Optimal Yatzy. En jämförelse mellan den matematiskt optimala strategin och en i vardagligt spel tillämplingsbar strategi

Transkript

1 Optimal Yatzy En jämförelse mellan den matematiskt optimala strategin och en i vardagligt spel tillämplingsbar strategi Rickard Larsson Niklas Axelsson Degree Project in Computer Science, DD143X Handledare: Vahid Mosavat Examinator: Örjan Ekeberg CSC, KTH,

2 Abstract Yahtzee is a popular dice game around the world. The complexity makes the game interesting to play and analyze. This report compares the effectiveness of the mathematically optimal strategy with a strategy that can be used for casual play. The rules used are those of the Nordic variant Yatzy, in which a few but important rules are different from the American Yahtzee. To evaluate the everyday strategy 100,000 games was simulated in a java program written specifically for this purpose. The mathematical approach performs better than the everyday strategy with against in average points. Despite this result the everyday strategy competitive to the mathematical when complexity is taken in consideration. Sammanfattning Yatzy är ett mycket populärt tärningsspel världen över. Komplexiteten gör spelet intressant att spela och analysera. I denna rapport jämförs effektiviteten av den matematiskt optimala strategin med en strategi som kan användas vid vardagligt spel. De regler som används är de för den nordiska varianten Yatzy, som på ett fåtal men viktiga punkter skiljer sig från det amerikanska Yahtzee. För utvärdera den vardagliga strategin simulerades spelrundor i ett javaprogram skrivet specifikt för endamålet. Den matematiska strategin presterar bättre än den vardagliga med mot i genomsnittspoäng. Trots detta resultat är den vardagliga strategin konkurrenskraftig när hänsyn tas till komplexiteten. 2

3 Innehållsförteckning 1 Introduktion Syfte Frågeställning Avgränsning Optimal strategi Bakgrund Historia Spelregler för Yatzy Tidigare studier 6 3 Metod Implementation Distrubition över x antal tärningar med samma värde Strategier i första delen av spelet Följ tärningarna Ligg över par Ta vara på chansen för svårare händer Strategier för fyllning av protokollet Placera dåliga händer i protokollet Startegier i mellanspelet Övergång och planering Över par I par Under par Andra faktorer Strategier i sista delen av spelet Tvångsåtgärder Slutspelsövervägaden Förbättring Resultat Grafisk representation Väntevärde, standardavvikelse och varians Presentation av data och jämförelse Diskussion Resultatanalys Algoritmens användarvänlighet Förbättring av programmet Korrekthet Felkällor.18 6 Slutsats.18 Referenser...19 Appendix..20 A Spelregler för Yatzy..20 B Fullständig programkod & resultatfiler

4 1 Introduktion Yatzy (som härmed syftar på den skandinaviska versionen av Yahtzee) är ett mycket populärt spel världen över. Yatzy spelas med fem tärningar där en spelares poäng bestäms av vilka kategorier spelaren har lyckats fylla efter ett helt spel. Yatzy är ett relativt avancerat spel eftersom fem tärningar tillsammans med ett protokoll med 15 kategorier används för att beräkna poäng, dessutom måste spelaren själv välja vilken kategori som poängen ska placeras på. Varje spel kan spelas på väldigt många sätt, sannolikheten att två Yatzyspel blir likadana är minimal. Det är därför mycket svårt för en människa att lära sig och använda en definitivt optimal strategi. Dock har den optimala strategin beräknats ett flertal gånger genom en kombination av matematisk statistik, sannolikhets teori och stora mängder datorkraft. Denna metod för att bestämma vad som är det bästa valet i varje tillstånd under spelet ger ett maximalt medelvärde för poängen men är inte praktiskt att tillämpa i ett vardagligt spel. 1.1 Syfte Det finns många olika yatzystrategier som har en varierande grad av effektivitet. Den matematiskt optimala strategin för att få ett så hög genomsnittlig poäng som möjligt är noggrant utforskad i en stor mängd publikationer. Men hur pass effektiv är den i jämförelse med en mänsklig spelare? Det är svårt att uppfatta hur ett resultat står sig om det inte finns något att jämföra med. Genomgång av tidigare vetenskapligt material visade dock på en brist av statistiska jämförelser mellan den matematiskt optimala algoritmen och strategier som är praktiska att tillämpa under en vardagliga omständigheter. Syftet med detta arbete är att få ett mått på den ovan nämnda jämförelsen genom att undersöka en ny vinkel på problemet optimal Yatzy. 1.2 Frågeställning Hur pass effektiv är en utvald yatzystrategi som kan användas i ett vardagligt spel i förhållande till den matematiskt optimala strategin? 1.3 Avgränsning För att besvara frågeställningen valdes en lämplig strategi med hjälp av boken Advantage Yahtzee som är skriven av spelexperten Olaf Vancura, Ph.D [6]. I boken beskriver Vancura strategier som är baserade på den optimala strategin och garanterar en hög poäng men som är tillräckligt enkla och okomplicerade för att en genomsnittlig spelare ska kunna tillämpa dem varje omgång av spelet. 4

5 1.4 Optimal strategi För att jämförelsen mellan den optimala strategin (för Yatzy) och strategier som en genomsnittlig spelare kan använda måste den optimala strategin definieras. Med optimal strategi menas de strategier som en spelare ska följa för att maximera den genomsnittliga slutpoängen i varje spel. Man skulle också kunna kalla den för den perfekta strategin. Denna strategi har beräknats ett antal gånger tidigare. Bland annat av Olaf Vancura [6] som enligt honom själv ska vara den första att beräkna en sådan strategi för Yahtzee. Under senare tid beräknades en optimal strategi för Yatzy (enligt de skandinaviska reglerna) av Larsson och Sjöberg [7]. Resultatet och metoden som Larsson och Sjöberg presenterar är beräknat med avseende på samma regler som denna undersökning använder samt att utförandet och resultatet håller hög klass och står sig bra jämfört med andra studier [5,6,8]. För att besvara frågeställningen är det därför Larsson och Sjöbergs resultat som har analyserats och jämförts med de nya resultaten. 2 Bakgrund 2.1 Historia Yatzy är ett spel med fem tärningar som härstammar i från spelet Yahtzee, eller Yacht spelet som det först kallades. Yacht spelet uppfanns på 1950 talet av ett rikt kanadensiskt par som spelade det på sin yacht med sina vänner. Spelet blev så pass populärt att rättigheterna till spelet såldes till spelskaparen Edwin S. Lowe år Namnet ändrades senare till Yahtzee. Problemet för Lowe var att spelet inte kunde beskrivas tillräckligt bra i reklam för att sälja bra. Lowe lyckades dock efter ett tag att sprida ryktet om spelet med hjälp av att bjuda in spelare till så kallade Yahtzee parties [1]. Spelet blev en internationell succé och idag säljs 50 miljoner Yatzyspel varje år. Dessutom uppskattar Hasbro, som äger spelet, att 100 miljoner spelar spelet regelbundet [4]. Det finns många olika varianter av Yahtzee. Yatzy, den skandinaviska versionen skiljer sig från originalet Yahtzee på flera sätt. Bonuspoängen, som en spelare får om denne klarar av att få en viss poäng på protokollets övre del är 50 i Yatzy, men 100 i Yahtzee. I Yahtzee finns det kategorier som har en konstant poäng oavsett summan av prickarna tärningarna visar, till skillnad mot Yatzy där poängen är helt beroende av antal prickar på de fem tärningarna [3]. En annan 5

6 mycket stor skillnad är att om en spelare lyckas få Yahtzee, vilket inträffar när alla 5 tärningar har samma värde, fler än en gång, så tilldelas spelaren 100 poäng för varje ny Yahtzee. I Yatzy kan en spelare enbart få poäng för Yatzy en gång under ett spel. Dessa skillnader leder till olika slutresultat, men beräkningsmetoderna och strategierna för ett bra resultat är mycket lika. 2.2 Spelregler för Yatzy I Yatzy används fem tärningar. Spelet går ut på att få så hög poäng som möjligt genom att fylla i de kategorier som finns i protokollet, vilka ger olika många poäng. Om en spelare inte kan matcha sitt resultat med en av de 15 kategorierna i protokollet måste spelaren stryka valfri tärningskombination och kan då inte få poäng för denna. En nolla noteras då i valfri kategori. Yatzy spelas av minst en spelare och det finns ingen övre gräns på antal deltagande i ett spel. Varje spelare har maximalt 3 tärningskast varje omgång och väljer själv vart poängen ska placeras i protokollet samt vilka tärningar som skall slås igen för att eventuellt förbättra resultatet. Om en spelare har 63 eller mer poäng på protokollets övre del, får spelaren 50 poäng bonus. Man kan välja att följa protokollet på olika sätt. Denna undersökning använder alternativet att spela i valfri ordning, det vill säga att spelarna själva väljer vilken kategori poängen ska placeras i under varje omgång eller hand som det också kallas. Spelet avgörs när samtliga 15 händer är avklarade. Den spelaren med högst poängsumma vinner [2]. Maximal slutpoäng för Yatzy är 374. För fullständiga regler och detaljerad beskrivning av spelprotokoll, se [appendix A]. 2.3 Tidigare studier Den första lyckade studien om optimal strategi för Yahtzee gjordes av Olaf Vancura Tidigare samma år besökte spelexperten Vancura Hasbros huvudkontor i Pawtucket, Rhode Island. Anledningen till detta besök var tanken att införa Yahtzee i kasinovärlden. Till en början konstaterades att en optimal strategi till Yahtzee aldrig skulle lösas inom vår livstid. Beräkningarna var helt enkelt för stora att genomföra. Detta påstående visade sig vara falsk när Vancura några månader senare lyckades lösa problemet med hjälp av bland annat dynamisk programmering, vilket innebär att ofta använda värden sparas så att att de inte behöver beräknas igen. Det första resultatet som presenterades efter denna undersökning var 254.5, men detta resultat ändrades år 1999 till efter att en mindre fel i programkoden upptäckts [6]. År 2006 skev James Glenn An optimal strategy for Yahtzee [8]. Glenn beskriver en optimal strategi för Yahtzee som han jämför med andra strategier 6

7 så som en giriga algoritm, heuristiker samt den strategi som går ut på att bara försöka få Yahtzee (alla fem tärningar lika). Den sistnämnda metoden är relativt effektiv eftersom man får 100 poäng för varje ny Yahtzee i originalspelet, till skillnad från Yatzy där man bara får poäng för Yatzy en gång. Glenn beskriver alla tillstånd i spelet med en graf och kan på så vis med hjälp av totalsökning hitta en optimal strategi. Resultatet av den optimala algoritmen som Glenn presenterar bygger på en mängd sannolikhetsberäkningar och står för det bästa resultatet av de strategier som jämförs i studien Glenn uför. Det framgår tydligt att det är en bra optimal strategi eftersom Glenn jämför med liknande arbeten om en optimal strategi och kan bekräfta att resultaten är nära varandra. Det förväntade slutresultatet enligt Glenns rapport är , med standardavvikelsen Observera att det är en undersökning av den amerikanska versionen av Yatzy [8]. Marcus Larsson och Andreas Sjöberg gjorde år 2012 sitt kandidatexamensarbete på Kungliga tekniska högskolan. Larsson och Sjöberg konstruerade likt James Glenn [8] ett program som simulerar en optimal strategi, men i detta fallet till det skandinaviska spelet Yatzy. Metoden som används i detta arbete bygger också på en stor graf som representerar alla möjliga tillstånd i ett spel. De två refererar bland annat till Glenns arbete från Larsson och Sjöberg använder sig av två mycket effektiva metoder för att optimera de tidskrävande beräkningarna. Den första går ut på att dela upp problemet och göra olika beräkningar parallellt. Det fungerar utmärkt i detta fallet eftersom många beräkningar är helt oberoende av varandra. Den andra metoden kallar de för keepers som beräknas med hjälp av dynamisk programmering. Kortfattat beskrivet fungerar denna metod på så vis att värden som beräknas många gånger i vanliga fall enbart behöver beräknas ett fåtal gånger. Larsson och Sjöberg presenterar det förväntade slutresultatet och väntevärdet [7]. 3 Metod För att få underlag för de statistiska beräkningarna konstruerades ett Javaprogram som simulerar ett stort antal spelomgångar enligt de olika algoritmerna och strategierna som beskrivs i boken Advantage Yahtzee [6]. Boken beskriver effektiva men enkla stategier som är baserade på den optimala strategin som en genomsnittlig yatzyspelare kan använda sig av. Som det är beskrivet tidigare i rapporten definieras en så kallad genomsnittlig 7

8 yatzyspelare av strategierna som beskrivs i boken. Alla beskrivningar av spelstrategier som presenteras i detta avsnitt är tolkningar från boken Advantage Yahtzee [6] och en aning modifierade för att passa det skandinaviska spelet Yatzy. 3.1 Implementation Tidigare arbeten [5, 7, 8] i ämnet lägger stor betoning på att beräkningarna är tidskrävande. Detta beror på att samtliga undersökningar använder sig av brute force och en väldigt stor graf. Alla tänkbara tillstånd undersöks. Programmet som använts i denna undersökning simulerar strategierna som en genomsnittlig spelare kan använda sig av och är därmed inte i behov av lika stora datastrukturer och datorkraft. Programmet består av ett antal klasser som under arbetets gång testades med hjälp av JUnit tester för att programmet ska vara korrekt och uppföra sig på rätt sätt. Eftersom programmet innehåller tärningar som i varje omgång i spelet genereras slumpmässigt är det svårt att testa exakt då viss varians i beteendet finns. För fullständig programkod i Java och resultatfiler i textformat se [appendix B]. 3.2 Distribution över x antal tärningar med samma värde Tabellen nedan visar sannolikheten (enligt matematisk statistik) att en spelare får x antal lika tärningar med samma antal prickar. En spelare bör notera att det med stor sannolikhet förekommer minst två lika tärningar. Totalt antal lika tärningar Sannolikhet Minst en 93.51% Minst två 69.89% Minst tre 35.49% Minst fyra 10.45% Fem 1.33% 8

9 3.3 Strategier i första delen av spelet Första delen av spelet representeras av hand ett till fem. I början av ett Yatzyspel är protokollet helt tomt och det finns många möjligheter att spela på. Det är ändå viktigt hur man väljer att spela i början för det kommer att påverka resultatet avsevärt. Det bästa sättet att börja ett spel av Yatzy kan sammanfattas i följande tre punkter: Följ tärningarna (låt värdet på tärningarna styra valet av kategori) Ligg över par eller åtminstone på par på den övre sektionen (minst 63 poäng i totalt i kategori 1 6) Ta vara på chansen för svårare händer (så som Yatzy, Stege och Fyrtal) Följ tärningarna En huvudstrategi i början av spelet är att ta vad tärningarna ger. Eftersom spelprotokollet är helt öppet gynnas spelaren av att välja att satsa på de kategorierna som tärningarna lättast ger hög poäng på. Spelaren ska alltså inte välja en specifik kategori i förväg och försöka fylla den. En regel som alltid ska följas är att tre eller fler tärningar som visar samma värde alltid ska hållas, och resterande tärningar ska kastas om Ligg över par Om en spelare har 63 eller mer poäng i den övre delen av protokollet får spelaren en bonus på 50 poäng. Därför är det viktigt att alltid sträva efter att ligga i par eller helst över par i den övre sektionen. 63 poäng motsvarar exakt tre tärningar i varje kategori i den övre delen av protokollet (tre ettor + tre tvåor + tre treor + tre fyror + tre femmor + tre sexor = 63 poäng). För att beräkna hur en spelar ligger till ska alla poäng som just då finns antecknade i den övre sektionen summeras och sedan adderas med det antal poäng som ges om de kategorier i den övre delen som hittills inte är ifyllda har tre tärningar i respektive kategori. Om denna summa är 63 eller mer ligger spelaren i fas. Viktiga strategier som gäller i detta tillstånd av spelet är att 4 lika tärningar alltid ska placeras i den motsvarande kategorin i övre delen av protokollet. Fyrtal har alltså mindre vikt än 4 lika tärningar den övre delen av protokollet. Detsamma gäller med 3 lika tärningar, eftersom tre lika gör att spelaren ligger på par Ta vara på chansen för svårare händer Förutom Yatzy är de svåraste händerna man kan få i den nedre delen av protokollet Fyrtal och stor/liten Stege. Poängen för Fyrtal är summan av alla fyra lika tärningar. Så handen (1,1,1,1,x) är mycket sämre än (6,6,6,6,x). I början av 9

10 spelet är det därför viktigt att bara sätta poängen på Fyrtal om motsvarande kategori är ifylld i den övre delen av protokollet. Stor och liten Stege har samma sannolikhet i Yatzy eftersom de båda kräver alla fem tärningar, till skillnad från Yahtzee där liten Stege består av fyra tärningar. Därför är det viktigt att bara satsa på Stege om handen har stor sannolikhet för det. En spelare ska aldrig spara 3 tärningar för att försöka få en Stege i början av spelet Strategier för fyllning av protokollet Om det första kastet av de fem tärningarna resulterar i en Kåk, och om kategorien Kåk samt den motsvarande kategorin i den övre sektionen av protokollet för de tre lika tärningarna inte är ifyllda är det optimala att bryta Kåken och hålla kvar de tre lika tärningarna. Detta ska göras eftersom chansen att förbättra tre lika till fyra lika eller Yatzy är så pass stor då spelaren har två kast kvar att göra. Om spelaren får en Kåk efter två slag ska de tre lika tärningarna behållas om värdet på tärningarna är fyra eller högre. Detta ger ett bättre resultat eftersom chansen att få fyra lika tärningar eller Yatzy är så pass stor, och det leder i sin tur att spelaren ligger bättre till i den övre delen av protokollet, och på så vis närmare bonus på 50 poäng. Om Kåk fås efter det tredje och sista slaget ska alltid kategorin för Kåk fyllas i. Trots att fokus ligger i att hela tiden ligga i fas och fylla i de övre kategorierna så ska alltid Yatzy och stor/liten Stege fyllas i när de än förekommer i spelets gång om de inte redan är ifyllda i protokollet. Det är ett speciellt samband mellan Tretal och Fyrtal. Den största anledningen till att inte fylla i Tretal för tidigt är för att det förekommer tre lika tärningar relativt ofta, 35.49%. Eftersom tre lika tärningar är en vanlig hand är det ingen brådska att fylla i den kategorin. En annan anledning till att hålla Tretal ofylld i protokollet är att chansen att lyckas med den svårare handen Fyrtal ökar. Om en spelare då satsar på Fyrtal kan denne använda de lediga kategorierna för tre lika som backup. Den optimala strategin i detta fallet är att låta den lättare handen tre lika och Tretal vara ofylld så länge fyra lika och Fyrtal inte är fylld. Detta ökar chansen att få en högre poäng Placera dåliga händer i protokollet För att uppnå ett bra slutresultat är det viktigt att hantera de dåliga händerna som eventuellt förkommer i spelet. I början av spelet ska dåliga händer och eventuella nollningar i första hand placeras i de undre kategorierna. Kategorien Chans ska hållas öppen för dåliga händer så länge det är möjligt. Chans fylls inte i om summan av tärningarna är mindre än

11 3.4 Strategier i mellanspelet Mellanspelet representeras av hand sex till och med tio. I detta tillstånd är protokollet inte helt öppet men det är fortfarande en hel del kategorier öppna. Detta leder till att planering av spelet är viktigt, tillskillnad från första delen av spelet där värdet på tärningarna ska styra. Det är svårt att ge konkreta exempel på händer i detta tillstånd eftersom det finns så många olika sätt som spelet kan spelas. Till exempel när hand sju har spelats så kan protokollet fyllas på 1700 olika sätt Övergång och planering I mellanspelet ska spelaren bara låta sig styras av tärningarnas värde till en viss grad eftersom vissa kategorier börjar bli ifyllda och spelet inte är lika öppet som de första händerna. Det är viktigt att hela tiden ha kontroll av de övre kategorierna så att spelaren ligger i eller över par. Strategin som ska följas i detta tillstånd av spelet bestäms alltså av spelarens status i den övre delen av protokollet Över par Om spelaren ligger över par, dvs att den förväntade summan av de övre kategorierna överstiger 63 poäng har spelaren råd att spela mer aggressivt i mellanspelet. Då kan spelaren satsa på de svårare kategorierna längre ner i spelprotokollet och om det skulle misslyckas är sannolikheten fortfarande stor att spelaren klarar av att få bonus. Hur pass aggressiv spelaren ska vara bestäms av vilka övre kategorier som inte är fyllda och vilka tärningar som spelaren har just vid det tillfället. Spelaren kan tex vara mer aggressiv med ettor och tvåor ofyllda i övre delen eftersom skillnaden på fyra ettor och en etta inte är speciellt stor jämfört med skillnaden mellan fyra sexor och en sexa placerade i den övre delen av protokollet I par En spelare som ligger precis i par bör använda strategier som är mycket lika de som ska användas i de inledande delen av spelet. Det viktigaste är att inte riskera att förlora bonusen genom att missa poäng i de övre kategorierna. I detta stadiet är det minst tre lika tärningar i respektive övre kategori som måste fyllas i. Därför ska alla par, även ettor och tvåor behållas i hopp om att få minst tre lika tärningar i någon ofylld kategori. Visar det sig däremot att det finns en stor sannolikhet att få fyra femmor eller sexor och de kategorierna redan är fyllda i den övre delen av protokollet, så ska spelaren satsa på detta speciellt om Chans fortfarande inte är ifylld. 11

12 3.4.4 Under par Målet här är att ta igen så mycket poäng som möjligt. Tack vare öppningsstrategierna kommer spelaren oftast inte att vara mer än 1 3 poäng efter i de övre kategorierna. Om öppningsstrategin har följts till 100%, dvs att fyror, femmor eller sexor bara fyllts i om de varit tre eller fler lika i de övre kategorierna så kan spelaren inte ha exempelvis enbart två sexor i den kategorin. Detta minskar chansen att ligga under par avsevärt. Så länge en spelare ligger under par och chansen finns att fyra eller fler lika tärningar i någon kategori resulterar i att spelaren ligger i par ska detta vara målet Andra faktorer Om en spelare får liten eller stor Stege tidigt i spelet, ska denne spelare huvudsakligen koncentrera sig på att få många tärningar med samma värde. Detta eftersom Stege är en av de svårare händerna att få och spelaren har nu en stor fördel. Om en spelare får fyrtal tidigt i spelet ska fokus ligga i att uppnå stege och att fylla i de övre kategorierna. Om spelaren följer strategierna korrekt så kan Fyrtal tidigt i spelet enbart ske om en spelare redan har fyllt i den motsvarande kategorin i den övre delen av protokollet. 3.5 Strategier i sista delen av spelet Sista delen av spelet representeras av hand 11 till och med 15. De sista händerna i ett Yatzyspel är mycket strategiska eftersom det enbart är ett fåtal kategorier kvar att fylla. Det gäller nu för spelaren att spela aggressivt och försöka fylla dessa kategorier. Lyckas spelaren inte med detta kommer denne att sluta med en hand som inte går att placera någonstans i protokollet. Detta leder till att spelaren tvingas fylla i noll i någon kategori. Det är mycket viktigt att dessa nollor placeras i rätt kategori Tvångsåtgärder Istället för att ta vad tärningarna ger som i öppningsdelen av spelet är det nu hög tid att försöka tvinga tärningarna att uppfylla någon av de få kategorierna som finns kvar. Ett bra exempel på detta är att satsa på Stege om det finns möjlighet att få det och om den inte redan är fylld i protokollet istället för Tretal eller Fyrtal. Denna strategi är helt emot den som ska användas i början av spelet. 12

13 3.5.2 Slutspelsöverväganden I slutet av spelet när en spelare exempelvis har en kategori kvar att fylla är det uppenbart att spelaren ska försöka matcha tärningarna med den. Finns det enbart ett fåtal katagorier kvar är det är inte poängen som kategorierna ger som är det viktigaste, utan sannolikheten att uppnå dem. Även i slutet av spelet ska spelaren ha översikt av den övre delen av protokollet om bonus inte är uppnådd. Vilka tärningsvärden spelaren ska hålla beror på hur spelaren ligger till. Säg att en spelare är 3 poäng ifrån par, detta kan till exempel vara för att spelaren saknar ettor, då behövs tre stycken ettor. Men det kan också vara att spelaren saknar treor, och då behövs bara en. Chansen att ta igen poängen och ligga i par är mycket större om spelaren satsar på att få en trea istället för tre ettor. Ibland måste spelaren överge de övre kategorierna och strävan efter bonusen på 50 poäng. Detta sker olika i varje spel och beror på hur spelaren ligger till. Fram till detta skede i spelet ska aldrig noll poäng placeras i de övre kategorierna. För att placera en nolla i de övre kategorierna av protokollet ska spelaren redan vara klar med bonus, alltså minst 63 poäng eller ligga en bra bit över par. En annan anledning att placera nollor i någon av de övre kategorierna är om spelaren ligger långt under par. Då är det bättre att sätta nollor i ettor, tvåor eller treor istället för Kåk, Stege eller liknande. I alla andra lägen är det bättre att placera en nolla i någon av de nedre kategorierna. Det är inte ovanligt att en eller flera kategorier är fyllda med noll efter spelets slut. Även i den optimala strategin som beräknas av en dator förekommer ofta nollor i slutprotokollet. 3.6 Förbättring Efter att ovanstående strategier implementerats finjusterades programmet så att resultaten blev så bra som möjligt. Då strategierna som detta arbete grundas på är anpassade för Yahtzee behövde vissa gränser och överväganden omberäknas eller antas till passande värden under implementationens gång. Efter implementationen gjordes därför tester med olika värden på dessa faktorer och resultatet förbättrades avsevärt. Det bästa slutresultatet gavs av nya gränser för de olika uppdelningarna av ett spel: Första delen av spelet: Hand 1 5 (Oförändrad) Mittendelen av spelet: Hand 6 15 (Förändrad: Tidigare hand 6 10) Slutspelet: Utgår 13

14 Detta är det slutgiltiga programmet som användes för att jämföras med den matematiskt optimala strategin. 4 Resultat 4.1 Grafisk representation Figur 1: Denna graf illustrerar resultaten av simuleringar av två program. Den allra första simuleringen och en förbättrad version av programmet som nämns tidigare i avsnitt 3.6. X axeln representerar total poängsumma efter ett genomfört spel av Yatzy. Y axeln representerar antal förekomster av respektive totalpoäng. Observera att två toppar förekommer i grafen. Detta fenomen analyseras vidare i avsnitt

15 4.2 Väntevärde, standardavvikelse och varians Väntevärde E(X), där X = {x 0, x 1,..., x n }, kan tolkas som medelvärdet x för en undersökning som utförs ett oändligt antal gånger. Standardavvikelse D(X) beskriver hur mycket de olika resultaten i en undersökning avviker från medelvärdet. Varians V(X) är ett mått på hur utspridd fördelningen är kring väntevärdet. Dessa värden erhålls av följande formler: E (X) = n x i P (x i ) x, D (X) = V (X) i = 0 V (X) = 1 (x x) n 1 n i = 0 i 2, [9]. 4.3 Presentation av data och jämförelse Resultat för detta arbete (förbättrade programmet) Resultat för den matematiskt optimala strategin* Genomsnittlig poängsumma, E(X) Varians, V(X) data ej tillgänglig Standardavvikelse, D(X) Mest förekommande poängsumma data ej tillgänglig *Resultat från Larsson och Sjöbergs undersökning [7]. Figur 2: Tabell innehållande resultat från denna studie och motsvarande för den optimala strategin för Yatzy. 15

16 5 Diskussion 5.1 Resultatanalys Det är intressant att programmet uppnådde en relativt hög genomsnittlig poängsumma då algoritmerna som bestämmer vad som ska göras vid varje skede i spelet är betydligt mindre komplicerade än de som användes för den matematiskt optimala strategin som beräknades till I den bästa körningen av programmet blev det mest förekommande poängsumman 156, vilket kan tyckas vara ett medelmåttigt resultat i jämförelse med 244 som presenteras av Larsson och Sjöberg i deras arbete om den matematiskt optimala strategin. Studerar man dock Figur 1 så kan man enkelt se de två stora, nästan likvärdiga topparna i grafen. Dessa toppar representerar de två mest förekommande resultaten. Tyvärr för denna studies resultat visar det sig att topp nummer ett som representerar poängsumman 156 är något högre än topp nummer två som representerar den mycket högre och mer imponerande poängsumman 209. Dessa två toppar, speciellt den sistnämnda höjer den genomsnittliga poängsumman för detta arbete. Skulle det vara så att 209 blev den mest förkommande poängsumman, vilket bör vara rimligt om ytterligare förbättring av programmet utförs så skulle resultaten för den mest förekommande poängsumman från denna undersökning endast skilja sig med 35 poäng från den matematiskt optimala undersökningen. Detta är ett mycket konkurrenskraftigt resultat. Anledningen till de två topparna är svår att fastställa utan bättre underlag. Efter närmare observation av figur 1 kan avläsas från grafen att det skiljer cirka 50 poäng mellan de två stora topparna. 50 poäng är den summan Yatzy och bonusen ger. Därför är det mycket rimligt att första toppen representerar resultat där varken Yatzy eller bonus fyllts i spelprotokollet och den andra där något av Yatzy eller bonus fyllts i. Det finns också en mindre topp runt 275 i figur 1. Även denna topp är cirka 50 poäng från den andra toppen och därför är det rimligt att anta att både Yatzy och Bonus har fyllts i där. 5.2 Algoritmens användarvänlighet Det här arbetet är fokuserat på en algoritm som kan användas av den genomsnittliga spelaren, vilket innebär att det är viktigt att reflektera över algoritmens användarvänlighet. Den algoritm som anses vara den mänskliga algoritmen i detta arbete är inte mer komplex än vad som är intuitivt vid vanligt 16

17 spel. Det gäller bara att känna till strategierna som används för att vara kapabel att tillämpa dessa i ett vardagligt spel. Den presenterade speltaktiken så pass enkel att den är möjlig att använda utan avancerade beräkningar, vilket gör att ett beslut kan tas på några sekunder om vad som är det bästa att göra, vilket håller ett spel flytande. 5.3 Förbättring av programmet Vid noggrannare granskning av Figur 1 ser vi att det förbättrade programmet är en aning förskjutet ut åt höger samt att topparna är mycket mer synliga jämfört med den första simuleringen. Den förbättrade varianten använder inte den kod som skapades för slutspelet. Att bättre resultat uppnåddes kan komma av att koden som hanterar mellanspelet är mer finfördelad för att hantera mer specifika fall än koden för slutspelet som är mer aggressiv och inriktad på de få kategorier som finns kvar. För att förbättra resultatet och programmet ytterligare krävs det mer ingående analys av vad som händer i programmet när det körs. Trots att metoderna för slutspelet inte används ska dessa metoder vara gynnsamma att använda enligt de studier Olaf Vancura genomfört. Därför bör dessa metoder studeras mer ingående och felsökas för att programmet ska ge bättre resultat. Trots att noggran testning av kod genomförts skulle mer tid behöva ägnats åt detta för att följa med programmet i alla tillstånd i spelet för att upptäcka eventuellt dåliga val. Detta är problematiskt eftersom spelet påverkas till stor del av slumpgenererade värden. Det går därför inte att förutse exakt hur programmet kommer att uppföra sig. Det är också svårt att återskapa samma testfall två gånger. 5.4 Korrekthet Programmet som skapades och användes för att generera data om den spelstrategi som undersöks i det här arbetet har inte logiskt verifierats för korrekthet. Programmet är uppbyggt av många delar och varje del har testats på ett stort antal sätt för att kontrollera att de beter sig på avsett sätt. Det är möjligt att vissa fall har missats i testerna och att vissa fel därför finns i koden. Dessa fel är minimala och de i huvudsak avsedda beteendet för varje metod är testat med positivt resultat. Dock så finns det ett fel i koden som påverkar resultatet, mer om detta i 5.4 Felkällor. Viss bedömning av korrektheten kommer ifrån studier av insamlad data. Då inga resultat över den totala maxpoängen för Yatzy (374 poäng) har genererats 17

18 samt att resultatet är sämre än den matematiskt optimala strategin. Detta är ett förväntat och rimligt resultat. De plottade kurvorna i Figur 1 har också ett förväntat utseende. Vi kan drar därför slutsatsen att inga stora fel finns i programmet. Den strategi som implementerades i det här arbetet är inte garanterat korrekt då den utgår baserad på den Yahtzee strategi som Vancura presenterar i sin bok. Då reglerna skiljer sig åt mellan Yahtzee och Yatzy har ett antal förändringar i strategin gjorts efter noggrann eftertanke om vad som är mest rimligt baserat på den övergripande strategin. 5.5 Felkällor Resultaten från körningarna av programmet är pålitliga som diskuterats tidigare i detta avsnitt. Trots detta finns det vissa mindre fel i koden. I vissa fall försöker programmet fylla spelprotokollet efter att de 15 kategorierna redan är fyllda. Detta problem uppstår då programmet körs och i någon omgång fylls protokollet inte i och 16 händer spelas istället för 15. Dessa fel fångas med en kontroll av antalet omgångar i ett spel och om det överstiger de 15 kategorier som det finns plats för på poängkortet så slängs det resultatet och detta spel spelas om. Denna hantering gör att felaktiga resultat aldrig används i undersökningen. Under de 10^5 simuleringar som kördes för att generera resultat förekommer det ovan påpekade felet 0.8%. Detta är det enda felet som upptäckts. Eventuellt ytterligare fel kan förekomma i implementationen av algoritmen som kan ge programmet ett konstigt beteende i vissa specialfall. Det har dock aldrig förekommit orimliga resultat i någon simulering under detta arbete. 6 Slutsats När den matematiskt optimala strategin jämförs med resultatet för denna undersökning är det en signifikant skillnad i genomsnitts poäng. Vancuras modifierade strategi presterar sämre, mot i genomsnitt. Detta är ett förväntat resultat som sätter ett mått på hur pass bra den optimala strategin faktiskt är. Vid simuleringar är den matematisk optimala lösningen överlägsen, om mycket tid kan läggas på beräkningarna. Om varje spelrunda måste beräknas snabbt är den mänskliga algoritmen bättre eftersom den kan köras på en bråkdel av den tid som behövs för den optimala och fortfarande generara ett relativt bra resultat. 18

19 Referenser [1] History of Yahtzee. Hasbro. Web Archive. 8 augusti Läst 18 februari [2] Spelregler Yatzy. Alga spel. Läst 18 februari [3] Yahtzee. Hasbro. Läst 20 februari [4] The History of Yahtzee Hasbro Läst 20 februari [5] Optimal spelstrategi för yatzy, en jämförande studie av mindre regelförändring. Sam Henriksson & Gustav Engström. 12 april Läst 18 februari [6] Advantage Yahtzee. Olaf Vancura, Ph.D Publicerad av Huntingtin Press Publishing, Las Vegas, Nevada. ISBN: [7] Optimal Yatzy Strategy. Marcus Larsson & Andreas Sjöberg Läst 20 februari pdf [8] An optimal strategy for Yahtzee James Glenn. Maj Läst 27 februari [9] Mathematics Handbook for Science and Engineering. Lennart Råde & Bertil Westergren Läst 7 april ISBN:

20 Appendix A Spelregler för Yatzy Följande spelregler är hämtade från Alga (något grafisk redigerade): Det gulmarkerade alternativet tillämpas i denna undersökning (Alternativ 3: Spela i valfri ordning). 20

21 B Fullständig programkod & resultatfiler All kod som tillhör projektet samt filerna med de obehandlade resultaten finns i följande GitHub repository: Kod och resultat är fritt att använda. 21