BICHS EDLUND OBSERVATIONES DB MOTU LIQUIDORUM IN YASIS ERICUS GUSTAVUS LUNDBLAD VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL. UPS ALIJE WAHLSTRÖM ET C. QVAS MAG.

Transkript

1 / DB MOTU LIQUIDORUM IN YASIS» OBSERVATIONES QVAS VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL. p. p. MAG. BICHS EDLUND ET ERICUS GUSTAVUS LUNDBLAD SUDEKII. NERICII IN AUDIT. GUSTAV. DIE X DEC. MDCCCXLV. H. A. M. S. I. UPS ALIJE WAHLSTRÖM ET C. T77 r 7 ; -

2

3 KONUNGENS TROMAN, MAJOREN OCH RIDDAREN AF KONGL. SVÄRDS-ORDEN HÖGVÄLBORNE HERR GREFVE AXEL LEWENHAUPT SA.MT HÖGVÄLBORNA FRÖKEN CHARLOTTE LEWENHAUPT med djupaste vördnad egnadt af ER. G. LUNDBLAD.

4 Me Huldaste Föräldrar \ egnas dessa bi a d af sonlig vördnad, kärlek och tacksamhet.

5 DE MOTU LIQUIDORUM IN YASIS OBSERVATIONES. i iqiiationes generales, quae aequilibrium liquidorum exprirnunt, Cel. Clairaut in dissertatione, quam ad figuram Terrae determinandam conscripsit, primus indicavit*). Omnes enim, qui ante eum res hydrostatieas pertractaverunt, Geometrae ex principiis partialibus aut secundariis profecti sunt. Quibus sequationibus constitutis Cel. D'Alembert ad aequationes gene rales, ex quibus motus liquidorum pendet, priricipium suum notissimum adbibendo postea pervenitj quae tarnen, ut inter omnes constat, ejusmodi sunt, ut earum integrale facile inveniri non possit. Arbitrarias autem functiones, quae integrando inferuntur, Cel. Lagrange auxilio earum aequalionwm determinare conatus est, quae ex hac prodeunt bypotbesi: omnes particulas liquidi, in vase quolibet inclusi, quae initio motus in ipsa superficie vasis aut in superficie libera sita4 fuerint, sub motu in iisdem superficiebus Semper permanere. Quae quidem liypotbesis, licet maxiini videatur momenti, quum et insignem liquidi, quod in motu est, proprietatem adumbret *) Vide MécLanique analytique par Lagrange. Paris 1788.

6 2 et methodum arbitrarias functiones determinandi praebeat, omni tarnen, quantum seiamus, caruit demonstratione, priusquam Gel. Professor A. F. Svanberg eam auxilio aequationis, quam continuitatis dicunt, in eo casu demonstravit, quum liquidum ex vase quodam, superficie revolutionis circa axem verticalem determinato, per foramen in fundo ejus horizontali factum effluitj omnibus prasterea circa axem revolutionis symmetricis Hanc proprietatem liquidorum viam, quam Gel. Svanberg aperuit, sequentes in hoc opusculo demonstrare studebimus, quaecumque est superficies vasis, in quo liquidum continetur.. 4. De motu parlicularum, quae initio motus liquidi in superficie vasis sitae sunt. 1. Si particula liquidi quaelibet Semper secundurn superficiem vasis movelur, sequitur, ut normalis superficiei ad lineam, quae direclionem motüs particulae indicat, Semper sit perpendicularis. Si igitur L o aequatio est superficiei, ad axes orthogonales relatae, et m, u, w velocitatem particulae secundum axes coordinatarum denotant, aequationem, cui sufficit satisfieri, habebimus - u + -rv+- w = o; (1) dy dz quae quidem aequatio, si loco axium orthogonalium coordinatas polares adhibemus, quae, praecipue quum de motu] parti- *) Vide Iiongl. Wetenskaps-Academiens Handlingar fö*- år 1851).

7 cularum in superficie libera agilur, multo orthogonalibus sunt aptioresj hoc modo transformatur: Pro particulis, in superficie positis, vel pro ipsa super ficie in genere habemus x BCos6$ y = B Sinöj (2) et si particulam quamlibet inträ superficiem sitam respicimus x rcosöj y rsinöj (3) ö denotante angulum, quem cum linea, ad avaxem parallela? facit radius vestor B vel r. t In genere sunt: obtinemus * # dy Si autem in aequ. db db db + db dr då dr dy db dy... (i) (2) y constans ponitur, differentiatione d& 1 CosÖ db B Sin B ' >1 o db = Sinö db + B CosÖ :? ). unde db Cosöj JIl db Sinö ~Ä~' t dxr.l T ~

8 = Sin eodemque modo, si x constantem ponimus, dr do Cos 6 = Sinöj = dy dy R Quibus valoribus ipsorum -~j, etc. in aeqqu. (4) Substitu ts, habebimus 1 CosÖ - Sin 0: dr R de 1 i 0 + Cosö. dy dr R db Si velocitas particulae secundum radium vectorem p et velocitas angularis» appellatur, easdemque velocitates ad ipsam superficieua ^R, er significant, et si eodem modo tvh va lorem ipsius w ad superficiem denotat, ex jeqqu. (2) facillime obtinemus (5) m = = (*R Cos9 Rbr Sind, v = dy., -j- == pr Sm e + Rvr Cos». dt (6) Hoc modo fit /*_ te" = ^drc0s'6 ~ 8RHdRC0Se Sia9 ~RM C0S SinÖ +»b t* Sin d: de 7

9 s -~rv Fr tji Sin*0 + 8*R %j7 Sin # Cos0 4- Cos 0 Sin 0 dy dr dli R db, 4- a«cos 0. " d» iequatio (i) igitur liac induitur forma dl,. Iii * +1»8"+ T* Wr = 0 ( ) et z et 0 eon- Si autem aequationem superficiei differentiamus? stans successive ponitur, invenimus n, _di«+ -d9_o; unde et dit de de dr dr + ~ dz o dli dz unde dr dz dz dr Hoc modo sequatio, cui suflicit satisfieri, ut particula quaelibet liquidi, quae initio nio lus in superficie sita fuerii, Sem per in ea sit permansura? fiet dr dr -Ma + ^+U., =0 (8)

10 ii 6 2. iequatio continuitatis, si axibus coordinataruni rectungulis utimur, förmana habet notissimam V \ dg d.gii d.ov d.giv + + 1_ +. oj dt dy dz (o denotante liquid i densitatem). Qua? quidem aequatio, si liquidum, cujus de motu quserilur5 ubique eandem habet densitatem, in sequentem abit In genere sunt du dv dw. + + o (0) dy dz du du dr du dd dr dd ' dv dv dr dv db (10) dy dr dy db dy Ex aeqqu. (3) obtinemus dt ~ ycos B er Sin 0, dy = v /i Sinö + er Cos 0$ f «/ / et differentiatione iterata du dy. dv 3s: Cos B-?- r rsinö- «Sin 0. dr dr dr du _ dy dv _ = ysmb + Cos B * rsmö ercosö: db db db

11 S111Ö- i- 7 N eodemque modo dv du ds rcosö H ecosö, dr dr dr dv du ds = Sin 6 + wcosö + rcosö re Sin d. de de de Itaque aequatio (9) \ - in sequentem transformator dfi (i ds div dr r dd dz sive 1 d.rfi ds dm -Jr ) -J- O» r dr db d 5. Si q quantitas est liquidi, cjuoe ad tempus t per foramen quodlibet, in superficie vasis factum, effluxit, differentiale ejus dq sequale esse debet quantitati, quae per tempus dt pla num quoddam, ad s-axem perpendiculare, perfluit. Obtinemus igitur 2 n dq = dt jj\wrdrdo (12) * o 0 Qiium autem dq baud ex piano, quod consideremus, pendeat, necesse est, ut derivata ipsius dq ratione habita ad z nihiio sit aequalis. Habemus igitur 271 r d.jj ivrdrdb *"o % dz '7

12 aut, qiuim H 111 genere sit functio ipsius s, 2n in M 8 ib J rdr + i»\ R db = O (15) Si valör ipsius ex aequatione (11) in aßqu. (15) sub- (lz stituitur, fit 271 a h ('( / dr / -y rdr + wb It db = o.. (14) \ \ dr "- o </9 dzj ' Seil ~W~ =d d Jrdrfäs +n m', da i Quare aequatio fdfldr = a,b. o «(' (14) scribi polest /7 r> <,fl da\ /" R^ + 3*RM+w»RYjd9='{ -d^d6 ^ In genere est a = /(r, 0, 2, t)5 quse quidem functio, cujuseunque sit formae, ea tarnen necessario est, ut ad 0 = o et 0 = 2jt, si r, 2, < non varient, idem functionis respondeat valör. Quod quum ita sit, faeillime intelligi polest, integrale R definiturn Jsrdr pro valoribus ipsius 0 supra dictis eundem