Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev
Med anledning av de nya kursplanerna har Strävorna reviderats. Formen, en matris med rutor, är densamma men istället för att som tidigare anknyta till mål att sträva mot anknyter de nya Strävorna till kursplanernas centrala innehåll och de förmågor som eleverna ska få utveckla. Nämnare, http://ncm.gu.se/stravorna
Mönster och generaliseringar Hur många vita sträckor begränsar de blåa rutorna i Strävorna? Sätt 1. Tänka lokalt, d.v.s. att räkna upp Sätt 2. Tänka globalt, d.v.s. att hitta mönster Genom att formulera aritmetiska samband på olika sätt ökar förmågan att formulera samband utifrån olika problemsituationer. Att inte enbart teckna tal och operationer utan också uttrycka dem muntligt är en viktig prealgebraisk del i matematikundervisningen, även när många operationer är automatiserade. Risken finns annars att betydelsen och begreppet har gått förlorade, och att operationerna inte fungerar när man skall operera med okända tal. (Bergsten, et. al. 1997, s. 88)
Exempel 1: Tornet Hur många kuber behövs för att bygga tornet på bilden? Hur många kuber behövs det för att bygga ett liknande torn som är 12 st kuber högt? Hur många kuber behövs det för att bygga ett liknande torn som är n st kuber högt? (Hagland et al, 2005, s 85)
Tornet: från konkreta världen till abstrakta världen Matematiska områden/matematiska idéer: Aritmetik/Algebra Söka mönster, göra en tabell. Pröva med olika fall, samla data i tabell och analysera: Figur nr 1 2 3 4 5 6 n Antal klossar totalt 1 6 15 28 45 66 Ökning = antal klossar på våning 1 5 9 13 17 21 Ökning av ökning 4 4 4 4 4
Tornet: från konkreta världen till abstrakta världen Matematiska områden/matematiska idéer: Aritmetik/Algebra Söka mönster, göra en tabell. Pröva med olika fall, samla data i tabell och analysera: Figur nr 1 2 3 4 5 6 n Antal klossar totalt 1 6 15 28 45 66 Ökning = antal klossar på våning 1 5 9 13 17 21 Ökning av ökning 4 4 4 4 4
Tornet: från konkreta världen till abstrakta världen Matematiska områden/matematiska idéer: Aritmetik/Algebra Söka mönster, göra en tabell. Pröva med olika fall, samla data i tabell och analysera: Figur nr 1 2 3 4 5 6 n Antal klossar totalt 1 6 15 28 45 66 Ökning = antal klossar på våning 1 5 9 13 17 21 Ökning av ökning 4 4 4 4 4
Tornet: från konkreta världen till abstrakta världen Matematiska områden/matematiska idéer: Aritmetik/Algebra Söka mönster, göra en tabell. Pröva med olika fall, samla data i tabell och analysera: Figur nr 1 2 3 4 5 6 n Antal klossar totalt 1 6 15 28 45 66 Ökning = antal klossar på våning 1 5 9 13 17 21 Ökning av ökning 4 4 4 4 4
Tornet: från konkreta världen till abstrakta världen Matematiska områden/matematiska idéer: Aritmetik/Algebra Söka mönster, göra en tabell. Pröva med olika fall, samla data i tabell och analysera: Figur nr 1 2 3 4 5 6 n Antal klossar totalt 1 6 15 28 45 66 Ökning = antal klossar på våning 1 5 9 13 17 21 Ökning av ökning 4 4 4 4 4 6 = 2 3 15 = 3 5 28 = 4 7? = 12? Vilket samband finns mellan de röda och blåa talen? 276 = 12 23 Udda tal?
Tornet: från konkreta världen till abstrakta världen Matematiska områden/matematiska idéer: Funktionslära/Matematisk analys Betrakta antal klossarf(n) som funktion av antal våningar n. Tolka ökning i tabellen som derivata f (n) Tolka ökning av ökning som andra derivatan, d.v.s. f n = 4, Vilket medför att f(n) är andragradsfunktion, alltså f n = 2n 2 + an + b (varför?) Bestämmer a och b med hjälp av tabellen: 1 = f 1 = 2 + a + b 6 = f 2 = 8 + 2a + b vilket ger b = 0 och a = 1, d.v.s. f n = n(2n 1). Alltså f 12 = 12 23 = 276
Tornet: från konkreta världen till abstrakta världen Geometri/Algebra Rita en bild! Klossarna placeras så att de bildar trianglar och rektanglar. Arean av en rektangel med den korta sidan n och den långa sidan (n 1) + 1 + (n 1) är n ((n 1) + 1 + (n 1)) som förkortas till n(2n 1). Arean av 2 rektanglar med sidorna n och n 1 samt en pelare med höjden n är 2 n(n 1) + n. Arean av 4 trianglar med höjden n och basen (n 1) samt en mittpelare med höjden n är 4(n(n 1)/2) = n(2n 1)
Viktiga frågor Anpassning: Hur väl passar problemet elever med skilda förkunskaper? Problemet kan lösas av elever som enbart känner till naturliga tal. För att finna det generella uttrycket krävs kunskaper om aritmetisk talföljd, areabegreppet, differentialekvationer eller integraler (en lösning för areaberäkning). Anpassning: Hur kan problemet formuleras om för att bli enklare eller svårare? Uppgiften är formulerad för en anpassning från det enskilda fallet till det generella. Problemet kan förstöras genom att delproblem nr 3 stryks så att man inte söker efter det generella fallet. Hur väl fungerar problemet som brygga mellan olika matematiska områden? För att problemet ska fungera som en brygga kan lösningen presenteras med flera alternativa lösningsstrategier. Vilka utvidgningar kan man göra för att formulera problem med samma matematiska idé? Utvidgningen innebär att finna ett generellt uttryck, att identifiera problemtypen och kunna formulera matematiskt liknande problem. Denna problemtyp är allmänt förekommande i talföljder som t ex kan uppstå ur tändsticksproblem eller andra talmönster som t.ex. triangeltal etc.
(Taflin, 2007) Lösningsexempel Algebraisk lösning med aritmetisk talföljd eller en geometrisk lösning med areaberäkning
Skolvägen David och Frida går i samma skola men bor olika långt från skolan. Båda cyklar till samma busshållplats. När Frida står och väntar på bussen har hon cyklat 1/3 av hela sin skolväg. David har, när han kommer till busshållplatsen, cyklat 2/5 av hela sin skolväg. Vem har längst väg till skolan? Hur är förhållandet mellan David och Fridas skolvägar?
Lösningsexempel
Viktiga frågor Anpassning: Hur väl passar problemet elever med skilda förkunskaper? Eleverna bör känna till bråkbegreppet för att förstå uppgiften. Problemet kan lösas med mätning och kräver då inte några mer specifika kunskaper. Anpassning: Hur kan problemet formuleras om för att bli enklare eller svårare? Om problemet formuleras med en sträcka så blir det enklare men samtidigt tar man bort det som gör problemet till ett rikt problem. De givna bråken kan ersättas så att 2/5 skrivs som 40 %. Båda bråken kan också bytas ut mot andra tal som ger större gemensam nämnare. Hur väl fungerar problemet som brygga mellan olika matematiska områden? Problemet kan visa på sambandet mellan ett bråkuttryck och ett algebraiskt uttryck. Problemet kan också visa på en längd, ett avstånd som ett bråkuttryck. Vilka utvidgningar kan man göra för att formulera problem med samma matematiska idé? Genom att byta enhet och t ex formulera ett problem med pengar kan man hålla fast vid den matematiska idén.
Mönster och generaliseringar Ingen katt har två svansar, en katt har en svans mer än ingen katt, alltså har en katt tre svansar.
Spela Uggla Uppgiften kan spelas av två personer eller grupper, A och B, som använder en speciell uppsättning föremål. A väljer ut ett föremål, utan att avslöja vilket. B måste ställa frågor till A för att få reda vilket föremål som A valt. A får endast svara ja eller nej. När B kommit fram till rätt föremål byter A och B roller. Vinnare av en dubbelomgång är den som kommer fram till rätt föremål med hjälp av minst antal frågor. Uppgift: gissa figur! T.ex., grupp A valde figur. B: Har figuren fler än fyra hörn? A: Ja B: Har den fler än två vinklar som är större än 90? A: Nej B: Har den endast räta vinklar? A: Ja B: Då måste det vara figur (a).
Omkrets vs Area (Nämnaren, nr 3, 2006) En av dina elever kommer upphetsad till lektionen och berättar att hon funnit en regel som du ännu inte avslöjat för klassen. Hon förklarar att hon upptäckt att om man ökar omkretsen på en sluten figur så ökar också arean. Hon visar följande bild för att bevisa vad hon gör: 4 cm 8 cm 4 cm 4 cm Omkrets = 16 cm Omkrets = 24 cm Area = 16 cm 2 Area = 32 cm 2 Hur svarar du denna elev?..
Dramatisera situationen! Finns det någon rektangel med omkretsen 10 cm och area 1000 cm 2?.. Varför?... Finns det någon rektangel med area 10 cm 2 men omkretsen, t ex, 1000 cm?.. En typisk rektangel Dela upp den i tre lika stora delar och bygga upp dem till en ny rektangel: Har arean ändrats? Blev omkretsen mindre eller större? Varför?
Idé 4 cm 8 cm 11 cm 4 cm 4 cm 2 cm Omkrets = 16 cm Omkrets = 24 cm Omkrets = 26 cm Area = 16 cm 2 Area = 32 cm 2 Area = 22 cm 2
Uppgift till seminarium 6 (B. Ulin, Nämnaren, nr 100) Skriv exempelvis 4 naturliga tal i bredd, säg 7 12 5 1 Vi adderar nu angränsande tal två och två och skriver summorna på raden nedanför. Detta upprepas två gånger tills vi landar på ett sista tal, ett bottental. 7 12 5 1 19 17 6 36 23 59 I exemplet här får vi resultatet 59. Frågan är nu: kan man på något enkelt sätt förutsäga om bottentalet blir udda eller jämnt? Utredningen kan gärna börja med 4 givna tal, sedan fortsätta med 5 tal.
Appendix. En paradox om en fånge En domare berättar en dömd fånge att han kommer att hänga vid lunchtid på en vardag i följande vecka, men att genomförandet kommer att bli en överraskning för den intagne. Han kommer inte att veta dagen för hängande tills bödeln knackar på sin cell dörr vid lunchtid samma dag. Efter att ha funderat på sitt straff, drar fången slutsatsen att han kommer fly från hängande. Hans resonemang är i flera delar. Han börjar med att dra slutsatsen att "överraskningen hängande" inte kan vara på fredag, som om han inte har hängts av torsdag, finns det bara en dag kvar - och så kommer det inte att vara en överraskning om han hängdes på fredagen. Eftersom domarens mening anges att hängningen skulle vara en överraskning för honom, avslutar han det inte kan ske på fredag. Han då skäl att överraskningen hängande inte kan vara på torsdag heller, eftersom fredag redan eliminerats och om han inte har hängts av onsdag kväll, måste hänga ske på torsdag, vilket gör en torsdag hänger inte en överraskning heller. Genom liknande resonemang han drar slutsatsen att hängningen inte heller kan ske på onsdag, tisdag eller måndag. Glädje han går i pension till sin cell säker på att hängningen inte inträffar alls. Nästa vecka slår bödeln på fångens dörren vid lunchtid på onsdag - som trots alla ovanstående, var en fullkomlig överraskning för honom. Allt domaren sade gick i uppfyllelse.