Repetition kapitel 2 2.1 Andelen, delen och det hela Viktiga begrepp Procent Hundradel, 1 procent skrivs 1 % Andel Promille Tusendel, 1 promille skrivs 1 ppm Miljondel (parts per million), skrivs 1 ppm Beräkning av andelen i procentform Procent anger hundradelar och kan användas när man vill jämföra andelar. Om vi har ett tal i decimalform motsvarar hundradelarna procent. 0,45 = 45 % 0,02 = 2 % 0,035 = 3,5 % 1,20 = 120 % Ex. Familjen Larsson har 5 barn, två pojkar och tre flickor. Hur stor andel är flickor? andelen delen ela a) I bråkform: 3 5 b) I decimalform: 0,6 c) I procent: 0,6 = 0,60 = 60 % Beräkningar då vi vet procentsatsen Ex. Hur mycket är 15 % av 200? Metod 1: 0,15 200 30 Metod 2: 200 2 2 15 30
Procent utan räknare Ex. Hur många procent av 25 är 7? 7 25 7 4 25 4 28 28 % Vi förlänger bråket med 4 och får 28 hundradelar, 28 % Ex. Ungefär hur många procent av 297 är 34? 34 297 30 300 10 10 % Vi kan avrunda och göra en överslagsberäkning. Vi förkortar med 3 för att få fram hundradelar. Ex. Hur mycket är 3 % av 700kr? 1 % av 700 kr är 700 7 3 % av 700 kr är 3 7 21 kr 50 % = hälften dividera hela med 2 25 % = en fjärdedel dividera hela med 4 10 % = en tiondel dividera hela med 10 1 % = en hundradel dividera hela med Promille och ppm Procent betyder hundradel (Skrivs 1 %) Promille betyder tusendel (Skrivs 1 Ppm (parts per million) betyder miljondel (Skrivs 1 ppm) Ex. Beräkna 12 av 30 000 Ex. Hur många promille är 0,03 g av 15 g? 0,012 30000 360 Ex. Beräkna 4 ppm av 650 000 0,000004 650000 2,6 0,03 15 0,002 2
2.2 Procentuella förändringar och jämförelser Viktiga begrepp Förändringsfaktor Vid en ökning är förändringsfaktorn större än 1 Vid en minskning är förändringsfaktorn mindre än 1 Procentenheter Nya värdet = förändringsfaktorn Skillnaden mellan två procentsatser Förändringsfaktor och flera procentuella förändringar Ex. Ett hotell har tidigare haft 50 000 besökare per år. Nu har man byggt ut och beräknar att antalet gäster kan öka med 20 %. Hur många besökare räknar man med per år? Från början har vi 50 000 besökare vilket motsvarar %. Besökarna ökar med 20 %. Det nya antalet blir då 120 % av det tidigare antalet. 120 % av 50000 = 1,20 50000 = 60000 Talet 1,20 i exemplet kallas förändringsfaktor. Vid en ökning är förändringsfaktorn större än 1 Vid en minskning är förändringsfaktorn mindre än 1 Vi beräknar det nya värdet på följande sätt Nya värdet = förändringsfaktorn Ex. En djurpark har tvingats skära ned på antalet anställda. År 2008 bestod personalen av 120 personer. Antalet anställda har sedan dess minskat med 25 %. a) Bestäm förändringsfaktorn. b) Hur många anställda har företaget nu? a) % - 25 % = 75 % Förändringsfaktorn är 0,75 b) 0,75 120 = 90 Vid flera procentuella förändringar använder vi också förändringsfaktorer för beräkning. Ex. Priset på en ny dator var 8000 kronor. Under det första året minskade värdet med 75 % och efter tre år hade värdet minskat med ytterligare 60 % a) Beräkna den totala förändringsfaktorn b) Vad är datorn värd efter tre år c) Vilken är den totala värdeminskningen i procent? a) 0,25 0,40 = 0,10 b) 0,25 0,40 8000 = 800 Förändringar c) och % - 10 jämförelser % = 90 %
Vi kan använda procent för att beskriva förändringar och jämförelser. Vid procentuella jämförelser jämförs alltid ökningen eller minskningen med det. Metod 1 ökning/minskning Ökning, minskn ing i procent Metod 2 nya värdet beräknar en förändringsfaktor, resultatet måste tolkas Ex. Antalet gäster på ishotellet i Jukkasjärvi var 48700 ett år och 50150 året efter. Hur stor var ökningen i procent? Metod 1: Ökningen i antal: 50150-48700=1450 Ökningen i procent: 1450 0,029 3% 48700 Metod 2: nya värdet 50150 1,03 103 % 48700 Ökningen i procent: 103 = 3 % Ex. Västerbottensteatern har 150 sittplaster och Nordanåteatern har 425 platser. Hur många procent fler platser har Nordanå än VB-teatern? Skillnaden: 425-150 = 275 Vi jämför skillnaden med antalet platser på VB-teatern. skillnaden värdet vi jämför med 275 1,83 183 % 150 Procentenheter
Räntan har ökat med 3 procentenheter men med % så Isabelle har rätt. När procenttal förändras måste vi skilja mellan procentenheter och procent. Ex. Andelen rökare i Sverige har minskat från 34 % till 14 % sedan 1980. Hur stor är minskningen i procentenheter respektive procent? Procentenheter: 34-14 = 20 Procent: minskningen 20 34 0,59 59% 2.3 Lån, ränta och amortering Viktiga begrepp Årsränta Den ränta man får av banken eller betalar till banken. Årsräntan anges i procent per år. Räntesats Procentsatsen för årsräntan. Amortering Hur mycket av lånet som ska betalas tillbaka vid varje betalningstillfälle. Räntan räknas inte in i amorteringen. Kredit Ett lån eller en möjlighet att låna kallas kredit. Att handla på kredit innebär att man lånar pengar för att köpa en vara och betalar av lånet senare. Det tillkommer ofta ränta eller andra avgifter. Uppläggningsavgift Betalas vid första betalningstillfället om du handlar på kredit. Aviseringsavgift Betalas vid alla betalningstillfällen om du handlar på kredit. Effektiv ränta Effektiv ränta är ett jämförspris på krediter. I den är alla räntor och andra avgifter omvandlade till en genomsnittlig årsränta. Snabblån Kallas också SMS-lån eller mobillån. Det är ett snabbt sätt att låna mindre summor under en kort lånetid, ofta 30 dagar. Avgifterna är höga och kan motsvara en effektiv ränta på 700-800 %. Index Index är ett jämförelsetal som visar den procentuella förändringen i förhållande till ett startvärde. KPI KPI (Konsumentprisindex) visar hur priserna i genomsnitt har utvecklats och är sammansatt av index för olika huvudgrupper av varor och tjänster. Ränta, amortering och avgifter Ex. Hur stora blir ränteutgifterna på ett lån på 72 000 kr om bankens räntesats är 3 %? Årsräntan 3 % av 72 000 kr 0.03 72 000 2160 kr Räntan per kvartal Årsräntan 4 2160 4 540 kr Räntan per månad Årsräntan 12 2160 12 180 kr Ex. Vilken räntesats har banken om Sara har 12000 kr på ett konto och får 180 kr i ränta? Räntesatsen 180 12000 0,015 1,5 %
Amorteringsbelopp lånebelopp antal amorteringar Index Index är ett jämförelsetal som visar den procentuella förändringen i förhållande till ett startvärde. Vi kan jämföra med basårets index som är (motsvarar %). Ex. Vi jämför priset på 1 l. mjölk. År Pris Procent av priset 1970 Index 1970 1,10 kr 1,10 1,10 1 % 2010 7,20 kr 7,20 1,10 6,55 655 % 655 När vi jämför med basåret kan vi ta det nya index minus basårets index: 655 555 Priset på en liter mjölk var 555 % högre än år 1970. 1 kr har blivit mycket mindre värd på 40 år. Det är ett ex. på inflationens inverkan på priserna. Inflation är en ökning av den allmänna prisnivån. För att jämföra priser under en lång tidsperiod kan man använda konsumentprisindex, KPI, som publiceras av Statistiska Centralbyrån. KPI visar hur priserna i genomsnitt har utvecklats och är sammansatt av index för olika huvudgrupper av varor och tjänster. Ex. Utgå från tabellerna. Vilken huvudgrupp har ökat mest respektive minst sen 1980? Hur mycket? Kläder och skor: 174,2 = 74,2 % Hälso- och sjukvård: 793,9 = 93,9 % Hur mycket har priset på alkohol och tobak ökat sedan 2000? När vi jämför med något annat år än basåret måste vi beräkna förändringsfaktorn nya värdet 428,3 335,3 1,28 128% Det motsvarar fortfarande %, alltså har priset ökat med 28 % sedan 2000.