Silvelyn Zwanzig/Niklas Gunnarsson 14:e juni 2005

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATIK o. STATISTIK NV Matematiska Institutionen Statistikdelen Silvelyn Zwanzig/Niklas Gunnarsson 4:e juni 2005 Till tna hj lpmedel: Minir knare, Tabell med egna handskrivna till gg. Skrivtid: 9-4. F r godk nd kr vs tminstone 8 po ng, f r v l godk nd kr vs tminstone 28 po ng. Varje uppgift r v rd 5 po ng.. I en stad gjorde en resebyr en unders kning ang ende semester och resvanor. Ett enk t s ndes ut till 000 slumpm ssigt utvalda personer. I detta formul r skulle personerna ange om de tillbringat mer n 5 veckor utanf r rikets gr nser under ret. 200 av de 000 tillfr gade svarade. 70 personer svarade nej p fr gan Var du l ngre n 5 veckor utomslands?. Fr n en tidigare unders kning vet man i resebranchen att bara ca 5 % av befolkningen reser l ngre n 5 veckor utomlands. a) S tt upp en sannolikhetstabell med egenskaperna svara (svara, inte svara) och resa (l ngre n 5 veckor utomlands, mindre n 5 veckor utomlands). b) Vad r sannolikheten att en person inte svarar p enk ten och reser mindre n 5 veckor utomlands? c) Vad r den betingade sannolikheten att svara, givet att resa utomlands l ngre n 5 veckor? d) r h ndelserna svara och resa utomlands l ngre n 5 veckor r oberoende? Motivera svaret. e) S tt upp en sannolikhetstabell d r egenskaperna svara (svara, inte svara) och resa (l ngre n 5 veckor utomlands, mindre n 5 veckor utomlands) r oberoende. Sannolikheten f r att svara p enk ten r 0.2 och sannolikheten f r att resa l ngre n 5 veckor utomlands r Information: mycket 5% inte mycket Antal: mycket inte mycket a) Sannolikhet: mycket inte mycket b) Vad r sannolikheten att en person inte svarar p enk ten och reser mindre n 5 veckor utomlands? 0.78 c) Vad r den betingade sannolikheten att svara, givet att resa utomlands l ngre n 5 veckor? P (svara och mycket) P (svara/mycket) = = 0.03 P (mycket) 0.05 = 0.6 d) r h ndelserna svara och resa utomlands l ngre n 5 veckor r oberoende? Motivera svaret. P (svara) P (mycket) = = 0.0 P (svara och mycket) = 0.03 Svar: nej e) S tt upp en sannolikhetstabell d r egenskaperna r oberoende. Anv nd sannolikheterna fr n ovan f r att svara

2 p enk ten och f r resa och mindre n 5 veckor utomlands. mycket inte mycket mycket inte mycket Statistik professor A har p sin f rdelsedag f tt en enarmad bandit av sin son. Det p st s att i genomsnitt h lften av alla spel p banditen ger vinst. A som r en inbiten skeptiker, tvivlar p att banditens vinstsannolikhet p r bara 50%. Han t nker genomf ra n spelomg ngar f r att d refter testa hypotesen H 0 : p = 2 mot H : p > 2. a) Vilken testvariabel T vill A anv nda? b) Vilken f rdelning har T? Vilken approximation fungerar bra, om n = 200 och p = 2? c) Antag att A genomf r n = 200 spelomg ngar och A vinner bara 80 g nger. Genomf r testet. Vilken slutsats drar A? a) b) ( ) t 0.5 np T Bin(n, p); P (T t) Φ np( p) c) Antar A g rde n = 200 spelomg nger och banditen f rlorade bara 80 g nger. Vilken slutsats drar A? Ber kna p-v rdet. ( ) 90.5 np p value = P (T 20) = P (T < 20) = P (T 9) Φ np( p) n = 200, p = 2, = = , Φ(2.75) = p value = Fyra sniglar kryper obereonde av varandra uppf r en 8m h g flaggst ng. Varje dag kryper snigel nr upp X dm och snigel nr 2 kryper X 2 dm osv, d r X,.., X 4 r slumpvariabler med X i r Re[5, 7], i.e. { f Xi (x) = 2 5 x 7 0 f.ö. a) Snigel nr kryper X dm under 3 dagar. Ber kna v ntev rden och variansen f r X. Antag att de dagliga str ckorna r oberoende slumpvariabler. b) Ber kna sannolikheten att under dag kryper snigel nr mer n 5.5 dm. c) Ber kna sannolikheten att under dag kryper minst tv sniglar mer n 5.5 dm. d) Ber kna sannolikheten att under dag kryper h gst tre sniglar mer n 5.5 dm. a) Snigel nr kryper X dm under 3 dagar. Ber kna v ntev rden och variansen f r snigels v gen X. (V ger for varje dag r oberoende slumpvariabler) X Re(5, 7); EX = 6, V ar(x ) = 7 5 = 2 6 X = X, X,2 X,3 EX = 3 EX = 3 6 = 8, V ar(x) = 3 V ar(x ) = 0.5 b) Ber kna sannolikheten att efter dag snigel nr kryper mer n 5.5 dm P (X > 5.5) = dx = = 4 c) Ber kna sannolikheten att efter dag minst tv snigelor kryper mer n 5.5 dm. N = antalet sniglar som kryper mer än 5.5 dm Bin(4, 4 ) P (N 2) = P (N < 2) 2

3 = P (N ) ( ) ( ) 0 ( 4 = ( 4 0 ( ) ( ) ( ) 4 ) 4 4) = ( 3 4 ( ) ( ) ) = = d) Ber kna sannolikheten att efter dag h gst tre snigelor kryper mer n 5.5 dm. P (N 3) = P (N > 3) = P (N = 4) ( ) ( ) 4 ( 4 = ) ( ) 4 = = = Vid en lampfabrik tillverkas den popul ra kvartslampan Brynhilde. Lampornas livsl ngder kan anses vara oberoende och exponential f rdelade med v ntev rdet θ = 50 a) Ber kna sannolikheten att en lampa har en livsl ngd verstigande 70 timmar. b) Ber kna sannolikheten att en lampa har en livsl ngd mellan 00 och 70 timmar. c) Betrakta ett stickprov med 0 lampor. Ber kna sannolikheten att alla 0 lampor lyser l ngre n 00 timmar. a) Ber kna sannolikheten att en lampa har en livsl ngd verstigande 70 timmar. P (T > 70) = exp( x/50)dx = e 50 x = 0 exp( 70/50) = b) Ber kna sannolikheten att en lampa har en livsl ngd mellan 00 och 70 timmar. 70 P (00 < T < 70) = exp( x/50)dx = e 50 x = exp( 70/50) exp( 00/50) = e 7 5 e 2 3 =. 946 c) Betrakta ett stickprov med 0 lampor. Ber kna sannolikheten att alla 0 lampor lyser l ngre n 00 timmar. ( ) 0 P (alla > 00) = P (T > 00) 0 = e 2 3 = Man har ett packet med 20 tabletter. Tabletterna har vikterna: Vikten f r en tablett anses vara en normalf rdelad slumpvariabel. a) Testa att v ntev rdet µ r h gre n 0.47 p niv n α = 0.05 om variansen r σ 2 = (0.04) 2. b) Testa att v ntev rdet µ r h gre n 0.47 p niv n α = 0.05 om variansen r ok nd. c) Ber kna konfidensintervall f r µ med konfidensgraden 95% om standardavvikelsen r σ = d) Testa H 0 : µ = 0.47 mot H : µ 0.47 p niv n α = 0.05 om standardavvikelsen r σ = 0.04.(Ledning: Anv nd c) ) Standard deviation(s): [ , , , , , , Vikten anses vara en normalf rdelad slumpvariabel med v ntev rdet µ och standardavvikelsen Information: = 9.78 mean = 9. 78/20 = std=ca =0.036 a) Testa att v ntev rdet r h gre n 0.47 p niv n α = 0.05 om standardavvikelsen r σ = 0.04 p niv n α = 0.05 Z = = = ensidigt test: H 0 : µ = 0.47 mot H : µ > 0.47, kvantil =.645 (normal f rdelning) 0.04 =. 2 3

4 Z >.645 f rkasta hypotesen H 0. Ergo v ntev rdet r signifikant h gre. b) Testa att v ntev rdet r h gre n 0.47 p niv n α = 0.05 om med varians r ok nd. t = : =. 9752, ensidigt test: H 0 : µ = 0.04 mot H : µ > 0.04, kvantil =.729 (t- f rdelning med 9 frihetsgrader) t >.729 f rkasta hypotesen H 0. Ergo v ntev rdet r signifikant h gre. c) Ber kna konfidensintervall f r µ med konfidensgraden 95% om standardavvikelsen r σ = [ ] σ σ x z α, x z α 2 n 2 n z α =.96; 2 [ , ] : / =. 503 [ , 0.503] d) Testa H 0 : µ = 0.04 mot H : µ 0.04 p niv n α = 0.05 om standardavvikelsen r σ = Man kan inte f rkasta H Under den varma och torra sommaren 973 gjorde man den juni m tningar av vattendjupet i sj n Sk lmaren p 8 olika st llen. Junis m tresultat p st lle i kan anses vara normalf rdelat med v ntev rde µ juni,i och varians σ 2. Den juli gjorde man om m tnigar p samma st llen. Julis m tresultat p st lle i kan anses vara normalf rdelat med v ntev rde µ juli,i och varians σ 2. M tplats nr Djupet i cm den / Djupet i cm den / a) Formulera H 0 och H f r att testa om vattenst ndets s nkning i Sk lmaren under den aktuella m naden r signifikant. b) Ange en testvariabel och dess f rdelning under H 0. c) Genomf r testet p niv n α = a) Formulera H 0 och H f r att testa att vattenst ndets s nkning i Sk lmaren under den aktuellen m naden r signifikant. Betrakta differenser: Differenser N(dµ, σ 2 ) H 0 : dµ = 0 mot H : dµ > 0 b) Best m test statistik och deras f rdelning under H 0. t = dx s n, t f rdelad med 7 frihetsgrader c) Genomf ra test p niv n α = dx = 2.5, s = t = = 6.04 Kvantil =.86 t>.836. Man kan f rkasta hypotesen. 7. Vid en zoologisk institution vill man genomf ra studier av olika betenden hos den australiska jordekorren. Man uppr ttar d rf r en f rs ksg rd best ende av 5 f lt med ungef r samma jordm n, storlek och v xlighet. G rden r omg rdad av ett st ngsel ekorrar inskaffas och sl pps ut p g rden. Efter en tid har alla djuren anpassad sig till milj n och b rjar bygga bon. Dessa utg rs av jordh lor strax under markytan. Man vill unders ka om ekorren har n gon samh llsbildande instinkt och vill d rf r pr va hypothesen att de ekorrbona r likf rmig f rdelade ver f rs ksg rden. Man fann f ljande f rdelning: F lt nr Antal ekorrbon a) Genomf r ett test p niv n α =

5 b) R kningen f r f lt nr. 4 k nns os kert. Genomf r testet utan f lt nr.4. c) J mf r resultaten i a) och b) och f rs k att tolka. a)chi kvadrat test f r enkel hypotes. H 0 alla f lt har samma s. Antelet bon: = 25, p i = 5, np i = 25/5 = χ 2 = (40 )ˆ2 (36 )ˆ2 = α = 0.0Kvantil: χ 2, 4 frihetsgrader = > f rkasta hypotesen : 756 (30 )ˆ2 (66 )ˆ2 ( )ˆ2 b) Test utan f lt 4. H 0 alla f lt har samma s. n = = 49, p i = 4, np i = 49/4 = 49 4 = χ 2 = (40 )ˆ2 (36 )ˆ2 : 2. 56: α = 0.0Kvantil: χ 2, 3 frihetsgrader = <.345 inte f rkasta hypotesen (30 )ˆ2 ( )ˆ2 8. In en amerikansk l robok finns f ljande data. 8 vuxna personer valdes ut slumpm ssigt och kroppens fetthalt best mdes. Resultat: person lder fethalten person lder fethalten a) Rita in de observerade punkterna i ett diagram. Vad r x variabeln, vad r y variabeln? b) Anpassa en linj r regressionsmodell. Ber kna minstakvadratskattningar. c) Rita upp den anpassade regressionslinjen. d) Ber kna ett konfidensintervall f r β med konfidensgraden 95%. Tolka konfidensintervallet. Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) xx e-05 *** Signif. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * Residual standard error: on 6 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on and 6 DF, p-value: 8.93e-05 5

6 . 6