Introduktion till formell logik

Introduktion till formell logik Annika Kanckos 2017 1 Introduktion Detta kompendium har utvecklats på basen av föreläsningar i grundkursen i logik. Kompendiet är en sammanfattning av materialet som presenteras på kursen och skall användas tillsammans med övrig fördjupande kurslitteratur och flitigt deltagande i övningstillfällen för att nå optimalt resultat. 2 Ett logiskt språk För att definiera ett formellt logiskt språk ger man ett alfabet för språket och en grammatik för väldefinierade ord i språket. Begreppen för ett formellt språk är valda för att likna ett vanligt språk. Alfabetet är en mängd med symboler och grammatiken beskriver hur man formar en sats av de givna symbolerna. Inom satslogiken består alfabetet av atomära satser p 0, p 1,..., q 0, q 1,... parenteser och de satslogiska konnektiven. De atomära satserna har ingen inre struktur, som kan analysers med hjälp av satslogiken. De är symboler som står för specifikt definierade eller godtyckliga satser beroende på kontexten. Konnektiven binder ihop atomära satser till sammansatta satser. En formel är en godtycklig rad symboler ur det formella språkets alfabet. En sats i det formella språket är en rad symboler som är organiserade enligt reglerna för det formella språket; dess grammatik. Atomära satser är de minsta beståndsdelarna som inte kan analyseras med språket. De atomära satserna bildar sammansatta satser enligt de grammatikaliska reglerna. För att förstå hur konnektiven används och lära sig representera vanliga meningar med satslogik, så kan man använda sig av ett halvformaliserat 1

språk. 2.1 Exempel. Den svenska meningen Det regnar och blåser är en konjunktion och kan formaliseras genom att ersätta och med en symbol: Det regnar det blåser. Satsen det regnar kan inte analyseras inom satslogiken. Den är en atomär sats. De stora bokstäverna A, B, C,... är satsvariabler. De används som del av en sats för att beteckna godtyckliga satser av en viss form. Man kan substituera varje förekomst av en satsvariabel med en vald sats och få en instans av den generella satsen. 2.2 Exempel. Satsen A B betecknar en godtycklig konjunktion. Man kan substituera satsvariablen A med satsen p 0 p 1 och B med p 0 och få den sammansatta satsen (p 0 p 1 ) p 1 som en instans av konjunktionen. 3 De satslogiska konnektiven De satslogiska konnektiven är formellt definierade symboler som sammanbinder satser. De satslogiska konnektiven varierar i antal, eftersom man beroende på systemet kan definiera ett konnektiv med hjälp av andra konnektiv. Traditionellt är de primitiva konnektiven konjunktion, disjunktion och implikation. Negation används ofta som ett definierat konnektiv. Ett konnektiv definieras med hjälp av deras användning i härledningar eller med hjälp av sanningstabeller. Enligt den så kallade Brouwer-Heyting- Kolmogorov tolkningen ges en definition av vad det innebär att bevisa en sats av en given formel. På basen av formelns form (konjunktion, disjunktion, implikation) ges kriterier för hur satsen bevisas. Konjunktionen betecknas med eller &, disjunktionen med och implikationen med eller. I en konjunktion A B kallas A och B för konjunkter. I en disjunktion A B kallas A och B för disjunkter. I en implikation A B kallas A förleden och B slutleden av implikationen. För att bilda Används symbolen Placering Utläses negation A Det är inte fallet att A konjunktion A B A och B 2

disjunktion A B A eller B implikation A B Om A, så B ekvivalens A B A om och endast om B 3.1 Definition. Enligt Brouwer-Heyting-Kolmogorov tolkningen är ett bevis för en konjunktion ett par bevis som separat bevisar vardera konjunkt. Ett bevis för en disjunktion är ett par där den första delen är 0 eller 1. Om den första delen är 0 är den andra delen av paret ett bevis för den första disjunkten och om den första delen är 1 är den andra delen av paret ett bevis för den andra disjunkten. Ett bevis för en implikation är en funktion som omvandlar ett bevis för förleden till ett bevis för slutleden av disjunkten. Tolkningen ger en motivering för introduktionsregler för konnektiven. 3.1 Definierade konnektiv Vi kan välja att låta en del konnektiv vara primitiva och andra definierade. Senare kommer vi att låta negation, A, definieras med A, där är symbolen för falsum, som är en konstant falsk sats eller en motsägelse. Negationen av A betyder då att antagandet A leder till en motsägelse. Ekvivalens, A B definieras som är en förkortning av satsen (A B) (B A). 3.2 Parenteser En parentes binder ihop en sats och visar att vi läser hela parentesen innan vi läser det som finns utanför parentesen. Det som finns innanför parentesen binder så att säga starkare än det som finns utanför parentesen. Huvudregeln när det gäller parenteser är att de sätts ut omkring en sats som bildats genom användning av ett binärt konnektiv (dvs. konjunktion, disjunktion, implikation och ekvivalens), när den ingår som en del av en större sats. När en sats innehåller flera delsatser är det genom användningen av parenteser som satsen får en entydig betydelse. Ett negationstecken sträcker sig över ett så litet område som möjligt. Om en negation skall sträcka sig över en sats som har delsatser, så sätter man ut en parentes runt satsen som negeras. 3

Det yttersta konnektivet i satsen, det så kallade huvudkonnektivet, bestämmer om satsen har formen av en negation, konjunktion, disjunktion, implikation eller ekvivalens. 3.2 Exempel. Exempelsats: (Det snöar i Helsingfors Bussarna är försenade) (Det snöar Bussarna kommer i tid). 3.3 Exempel. Satser får olika betydelse beroende på parentesanvändningen. Med parentes: (Lampan är hel sladden är hel) Det är inte så att både lampan är hel och sladden är hel. Utan parentes: Lampan är hel sladden är hel Lampan är inte hel och (men) sladden är hel. Betydelseförändringen kan jämföras med skillnaden mellan (3 + 4) och 3 + 4. Om A, B och C är satser är de båda satserna (A B) C och A (B C) likvärdiga. Vi kan därför utelämna parenteser i en sådan itererad konjunktion. A B C Vi använder en förenklingsregel som säger att: Parenteserna kring en konjunktion som ingår i en annan konjunktion kan utelämnas. För att spara parenteser vilket gör satserna lättare att läsa, så inför vi en konvention att konnektiven konjunktion och disjunktion binder starkare än implikation och ekvivalens. Med andra ord är satserna (A B) (C D) och A B C D likvärdiga. Förenklingsregel: Parenteserna kring en konjunktion eller disjunktion som ingår som led i en implikation eller ekvivalens kan utelämnas. Vi kan jämföra detta med att multiplikation och division binder starkare än addition och subtraktion. Exempelvis är (3 5) + (6 : 2) och 3 5 + 6 : 2 likvärdiga. Parenteser utelämnas runt multiplikationer och division om de är en del av en addition eller subtraktion. 4

4 Sanningstabeller Sanningstabeller är en metod för att avgöra formella satsers sanningsvärde. Genom att lista alla möjliga kombinationer av sanningsvärden för delsatser kan sanningsvärdet för en större sats avgöras. Listan görs i form av en tabell och där den större satsens sanningsvärde ges på basen av regler. Reglerna säger i vilka fall en sats är sann respektive falsk på basen av delsatsernas sanningsvärden. Resultatet är en kolumn i tabellen där satsens sanningsvärden i de olika fallen listas. Noteras bör att när man väl lärt sig reglerna för sanningstabeller, så är sanningsvärdets avgörande fullständigt mekaniskt. Man behöver inte själv fatta några beslut eller göra något val som kan leda till olika resultat, utan resultatet är detsamma oberoende av den person som utför uppgiften. De facto kan uppgiften även mekaniseras, dvs. utföras av en dator, som tar som input den sats vars sanningsvärden skall undersökas och som output ger en sanningstabell (se till exempel en Truth table generator http://mrieppel.net/prog/truthtable.html). Ludwig Wittgenstein betecknas ofta som uppfinnaren av sanningstabeller i sin Tractatus Logico- Philosophicus publicerad 1921 även om det exempelvis finns omnämnt tidigare i en artikel om satslogik av Emil Leon Post. Wittgenstein kan ändå anses vara den som populariserade sanningstabellerna. Reglerna för hur en sammansatt sats tilldelas sanningsvärden kan sammanfattas i tabellform. Tabellerna är så kallade sanningstabeller. Atomära satser antas tilldelas sanningsvärden enligt en sanningstilldelning. Sanningstilldelningen är en funktion, som tar en sats som argument och ger ett sanningsvärde som funktionsvärde. Sanningsvärdet är antingen sann (s, 1) eller falsk (f, 0). P Q P Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 P Q P Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 5

P P 0 1 1 0 P Q P Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 P Q P Q Q P (P Q) (Q P ) 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 På basen av reglerna kan man göra en sanningstabell för komplicerade satser. Sanningstabellen görs genom att identifiera delsatser vars sanningsvärde kan avgöras på basen av de givna värdena. Sedan kan processen genomföras igen och man väljer en ny delsats vars delsatsers sanningsvärden redan avgjorts. Under processens gång listas delsatsens sanningsvärden som en kolumn under konnektivet. Slutresultatet indikeras genom att man ringar in kolumnen där slutvärdena finns. En utmaning med sanningstabeller är sanningstabellen för en implikation. Den kan memoreras, men en djupare förståelse och motivering för de värden som implikationen får i de olika fallen saknas ofta. En förklaring till tabellen som ger värdet sann i alla fall där förleden av implikationen är falsk är att: En implikation är falsk om förleden är sann och slutleden falsk, i alla andra fall är implikationen sann. En det är alltså tydligt när en implikation är falsk och sanning definieras som dess komplement. 4.1 Exempel. Vi visar ett exempel med en sanningstabell för en sammansatt 6

formel (P Q). P Q Q P Q (P Q) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 Värdena 0 och 1 som listas i sanningstabellen kallas sanningsvärden. Traditionellt finns det inget utrymme för mångtydighet i språket eller vaghet eftersom det enbart finns två sanningsvärden. En sats är antingen sann eller falsk och inget däremellan. Det finns andra former av logik som använder fler sanningsvärden eller rent av ett kontinuum av sanningsvärden, ex. suddig logik (eng. fuzzy logic). En sanningstilldelning är en rad i sanningstabellen där varje atomär sats tilldelas ett sanningsvärde och varje formel kan tilldelas ett sanningsvärde på basen av delsatsernas sanningsvärden. En sanningstilldelning kan också beskrivas som en funktion, som tilldelar varje sats ett sanningsvärde. 4.2 Definition. En formel är en tautologi om den är sann under varje sanningstilldelning. En formel är kontingent om den får båda sanningsvärden under olika sanningstilldelningar. 4.1 Övriga konnektiv Man kan fråga sig varför vi använder just de konnektiv som är givna? Svaret är att det är en konvention vilka konnektiv som man använder. För varje möjlig kombination av sanningsvärden kan man definiera ett konnektiv. Dessa nya konnektiv kan också uttryckas som en kombination av de kända konnektiven. Med exempelvis negation och konjunktion kan man uttrycka alla andra möjliga konnektiv. Vi kallar detta för att negation och konjunktion är en fullständig konnektivmängd. Med dessa konnektiv kan man uttrycka alla 16 kombinationer av sanningsvärden för ett binärt konnektiv. Ytterligare konnektiv som kan nämnas är Pierces nål ( ) och Sheffers streck ( ). 5 Naturlig deduktion för satslogik Naturlig deduktion är ett logiskt system för härledningar som ger regler för varje konnektiv. Historiskt utveklades reglelsystemet för att ersätta ett ax- 7

iomatiskt härledningssystem som endast har en regel för implikationseliminering som tillämpas på axiom. Till skillnad från det axiomatiska systemet strävar naturlig deduktion efter att efterlikna naturliga och alldagliga resonemang. Naturlig deduktion har oberoende utvecklats av den tyska logikern Gerhard Gentzen och den polske logikern Stanislaw Jaśkowski. Gentzen publicerade sin avhandling Untersuchungen über das logische Schliessen (Underökningar av logisk härledbarhet) år 1934 35 med en presentation av naturlig deduktion i dess moderna form. 5.1 Introduktions- och elimineringsregler Naturlig deduktion för satslogik består av introduktionsregler och elimineringsregler för varje konnektiv. Utöver det finns vissa variationer av system med negation som definierat eller primitivt begrepp och en eventuell regel för klassisk logik. Därmed kan man urskilja tre former av system; minimal logik, intuitionistisk (eller konstruktiv logik) samt klassisk logik. Minimal logik utökad med en regel för falsum eliminering ger intuitionistisk logik och intuitionistisk logik med en klassisk regel ger klassisk logik. Ju fler regler man lägger till, desto fler formler kan man härleda. Man säger att den klassiska logiken är starkare än den intuitionistiska och den intuitionistiska logiken är starkare än den minimala. Rent generellt är ett system starkare om man kan härleda formlerna i det svagare systemet, men även ytterligare formler. 5.2 Linjära härledningar och trädhärledningar Naturlig deduktion är ett system som kan betecknas på åtminstone tre olika sätt; linjära härledningar (Prawitz, 2010), trädhärledningar (von Plato, 2014) och sekvenskalkylstil. Linjära härledningar görs stegvis och argumentationen är en lista av formler som härleds på basen av tidigare konstaterade formler i listan. Listan kan vara numrerad för att underlätta hänvisningar och varje formel kan förknippas med en förklaring, som betecknar hur man motiverar formelns introduktion i listan. Motiveringen kan konkret vara exempelvis antagande eller härledd från rad 1 och 2 med konjunktions introduktion. Regeln betecknas med symbol för konnektivet följt av ett I för introduktion eller ett E för eliminering. 5.1 Exempel. Bevis att en motsägelse följer från A B, B och A: 1. A B antagande 8

2. B antagande 3. A antagnade 4. B från 1 och 3, E 5. B B från 4 och 2, I Implikationer behandlas i linjära härledningar genom att man gör ett hypotetiskt antagande, som består av implikationens förled, medan man konstaterar att en härledning av slutleden är ens mål. Sedan görs härledningen som vanligt tills man kommit fram till målet. Då innesluter man härledningen från det hypotetiska antagandet till målet med en linje som avslutar det hypotetiska antagandet och binder allt mellan antagandet och målet. Inga antaganden gjorda mellan linjerna kan avslutas i en giltig härledning. Detta regleras med en regel för härledningar som säger att linjer för hypotetiska härledningar inte får korsa varandra. Man får inte utanför linjerna heller hänvisa till en premiss som antagits eller härletts mellan linjerna, eftersom denna formel kan bero på det hypotetiska antagandet som avslutats. Vi visar metoden genom ett exempel. 5.2 Exempel. Ett exempel i systemet är en härledning av formeln A (B A B): 1. A hyp. ant., mål: B A B 2. B hyp. ant., mål: A B 3. A B 1, 2, I 4. B A B 2 3, I 5. A (B A B) 1 4, I Trädformen på härledningar är ett ekvivalent system som omorganiserar ett linjärt tankesätt till ett härledningsträd. Trädet har en rot, dess slutsats, och från denna formel förgrenar sig trädet med härledningsregler och enkla eller multipla premisser. Formler i ett härledningsträd placeras, så att premisserna av en regel finns ovanför slutsatsen. Varje formel är antingen ett antagande eller slutsatsen av exakt en regel. Varje fomel, förutom slutsatsen av hela härledningen är premiss i exakt en regel. På detta sätt konstrueras ett träd med grenar som utvidgas uppåt. I trädform är det lättare att behandla disjunktioner och sådan argumentation som sker i olika fall. Denna form av argumentation sker vanligtvis parallellt och inte linjärt. Normalformen av härledning blir också lättare att behandla i trädform. 9

Notationen A 0,..., A n A betyder att satsen A är härledbar från premisserna A 0,..., A n. 5.3 Exempel. Vi härleder A (B A) i trädform. 1 A B A I A (B A) I,1 Ett träd växer naturligt från slutsatsen till premisserna, som bildar trädets krona. Problemet är att härledningarna konstrueras från premisserna och nedåt mot slutsatsen. För att lösa detta problem har vi hjälp av de linjära härledningarna, som skissar argumentationen, och sedan kan översättas till trädform (se figur 1 och (von Plato, 2014) för ytterligare exempel). Figur 1: Metod för konstruktion av härledningsträd från linjära härledningar 1. Skriv ner slutformeln med en linje ovanför den. 2. Skriv brevid linjen vilken regel som användes för att härleda formeln. Om regeln var regeln var I, skriv numret på raden med det avslutade hypotetiska antagandet brevid regeln i härledningsträdet. 3. Skriv ovanför linjen, från vänster till höger de formler som var premisser för slutsatsen. Om regeln var I, skriv implikationens slutled ovanför linjen. 4. Upprepa stegen ovan tills du når antaganden. Om antagandet var hypotetiskt, skriv antagandets nummer brevid. 5.4 Exempel. Vi gör ett härledningsträd. A B B A A B A B B E A B A 10 I E

Härledningen består av grenar. En gren är en stig från ett antagande ner till slutsatsen. Premisserna står ovanför härledningslinjen och slutsatsen under linjen. Ovanför de avslutade antagandena står ett nummer som visar vid vilken regel antagandet har avslutats. Som i linjära härledningar analyserar man antaganden och komponerar ihop slutsatsen av elementen. Härledningen har antaganden följda av elimineringsregler, som analyserar antaganden i mindre komponenter. Sedan följer introduktionsregler som syntetiserar, eller sätter ihop, de mindre komponenterna till den sökta slutsatsen. Då man i en linjär härledning hänvisar till vilka rader i härledningen som premisserna finns på, så bygger man in ett tvådimensionellt härledningsträd i den en-dimensionella linjära härledningen. All information som behövs för att konstruera ett härledningsträd finns alltså redan i en linjär härledning. Ordningen av stegen i den linjära härledningen försvinner i trädet och därför kan två likvärdiga men olika linjära härledningar motsvara samma härledningsträd. 6 Regler för minimal satslogik Negation är ett defnierat begrepp med A A. Ekvivalens är ett defnierat begrepp med A B (A B) (B A). I Implikationsintroduktionsregeln kan ett godtyckligt antal kopior av det hypotetiska antagandet avslutas. De avslutade antagandena kan vara 0, 1 eller flera. Hänvisningen vid introduktionsregeln till vilka antaganden som avslutas måste ändå vara unikt för varje förekomst av implikationsregeln. Detta kriterium gör det entydigt vilka antaganden som är bundna till vilken regel. Vilka kopior av ett antagande som avslutas kan göra skillnad mellan en giltig härledning och ett felaktigt bevis. Det som har betydelse är vilka antaganden som är öppna i en delhärledning. Öppna antaganden är antaganden som slutsatsen beror på. Slutna eller hypotetiska antaganden är avslutade med en regel som indikeras med en siffra ovanför antagandet. Vi är fria att börja en härledningsgren från en formel som är ett öppet eller hypotetiskt antagande. 11

Figur 2: Regler för minimal satslogik A B A B I A B A B A E B E A A B I B A B I A B [A]. C C [B]. C E [A]. B A B A A B I B E 6.1 Argumentation med flera fall Vi har nu målet att lägga till disjunktionsregler till vårt system av naturlig deduktion. Med detta tillägg får vi ett system som kallas intuitionistisk satslogik. Namnet härstammar från Brouwers intuitionistiska logik på 1920- talet, som var en version av konstruktiv matematik. För att eliminera en disjunktion argumenterar man i två fall. Man antar den ena disjunkten och argumneterar till en slutsats. Om man sedan kan argumentera till samma slutsats från den andra disjunkten, så kan vi dra slutsatsen från disjunktionen. 6.1 Exempel. Exempel på härledning med disjuktionsregler: Visa att A B B A [A] 1 [B] 1 A B B A I 2 B A I 1 E,1 B A 6.2 Exempel. Exempel på härledning med disjuktionsregler: Visa att (A C) (B C) A B C 12

(A C) (B C) A C E 1 [A] 1 [A B] 2 C C A B C I,2 E (A C) (B C) B C E 2 [B] 1 C Den omvända härledbarhetsrelationen gäller också. A B C (A C) (B C) Vi får att formlerna A B C och (A C) (B C) är logiskt ekvivalenta. Som ett specialfall om vi ersätter C med, får vi att (A B) A B Detta visar att om det finns en disjunktion i förleden kan man ersätta formeln med annan formel som inte innehåller disjunktion. E,1 E 7 Regler för intuitionistisk satslogik Intuitionistisk logik består av reglerna för minimal logik och regeln för falsum eliminering. C E Falsum är en nollställig logisk konstant. Det betyder att det är ett konnektiv som inte behöver specificera några delsatser för att bli en välformulerad logisk sats. Falsumsymbolen är alltså en logisk sats i sig själv. Falsum är alltid falsk och kan inte under någon sanningstilldelning bli sann. Falsum är således en symbol som kan behandlas likvärdigt med en falsk ekvation, såsom 0 = 1. Falsum kan ändå användas mer generellt, även om man inte inkluderat konstanter såsom 0 och 1 eller likhetstecknet = i sitt formella språk, så kan man använda falsum. Regeln för falsumeliminering härleder från falsum en godtycklig sats. Detta innebär att man tillåts härleda vad som helst om man kommer fram till en kontradiktion. Då man utvidgar den minimala logiken med regeln för falsumeliminering blir nya satser härledbara som inte kan härledas inom minimal logik. Till exempel är implikationen (A A) B inte härdledbar inom minimal logik, men nog härledbar inom intuitionistisk logik. 13

8 Regler för klassisk satslogik Klassisk logik är en utvidgning av intuitionistisk logik. Den klassiska logiken kallas klassiskt eftersom det är det härledningssystem som oftast används inom matematiken. Matematiker använder ofta klassiska element i sin argumentation och kan göra detta utan reflektion över sina antaganden. Inom matematiken finns ändå en stark konstruktiv skola med matematiker som betonar den konstruktiva logikens mervärde. Skillnaden mellan klassisk och konstruktiv, eller intuitionistisk logik är att den klassiska logiken tillåter indirekta bevis. Ett indirekt bevis innebär att man visar att motsatsen av ett teorem är omöjlig och drar slutsatsen att teoremet gäller. Indirekta bevis kan inkludera bevis där man utesluter alla andra möjligheter än att teoremet är giltigt. En reaktion på ett klassiskt giltigt bevis kan vara att man upplever att behandlingen av själva teoremet är bristfälligt eftersom man behandlar alla andra möjligheter för att utesluta dem, men inte behöver säga något om teoremet självt. Den konstruktiva logiken å andra sidan måste ge ett direkt bevis för teoremet och ge instanser och identifiera fallet som verkligen gäller. Detta ger ett mervärde för den konstruktiva logiken. Specifikt kan man om man bevisat en disjunktion A B konstruktivt slutgiltigt identifiera vilken disjunkt som gör disjunktionen sann. Detta gäller inte för klassiskt bevisade disjunktioner. Även om man kan bevisa fler disjunktioner med den klassiska logiken, så kan man inte längre utvinna samma information om disjunktionen, som inom den konstruktiva logiken. Ett exempel på en disjunktion som endast är härledbar inom klassisk logik är A A. Disjunktionen kallas generellt för lagen av det uteslutna tredje. Det betyder att disjunktionen är klassiskt härledbar för varje formel. Inom intuitionistisk logik kan disjunktionen vara härledbar i vissa specialfall om A ersätts med en formel som är speciell ur konstruktiv synvinkel. Inom klassisk logik kan man definiera en regel som är baserat på härledbarheten av lagen av det uteslutna tredje. Regeln fungerar som en disjunktionseliminering där man utan att specificera antagandet av disjunktionen argumenterar i två fall. Man kan alltså eliminera disjunktionen utan att härleda den som en premiss för regeln. Regeln betecknas EM för den engelska motsvarigheten Excluded Middle. Det finns även andra ekvivalenta härledningsregler för klassisk logik. Reglerna är lika starka som EM-regeln och samma formler är härledbara inom de olika varianterna av klassisk logik, oberoende av vilken klassisk regel som 14

används. En standard regel som man möter inom litteraturen är Reductio ad absurdum dvs. regeln för indirekt bevis. Regeln argumenterar från negationen av den formel man vill härleda till en kontradiktion i form av falsum. Sedan avslutas det negativa antagandet och man härleder formeln själv. En tredje klassik regel är dubbelnegationselimineringen som från dubbelnegationen av en formel sluter sig till formeln själv. Figur 3: Regler för klassisk satslogik Klassisk logik består av reglerna för intuitionistisk logik och en av följande regler (dubbelnegationseliminering, reductio ad absurdum, excluded middle). A A E [A] 1. C [ A] 1. A RAA,1 C [ A] 1. C EM,1 9 Sanningstabeller och härledbarhet Sanningstabeller är en bekväm form för att avgöra om en formel är härledbar i klassisk satslogik. Det är nämligen så att en formel är härledbar om och endast om formeln är den en tautologi, dvs. sann under varje sanningstilldelning. Man behöver alltså inte ge en härledning för att visa att en sats är härledbar. Det räcker att göra en sanningstabell, tolka resultatet och hänvisa till fullständighetsteoremet. 9.1 Teorem (Fullständighetsteoremet). En formel är härledbar i klassisk satslogik om och endast om den är en tautologi. 15

Även i de fall en sats inte är härledbar kan det visas med en sanningstabell. Om formeln är falsk under någon sanningstilldelning betyder det att hur man än försöker, så kommer man inte att hitta en härledning för formeln. Ett annat sätt att bevisa att en formel inte är härledbar är att visa att härledningen måste ha en sådan form som inte är möjlig att konstruera. Vanligtvis använder man inte i ett sådant fall naturlig deduktion, utan ett annat system, sekvenskalkyl, som lämpar sig för bevissökning. Vi kommer inte att behandla sekvenskalkylen under denna kurs. Vi har redan konstaterat att sanningstabeller är en rent mekanisk metod som kan avgöra om en sats är en tautologi. Om det alltså är så att fullständighetsteoremet visar att härledbarhet är likvärdigt med sanningstabellsbegreppet, så betyder det att även görandet av härledningar inom klassisk satslogik kan mekaniseras. Det finns därför härledningsgeneratorer på internet (se till exempel natural deduction calculator for propositional logic http://teachinglogic.liglab.fr/dn/). 10 Hur tillämpar man formell logik? 10.1 Matematiska härledningar Ett formellt system som klassisk satslogik kan användas för att formalisera en del av matematiken. Man kan utvidga det logiska systemet med matematiska regler och undersöka härledbarhet inom det matematiska systemet. Ett exempel är att parallellpostulatet i Euklidisk geometri kan bevisas vara oberoende av de övriga geometriska axiomen genom att undersöka möjliga härledningar av postulatet och utesluta alla möjligheter (se (von Plato, 2010)). Traditionellt har postulatet visats vara oberoende av de övriga axiomen genom att man konstruerat icke-euklidiska modeller som gör övriga axiom förutom parallellpostulatet sanna. 10.2 Normalisering Ett viktigt begrepp inom logiken är normalisering av härledningar. Härledningar visas genom normaliseringsteorem kunna omvandlas till en standardform som har en specifik struktur. Om man hänvisar till normaliseringsteoremet kan man sedan begränsa sin behandling av härledningar till normala härledningar, som är välstrukturerade. Man kan då utesluta vissa fall eller 16

kombinationer, som kan förekomma i en godtycklig härledning. Det blir då enklare att bevisa härledbarhet eller icke-härledbarhet. 11 Predikatlogik Såhär långt har vi behandlat satslogik i olika former; minimal, intuitionistisk och klassisk logik. En brist i det satslogiska språket är att det finns satser som helt tydligt innehåller logisk struktur, men som satslogiken inte förmår analysera. 11.1 Exempel. Satsen Alla björkar är träd kan inte analyseras med satslogiken, utan är satslogiskt en atomär sats. Vi kan utvidga det satslogiska språket genom att introducera predikatlogik. I predikatlogiken har atomära satser en inre struktur. De kan vara egenskaper eller relationer som är beroende av ett respektive flera argument. Vi betecknar detta med att inom en parentes specificera vilka variabler som en atomär sats beror på. 11.2 Definition. Det predikatlogiska språket består av atomära satser, P (x), Q(x, y),..., med inre struktur. De atomära satserna bildas med parenteser, en oändlig mängd variabler, konstanter och predikatsymboler. Förutom detta hör de satslogiska konnektiven till språket och två kvantifikatorer, universalkvantorn och existenskvantorn. För kvantifikatorerna använder vi inverterade A respektive E som symbol. Bokstäverna står för de engelska orden All och Exists. Varje kvantifiering sker över en definitionsmängd. Definitionsmängden är en mängd D för vilket man tar en individ (ett objekt) och undersöker om ett predikat gäller. 11.3 Exempel. Exempel på predikatlogiska satser är x(p (x) Q(x)) och P (x, y) yq(x, y). Formeln xp (x) kan utläsas som varje x är P (x) eller Alla x har egenskapen P (x). Formeln xp (x) kan utläsas som det finns ett x så att P (x) eller P (x) gäller för något x. Kvantorerna binder de förekomster av en kvantifierad variabel som följer kvantorn. Efter kvantorn följer den kvantifierade variabeln och en formel där den variabel som kvantifieras kan förekomma. I formeln yq(x, y) kvantifieras variabeln y och den förekomst av y som nämns i Q(x, y) är bunden av 17

variabeln. Den variabel eller variabelförekomst som inte binds av en kvantor är en fri variabel. 11.4 Exempel. I formeln x(p (x) Q(x)) är båda förekomster av variabeln x bundna. I formeln P (x, y) yq(x, y) är den första förekomsten av y, dvs P (x, y), medan den andra förekomsten i Q(x, y) är bunden av existenskvantorn. Alla förekomster av variabeln x är fria. 11.1 Härledningar i predikatlogik På samma sätt som det finns olika system för satslogik finns det olika system för predikatlogik; minimal, intuitionistisk och klassisk predikatlogik. Systemen består av de regler som redan givits för respektive satslogiska system och regler för kvantifikatorerna. Vi har introduktions respektive elimineringsregler för vardera kvantor (se figur 4) Notationen A[y/x] respektive A[t/x] betecknar att variablen y respektive termen t har substituerats för varje förekomst av x i formeln A(x). Detta innebär att man med A[y/x] betecknar en formel där man bytt namn på variabeln x och istället betecknar variabeln med y. Namnbytet på variabeln görs för att betona att vi har en specifik egenvariabel. Figur 4: Regler för predikatlogik Γ. A[y/x] xa I A[t/x] xa I xa xa A[t/x] E 1 [A[y/x]], Γ C. C E,1 För att användningen av reglerna I och E skall vara giltig finns det ett variabelkriterium som begränsar hur man använder reglerna. Variabelkriteriet för universalintroduktionsregeln är att egenvariabeln inte skall förekomma fri i något antagande som premissen beror på. Dvs. i Γ skall y inte förekomma 18

fri. Begränsningen innebär att ingenting extra har antagits gälla specifikt för variabeln, den står för en godtycklig individ. Motsvarande variabelkriterium gäller för existenselimineringsregeln. Egenvariabeln inte skall förekomma fri i något annat antagande som premissen beror på än det hypotetiska antagandet, A[y/x]. Egenvariabeln skall inte heller förekomma fri i regelns slutsats C. För att inte blanda ihop egenvariablerna i en härledning med varandra kan man tillämpa principen att varje regel i härledningen (som använder egenvariabler) skall ha en unik egenvariabel. 11.5 Exempel. Om vi har en formel med två universella kvantifikatorer kan vi byta deras ordning. Det samma gäller för existentiell kvantifiering. x ya(x, y) ya(x, y) E A(x, y) E 2 [ ya(x, y)] xa(x, y) I x ya(x, y) y xa(x, y) I y xa(x, y) 11.2 Aristoteles syllogismer y xa(x, y) 1 [A(x, y)] xa(x, y) I y xa(x, y) I En syllogism är en slutledningsregel där man från två premisser drar en slutsats. Begreppet härstammar från Aristoteles, som anses ha genomfört den första studien i logik. Aristoteles lära om syllogismer ingick länge tillsammans med Euklides geometri i den västerländska undervisningen som ett standardelement. Idag har syllogismen ett historiskt intresse och illustrerar grundläggande härledningar. E,2 11.6 Exempel. Exempel på en syllogism är följande resonemang: Premiss: Alla A är B. Premiss: Alla B är C. Slutsats: Alla A är C. Syllogismerna kan formuleras med hjälp av predikatlogik. 11.7 Exempel. Vi formulerar syllogismen från exempel 11.6 som en predikatlogisk regel. x(a(x) B(x)) x(b(x) C(x)) x(a(x) C(x)) 19 E,1

11.8 Exempel. Vi kan härleda denna syllogism i vårt system för predikatlogik: x(a(x) B(x)) E 1 x(b(x) C(x)) A(x) B(x) A(x) E E B(x) C(x) B(x) E C(x) A(x) C(x) I,1 x(a(x) C(x)) I 12 Paradoxer I nationalencyclopedin står om paradoxer: Påstående, ofta i komprimerad form, som innebär en motsägelse mot vanlig uppfattning men kan innehålla en djupare sanning. Paradoxer som uppkommit genom tillämpning av ett antal principer vilka var för sig förefallit rimliga, men som tillsammans lett till ett resultat som stridit mot rådande föreställningar, har spelat stor roll inom filosofi och vetenskap. De har ofta lett till en revision av etablerade uppfattningar eller till en mer omsorgsfull formulering av grundläggande principer. Paradoxer i formella system visar att från antaganden kan vi härleda en sats och dess motsats. Om vi hittar en paradox i ett formellt system, så kan systemet kräva att vi ändrar ett antagande men felet kan också kräva att man modifierar en regel i systemet. En motsägelse beror alltså på härledningssystemet eller antagandena. En lösning på paradoxen kan alltså vara att man visar att det finns fel i våra slutledningsregler. Om vi härlett en motsägelse utan antaganden, betyder det att motsägelsen är ett teorem i systemet. Motsägelsen visar att systemet är inkonsistent. I så fall är det axiomen i teorin eller dess slutledingsregler som leder till en inkonsistens. 12.1 Konsistensbevis Ett konsitensbevis är ett matematiskt bevis att ett specifikt system är konsitent. Bevisteorin, som är den syntaktiska delen av logiken och behandlar 20

bevisbarhet och härledningars struktur, utvecklades för att lösa frågor om matematikens grundvalar. Specifikt fanns ett intresse för att ge konsistensbevis för de grundläggande teorierna inom matematiken och logiken. Under 1920-talet utvecklade logikern David Hilbert ett program för matematikens grundvalsforskning som gav målen för det kommande århundradets matematiska forskning och specificerade de viktigaste olösta problemen. Programmet specificerade även vilka bevismetoder som kan anses vara pålitliga och efterlyste konsistensbevis för grundläggande matematiska teorier gjorda med dessa metoder. De metoder som definierades som pålitliga kallades finitistiska (ändliga) metoder. Logikern Kurt Gödel visade att Hilberts program inte kunde uppfyllas eftersom han visade att finitistiska och absoluta konsistensbevis är omöjliga. Logikern Gerhard Gentzen utvecklade ett antal logiska system, som naturlig deduktion och sekvenskalkylen. Han gav ett relativt konsistensbevis för aritmetiken. Aritmetiken är systemet för naturliga tal och analysen är systemet för de reella talen. Detta är två grundläggande system, som används som bas när andra system inom matematiken byggs upp. Analysen har inte ännu till denna dag bevisats vara konsistent. Samtida matematiker försöker utvidga Gentzens metoder för att ge konsistensbevis för analysen eller axiomatisk mängdlära (ZFC). Men ännu finns det inget bevis för ett komplett system, utan enbart för delsystem. Tron på att matematikens grundvalar (ZFC) är konsistenta, grundar sig på att delsystemens konsistens bevisats och på trovärdigheten hos vardaglig användning av matematiken. Dvs. vi har inte ännu, trots långvarig användning av systemet, hittat någon motsägelse i systemet. 12.2 Relativa konsitensbevis Gödel visade i sitt ofullständighetsbevis att man inte kan bevisa ett systems konsistens i systemet självt. Detta förutsatt att man kan formalisera en viss del av aritmetiken inom teorin. Detta betyder att man för att bevisa ett systems konsistens behöver göra tilläggsantaganden. Konsitensbevisen är alltså relativa. Man bevisar systemet T:s konsistens i ett annat system S. Detta betyder att man antar att sytemet S är konsitent för att bevisa att systemet T är konsistent. Om S inte är konsistent, så följer vad som helst ur detta system, specifikt även T:s konsistens. Varje gång man utvidgar ett system med nya axiom eller metoder för bevisföring måste även konsistensbeviset utvidgas för teorin. Vi måste alltså 21

hela tiden göra nya konsistenbevis för de teorier vi använder om vi modifierar teorin och de konsistensbevis vi åstadkommer är ändå aldrig absoluta utan beror på att metoderna vi använt i konsistenbeviset själva är konsistenta. 12.3 paradoxer Om vi vill argumetera för att en paradox i ett system enbart beror på att våra antaganden är felaktiga och att vi med en korrigering av antagandena undviker kontradiktioner, så bör vi ändå tro på att själva härledningssystemet är konsistent. Om vi betraktar exempel på klassiska grekiska paradoxer, som inte baserar sig på kompletta formella system, utan karakteriseras av oformaliserade argument, kan vi trots allt använda matematik för att ge en lösning. Vår första uppgift då vi tacklar en paradox är att beskriva paradoxen med hjälp av ett matematiskt språk och vår andra uppgift att beräkna lösningen på problemet. 12.4 Zenons paradoxer 400-talet f.kr. Zenons paradoxer är ett antal paradoxer som behandlar tids-, rums- och rörelsebegreppen. Fyra paradoxer om rörelsens omöjlighet har bevarats. Enligt den nyplatonske filosofen Proklos fanns det ursprungligen fyrtio stycken. Paradoxerna debatteras ännu idag. Paradoxerna har liknande struktur och kan behandlas matematiskt med en kalkyl som gör beräkningar med oändligt små enheter, differentialkalkylen. Akilles tävlar i löpning med en sköldpadda. Akilles ger sköldpaddan ett försprång på 100 meter. Om vi antar att löparna startar med en konstant hastighet, en snabb och en långsam, så kommer Akilles att ha sprungit 100 meter efter en viss ändlig tid, varvid han nått sköldpaddans startpunkt. Under tiden har sköldpaddan sprungit en kortare sträcka, t.ex. 50 meter. Då måste Akilles springa ytterligare dessa 50 meter, medan sköldpaddan springer 25 meter. Varje gång Akilles når en punkt där sköldpaddan varit, så har den senare avancerat. Eftersom det finns ett oändligt antal punkter, som Akilles måste nå, så kommer han aldrig ifatt eller förbi sköldpaddan. (Akilles och sköldpaddan av Zenon) Avståndet som skiljer dem åt blir med tiden minimal men aldrig noll. Problemet som grekerna mötte var: Hur kan ett oändligt antal små steg 22

tillsammans bli något ändligt? Bertrand Russell kommenterade: This argument... shows that, if Achilles ever overtakes the tortoise, it must be after an infinite number of instants have elapsed since he started. This is in fact true; but the view that an infinite number of instants makes up an infinitely long time is not true, and therefore the conclusion that Achilles will never overtake the tortoise does not follow. (Bertrand Russell, The Problem of Infinity Considered Historically, i Zeno s Paradoxes, ed. Wesley C Salmon, 1970). Paradoxerna har liknande struktur och kan behandlas matematiskt med en kalkyl som gör beräkningar med oändligt små enheter, differentialkalkylen. Differentialkalkylen utvecklades av Isaac Newton och Gottfried Leibniz under 1600-talet. Genom denna kalkyl kan man behandla oändligt små tal eller delar och den används främst för att beräkna derivatan av funktioner. Derivatan visar hur mycket en funktion förändras i en punkt. Exempelvis om en funktion beskriver förflyttningen av en rörlig kropp med avseende på tiden, så är derivatan hastigheten av kroppen, och den andra derivatan (derivatan av hastigheten) med avseende på tiden är accelerationen. Svaret på paradoxen är att Akilles kommer ifatt sköldpaddan trots allt. Det tar en ändlig tid för honom att springa en ändlig sträcka och sedan springer han förbi sköldpaddan. Matematiskt bevisas detta med hjälp av serier (dvs. summor av oändligt många termer), som kan ha ändliga gränsvärden. Exempelvis är summan av 1/2 n = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + = 1. Vi kan beräkna hur lång sträcka det tar för Akilles att springa om sköldpaddan. 100 + 50 + 25 + = 200/2 + 200/4 + 200/8 + = 200 (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +... ) = 200 1 = 200 Det tar alltså 200m innan Akilles sprungit om sköldpaddan. 23

12.5 Geometriska serier Vi kan alltså beräkna hur länge det tar för Akilles att springa om sköldpaddan. Beräkningsrna är tydliga bara man godtar att en oändlig summa termer kan bli ett ändligt tal, men varför skall man godta detta? För att göra saken enklare att acceptera kan man visualisera summan som en indelning av en enhetskvadrat. Kvadraten antas ha sidan av längd och höjd 1. Vi delar kvadraten så att vi får hälften, en fjärdedel, en åttondedel, en sextondedel osv. Vi ser att enhetskvadraten småningom kommer att fyllas med hjälp av våra termer i summan. Detta är en visuell motivering för summans gränsvärde. 12.6 Övriga paradoxer Andra versioner av Zenons paradox är Tudelningen, De rörliga leden och Den flygande pilen. Tudelningsparadoxen: För att förflytta sig från punkten A till punkten B, så måste man först förflytta sig till mitten av dessa punkter, kallat punkt C. För att förflytta sig från C till B måste man först förflytta sig till mitten av dessa två punkter, kallat punkt D. Detta fortsätter i oändlighet. Man når alltså aldrig punkt B. Paradoxen med de rörliga leden är ett argument för rörelses omöjlighet. Argumentet förutsätter att det finns entiteter som i princip är odelbara. För att rörelse ska vara möjlig måste det som rör sig sträcka sig över en i princip odelbar längd, vilket är omöjligt. Paradoxen om den flygande pilen säger att allting som upptar lika mycket rumslig plats som sina egna dimensioner med nödvändighet måste vara i vila. En pil som skjuts iväg är i varje ögonblick av sin flykt fixerad i ett bestämt läge. Den är alltså i varje läge i vila och kan således inte samtidigt vara i 24

rörelse. 13 Fördjupande material Vi har behandlat satslogik och dess utvidgning till predikatlogik med kvantifikatorer. Vi har även sett att satslogiken består av minimal logik, som utvidgas till intuitionistisk logik och klassisk logik. För klassisk satslogik kan man även göra sanningstabeller för att avgöra härledbarhet rent mekaniskt, men det finns inga motsvarande sanningstabeller för predikatlogiken. Predikatlogikens härledbarhet är inte avgörbar utan visas genom att man konstruerar en härledning för varje exempel. Efter att härledningsreglerna memorerats kan man öva upp sin förmåga att göra härledningar genom otaliga exempel. Övning ger färdighet! Fördjupande material om sanningstabeller och härledningar finns i kurslitteraturen. Referenser M. Pantsar. Johdatus logiikkaan. Luentomoniste Helsingin Yliopisto, 2016. J. von Plato. Combinatorial analysis of proofs in projective and affine geometry. Annals of pure and applied logic 162 (2), 2010, pp. 144 161. J. von Plato. Elements of logical reasoning. Cambridge University Press, 2014. D. Prawitz. ABC i sybolisk logik, logikens språk och grundbegrepp. Tredje utökade upplagan. Bokförlaget Thales, 2010. H. Salminen & J. Väänänen. Johdatus logiikkaan. Gaudeamus, 1992. 25