ALGULI VARIATIOMM DUPLICIUM INTEGRALIUM PETRUS ADOLPHUS LJUNGBERG. MAO. BBt&SVWL (SÅlällllJL MéSMärH. p. v. WAHLSTRÖM ET IÅSTBOM.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "ALGULI VARIATIOMM DUPLICIUM INTEGRALIUM PETRUS ADOLPHUS LJUNGBERG. MAO. BBt&SVWL (SÅlällllJL MéSMärH. p. v. WAHLSTRÖM ET IÅSTBOM."

Johannes Pettersson
för 5 år sedan
Visningar:

1 c ALGULI VARIATIOMM INTEGRALIUM DUPLICIUM EXERCITATIONES QUAS VENIA AMPL. FACULT. PH1LOS. UPSAL. p. p. MAO. BBt&SVWL (SÅlällllJL MéSMärH MECHANICES DOCENS ET PETRUS ADOLPHUS LJUNGBERG WESTM. DALEC. IN AUDIT. GUSTAV. DIE XIII APR. MDCCCXLII. n. p. M. S. p. v. CPSALIE WAHLSTRÖM ET IÅSTBOM.

2 KONUNGENS HÖGT BETRODDE MAN, FÖRSTE ADJUTANTEN HOS H. M. KONUNGEN, GENERALMAJOREN OCH COMMENDÖREN MED STORA KORSET AF KONGL. SVÄRDSORDEN, M. M. I HÖGVÄLBORNE HERR FRIHERRE JOHAN GUSTAF de la»hange med vördnad och tacksamhet af Dess ödmjukaste tjenare P. A. LJUNGBERG. S,

3 KONUNGENS TROMAN, BERGSRÅDET VÄLBORNE a» e«w* SAMT BERGSRÅDINNAN VÄLBORNA FÖDD 77XR.GXD tacksamt och vordna dsfullt af äespondens

4 e D til fr af te /aralfrrar Colins dessa blad af Sonlig vördnad, kärlek och tacksamhet.

$4m (p" + 2xp", v = - 2((p + 2xp) + 2(acp' + 2ßifj') - (a*(f" + 2ß*ip"), 2z = - {(f 4-2\}j ) + ct(p + 2ßip j seu secundum (4LS): i2x - 2(<p + 2ifj) + 2(ct<p' + 2ßip') +j[(1-4a8) 9/'+ (1-4ßz)2ifj"],$

5 - 59 unde integrale provenit liocce:!4m (p" + 2xp", v = - 2((p + 2xp) + 2(acp' + 2ßifj') - (a*(f" + 2ß*ip"), 2z = - {(f 4-2\}j ) + ct(p + 2ßip j seu secundum (4LS): i2x - 2(<p + 2ifj) + 2(ct<p' + 2ßip') +j[(1-4a8) 9/'+ (1-4ßz)2ifj"], 2yV-1 = 2z - (<f> 2((p + 2ip) - 2(a<p' + 2ßip') + ~ [ (1+ 4a8)<//'+ (1 + 4/S8)2t//'], + 2ip') + ci(f>" + 2ß\jj". De caetero liccre (si placet) liuic systcmati formam reddi simplicem istam (26), perfacili equidem negotio patebit: Nimirum positis (*) tum positis -2(p + 2a(p + - j (1-4a8) p" 2a, 2<p + 2ßip' +j(1 - = ; liabebitur: x = a + b 5 (O v (^ + 4«) <p" = 2 (rt). 2a<p' \/-i, + j (1 + iß')ip" = >I'(b) (f- xp- 2ßipf babebilur: y = 0a + ll'b 5 Porro ex (50) sequitur 2dz = a. <p'"da + 2ß. if/"dß 5 at diflerentiando (A) erit j(l - 4a8)<pf"da = 2da, Y (1-408) = dt 5

$40 atqiic diflercntiando (/): ( (1 + 4az)(f,fnda 2V-1.O'da, mide I j(l + 4 = V~. ; a. (f>'f,da = 2day~ i. v/1 + <Z>'8, 2ß.tp"'dß = 2dbS^7. STTF atque habebitur z = J*da\Z^T. v/1 + tf>'2(a) +^ dbs~.$

6 40 atqiic diflercntiando (/): ( (1 + 4az)(f,fnda 2V-1.O'da, mide I j(l + 4 = V~. ; a. (f>'f,da = 2day~ i. v/1 + <Z>'8, 2ß.tp"'dß = 2dbS^7. STTF atque habebitur z = J*da\Z^T. v/1 + tf>'2(a) +^ dbs~. v/ttf\b). Deniquc systemate (öo) satisfieri propositae (14), facili usque ncgotio licet probari. Etenim a', ß\ ßj denotantibus partiales ipsarum a et ß derivatas p. r. å x et jf, tertia systematis aequalio prseslat 2p = au'q!" + ßß',2 ip"', (m) { 2q = acc/" + ßß/.2if/"y a t priores ambie linde 1 {(1 = - 4«>V"+ i(l - iß')ß'.2ip"' o (1-4a')a//'" + (1-4jS!) ^. Oy,'". j o = (1 + 4«>y" + (1 + 2,ß"',{ y~t = i(i + 4«>y"+ i(l + iß*)ß,2,p'"y (») 1 + iß' ol, 1 + 4«' ^ /-.i,iui. nr 1, t-4ß> i. 4a«_ («'-/»V,A ~ "(«*-/»W ';

1 atque (m ) abeuiit in 41 1 - Aaß 2p =, a + ß + 4 ctß V-!= 1 5 cc + ß tum harum diflcrentiatione adhibitisque (w) ^ (1 + 4a1)y"-(l + 4/*2)a.2V>'"?2) («+$a ' (1-4aa)V"-(l - Aß2)2.

7 1 atque (m ) abeuiit in Aaß 2p =, a + ß + 4 ctß V-!= 1 5 cc + ß tum harum diflcrentiatione adhibitisque (w) ^ (1 + 4a1)y"-(l + 4/*2)a.2V>'"?2) («+$a ' (1-4aa)V"-(l - Aß2)2.2xpm j n = ~ -,»')(«+/») ' I _ (1 _ 4a2) (1 + 4aa) y'" - (1-4/S2) (1 + 4/?2) 2tf/"»)(<,+,»)»!.Sv-I= per quas aequationi (14) fieri satis, facillimum est probatu. 18. In determinationem functionum arbitrariarum. Determinentur ist«ex eo quod transeat superficies per curvam f ^ ^ 9 1, per ambitum I z f\xt j cujus sit supcrficiei p = j\x. Condiliones istas in u et v transformari licet secundum (48), sintque u = fn, z _ FjU, (51) p = f>. Patet equidem ip'"ß determinari licere ex (43), si modo cognitum sit, a superficiei quamam sit functio ipsius ß in ambitu curvae (51) nec non wu. 10

$42 Prins qikeratur. Est quidem a = Vy 1 + v/1 + 4p,«y, \ scc. (32) /S = ' 1 - v/1 + 4p,<y,, dz dz. p, et fl, dcnot. et. Quaerantur p, et fl, in ambitu (51). dit dy.. fdtt = f'y.$

8 42 Prins qikeratur. Est quidem a = Vy 1 + v/1 + 4p,«y, \ scc. (32) /S = ' 1 - v/1 + 4p,<y,, dz dz. p, et fl, dcnot. et. Quaerantur p, et fl, in ambitu (51). dit dy.. fdtt = f'y.du, Quoniam superficiei dz = p,dw + fl,dy, at in ambitu <. idz = t,y.dy; eril ipsarum p, et <y, superficiei in ambitu altera haecce relatio: f/y = p,.f u + <y, Tum quoniam superficiei p = td h v' = p, + q i secund. (27), altera dit dy erit f2y == p, + <7t; ex quibus sequitur esse in ambitu (51) - f/ P'=7TF = r(w) = "TT?/ = r'w" (32) Jam «et S in ambitu exprimi licet in u ope a3qu. (52) vel (50), eliminatåque v liabebitur ibidem <*=F(ß). (55) Porro fjiuenam ty,, superficiei sit functio ipsius ß in ambitu ijucrratur. Est quidem sec. (41) et (58) superficiei 2 div dhv iv,1 =. a + ß dß dß2 ' (34) V 1 j i...., div dhv., ideoque to,, in ambitu cogmta erit in /?, si modo atque -7 ibidem innotuerint. ^

9 et i o A t facllc invenietur cognita modo w dß in ambitu. Esl autem sec. (33) superficiei iv = piii + </i v- z, cujus membri posterioris omnes termini, quales sint in ambitu curva;, cognitae sunt in ß ex antecedentibusj sitque in ambitu iv = Ft(ß). (oo) { dw Jam quoniam superficiei div = -j da + da = Ffß.dß div dß, at in ambitu.,.. div div. div = F/ß.dß$ eril ibidem una relatio lpsarum et ista: da dß _ ^ div div F/ß = ^F'ß + Tßdiv dw da dw dß Et quoniam seu u - l- -? dpi da dpi dß dpt i. c. = /-div dw\ 1 ( ). (secund. (q)5 \(la dß J 2\/1 + alteram baec dat relationem ipsarum et in ambitu: unde conelu- 1 da dß ' ditur dw da (liv t in amb. = cogn. iunct. ß. (ob) dß ivw ^ fdw\ d*w d2w Hestat. Est auteni superficiei d[ ) = da + dß ; dß2 1 \(lß) (ladß dß4 (Vw.., / v. \ ideoque cognita erif in ambitu sec. (33) et (og), si modo - : quam vero dat (37).

10 u llaque jam te,! in ambitu cognita est in /9; ideoque etiam consfilnlio iunctionis xp'" (ß). Qua deindc Substitut» in (44), tum integrata quantitate j (a-ßyipf"dß, perfacili utique negotio determinari (fu liccbit. 10. Quibus peractis habebitur (modo, quem in N:o 16 indicavimus) superficierum, quarum in puncto unoquoquc principales ambo radii eurvedinis aiquales sunt signique conlrarii, ea qua; per datam curvam dataque p transeat. Ea igitur est omnium, quas per datam curvam pcrimetrum duci liccat, superficierum cui minima sit area intercliisa perimetro data aliaque in eadem superfieie ducta, perimetris ccrle quarum in.ryplano projeclionum altera alteri sit circumscripta. Jainque ut paucorum, in quibus calculum ad finem usque sine 111axiniis tricis perduci liceat, unicum afferatur exemplum et quidem, uti videtur, admoduin simplex; idem illud, quod in fine IN:i 10, consideretur: quod cquidem ita exprimi licet, ut sint in ambitu perimetri:,2v/a2 +?/? =. e ^i, 1 J e ' ( ) % 1, V = 4x i seu, eliminatis x et 1/, S2</uv = e + e, z = 1, 4v* + (e + V = V 5

$45 seu posita, simplicitalis ergo, e = + v/e8-1, (p) unde v i e + = 2«, e e = 2 \/ «8-1, e x/uv = e, seil u =, v (-/) Z = I p = 8+t>8 «8-i Erunt in ambitu perimetri hujus v Pi = = > 2«v/ f2-i 7t = =$

11 45 seu posita, simplicitalis ergo, e = + v/e8-1, (p) unde v i e + = 2«, e e = 2 \/ «8-1, e x/uv = e, seil u =, v (-/) Z = I p = 8+t>8 «8-i Erunt in ambitu perimetri hujus v Pi = = > 2«v/ f2-i 7t = = * 2y\/e8-i atque aequationes (36) dant (a + /S)«= m/c8-1, 4aßs\/ «8-1 = u (a + ß) J unde sequitur esse in ambitu a = /2 (i - 2«8 ± 2«\/c8-1) = ß («+ \/é8-1). Alteruni hcic sufficit considerare. Erunt igitur in ambitu perimetri: «= ß(e-\/e9-i), (r) ü = 2eß(e-\/ ), 11

$46 + \/V-l), 0 («- ) f'1 = + \/ \/1 + tyifji -zu 5 v/ «- \/?$

12 46 + \/V-l), 0 («- ) f'1 = + \/ \/1 + tyifji -zu 5 v/ «- \/?u =, v/~" div s* (fi + v/ )S du 2ß(e*-i) div «2 2ß (é2-1) 5 f (f + v/ )8 düäiß^ 2/?*(e2-i)f ' #Z2w «(i + ) dß8 = "i^2(«8-i)l 5 e Unde Wn = 2ß\\Zs'-i atque Xh'"ß = : ^ 20* ' /» «* - Si f(a-ßy.y/"dß=--jj--

13 47 Itaquc (44) abit in «*-ß2 (cci-ßi)ivi = (fa - - «log' ß, ex qua determinabitur qa. - In ambitu est ß = a (i - 2«2-2sV * -1), = a («+ y/ ) " 5 alque («48) («2-ß*)wx = - 2a(i + )$ unde qa = - 2a + a log«(i-2 2-2eVt2-i). Qua«cum ita sint, integrale (44) abit in 4a 2iv = log (i-2t2-2své8-i), *ßy ' a+ß' seu, repositis jam valoribus (42) atque quoniam i - 2e9-2eV«2-1 =t - ( s + V e2 -i)2 = - e2, (i-vi 2 w = loge2. 2(i-V4wifl,) b 4ptqt K " Ia quo consequuntur: (i-v/i + 4/)1<y,)2 = log + 2Vi + tyiqi. 4/M«v/i + 4Mi 2m, Vi 2v = Vi + 4plql Ii? (i + v/i + 4PifliY. 2z = log 5.7.

$' 48 seti = (i + v/i + 4ptqt). Ev hac jain facili negotio p{ et <7, eliminanlur opc aequ. (y), qua1 quideni dant ^pitfi.$

14 ' 48 seti = (i + v/i + 4ptqt). Ev hac jain facili negotio p{ et <7, eliminanlur opc aequ. (y), qua1 quideni dant ^pitfi.uv = i + 4/v/,, seu ideoque habebitur fytli = ; UV - I e = s/uv + Vuv-\, unde v e + e 2v/wu = 2\Zx2 + y2, «Ii sup ra in N;o 10 erat comparatum. 20. Licet eliam, ut facile patet, functioncs arbitrarias ex eo determinari quodammodo, ut in ambitu intersectionis superficiei quaesif.t alque. cylindri y =fx, sint p =/tx, 1 =/«x; qua; quidem condiliones, eliminatls x et y, abeant in p = f, v, <7 = l>. J J- * (% 7) Seiiicet, uti supra, primo quaeratur a quacnam sit functio ipsius ß in ambitu intersectionis. Quoniam superficiei dz dz v = Tuu+Tvv> eruut in ambitu dz dz l = Tu"'+Tvv" f> = />, +ql, f1v = (pl-ql)\/-i',

Relevanta dokument

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer 1.000 kronor vardera:

VECKANS LILLA POSTKODVINST á 1.000 kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 270 lottnummer 1.000 kronor vardera: Dragningsresultat vecka 14-2015 Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i veckans utlottning i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar till