Lagrange-Projektion. LMU München, Germany Thomas Schöps. Hüttenseminar im Zillertal bei Prof. Lars Diening Wintersemester 2014/2015

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Fredrik Gustafsson
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1 LMU München, Germany Thomas Schöps Lagrange-Projektion Hüttenseminar im Zillertal bei Prof. Lars Diening Wintersemester 2014/2015 Thomas Schöps Lagrange-Projektion 1/13

2 Idee der Präsentation Thomas Schöps Lagrange-Projektion 2/13

3 Lagrange-Projektion Denition Für normierte Räume X und Y gilt: L(X, Y ) := {A : X Y A ist stetig und linear} A := A L(X,Y ) = sup x X \{0} Ax Y x X Für normierte Räume X,Y bedeutet X Y, dass X in Y linear und stetig eingebettet ist. Thomas Schöps Lagrange-Projektion 3/13

4 Lagrange-Projektion Folgerung 3.28 Es sei G R n ein beschränktes konvexes Gebiet, k, m N 0, p, q 1, sowie E, I L(H k+1,p (G), H m,q (G)) I ist der Interpolations- Operator, der P k (G) invariant lässt: Is = s(s P k (G)) = c, sodass u H k+1,p (G) gilt: Eu Iu H m,q (G) c u H k+1,p (G) Thomas Schöps Lagrange-Projektion 4/13

5 wichtiger Hilfssatz Sei T ein n-simplex, k N. p P k (T ) mit i = (i 0,.., i n ) N n+1 0, i k = ( i 0 k,..., in k ) gilt: p(x(λ)) = p(λ) = φ i (λ) = n i l 1 l=0 j l =0 i =k λ l j l k i l k j l k p( i k )φ i(λ) und = p P k (T ) ist eindeutig durch seine Werte auf dem Lagrange- Gitter k-ter Ordnung bestimmt. G k (T ) = {x = n λ j a j λ j { m k m = 0,..., k}, λ j 0; j=0 n λ j = 1} j=0 Thomas Schöps Lagrange-Projektion 5/13

6 Lagrange-Projektion = G 1, G 2 sind an äquivalent wenn: invertierbare ane Abbildung x = F (y) = Ay + b(x, y R n ), sodass G 1 = F (G 2 ) ist Satz 3.29 Seien G 1, G 2 R n oen, beschränkt und an äquivalent, m N 0, p [1, ]. Dann gelten für u H m,p (G 1 ) und v(y) = u(f (y)), (y G 2 ) die Abschätzungen v H m,p (G 2 ) c 1 A m deta 1 p u H m,p (G 1 ) u H m,p (G 1 ) c 2 A 1 m deta 1 p v H m,p (G 2 ) Thomas Schöps Lagrange-Projektion 6/13

7 Beweisskizze von Satz 3.29 o.b.d.a u C m (G 1 ) H m,p (G 1 ), v C m (G 2 ) H m,p (G 2 ) v yj (y) = n i=1 u x i (F (y))a ij durch vollst. Induktion für α = m: D α v(y)... c(m, n) A m β =m (Dβ u) F L p (G 2 ) durch Integration und die Transformationsformel für p < gilt: D α v L p (G 2 ) c(m, n) A m β =m (Dβ u) F L p (G 2 ) (D β u) F L p (G 2 ) = ( G 1 (D β u)(x) p deta 1 dx) 1 p = deta 1 p D β u L p (G 1 ) = Zusammen folgt der Satz. = Für die zweite Abschätzung ersetze A durch A 1 Thomas Schöps Lagrange-Projektion 7/13

8 Rückblick und Folgerung 3.30 s-dim Simplex: T = {x R n x = s λ j=0 ja j, 0 λ j, s λ j=0 j = 1} Durchmesser: h(t ) = max { a j a k (j, k = 0,..., s)} Inkugeldurchmesser: ρ(t ) = 2sup{R B R (x 0 ) T } Folgerung 3.30 Unter den Vorraussetzungen des letzten Satzes für gelten die Abschätzungen ū( x) = u(f ( x)) ( x T 0 ) h(t )m ū H m,p (T 0 ) c 1 (m, n, p) ρ(t 0 ) u H m,p (T ) c 2 (m, n, p) h(t 0) m n ρ(t ) m p u H m,p (T ) ρ(t ) m h(t ) n p ū H m,p (T 0 ) und Thomas Schöps Lagrange-Projektion 8/13

9 Lagrange-Projektion Satz 3.31 Sind k, m N 0, p, q 1 so, dass die Einbettung H k+1,p (T 0 ) H m,q (T 0 ) besteht und sind I 0, I L(H k+1,p (T 0 ), H m,q (T 0 )) Interpolationsoperatoren. So folgt für die Fehlerabschätzung (Iu) F = I 0 (u F ) u Iu H m,q (T ) cσ(t ) m T 1 q 1 p h(t ) k+1 m u H k+1,p (T ) cσ(t ) m n min{0, 1 q 1 p } h(t ) k+1 m+n( 1 q 1 p ) u H k+1,p (T ) Thomas Schöps Lagrange-Projektion 9/13

10 Beweisskizze von Satz 3.31 Existenz des Interpolationsoperator I auf T ist klar Mit u H k+1,p (T ) und Satz 3.29: u Iu H m,q (T ) c A 1 m deta 1 q (u Iu) F H m,q (T 0 ) Nach Def. von I, mit s 0 P k (T 0 ) und der Einbettungskonstanten E 0 folgt:... c A 1 m deta 1 q ( E 0 + I 0 ) s 0 u F H k+1,p (T 0 ) Nach Rücktransformation gemäÿ Satz 3.29 und dem Hilfssatz gilt:... cρ(t ) m h(t ) k+1 T 1 q 1 p u H k+1,p (T 0 ) Mit cρ(t ) n deta ch(t ) n und σ(t ) = h(t ) ρ(t ) folgt: =... cρ(t ) m h(t ) k+1+n( 1 q 1 p ) u H k+1,p (T ) falls p q =... cρ(t ) n( 1 q 1 p ) m h(t ) k+1 u H k+1,p (T ) falls p q = Zusammen folgt der Satz Thomas Schöps Lagrange-Projektion 10/13

11 Lagrange-Projektion Satz 3.33 Sei G R n oen, beschränkt und durch T zulässig trianguliert. Weiter sei X h = {u h C 0 (Ḡ) u h T P k (T ), T T }. Für den Lagrange-Interpolationsoperator Iu P k (T ), Iu = u auf G k (T ), T T, für den Fall H 2,p (G) C 0 (Ḡ) gilt die Interpolationsabschätzung: u Iu H m,p (G) c 1 σ m h s+1 m u H s+1,p (G) für m {0, 1} für den Fall H 1,p (G) C 0 (Ḡ) gilt: u Iu H m,p (G) c 2 σ m h 1 m u H 1,p (G) für m {0, 1} Thomas Schöps Lagrange-Projektion 11/13

12 Beweisskizze von Satz 3.33 Existenz des Interpolationsoperators I : Mit einem Hilfssatz und der Einbettung H 2,p (G) C 0 (Ḡ), denn wegen der Einbettung ist die punktweise Interpolierende wohldeniert, Iu(x) = m u(ā j=1 j)φ j (x) und invariant auf P k (T ) für T T Interpolationsabschätzung: u Iu p H m,p (G) = T T u Iu p H m,p (T ), (weiter mit Satz 3.31) c T T σ(t )mp h(t ) (s+1 m)p u p H s+1,p (T ) cσ mp h (s+1 m)p u p H s+1,p (G) zweiter Fall geht wegen q > n und damit H 1,q (G) C 0 (Ḡ) analog Thomas Schöps Lagrange-Projektion 12/13

13 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!! Thomas Schöps Lagrange-Projektion 13/13

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