STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM K.H./C.F./C.W. Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 1p, för kandidatprogrammet i fysik, 18/6 013, 9-14. Införda beteckningar skall förklaras och uppställda ekvationer motiveras. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändiga att de blir svåra att följa. För varje problem skall tydligt framgå vilket svar som ges. När så är möjligt skall svaret bestå av siffror med rätt enheter. Antalet värdesiffror skall stå i rimlig proportion till i texten angivna värdesiffror. Avdrag görs om lösningar eller svar inte utformas i enlighet med ovanstående. För godkända betyg krävs minst 5 poäng på del A, samt ett sammanlagt antal poäng som är olika för olika betyg. För betyg E krävs minst 15 poäng sammanlagt. Hjälpmedel : UTDELAD RÄKNEDOSA, PHYSICS HANDBOOK, BIFOGAD FORMELSAMLING MED TABELLER. Del A: Begrepp och grundläggande förståelse 1 Datorföretaget Pearshape använder sig av en viss typ av integrerade kretsar sina datorer. För varje sådan krets är sannolikheten 3 10 3 att den är defekt. I en viss datormodell monteras 10 stycken sådana kretsar. Hur sannolikt är det att två eller flera av dem är defekta? Ange, för vart och ett av följande påståenden om det är sant eller falskt: a: En sannolikhetstäthet är enhetslös. b: Summan av två oberoende poissonfördelade variabler blir poissonfördelad. c: Om chikvadratsannolikheten blir 0,999 är det troligt att något är fel med beräkningarna snarare än själva mätningarna. d: Kovariansen mellan oberoende variabler är noll. e: Felfortplantningsformeln bygger på en linjär approximation. (För varje felaktigt eller uteblivet svar förloras en halv poäng, men totalpoängen kan inte bli under noll.) 3 Beskriv likheter och skillnader mellan poissonfördelningen och en chikvadratfördelningen! 4 En hiss är märkt Högst 5 personer eller 430 kg. Antag att manliga passagerares vikt är normalfördelad runt 81 kg med standardavvikelsen 9 kg. Om fem män samtidigt åker upp i hissen, hur sannolikt är det att deras totala vikt överskrider gränsen 430 kg? 5 Effekten som utvecklas i en växelströmskrets är P = UI cos φ där U är spänningen, I strömmen och φ fasförskjutningen dem emellan. Man uppmäter värdena U = (41 ± )V, I = (150 ± )ma och φ = (31 ± 1). Beräkna effekten med fel!
Del B: Fördjupande uppgifter 6 Ett GM-rör känsligt för joniserande strålning har en viss bakgrundsräknehastighet. En dator kopplad till röret räknar antalet pulser i femsekundersintervall. Poissonmedelvärdet av antalet pulser i ett sådant intervall är 1,6. Hur stor är sannolikheten för att det totala antalet pulser under två på varandra följande intervall (summan av antalet pulser i de två intervallen) skall bli större än två. (5p) 7 Fyra olika studentgrupper mäter det värme som frigörs (entalpiminskningen) då en mol svavel förbränns och bildar svaveldioxid. De använder olika metoder och får följande värden: (0 ± 40)kJ (60 ± 0)kJ (300 ± 50)kJ (30 ± 30)kJ a: Bestäm ett bästa värde med fel på entalpiminskningen, baserat på ovansående fyra mätresultat, under antagandet att felen är oberoende. b: Undersök om de olika resultaten är förenliga med varandra. (1p) c: Litteraturvärdet för entalpiminskningen är 97kJ. Genomför ett hypotestest, med signifikansnivån 5%, av nollhypotesen att felen i de fyra mätningarna är korrekt bestämda och oberoende. 8 För uppvärmning av hus används ibland en luftvärmepump som överför värme från den omgivande luften in i huset. Man brukar definiera COP-talet ( Coefficent Of Performance ), eller verkningsgraden, som kvoten mellan den levererade värmeenergin och den tillförda el-energin. För kommersiella luftvärmepumpar anges ofta värden runt 5. Det finns (som en följd av termodynamikens andra huvudsats) en absolut övre gräns för verkningsgraden ɛ i en värmepump, nämligen T h ɛ max = T h T c där T c är temperaturen där värmeenergin tas och T h den temperatur där den levereras. För en luftvärmepump är T c temperaturen på utsidan av huset, och T h temperaturen inomhus. Både T c och T h är temperaturer i den absoluta skalan med nollpunkten vid T 0 = 73,15 C. En höstdag tar Lisa fram sin digitala termometer och mäter med den upp utetemperaturen till 1, C och innetemperaturen till 0,7 C. På termometern står att noggrannheten är 1 C, vilket Lisa tolkar som att det finns ett gemensamt systematiskt fel i båda mätningarna (termometern visar genomgående fel lika mycket) som är så stort. Uppskatta den absoluta gränsen för verkningsgraden, med fel, för en värmepump under dessa förhållanden! (5p) 9 En Laplacefördelning, eller dubbel exponentialfördelning, har formen f(x) = λ e λ x µ där λ är en konstant. Antag att en sådan fördelning beskriver resultatet av en mätning av en längd x om µ är det sanna värdet. a: Gör en figur som visar sannolikhetstätheten om λ = 1,0 mm 1. Figuren skall vara så korrekt som möjligt, både kvantitativt och kvalitativt. b: Antag att man gör 5 oberoende mätningar som alla beskrivs av laplacefördelningen i a-uppgiften, och får värdena 3,5 mm, 3,40 mm, 4,35 mm, 3,80 mm och 3,63 mm. Använd maximum likelihood-principen för att bestämma en bästa uppskattning av det sanna värdet µ. (3p)
Uppgift 1, lösning: Antalet defekta kretsar ges av en binomialfördelning med p = 3 10 3 och antalet försök N = 10. Sannolikheten för två eller flera defekta kretsar (ν )ges av P (ν > 1) = 1 P (ν = 0) P (ν = 1) = 1 (1 p) N 10p(1 p) N 1 = 1 0,9704 0,09 = 1 0,9996 = 4 10 4 Uppgift, lösning: a: Falskt. För en sannolikhetstäthet i x är f(x) dx enhetslös (en sannolikhet). Dimensionen för f är alltså inversen av dimensionen för x. b: Sant. c: Sant. (Det troligaste är att felen i chikvadratsumman överskattats på något sätt.) d: Sant. Omvändningen gäller däremot inte. ( ) a e: Sant. Förändringen i funktionen a för en ändring dx i x approximeras med x x=x m dx, där x m är det mätta x-värdet. Uppgift 3, lösning: Likheter: Ingendera fördelningen kan ha ett negativt medelvärde. Ingendera fördelningen kan ge negativa värden. Båda fördelningarna är skeva, med en svans mot högre värden. Båda fördelningarna beskrivs av en enda parameter, som är medelvärdet (poissonmedelvärdet µ resp. antalet frihetsgrader N dof ). Summan av två poissonfördelade variabler är poissonfördelad, och summan av två chikvadratfördelade variabler är chikvadratfördelad. Båda fördelningarna kan approximeras med en normalfördelning för stora medelvärden. Skillnader: En poissonfördelad variabel antar heltalsvärden, medan en chikvadratfördelad variabel antar reella värden. (Poissonfördelningen anger sannolikheten för olika heltal, medan chikvadratfördelningen anger en sannolikhetstäthet.) Medelvärdet i chikvadratfördelningen är ett heltal, medan medelvärdet i poissonfördelningen är ett reellt tal. För poissonfördelningen är standardavvikelsen lika med roten ur medelvärdet (σ = µ), vilket inte gäller för chikvadratfördelningen. (Men även för chikvadratfördelningen blir σ µ, vilket kan inses av att en chikvadratvariabel med µ frihetsgrader kan fås som en summa av µ variabler med en frihetsgrad. Faktum är att σ = µ.) Uppgift 4, lösning: Den totala vikten för fem män blir summan av fem normalfördelade variabler, och därför också normalfördelad. Medelvärdet blir µ = 5 81 kg = 405 kg och standardavvikelsen blir σ = 5 9 kg = 0,1 kg. (Det senare visas genom felfortplantning för summan; varianserna adderas.)
Gränsen 430 kg ligger 430 405 0,1 σ = 1,4σ ovanför fördelningens medelvärde. Ur tabell B fås att sannolikheten för att vikten skall överstiga detta värde är 50% 39,5% = 10,75%. Den sökta sannolikheten är alltså 11%. Uppgift 5, lösning: Insättning ger värdet P = 41V 0,15A cos 31 = 30,99 W. Partialderivatorna av P blir P U = P/U, P I = P/I, P φ = P tan φ. Felfortplantningsformeln ger variansen för P (i W ) som σ P /W = (30,99/41) + (30,99/0,15) 0,00 + 30,99 tan (31 )(π/180) = och slutresultatet blir 0,066 + 0,171 + 0,106 = 0,34 P = (31,0 ± 0,6)W. Uppgift 6, lösning: Medelvärdet för det totala antalet pulser är µ = 3,, och även det totala antalet pulser blir poissonfördelat (summan av två poissonvariabler är en poissonvariabel). Sannolikheten att det totala antalet pulser skall bli 0, 1, eller blir ( ) P (ν ) = e µ 1 + µ + µ = 0,38. Sannolikheten för att antalet blir större än två är slutligen P (ν > ) = 1 P (ν ) = 0,6 Uppgift 7, lösning: a: För att bestämma en bästa uppskattning utifrån mätningarna bildar vi det viktade medelvärdet. Vi betecknar mätvärdena för entalpiminskningen i kilojoule med x i och ställer upp en tabell (den sista kolumnen gäller b-uppgiften): Det viktade medelvärdet blir x w = x σ x w = 1/σx wx χ 0 40 6,5 10 4 0,1375 0,60 60 0,5 10 3 0,65 0,1 300 50 4 10 4 0,1 0,96 30 30 1,11 10 3 0,556 0,48 Summa: 4,64 10 3 1,16,5 wx w = 50,9, och dess standardavvikelse blir σ w = ( w) 1/ = 14,7. Resultatet för entalpiminskningen blir alltså (51 ± 15) kj. b: För att undersöka om värdena är förenliga med varandra bildar vi chikvadratsumman χ = w i (x i x w ). Termerna i summan finns i sista kolumnen i figuren, och summan blir,5 för tre frihetsgrader, vilket inte tyder på någon inkonsistens (chikvadratsannolikheten blir 5%). c: Det viktade medelvärdet, (51 ± 15) kj, ligger 3,07σ under litteraturvärdet 97 kj. Enligt tabell A är sannolikheten för att hamna närmare medelvärdet än så, för en normalfördelad variabel, större än 99,73 %. Sannolikheten att hamna längre bort är alltså mindre än 0,07 %, vilket
är betydligt mindre än signifikansnivån 5%. Således förkastas nollhypotesen: Mätresultaten visar en signifikant avvikelse från litteraturvärdet. Uppgift 8, lösning: Vi får T h = 93,85 K och T c = 71,95 K. Detta ger ɛ max = T h T h T c = 13,4 Det systematiska felet s T påverkar T h, men inte T diff = T h T c = 1,9 K. Felpropagering (eller störningsräkning) i ɛ max = T h T diff ger den systematiska osäkerheten i ɛ max som s ɛ max = st T diff = 1 1,9 = 0,046 Det finns emellertid också ett avrundningsfel, som vi kan uppskatta till en halv enhet i sista siffran på termometern, dvs a T = 0,05 K. Detta fel kan anses vara oberoende för de två temperaturerna T c och T h. Felfortplantningsformeln kan användas för att ta fram motsvarande fel i ɛ max. Men för att förenkla kan vi konstatera att det relativa felet i täljaren är så litet att det kan försummas jämfört med relativa felet i nämnaren. Felet i nämnaren blir a T diff = 0,05 K = 0,07 K och bidraget till ɛmax blir Det totala felet i ɛ max blir och slutresultatet blir a ɛ max = at diff T diff ɛ max = 0,043 ɛ max = ( a ɛ max ) + ( s ɛ max ) = 0,063, ɛ max = 13,4 ± 0,06. Om man istället använder felfortplantningsformeln för avrundningsfelet a ɛ max får man beräkna och vilket med a T = 0,05 K ger istället för 0,043. a ɛ max = ɛ max T h = ɛ max T c = ( ɛ max T c = 0,57 K 1 (T h T c) T h (T h T c) = 0,61 K 1, T h a T ) + ( ɛ max T c a T ) = 0,04
Uppgift 9, lösning: a: Fördelningen har sitt maximum för x = µ och faller exponentiellt på båda sidor. Vill man inte använda absolutbelopp skiljer sig funktionsuttrycken för x > µ och x < µ: b: Likelihoodfunktionen för N stycken mätvärden x i ; i = 1, N blir L(µ) = N f(x i ) = i=1 e λσ i x i µ L är en kontinuerlig funktion eftersom absolutbeloppet är det. Däremot är L inte deriverbar överallt eftersom absolutbeloppet inte är det. Men vi kan betrakta ett intervall för µ där N l mätvärden är mindre än µ och N h mätvärden är större (N = N l + N h ). I detta intervall kan vi skriva L som L(µ) = f(x j ) f(x k ) = e λσ j(µ x j ) e λσ k(x k µ) = x j <µ x k >µ e λ(σ jx j N l µ) e λ(n hµ Σ k x k ) = e λ(σ jx j Σ k x k ) e λ(n h N l )µ Här löper index j över de N l mätvärdena nedanför µ, och index k över resterande N h mätvärden (ovanför µ). Ovanstående funktion innehåller inget absolutbelopp, utan kan deriveras på vanligt sätt. Det är endast den sista exponentialfunktionen som varierar med µ, så. dl dµ = e λ(σ jx j Σ k x k ) λ(n h N l )e λ(n h N l )µ. Alla faktorer utom (N h N l ) är alltid positiva. Vi ser att derivatan är positiv så länge vi har fler mätvärden som ligger ovanför µ än nedanför, noll om vi har lika många värden ovanför som nedanför, och negativ då det finns fler mätvärden nedanför µ. Om vi har ett udda antal mätvärden betyder detta att L antar sitt maximala värde för medianvärdet, d.v.s. det som ligger i mitten. Detta värde är alltså maximum likelihood-uppskattningen av µ. Utifrån de givna mätresultaten uppskattar vi alltså att µ = 3,63 mm. För att göra sig kvitt exponentialfunktionerna och göra deriveringarna enklare kan man maximera ln L istället. Som ytterligare en alternativ lösning kan man beräkna L numeriskt för olika µ och rita en figur där det maximala värdet kan identifieras.