729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik Instruktioner Dessa uppgifter utgör del av examinationen i kursen 729G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt, dessutom skall du vara beredd på att redovisa dina lösningar muntligt vid ett tillfälle som meddelas senare. Lösningar till uppgifterna lämnas in skriftligt till Jody Foo i pappersform eller via e-post till jody.foo@liu.se senast kl 7:00 den 9 december 202. Eventuella frågor kring inlämningsuppgiften kan skickas till jody.foo@liu.se. Svar utan identitet på den som ställt frågan skickas till kurslistan. Hjälpmedel: Du får använda kursmaterialet som hjälpmedel. Varje uppgift har ett antal poäng och det totala antalet poäng är 22. För betyget GODKÄND krävs minst 8 poäng. Vid betyget UNDERKÄND ges möjlighet till komplettering. Personliga parametrar I uppgifterna används ibland personliga parametrar enligt nedan: D = entalet i dagen du är född, om det är 0 blir D =. D 2 = tiotalet i dagen du är född, samma som D om inget finns. Exempel: Om man är född den 29 december är D = 9 och D 2 = 2. Om man är född den 3 december är D = 3 och D 2 = 3. Om man är född den 0 december är D = och D 2 =. (9)
Uppgift (4 p) På ett universitet hålls undervisning i olika lokaler. Varje lokal har ett namn som innehåller bokstaven på det hus det ligger i, samt ett heltal, t.ex. W4. Det finns olika lokaltyper: föreläsningssal, grupprum och datorsal. Olika rum kan ha olika slags utrustning: whiteboard, OH-projektor, datorprojektor, datorer. Lokalerna finns i tre storlekar: liten, mellan och stor. I denna uppgift ska du definiera ett antal mängder som beskriver dessa lokaler. Nedan är beskrivet vilka krav som ställs på de mängder som du ska definiera. Ingen av de mängder du definierar får vara tom. F W F O F P F C F L F M F S G W G O G P G C G L G M G S D W D O D P D C D L D M D S Låt U = {W, W2, W3,..., W4, W5} där W-W5 är lokaler. a) Definiera mängderna F (föreläsningssalar), G (grupprum) och D (datorsalar) (dvs fyll dessa mängder med lokaler som uppfyller kraven ovan). F = {W, W 2, W 3, W 4, W 5 } G = {W 6, W 7, W 8, W 9, W 0 } D = {W, W 2, W 3, W 4, W 5 } Definiera sedan mängderna W (lokaler med whiteboard), O (lokaler med OHprojektorer), P (lokaler med datorprojektorer) och C (lokaler med datorer) (dvs fyll dessa mängder med lokaler som uppfyller kraven ovan). W = {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W 6, W 7, W 8, W 9, W 0, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } O = {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W 6, W 7, W 8, W 9, W 0 } P = {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } C = {W, W 2, W 3, W 4, W 5 } Definiera till sist mängderna L (lokaler av storleken liten), M (lokaler av storleken mellan) och S (lokaler av storleken stor) (dvs fyll dessa mängder med lokaler som uppfyller kraven ovan). (3 p) 2 (9)
S = {W, W 2, W 3, W 4, W 5 } M = {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } L = {W 6, W 7, W 8, W 9, W 0, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } Observera att M {F, D} då {F, D} = {{W, W 2, W 3, W 4, W 5 }, {W, W 2, W 3, W 4, W 5 }} b) Rita ett venndiagram som visar mängderna F, G, D, L, M och S. ( p) 3 (9)
Uppgift 2 (3 p) Uppgift 2 använder de mängder du definierat i uppgift. a) Beskriv mängden lokaler som antingen har storleken liten eller mellan. Skriv detta med den notation man använder i mängdläran. ( p) L M = {W 6, W 7, W 8, W 9, W 0, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } ={W, W 2, W 3, W 4, W 5, W 6, W 7, W 8, W 9, W 0, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } b) Beskriv mängden lokaler som både har OH-projektor och datorprojektor (båda ska vara sanna). Skriv detta med den notation man använder i mängdläran. ( p) O P = {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W 6, W 7, W 8, W 9, W 0 } {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } = {W, W 2, W 3, W 4, W 5 } c) Räkna ut mängden (W\P) (F M). ( p) (W\P) (F M) = ({W, W 2, W 3, W 4, W 5, W 6, W 7, W 8, W 9, W 0, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } \ {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W, W 2, W 3, W 4, W 5 }) ({W, W 2, W 3, W 4, W 5 } {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W, W 2, W 3, W 4, W 5 }) = ({W 6, W 7, W 8, W 9, W 0 }) {W, W 2, W 3, W 4, W 5, W, W 2, W 3, W 4, W 5 } = 4 (9)
Uppgift 3 (5 p) Låt A = {x: x N, x 5, x 0}. a) Räkna ut A A. ( p) A A = {(5, 5), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5, 0), (6, 5), (6, 6), (6, 7), (6, 8), (6, 9), (6, 0), (7, 5), (7, 6), (7, 7), (7, 8), (7, 9), (7, 0), (8, 5), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (8, 9), (8, 0), (9, 5), (9, 6), (9, 7), (9, 8), (9, 9), (9, 0), (0, 5), (0, 6), (0, 7), (0, 8), (0, 9), (0, 0)} b) Ge ett exempel på en relation R på A som är en ekvivalensrelation. Motivera varför den är en ekvivalensrelation. (2 p) En ekvivalensrelation är reflexiv, symmetrisk och transitiv. R uppfyller dessa krav. För alla x A, så gäller att xrx. För alla x, y A, om xry så måste yrx. För alla x, y, z A så gäller att om xry och yrz så ska xrz gälla. R = {(5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (0, 0), (5, 6), (6, 5) (6, 7), (7, 6) (5, 7), (7, 5)} c) Ge ett exempel på en relation R 2 på A som är en partialordning. Motivera varför den är en partialordning. (2 p) En partialordning är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv. R 2 uppfyller dessa krav. För alla x A, så gäller att xrx. För alla x, y A, så gäller att om xry så måste yrx. För alla x, y, z A så gäller att om xry och yrz så är xrz. R 2 = {(5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (0, 0), (5, 6), (6, 7), (5, 7)} 5 (9)
Uppgift 4 (2 p) Betrakta funktionen f(x) = 3x + x 2. Är den injektiv, surjektiv, eller bijektiv. Motivera varför. (2 p) För att svara på om den är injektiv, surjektiv eller bijektiv måste vi veta funktionens definitionsmängd och målmängd. Genom att sedan titta på funktionens värdemängd kan vi avgöra om den är injektiv, surjektiv och/eller bijektiv. Nedanstående graf gäller för f: R R. Funktionenens värdemängd innehåller inte värden mindre än -2,25. Alla värden i värdemängden -2.25 erhålls av två olika värden i definitionsmängden. Om vi antar att definitionsmängd och målmängd är mängden reella tal, är funktionen varken injektiv, surjektiv eller bijektiv. Givet en annan definitionsmängd och målmängd kan funktionen ses som surjektiv. 6 (9)
Uppgift 5 (5 p) Betrakta nedanstående graf där D och D 2 är dina personliga parametrar. E D 3 D 2 F D 4 A 3 2 B C a) Beskriv grafens nodmängd och dess bågmängd. Bortse från vikterna. ( p) V = {A, B, C, D, E, F} E = {{A, B}, {B, C}, {C, D}, {D, E}, {E, F}, {A, D}} b) Räkna ut graden av varje nod ( p) deg(a) = 3 deg(b) = 3 deg(c) = 2 deg(d) = 3 deg(e) = 2 deg(f) = 3 c) Är denna graf en sammanhängande graf? Motivera! ( p) Ja, det finns en väg mellan varje par av noder i grafen. 7 (9)
d) Hitta ett minimalt uppspännande träd för denna graf (2 p) För D = 4, D2 = Minimalt uppspännande träd: T = {{E, D}, {D, C}, {C, B}, {B, A}, {A, F}}. Trädet kan fås antingen genom att ta bort bågar, störst vikt först, givet att grafen är fortsatt sammanhängande. E 4 3 F D 4 A 3 2 B C 8 (9)
Uppgift 6 (3 p) a) Rita ett binärt sökträd för följande mängd {D, 5, 34, 35, 42, 5, 56, 68, 7, 86 }, där D är din personliga parameter. ( p) D = 4 5 34 68 5 35 56 86 4 7 b) Är trädet balanserat? Motivera varför/varför inte. (2 p) Ja. Alla löv finns på nivå h eller h-. h är höjden på trädet som är 3. Löven finns på nivå 2 eller 3. 9 (9)