Tentamen i Värmetransporter (4A1601)

Transkript

1 Tentamen i Värmetransorter (4A1601) , kl Hjälmedel: Ugift 1-7: Inga hjälmedel (endast aer och enna, ej räknare). Ugift 8-10: Lärobok (Holman), formelsamling (Granryd), räknare, ej förrogrammerad. Resultaten beräknas vara klara 4 mars. Utan hjälmedel: 1) a) Ange värmeledningsekvationen (Fouriers ekvation) i sin allmänna form (tre dimensioner, instationärt (=transient) fall med inre värmekälla och temeraturberoende värmeledningstal). Förklara vad de olika termerna reresenterar. b) Ställ u ekvationen för secialfallet lan vägg med konstant värmeledningstal, stationärt fall, med inre värmekälla. Lös temeraturrofilen om yttemeraturerna är lika och kända. ) Vid lösning av transienta värmeledningsroblem kan man ibland använda den s.k. Lumed Caacitance-metoden. a) Förklara i ord och med lämligt gränsvillkor när denna metod är användbar. b) Härled ett uttryck för beräkning av temeraturen i någon unkt i kroen som funktion av tiden. Om du inte kan härledningen exakt, beskriv den i ord så väl du kan. 3) a) För härledningen av uttryck för värmeövergångstalet invid en yta vid åtryckt strömning är det väsentligt att veta temeraturgradienten vid ytan. Förklara varför. b) Temeraturgradienten bestäms genom derivering av funktionen för temeraturen som funktion av avståndet från ytan. Denna funktion fås från en enkel ansats och ett antal randvillkor. Ange dessa randvillkor! 4) Vid beräkning av värmeöverföring via konvektion används ofta samband mellan dimensionslösa storheter av tyen Nu= f(x,y) (där X och Y är dimensionslösa storheter). Ange för följande fall så detaljerat du kan sådana samband. Ge också definitioner av använda dimensionslösa tal. a) Påtryckt, turbulent strömning i rör b) Påtryckt, laminär fullt utbildad strömning i rör c) Påtryckt, laminär ej fullt utbildad strömning i rör d) Egenkonvektion invid en vertikal yta e) Kokning i horisontella rör 5) För att exerimentellt bestämma värmeövergångstalet å de två sidorna i en värmeväxlare kan man använda den s.k. Wilson lot-metoden. Beskriv metoden och under vilka förhållanden den kan användas. 6) Värmeöverföring via strålning kan i vissa fall beräknas med Newtons avkylningslag, om man i denna använder ett strålningsvärmeövergångstal. Visa hur detta strålningsvärmeövergångstal kan beräknas utifrån bland annat ytornas temeraturer för det fall att strålningsutbytet sker mellan en mindre konvex yta helt omgiven av en annan yta. 7) En motströms värmeväxlare ska användas för att växla värme mellan två vattenflöden. Inlostemeraturerna är 80 C för det varma vattnet och 60 C för det kallare vattnet. Vattenflödet å kallare sidan är 1 kg/sekund, vilket är dubbelt så mycket som å varma sidan. Använd bifogade diagram för att bestämma hur stor rodukten av värmegenomgångstal och area (U A) måste vara för att det varma vattnets utlostemeratur ska bli 65 C. Rita även ett diagram över temeraturrofilerna. Secifika värmekaaciteten för vatten kan sättas till 4, kj/(kg K).

2 Diagram för fråga 7 /Diagram for question 7.

3 Med hjälmedel: 8) Du har bjudit över några vänner å en bit mat och lötsligt inser du att du glömt lägga in ölen i kylen. För att få snabbast möjliga kylning ställer du ut ölburkarna å traen. Hur kall hinner ölen bli (dvs. dess medeltemeratur) innan gästerna kommer (om 40 minuter)? Antag följande: Ölburken har formen av en cylinder med diametern 6,5 cm. Ölen är 0 C när den ställs ut å traen där temeraturen är 0 C. Ölens ämnesdata kan aroximeras med data för vatten. Värmeövergångstalet å utsidan av ölburken beräknas från vindhastigheten, som är 3 m/s. Strålningen kan försummas då burken har en blank yta med lågt emissionstal. Vi gör också antagandet att ingen konvektion ustår inne i ölen utan att värmetransorten sker helt genom ledning. Slutligen försummar vi inverkan av aluminiumburken själv samt inverkan av värmetransort från burkens ändar. Följande ämnesdata för vatten (öl) får användas: k =0,60 W/(m K), ρ=1000 kg/m 3, c =4,19 kj/(kg K). 9) Vårsolen värmer gott så här års. Man skulle kunna mäta strålningens intensitet (W/m ) genom att mäta yttemeraturen å en latta med känt emissionstal. Antag att man mäter yttemeraturen å en kvadratisk koarlatta med sidan 0 cm lacerad horisontellt så att luften har fritt tillträde både över och under lattan. Antag vidare att lattan har målats med svart färg med emissionstalet 0,9 för såväl solstrålning som för värmestrålning. Luften liksom omgivande ytor har temeraturen -10 C medan ytans temeratur umäts till +10 C. Under mätningen är det är helt vindstilla. Hur stor är solstrålningens effekt er kvadratmeter horisontell yta? 10) Du har byggt en stor igloo och tänker bjuda in några komisar för att känna å trevnaden där inne. Hur många komisar kan du bjuda in utan att det blir risk för takdro? Och vad är då temeraturen i luften i igloon? Antag att temeraturen utanför är -10 C, att igloon är byggd av snöblock som är 30 cm tjocka och att värmeledningstalet för snön är 0, W/(m K). Varje erson avger ca 100 W. Värmeövergångstalet å utsidan uskattas till 15 W/(m K) och å insidan till 10 W/(m K). Igloons ytterdiameter är 3 m och den är formad som en halv-sfär. Golvet kan antas adiabatiskt och vi bortser från konvektion genom öningen. Sök alltså den effekt som kan tillföras innan yttemeraturen å innerväggarna blir 0 C, samt lufttemeraturen i igloon vid denna väggtemeratur. Arean av en sfär är A=4πr

4 Exam in Heat Transfer (4A1601) , At Means of assistance: Problem 1-7: Nothing (only aer and en, no calculator). Problem 8-10: Textbook (Holman), Collection of formulas (Granryd), calculator without rograms. The results of the exam will be osted on the deartment s notice board and are exected to be ready by March 4. No means of assistance: 1) a) State the heat equation (Fouriers ekvation) in its general form (three dimensions, transient case with internal heat generation and temerature deendent thermal conductivity). Exlain what each of the terms reresents. b) State the same equation for the secial case of a flat wall with constant thermal conductivity under steady state conditions, with internal heat source. Solve the temerature rofile if the surface temeratures are equal and known. ) When solving transient heat transfer roblems the Lumed Caacitance-method may sometimes be used. a) Exlain in words and by a limiting value when this method may be used. b) Deduce an exression for calculating the temerature in any oint of the body as a function of time. If you do not know the exact derivation, exlain in words as well as you can. 3) a) For the derivation of exressions for the heat transfer coefficient at a surface in forced convection it isimortant to know the temerature gradient at the surface. Exlain why! b) The temerature gradient is determined by taking the derivative of the function for the temerature as a function of the distance from the surface. This function is determined from a simle assumtion of the form of the function and some boundary conditions. State these boundary conditions! 4) When calculating heat transfer by convection we often use non-dimensional relations of the tye Nu =f(x, Y) (where X and Y are the non-dimensional numbers). Give such relations for each of the following cases, as detailed as you can. State also the definitions of the non-dimensional numbers included in the relations. a) Forced, turbulent convection in tubes b) Forced, laminar fully develoed convection in tubes c) Forced, laminar not fully develoed convection in tubes d) Free convection at a vertical surface e) Boiling inside horizontal tubes 5) To exerimentally determine the heat transfer coefficients at the two sides of a heat exchanger the Wilson-lot method is used. Describe this method and under what conditions it may be used. 6) Heat transfer by radiation may sometimes be calculated by Newton s law of cooling, if a radiation heat transfer coefficient is used. Show how this radiation heat transfer coefficient can be calculated from the surface temeratures (and some other arameters) in a case when heat is transferred between a small convex surface totally surrounded by another surface. 7) A countercurrent heat exchanger shall be used to exchange heat between two water flows. The inlet temeratures are 80 C for the hot water and 60 C for the colder water. The water flow rate on the colder side is 1 kg/sekund, which is twice as much as on the hot side. Use the attached diagram to determine how large the roduct of the overall heat transfer coefficient and the surface area (U A) must be for the outlet temerature of the hot water to be 65 C. Also, draw a diagram of the temerature rofiles. The secific heat of the water may be set to 4, kj/(kg K).

5 Means of assistance allowed, see age 1: 8) You have asked some friends over for dinner and suddenly you realize that you have forgotten to ut the beer into the fridge. To cool the beer as quickly as ossible you ut the beer cans outside. How cool will the beer be (its mean temerature) before the guests arrive (in 40 minutes)? Assume the following: The beer can has the shae of a cylinder with the diameter 6,5 cm. The temerature of the beer is 0 C when it is ut outside, where the temerature is 0 C. The thermal roerties of the beer can be aroximated by those of water. The heat transfer coefficient on the outside of the beer can is calculated from the wind velocity, which is 3 m/s. Radiation can be neglected as the aluminium surface has low emissivity. We also assume that there is no convection inside the can and that heat transfer inside is only by conduction. Finally we neglect the influence of the aluminium can itself as well as heat transfer from the ends of the cylindern. The following data for water (beer) may be used: k =0,60 W/(m K), ρ=1000 kg/m 3, c =4,19 kj/(kg K). 9) The srin sun is warm these days. It should be ossible to measure the intensity (W/m ) of the solar radiation by measuring the surface temerature of a late with known emissivity. Assume that we measure the surface temerature of a square coer late with the side 0 cm laced horizontally so that the air can ass freely above and below the late. Assume also that the late is ainted with black aint having the emissivity 0,9 for both solar radiation and radiation at ambient temeratures. The air as well as the surrounding surfaces have the temerature -10 C while the surface temerature of the late is found to be +10 C. During the measurement there is no wind. What is the ower of the solar radiation er square meter of horizontal surface? 10) You have built a large igloo and now you are considering inviting some of your friends. How many friends can you invite without risking water starting driing from the ceiling? And what is then the air temerature in the igloo? Assume that the temerature outside is -10 C, that the igloo is built from blocks of snow, 30 cm thich and that the thermal conductivity of the snow is 0, W/(m K). Each erson gives off 100 W. The heat transfer coefficient on the outside is estimated to 15 W/(m K) and at the inside to 10 W/(m K). The outer diameter of the igloo is 3 m and it has the shae of a half-shere. The floor can be assumed to be adiabatic and we disregard any convection through the oening. Thus, find the ower which may be generated within the igloo without the temerature of the inner wall exceeding 0 C, and the air temerature in the igloo at this wall temerature. The area of a shere is A=4πr.

6 Tentamen i Värmetransorter (4A1601) , kl Hjälmedel: Ugift 1-7: Inga hjälmedel (endast aer och enna, ej räknare). Ugift 8-10: Lärobok (Holman), formelsamling (Granryd), räknare, ej förrogrammerad. Resultaten beräknas vara klara 4 mars. Utan hjälmedel: 1) a) Ange värmeledningsekvationen (Fouriers ekvation) i sin allmänna form (tre dimensioner, instationärt (=transient) fall med inre värmekälla och temeraturberoende värmeledningstal). Förklara vad de olika termerna reresenterar. T T T T k + k + k + q& = ρ c x x y y z z τ Första tre termerna reresenterar skillnaden mellan ledning in och ledning ut till/från kontrollvolymen i x-y- och z-led. Andra termen reresenterar inre värmeutveckling (er volymsenhet) och högersidan reresenterar värme lagrad i kontrollvolymen under tiden δτ. b) Ställ u ekvationen för secialfallet lan vägg med konstant värmeledningstal, stationärt fall, med inre värmekälla. Lös temeraturrofilen om yttemeraturerna är lika och kända. T q& T q& q& x + = 0 = x + C 1 T = + C1 x + C x k x k k T L q& L C = TL + Randvillkor: T(L) = T(-L) = TL => C1 = 0 och k q& T = TL + ( L x ) Alltså: k -L 0 L T L ) Vid lösning av transienta värmeledningsroblem kan man ibland använda den s.k. Lumed Caacitance-metoden. a) Förklara i ord och med lämligt gränsvillkor när denna metod är användbar. Kan användas då det inre värmemotståndet i kroen är litet jämfört med det yttre, dvs då kroens temeratur i varje ögonblick kan antas samma i varje unkt (inga inre temeraturskillnader). Ett ytterligare villkor är att omgivningens temeratur lötsligt ändras från kroens temeratur till en högre eller lägre temeratur. Gränsvillkor: Bi 0,1 (ungefär) b) Härled ett uttryck för beräkning av temeraturen i någon unkt i kroen som funktion av tiden. Om du inte kan härledningen exakt, beskriv den i ord så väl du kan. Till omgivningen förs värmemängden q = h A Θ enligt Newtons avkylningslag. Θ är temeraturdifferensen mellan kroen. dθ Från kroen förs värmemängden q = m c dτ dθ 1 h A Sätt lika: h A Θ = m c dθ = dτ dτ Θ m c Integrera. Vid τ = 0 är Θ = Θ 0. ln Θ Θ 0 h A = m c τ Θ Θ 0 = e h A τ m c

7 3) a) För härledningen av uttryck för värmeövergångstalet invid en yta vid åtryckt strömning är det väsentligt att veta temeraturgradienten vid ytan. Förklara varför. Härledningen baseras å att värmeöverföringen invid ytan sker via ledning genom ett nästan stillastående laminärt skikt. Värmeflödet kan därmed uttryckas antingen med Newtons avkylningslag (vilket kan ses som en ansats) eller med Fouriers lag. Dessa två uttryck sätts lika: Newtons avkylningslag: q = h A ( Tw T ) dt Fouriers lag: q = k A dx w k A k w w Sätt lika. Värmeövergångstalet blir då h = =. Det enda som är A ( Tw T ) ( Tw T ) besvärligt att få fram i detta uttryck är temeraturgradienten vid ytan. b) Temeraturgradienten bestäms genom derivering av funktionen för temeraturen som funktion av avståndet från ytan. Denna funktion fås från en enkel ansats och ett antal randvillkor. Ange dessa randvillkor! Ansatsen som inte behöver anges är ett enkelt olynom med lika många obekanta som antalet randvillkor. Randvillkoren är: Vid y=0 är T=T W Vid y=δ t är T=T dt Vid y=δ t är = 0 dy d T Vid y=0 är = 0 dy 4) Vid beräkning av värmeöverföring via konvektion används ofta samband mellan dimensionslösa storheter av tyen Nu= f(x,y) (där X och Y är dimensionslösa storheter). Ange för följande fall så detaljerat du kan sådana samband. Ge också definitioner av använda dimensionslösa tal. a) Påtryckt, turbulent strömning i rör 0,8 1/ 3 T.ex. Nu = 0.03 Re Pr b) Påtryckt, laminär fullt utbildad strömning i rör Nu = konst(= 3,66 för rör) c) Påtryckt, laminär ej fullt utbildad strömning i rör 1/ 3 µ T.ex. Nu = f ( Gz) = 1,86 Gz µ w d) Egenkonvektion invid en vertikal yta n 1/ 3 Nu = f ( Gr Pr) = f ( Ra) = C ( Gr Pr) = 0,1 ( Gr Pr) e) Kokning i horisontella rör 0,8 0,4 T.ex. Nu = f (Re L, Kf ) = 0.01 Re Kf Där h d u d 4 m& µ c d g β T H Nu = ; Re = = ; Pr = ; Gz = Re Pr ; Gr = k ν π d µ k L ν (i sista sambandet är i=entaliskillnaden mellan inlo och utlo) 0,14 dt dx y dt dx T=f(y) 3 i ; Kf = g L

8 5) För att exerimentellt bestämma värmeövergångstalet å de två sidorna i en värmeväxlare kan man använda den s.k. Wilson lot-metoden. Beskriv metoden och under vilka förhållanden den kan användas. Kan användas då värmeövergångstalet å ena sidan varierar med flödet, dvs normalt vid turbulent strömning men inte vid laminär. Egentligen vid med-eller motströms värmeväxlare (eller annars om korrektionsfaktorn för logaritmiska medeltemeraturdifferensen är känd) Håll flödet å ena mediesidan konstant och variera flödet å andra sidan. Mät UA-värdet från logaritmiska medeltemeraturdifferensen. Plotta 1/(UA) mot1/m n eller 1/Re n. Anassa n så att unkterna hamnar å en rät linje. Vid turbulent strömning är n=0, Plotten visar = C1 + = C1 + 0, 8 UA h A C Re, eftersom h är roortionell mot Re 0,8. Här är konstanten C 1 värmemotståndet å den sida där flödet inte ändras, lus 1 δ värmemotståndet i väggen, dvs C1 = + h1 A1 k A m. C 1 fås genom att... extraolera linjen till 1/Re n -->. För detta fall är andra termen ovan =0 och första termen C 1 kan läsas av. Därmed kan andra termen bestämmas för olika Re. 6) Värmeöverföring via strålning kan i vissa fall beräknas med Newtons avkylningslag, om man i denna använder ett strålningsvärmeövergångstal. Visa hur detta strålningsvärmeövergångstal kan beräknas utifrån bland annat ytornas temeraturer för det fall att strålningsutbytet sker mellan en mindre konvex yta helt omgiven av en annan yta. q = hs A T. Från Stefan Boltzmanns lag, för en kro som helt omsluts av en Ansats: ( ) 1 1 T 4 4 annan kro, fås strålningsutbytet (netto) som q = σ A ε ( T ) h σ A = ε 4 4 ( T T ) σ ε = 4 4 ( T T ) = ε s 1 h,svart 1 ( 1 ) ( 1 ) s A T T T T T 7) En motströms värmeväxlare ska användas för att växla värme mellan två vattenflöden. Inlostemeraturerna är 80 C för det varma vattnet och 60 C för det kallare vattnet. Vattenflödet å kallare sidan är 1 kg/sekund, vilket är dubbelt så mycket som å varma sidan. Använd bifogade diagram för att bestämma hur stor rodukten av värmegenomgångstal och area (U A) måste vara för att det varma vattnets utlostemeratur ska bli 65 C. Rita även ett diagram över temeraturrofilerna. Secifika värmekaaciteten för vatten kan sättas till 4, kj/kg. Dagrammet ger relation mellan C min /C max, UA/C min och ε. Beräkna den första och sista av dessa och tag ut UA/C min ur diagrammet. C min /C max = m min /m max ty c är lika. Här fås C min /C max = 0,5/1,0=0,5. ε = min /Θ =(80-65)/(80-60)=15/0=0,75 Figuren ger UA/C min = 1,83 (uträknat här med samband i tab för högre recision). C min = (m c ) min = 0,5 kg/s 4, kj/(kg K)=,1 kj/(s K) UA =1,83,1 = 3,84 kw/k

9 Med hjälmedel: 8) Du har bjudit över några vänner å en bit mat och lötsligt inser du att du glömt lägga in ölen i kylen. För att få snabbast möjliga kylning ställer du ut ölburkarna å traen. Hur kall hinner ölen bli (dvs. dess medeltemeratur) innan gästerna kommer (om 40 minuter)? Antag följande: Ölburken har formen av en cylinder med diametern 6,5 cm. Ölen är 0 C när den ställs ut å traen där temeraturen är 0 C. Ölens ämnesdata kan aroximeras med data för vatten. Värmeövergångstalet å utsidan av ölburken beräknas från vindhastigheten, som är 3 m/s. Strålningen kan försummas då burken har en blank yta med lågt emissionstal. Vi gör också antagandet att ingen konvektion ustår inne i ölen utan att värmetransorten sker helt genom ledning. Slutligen försummar vi inverkan av aluminiumburken själv samt inverkan av värmetransort från burkens ändar. Följande ämnesdata för vatten (öl) får användas: k =0,60 W/(m K), ρ=1000 kg/m 3, c =4,19 kj/(kg K). Lösning: u d 3 0,065 Strömning tvärs cylinder: Re = = ,3 10 = ν Tab. 6. ger: C=0,193, n=0,618 0,618 1/ 3 k Nu k n 1/ 3 0,041 0, ,71 h = = C Re Pr = = 4,0 d d 0,065 Räkna å avkylning av oändlig cylinder, enklast med diagram i formelsamlingen sid 43. k τ = = 0,35 h r 4 0,035 Fo Bi = = = 1,3 Fig. ger ϑ m /ϑ 0 =0,55 ρ c r k 0,60 ϑ m = 0,5 (0-0) = 10,4 C

10 9) Vårsolen värmer gott så här års. Man skulle kunna mäta strålningens intensitet (W/m ) genom att mäta yttemeraturen å en latta med känt emissionstal. Antag att man mäter yttemeraturen å en kvadratisk koarlatta med sidan 0 cm lacerad horisontellt så att luften har fritt tillträde både över och under lattan. Antag vidare att lattan har målats med svart färg med emissionstalet 0,9 för såväl solstrålning som för värmestrålning. Luften liksom omgivande ytor har temeraturen -10 C medan ytans temeratur umäts till +10 C. Under mätningen är det är helt vindstilla. Hur stor är solstrålningens effekt er kvadratmeter horisontell yta? Lösning: Energibalans å ytan ger: q sol = q konvektion + q värmestrålning Sätt skivans area å ena sidan = A q sol = I α A ; α = ε = 0,90 q sol / A = 0,90 I W/ m q konvektion = (h konvektion, översida + h konvektion undersida ) A T konvektion Karakteristisk längd: L = A/P=0, /4 0, = 0,05 m Egenkonvektion å över och undersida. Beräkna Gr Pr! Gr Pr 6 Tab 4a ger: = Gr Pr = (10- (-10)) 0,05 3 =3, T L k k n k 1/ 4 0, / 4 Översida: hk = Nu = C ( Gr Pr) = 0,54 ( Gr Pr) = 0,54 (3,65 10 ) = 6, 4 L L L 0,05 Undersida å samma sätt, men med konstanten C hälften så stor, enl. tab Detta ger q konvektion / A = (6,4 + 3,) (10-(-10)) = 19 W/m q värmestrålning =σ ( A) ε (T 4 1 T 4 ) q värmestrålning / A=σ ε (T 4 1 T 4 ) = 5, ,90 ( ) = 166 W /m Alltså: 0,90 I = = 358 I = 358/0,9 = 398 W/m

11 10) Du har byggt en stor igloo och tänker bjuda in några komisar för att känna å trevnaden där inne. Hur många komisar kan du bjuda in utan att det blir risk för takdro? Och vad är då temeraturen i luften i igloon? Antag att temeraturen utanför är -10 C, att igloon är byggd av snöblock som är 30 cm tjocka och att värmeledningstalet för snön är 0, W/(m K). Varje erson avger ca 100 W. Värmeövergångstalet å utsidan uskattas till 15 W/(m K) och å insidan till 10 W/(m K). Igloons ytterdiameter är 3 m och den är formad som en halv-sfär. Golvet kan antas adiabatiskt och vi bortser från konvektion genom öningen. Sök alltså den effekt som kan tillföras innan yttemeraturen å innerväggarna blir 0 C, samt lufttemeraturen i igloon vid denna väggtemeratur. Arean av en sfär är A=4πr Lösning: Värmeflödet genom väggen kan skrivas å två sätt: q = U A (T vägg, inne T ute ) eller q = h inne A inne (T inne T vägg, inne ) Vi kan beräkna q ur första sambandet, där vi känner väggtemeraturen och utetemeraturen. Märk att U A beräknas som 1 1 δ = + (Vi summerar värmemotstånden mellan de unkter vi känner U ' A hute Aute k Amedel, vägg temeraturerna, dvs mellan väggens insida och uteluften.) A medel,vägg beräknas för en cylindrisk isolering som Amedel, sfär = Aytter Ainner. I detta fall har igloon formen av en halvsfär. Arean blir alltså hälften av det sfäriska skalets. Amedel, vägg = Ainne Aute = 0,5 4 π rinne 4 π rute = π rinne rute = 11, 31m A ute = π rute = 14,15m och A inne = π rinne = 9,1m 1 1 0,3 = + = 0,137 U A = 7,8 U ' A 15 14,15 0, 11,31 q = U A (T vägg, inne T ute ) =7,8 (0 (-10)) = 7,8 W Du kan alltså inte bjuda in några komisar utan att igloon börjar smälta! q Inneluftens temeratur beräknas, med denna effekt, ur T = = hinne Ainne Alltså, luften är 0,8 C när väggytans temeratur är 0 C. 7,8 10 = 0,80K 9,1