Diskutera sedan lösningarna utifrån följande frågor (med tillhörande kommentarer): 1. Var någon lösning bättre än de andra? I sådana fall, varför?

Transkript

1 Åk 7-9, Gy Matematik Mänsklig matematik Syfte Tanken är att eleverna ska förstå att matematik är ett verktyg, och att de får en idé om vad verktyget kan göra för just dem. När eleverna går från lektionen ska de ha vetskapen att alla kan lösa matematiska problem om de bara gör det på sitt eget sätt utan att förhasta sig. Lärarhandledning Del 1 Diskutera vilka föreställningar vi har om matematik. Utgå från följande frågor: Del 2 1. Om man är bättre än någon annan på matte, betyder det att man också är intelligentare än den andre? Chansen att någon som är väldigt intelligent är bra på matematik kanske är stor, men gäller nödvändigtvis det omvända? 2. Vad innebär det för övrigt att vara intelligent? En erkänt stor matematiker i modern tid är Crowe i huvudrollen. John Nash hade stora sociala problem. Kan en individ som inte klarar sig i samhället definieras som intelligent? 3. Är det så att det finns olika sätt att vara intelligent på? Är en professor i matematik vid en av landets tekniska högskolor intelligentare är en professor i psykologi vid Uppsala universitet? De så kallade hårda ämnena, som matematik och fysik, brukar sammankopplas med intelligens. Ligger det någonting i denna föreställning, eller är det bara en tradition att tänka så? Räkna matteproblem 1. Låt eleverna först tolka texten och sedan lösa problemet det finns utrymme för personliga lösningar. Be eleverna att lösa talet individuellt och under tystnad. Be dem också att skriva ner några ord om hur de resonerat sig fram till lösningen. När alla kommit fram till rätt svar fråga några av eleverna hur de tänkte då de löste problemet. Fråga ett fåtal tanken är att några olika tankesätt ska komma fram. Diskutera sedan lösningarna utifrån följande frågor (med tillhörande kommentarer): 1. Var någon lösning bättre än de andra? I sådana fall, varför? (Så länge alla antaganden som gjorts i lösningen är matematiskt korrekta kan inget sägas vara fel med den. Möjligtvis kan den kortaste lösningen erkännas som den bästa, men det viktiga är att man löser uppgiften på ett sätt som passar en själv.)

2 2. Kan man träna upp sin förmåga att lösa matematiska problem? (Av samma anledning som det är orimligt att säga att någon är bättre än någon annan i allmänhet kan man faktiskt säga att det är orimligt att säga att någon är bättre än någon annan på matematik. Det har ju med träning att göra. Om vi jämför med längdhopp, till exempel, så ser vi att det är ganska lätt att mäta att en människa hoppar längre än en annan. Men i stället för att lugnt och uppgivet konstatera att man är sämre på att hoppa kan man ställa sig frågan: Varför är jag sämre på att hoppa? Ställs man mot Christian Olsson kan man konstatera att hans personliga förutsättningar hjälper honom, men om man hade haft hans träning i kroppen tillsammans med hans attityd hade man åtminstone hoppat mycket längre än man gör idag. Det finns dock en stor och viktig skillnad mellan hoppande och lösande av matematiska problem: problemlösning är mer mångfasetterat. Även om det bara finns ett korrekt svar så är antalet sätt att komma fram till det svaret i det närmaste oändligt. Man kan formulera om problemen så att de passar ens matematiska personlighet. På samma sätt som det kan vara svårt att förstå en lång mening på ett främmande språk är det svårt att bearbeta ett omfattande matematiskt problem. I båda fallen är det en stor hjälp om man översätter texten till sitt eget språk. Automatiskt får man då både en ordentlig genomgång av problemet och en bra struktur. Att ställa sig frågan: Vad är det jag har? kan hjälpa för att ge ytterligare struktur. Om problemet går att skissa upp på något vis är det ofta en stor hjälp.) Del 3 Ta nu fram matteproblem 2 och be eleverna översätta problemet skriftligt innan de börjar lösa det (såsom detta beskrivs i diskussionen ovan). Fråga sedan runt lite för att se om det var någon som tyckte att det var lättare att lösa problemet med individuell anpassning. Förhoppningsvis håller någon med om att chansen att man hamnar rätt blir större om man börjar på detta sätt. Fördjupning Skriv upp ekvationen 3 + X = 5 på tavlan. För att lösa problemet använder de flesta det verktyg de har för att lösa problemet, nämligen flytta över 3:an till andra sidan och byt tecken på den - svaret är X = 2. På den här nivån är det riskfritt att använda verktyget, men det är också viktigt att förstå vad man egentligen gör: subtraherar 3 på båda sidor om likhetstecknet, vänsterledet blir X och högerledet blir 2 - svaret är X = 2. Uppmana eleverna att ibland stanna upp och ställa sig frågan vad är det egentligen jag gör?. Förståelsen för bakgrunden är det som gör att man kan lösa de svårare problemen, när verktyget inte går att tillämpa. Matematik är något som man förvisso till viss del kan lära sig utantill, men det är inte alltid att rekommendera. Kontentan är att man ska tänka på vad man gör, precis som man måste lösa matematiska problem på ett individuellt sätt, för att nå ett bra resultat i längden.

3 Matteproblem 1 åk 7-8 Åke bor i ett härligt hus på landet. Hans hus är ganska enkelt och litet, men välbyggt. Det enda riktningar. Åkes tomt är helt rund och har en diameter på 20 meter. Rabatterna ska vara 2 meter breda och 5 meter långa för att ge tillräckligt med lä. Uppgift: Hjälp Åke att räkna ut hur stor andel av tomten som består av rabatter. Åke tävlar med sin bror Tråke om vem som har störst rabatt i förhållande till tomtarea. Ge svaret i procent. Matteproblem 2 åk 7-8 simmar runt runt kunde Åkes fru Åsa sätta honom i rörelse. Då kunde hon få vara i fred en stund och slippa både Åkes och Tråkes (Åkes bror) vansinniga upptåg. Nu när Åke inte kan springa runt i cirklar längre måste hon hitta ett alternativ. En kilometer från Åke ligger en backe som lutar 45 grader och är 100 meter lång. Åke tror att om han rullar ner för backen så är det samma sak som att vila, dessutom förstår inte Åke att det är jobbigare att springa 100 meter i uppförsbacke än på plan mark som han gjort tidigare. Åsa tänker lägga upp Åkes nya träningsprogram enligt följande: springa till och från backen samt springa upp för backen 100 gånger och rulla ner. Uppgift: Räkna ut skillnaden i sträcka mellan Åkes tidigare och nuvarande träningsprogram. Åke sprang tidigare 200 varv på sin tomt vid varje träningstillfälle (som du säkert minns är tomtens diameter 20 meter). Svara i procent. Matteproblem 1 åk 9-1 Åke bor i ett härligt hus på landet. Hans hus är ganska enkelt och litet, men välbyggt. Det enda riktningar. Det bästa med Åkes bostad är att den ligger på en rund tomt Åke hatar alla former av vinklar. Vissa skulle nog tycka att även huset skulle vara runt i så fall, men runda hus är så dyra att Åke väljer att ha överseende med detta. Tomtens diameter är 20 meter och dess yta är helt plan. Åke har analyserat vindvinklar och kommit fram till att rabatterna måste vara minst 5 meter långa för att ge skydd åt hela huset. Hur breda rabatterna ska vara vet inte Åke, men han har sökt lite på internet och kommit fram till att om rabatterna utgör max 6,4 % av tomtarean så får man bidrag från EU.

4 Uppgift: Hur breda kan Åke göra rabatterna och samtidigt få bidraget från EU? Åke vill göra rabatten så bred som möjligt för att hindra vinden i så stor utsträckning som möjligt. Svara i närmaste heltal. Matteproblem 2 åk 9-1 simmar runt runt i skålen kunde Åkes fru Åsa sätta honom i rörelse. Då kunde hon få vara i fred en stund och slippa både Åkes och Tråkes (Åkes bror) vansinniga upptåg. Nu när Åke inte kan springa runt i cirklar längre måste han hitta ett alternativ. En kilometer från Åke ligger en backe som lutar 45 grader och är 100 meter lång. Åke tror att om han rullar ner för backen så är det samma sak som att vila, dessutom förstår inte Åke att det är jobbigare att springa 100 meter i uppförsbacke än på plan mark som han gjort tidigare. Under Åkes tidigare träningspass brukade han springa 200 varv runt sin tomt (som du säkert minns är tomtens diameter 20 meter). Uppgift: Hjälp Åsa att lägga upp Åkes nya träningsprogram. Åke kan tänka sig att divergera +/- 4 % från den sträcka han sprang tidigare beroende på hur hans dagsform är. Hur många gånger ska han springa upp för backen och rulla ner för att nå den övre och undre gränsen som nämnts i tidigare mening (glöm inte att det är en kilometer till backen)? Matteproblem 1 åk 2-3 Åke bor i ett härligt hus på landet. Hans hus är ganska enkelt och väldigt litet, men välbyggt. Det enda riktningar. Det bästa med Åkes bostad är att den ligger på en rund tomt Åke hatar alla former av vinklar. Till och med Åkes hus är runt! Tomtens diameter är 20 meter och dess yta är helt plan. Husets och tomtens centrumpunkt sammanfaller. Åke har analyserat vindvinklar och kommit fram till att sett från husets mittpunkt måste 90 grader läas från både söder och norr. Eller om man ser på Åkes hus som mittpunkten på en kompass så måste vinden läas från 315 grader till 45 grader i norr och från 135 grader till 225 grader i söder. Avståndet från häcken till husets mittpunkt är 2,5 meter. Hur breda rabatterna ska vara vet inte Åke, men han har sökt lite på internet och kommit fram till att om rabatterna utgör max 6,4 % av tomtarean så får man bidrag från EU. Uppgift: Hjälp Åke att beräkna både hur långa rabatterna ska vara och hur breda de ska vara för att han ska få bidraget från EU: s rabattkommission. Svara i närmaste heltal. Matteproblem 2 åk 2-3 simmar runt runt i skålen kunde Åkes fru Åsa sätta honom i rörelse. Då kunde hon få vara i fred en stund och slippa både Åkes och Tråkes (Åkes bror) vansinniga upptåg. Nu när Åke inte kan springa runt i cirklar längre måste han hitta ett alternativ. En kilometer från Åke ligger en backe som lutar 45

5 grader och är 100 meter lång. Åke tror att om han rullar ner för backen så är det samma sak som att vila, dessutom förstår inte Åke att det är jobbigare att springa 100 meter i uppförsbacke än på plan mark som han gjort tidigare. Under Åkes tidigare träningspass brukade han springa 200 varv runt sin tomt (som du minns var tomtens diameter 20 meter). Åsa visar en plan för Åke: han ska springa till och från backen samt springa upp och rulla ner 105 gånger. Åke blir glad eftersom han tror att han kommit undan billigt, eftersom sträckan är 60 meter kortare än tidigare. Vad Åke inte tänker på är den lägesenergi som han måste lägga ner på att springa upp för den 100 meter långa backen. Uppgift: Hur många extra finska pinnar (småkakor) måste Åke äta för att klara av denna extra energibov? Varje kaka innehåller ca 400 kj. Åkes kroppsvikt är 85 kg. Svar på matteproblemen Problem m Åk 7-8: 6,4% m Åk 9-1: 2 meter Åk 2-3: 5 meter långa och 2 meter breda Problem 2 Åk 7-8: En minskning med 4% Åk 9-1: - 4 % 100 gånger +4 % 111 gånger m g h antal _ backlöp 2 Åk 2-3: 15, 5 antal _ joule_ per _ kaka Skriven av Henrik Eklöf Lärarjouren