategier där de ritar bilder, gissar och prövar och därefter skriver räkneoperationer, men de vet inte hur de ska gå vidare i sina uträkningar och har svårt för att hitta en strategi att utgå ifrån och arbeta vidare med Elevernas samarbetsförmåga Elevgrupp 1 har svårt att komma igång med uppgiften och de samarbetar inte för att hitta en lösning eller strategi. När vi säger till eleverna att de ska prata med varandra och berätta hur de tänker beskriver Oskar och Johan sina tankesätt. Malin och David visar inga tendenser till att de vill samarbeta och de sitter tysta. Oskar ställer frågor som visar att han är intresserad av att samarbeta och försöker få igång ett samtal i gruppen, men utan resultat. Han säger exempelvis: Hur tänker du Malin? och Vad fick du fram att det blev Johan? Johan och Oskar pratar med varandra enstaka gånger, men då handlar samtalet inte om att lösa uppgiften Elevernas förhållningssätt Vi upplever att elevernas förhållningssätt till uppgiften skiljer sig från varandra. Alla fyra läser igenom uppgiften och tänker tyst men därefter dröjer det en lång stund innan Oskar tar initiativ till att börja med uppgiften. De andra tre eleverna tycks se uppgiften 15

20 som en omöjlighet att lösa. När vi efteråt i intervjun ställde frågan hur de upplevde uppgiften sa de: Allt var svårt När David inser att han inte kan lösa uppgiften börjar han istället att rita på det papper han har framför sig och gör det fortsatt under hela tiden gruppen arbetar med problemet. Oskar visar ett öppet förhållningssätt och vill gärna lösa problemet, likaså Johan och Malin. Oskar testar och frågar de andra i gruppen hur de tänker men får nästintill ingen respons. På frågan varför det är bra att arbeta med problemlösning svarar Oskar: För det blir lättare sen när man blir vuxen, typ när man ska skriva räkningar och så. 5.2 Elevgrupp 2 Elevgrupp 2 består av en flicka som vi kallar för Elin och två pojkar som vi benämner Karl och Nils. Denna grupp är liksom elevgrupp 1 vana att arbeta i grupp och tycker att de arbetar med problemlösning ibland men då mest enskilt i läroboken Elevernas lösningsstrategier Elin börjar efter en stunds betänketid att gissa och pröva genom att addera två olika tal för att få fram summan 128. Genom att lyssna på Nils resonemang får hon hjälp med att komma fram till att 56+72=128. Därefter antecknar hon inget mer på sitt papper. Karl började med att ställa upp =102. Därefter delade han 128 på hälften och dividerade sedan 64 med 4 och kom fram till 16 ljusstakar. Efter att ha observerat Nils resonemang adderar han liksom Elin talen 56 och 72 till summan 128 armar. Nils skriver först uträkningen 40+70= =124+4=128. Han adderar sedan 64 och 63 och får summan 127. Han prövar sedan att få summan 128 genom addition av tre led, där han förklarar att han vill dela in antalet ljusstakar i tre lika stora delar. Efter en stund prövar han med två additionsled igen och förklarar att han ska dela in de sjuarmade och de fyraarmade ljusstakarna i olika grupper. Genom huvudräkning kommer han fram till 56+72=128. De blandar ihop armar med antalet ljusstakar och har svårt att se sambandet. Karl och Nils använder miniräknare men är osäkra på vad de ska göra för beräkningar. Deras strategival gissa och pröva är relevant för uppgiften men deras osäkerhet hindrar dem att arbeta vidare utifrån denna Elevernas samarbetsförmåga Inledningsvis sitter alla tre tysta vilket resulterar i att de inte pratar med varandra. Nils tar sedan initiativ till att börja arbeta med uppgiften men ingen i gruppen försöker föra en diskussion. Vi agerar till en början passivt eftersom vi helst vill att eleverna arbetar själva med uppgiften. Trots att vi vid upprepade tillfällen uppmuntrar dem till att samtala med varandra uppstår aldrig någon givande diskussion. Nils riktar sina tankar till oss istället för till sina gruppmedlemmar. Om eleverna samtalar är det antingen med sig själva eller med oss Elevernas förhållningssätt Vi upplever att Nils och Karl har ett öppet förhållningssätt till uppgiften. De börjar arbeta med uppgiften direkt och Nils skriver ner sina tankegångar. Karl sitter till en början och tänker och börjar sedan anteckna på sitt papper. Vi upplever att Elin har ett förgivandetagande förhållningssätt och hon har svårt att ta sig an uppgiften eftersom hon tycker den var svår att lösa, vilket framkommer vid intervjun. Under intervjun beskriver eleverna fördelar med problemlösning som att de lär sig att lösa problem, att de har nytta av det i livet och att de lär sig svåra matematiktal. 16

21 Under intervjun berättar eleverna att de tycker att det är roligt att arbeta i grupp vilket de förklarar med att: När man jobbar tillsammans så är det tre, fyra, fem hjärnor och då är det mycket roligare, smartare och lättare att lösa problem. 5.3 Elevgrupp 3 Elevgrupp 3 består av tre elever, en flicka som vi kallar för Olivia och två pojkar som vi benämner vid Sebastian och Marcus. Denna grupp har problemlösning schemalagt en gång i veckan där de oftast arbetar parvis men även i grupp om 3-4 stycken Elevernas lösningsstrategier När eleverna har läst igenom problemet och funderat ett tag börjar Olivia att rita upp fyrarmade ljusstakar på sitt papper. Sebastian och Olivia samarbetar med detta och de gör 13 ljusstakar var så att de får 26 ljusstakar tillsammans. Utifrån bilderna räknar Olivia ut att det blir 104 armar då hon multiplicerar 4 13=52 och därefter Hon byter sedan ut de fyrarmade ljusstakarna mot sjuarmade genom att stryka ett streck över ljusstaken och skriva en sjua ovanför. Genom att gissa och pröva kommer hon fram till summan 128. Gruppen utgår från Olivia och Sebastians bilder när de slutligen kommer fram till lösningen. Så här förklarar Olivia under intervjun hur de kom fram till rätt svar: Jag, eller jag och Sebastian, började med att rita 26 ljusstakar som var fyrarmade, så kunde man byta ut de fyrarmade mot sjuarmade. Alla fyrarmade blir 72 och om man tar blir det 128. Vi räknade ju alla ljusen är 128, men det är åtta sjuarmade och 18 fyrarmade. Marcus strategi är att gissa och pröva genom att använda miniräknaren. Han adderar 7+7 och därefter skriver han ner hur många gånger han har adderat talet i en tabell. Likadant gör han med talet 4 och fortsätter så tills miniräknaren visar talet 128. Marcus kommer fram till att det finns åtta sjuarmade och fyra fyrarmade ljusstakar, men när vi uppmanar gruppen att samarbeta och använda varandras strategier utgår de från Olivias och Sebastians lösning. Följande bild utgick gruppen ifrån när de kom fram till lösningen: 17

22 5.3.2 Elevernas samarbetsförmåga Genom våra observationer upplever vi att Olivia och Sebastian samarbetar på ett bra sätt för att lösa uppgiften medan Marcus är mer inställd på att lösa problemet på egen hand. Vi upplever att han vill vara först med att lösa problemet innan de andra i gruppen hittar en lösning. Detta gör att han stressar sig igenom uppgiften och har för bråttom med att komma fram till ett svar som inte stämmer överens med det korrekta svaret. Olivia och Sebastian samarbetar och hjälps åt utifrån deras ritade bilder och i slutet uppmanar vi dem att de ska försöka lösa uppgiften tillsammans och då utgår alla tre från Olivia och Sebastians papper. De samtalar med varandra och är duktiga på att förklara vad de menar så att de andra förstår Elevernas förhållningssätt Samtliga elever i gruppen har ett öppet förhållningssätt till uppgiften och de visar engagemang och att vilka lösa problemet. De har inställningen att uppgiften ska lösas och det finns ingen antydan till att ge upp, utan de har ett målmedvetet och motiverande förhållningssätt. Eleverna beskriver nyttan med att arbeta med problemlösning som att de blir smartare, lär sig använda miniräknaren och att de har användning av kunskaperna i de högre årskurserna där matematikuppgifterna blir svårare. 5.4 Elevgrupp 4 Elevgrupp 4 består av tre pojkar som vi kallar Kristian, Bertil och Emil. Denna grupp har problemlösning schemalagt en gång i veckan där de oftast arbetar parvis men även i grupp om 3-4 stycken Elevernas lösningsstrategier Efter att gruppen läst igenom uppgiften kommer Emil med en vild gissning att svaret är 8 sjuarmade ljusstakar vilket är korrekt, men vi håller minen och frågar hur han tänker och då förstår vi att han bara chansade. Tillsammans börjar gruppen resonera om hur de kan lösa uppgiften. Emil konstaterar att man kan multiplicera antalet ljusstakar med antalet armar och de räknar ut att 8 ljusstakar har 56 armar. De byter därefter spår och inriktar sig på att dela antalet armar lika, 64+64=128. Sedan dividerar de 64 med 7 och får fram ett decimaltal som vi hjälper dem att avrunda till 9. Bertil kommer med förslaget att det är 16 fyrarmade ljusstakar och när de adderar 16 fyrarmade med 9 sjuarmade får de 25 ljusstakar. De blir ivriga när de upptäcker att de är väldigt nära 26 ljusstakar. De lägger till en fyrarmad ljusstake och gör beräkningen 17 4=68. Därefter beräknar de 9 7=63 och summerar antalet armar till 131. Gruppen kommer fram till att de kan ta bort en sjuarmad ljusstake och ersätta den med två fyrarmade ljusstakar. De kontrollerar att det stämmer genom att multiplicera 8 7=56 och 18 4=72. Genom att addera 56+72=128, konstaterar de att svaret är 18 fyrarmade ljusstakar. Deras strategi baseras på gissa och pröva och eftersom de gör målmedvetna gissningar och bygger vidare på dessa kommer de fram till rätt lösning Elevernas samarbetsförmåga Samtliga elever i denna grupp samarbetar mycket bra med varandra. Kristian håller sig något i bakgrunden till en början men Emil och Bertil ser till att han också blir delaktig i diskussionen och lösningsprocessen. Framförallt Emil och Bertil ställer regelbundet frågor som: Hur tänker du nu? och de har inga problem att förklara vad de menar. När elevgruppen besvarar våra muntliga frågor efter att de löst uppgiften berättar de att de tycker att samarbetet har fungerat bra och en av dem säger att: Alla försökte tänka 18