Utvärdering av Transportstyrelsens flygtrafiksmodeller

Kandidatuppsats i Statistik Utvärdering av Transportstyrelsens flygtrafiksmodeller Arvid Odencrants & Dennis Dahl

Abstract The Swedish Transport Agency has for a long time collected data on a monthly basis for different variables that are used to make predictions, short projections as well as longer projections. They have used SAS for producing statistical models in air transport. The model with the largest value of coefficient of determination is the method that has been used for a long time. The Swedish Transport Agency felt it was time for an evaluation of their models and methods of how projections is estimated, they would also explore the possibilities to use different, completely new models for forecasting air travel. This Bachelor thesis examines how the Holt-Winters method does compare with SARIMA, error terms such as RMSE, MAPE, R 2, AIC and BIC will be compared between the methods. The results which have been produced showing that there may be a risk that the Holt-Winters models adepts a bit too well in a few variables in which Holt- Winters method has been adapted. But overall the Holt-Winters method generates better forecasts.

Sammanfattning Transportstyrelsen har under lång tid lagrat data månadsvis för olika variabler som används för att göra prognoser, korta prognoser som långa. De använder sig av SAS för att ta fram modeller inom flygtrafiken. Vid användandet av SAS tas den modellen med det högsta R 2 -värdet fram och denna metod har används länge. Transportstyrelsen kände att det var dags för en utvärdering av deras modeller och metoder av hur prognoser skattas, de vill även undersöka möjligheterna till att använda sig av andra, helt nya modeller för att prognostisera flygtrafiken. Denna kandidatuppsats undersöker hur Holt- Winters metoder ställer sig jämfört med SARIMA, där felmått som RMSE, MAPE, R 2, AIC och BIC granskas mellan metoderna. De resultat som har tagits fram visar på att det kan finnas risker för överanpassning inom några variabler där Holt-Winters metod har anpassats. Men sett överlag är det bättre att använda Holt-Winters-modellering för att göra prognoser.

Förord Uppsatsen är skriven inom ämnet statistik och har dess inriktning mot tidsserier och dess modellering. Arbetet är en kandidatuppsats som är skriven på programmet Statistik och dataanalys på Linköpings universitet. Uppdragsgivare är Helen Axelsson och Håkan Brobeck på Transportstyrelsen i Norrköping. Vi vill tacka Helen Axelsson och Håkan Brobeck samt Transportstyrelsen som gett oss möjligheten att skriva denna uppsats. De har varit mycket hjälpsamma då de kommer till att tillhandahålla data och besvara de frågor som dykt upp på vägen. Vi vill även tacka Karl Wahlin som varit vår handledare under skrivandet av kandidatuppsatsen och guidat oss i rätt riktning. Arvid Odencrants & Dennis Dahl Linköpings universitet VT 2013

Innehållsförteckning 1 Inledning... 1 1.1 Bakgrund... 1 1.2 Syfte... 2 1.3 Avgränsningar... 2 1.4 Datamaterial... 2 1.4.1 Variabelförklaring... 3 1.4.2 Tidsserier... 5 2 Metod:... 7 2.1 Klassisk komponentuppdelning(multiplikativ)... 7 2.1.1 Beräkning... 8 2.2 Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning metod... 11 2.2.1 Modell... 11 2.2.2 Beräkningar... 12 2.2.3 Utjämningskonstanter... 12 2.2.4 Prognoser... 13 2.2.5 Simpel exponentiell utjämning(ses)... 15 2.3 Box-Jenkins (ARIMA)... 16 2.3.1 Airline modell... 17 2.3.2 SARIMA... 17 2.4 Transformation... 19 2.5 Mått på prognosers noggrannhet... 19 2.5.1 Roten ut medelkvadratavvikelsen(rmse)... 19 2.5.2 Genomsnittliga absoluta procentavvikelsen(mape):... 19 2.5.3 Determinationskoefficienten (R 2 )... 20 2.5.4 AIC och BIC... 20 2.6 SAS forecasting... 21 3 Resultat och analys... 22

3.1 Komponentuppdelning Multiplikativ... 22 3.2 Trend... 22 3.2.1 Säsong... 23 3.2.2 Cykler:... 27 3.3 Holt-Winters... 31 3.3.1 Parameterskattning... 33 3.4 Felmått SARIMA mot Holt-winters och exponentiell säsongsutjämning 35 3.5 Prognoser... 41 4 Slutsats och diskussion... 46 5 Bilagor... 48 5.1 Prognoser... 48

Figur 1 Passagerare inrikes linjefart, utrikes linjefart samt utrikes chartertrafik... 5 Figur 2 - Landningar inrikes linjefart, utrikes linjefart samt utrikes chartertrafik 5 Figur 3 IFR-rörelser och överflygare... 6 Figur 4 - Service units... 6 Figur 5 Komponentuppdelning säsonger: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik PAX... 23 Figur 6 Komponentuppdelning säsonger: IFR-rörelser Överflygningar Service units... 24 Figur 7 Komponentuppdelning säsonger: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik landningar... 25 Figur 8 Komponentuppdelning säsonger: Starter, Landningar och TSU Arlanda... 25 Figur 9 Komponentuppdelning säsonger: Starter, Landningar och TSU Landvetter... 26 Figur 10 Cykliska komponenten: Inrikes-, utrikes linjefart och chartertrafik PAX... 27 Figur 11 Cykliska komponenten: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik PAX... 28 Figur 12 Cykliska komponenten: IFR-rörelser och överflygningar... 28 Figur 13 Cykliska komponenten: Service units... 29 Figur 14 Cykliska komponenten: Starter, Landningar och TSU Arlanda... 30 Figur 15 Cykliska komponenten: Starter, Landningar och TSU Landvetter... 30 Figur 16 - Inrikes linjefart pax... 42 Figur 17 - Utrikes Linjefart pax... 42 Figur 18 - Utrikes charter pax... 43 Figur 19 - Inrikes linjetrafik flygplan... 43 Figur 20 - Utrikes linjefart flygplan... 44 Figur 21 - Utrikes charter flygplan... 44 Figur 22 - Överflygare flygplan... 45 Figur 23 - IFR-rörelser + överflygare flygplan... 45

Tabell 1 Trendkomponent... 22 Tabell 2 Modeller Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning... 32 Tabell 3 Parameterskattning Holt-Winters och säsongsbetonad exponentiell utjämning... 34 Tabell 5 - Modellval med BIC som kriteriet... 36 Tabell 6 - Modellval med AIC som kriteriet... 38 Tabell 7 - Modellval med MAPE som kriteriet... 39 Tabell 8 - Modellval med R 2 som kriteriet... 41 Tabell 9 Prognoser Inrikes linjefart PAX... 48 Tabell 10 PrognoserUtrikes linjefart PAX... 49 Tabell 11 PrognoserUtrikescharter PAX... 50 Tabell 12 PrognoserInrikes linjefart landningar... 51 Tabell 13 PrognoserUtrikes linjefart landningar... 52 Tabell 14 Prognoserutrikes charter landningar... 53 Tabell 15 Prognoser Överflygare... 54 Tabell 16 Prognoser IFR inkl. Överflygare... 55 Tabell 17 Variabelförklaring... 56

1 Inledning Transportstyrelsen är uppdragsgivare för denna kandidatuppsats. De arbetar med att uppnå hög kvalitet, en god tillgänglighet och säkra transporter inom järnväg, luftfart, sjöfart och väg. De tar fram regler, ger tillstånd och bevakar sedan hur de följs. Transportstyrelsen består av fyra avdelningar, väg, järnväg, luftfart och sjöfart som har 1650 anställda och deras huvudkontor ligger i Norrköping. Luftfartsavdelningen försöker hålla en effektiv flygmarknad med en bra konkurrens. De för även statistik över olyckor, tillbud och den civila trafikutvecklingen. 1.1 Bakgrund Transportstyrelsen använder sig i dagsläget av mjukvaruprogrammet SAS för att prognostisera flygplanstrafiken inom Sveriges gränser. Transportstyrelsen är inte missnöjd med de modeller som tas fram av SAS men de känner att arbetet kring detta ämne skulle kunna förbättras, alternativt bytas mot en eller flera andra modeller. Transportstyrelsen gör i dagsläget två prognoser per år, en på våren och en på hösten, som prognostiserar hur flygtrafiken kommer att se ut för de kommande fem åren. Andra prognoser tas också fram på kort (12 månader), medellång (2 till 5 år) och lång sikt (upp till 30 år). För det kortare perspektivet används tidsseriemodeller och i de längre olika ekonometriskt skattade efterfrågefunktioner. Transportstyrelsen har tidigare inte ifrågasatt sina modeller och därför har heller ingen tidigare studie gjorts på detta specifika område.

1.2 Syfte Holt-Winters är den metod som Transportstyrelsen använder sig av för att göra prognoser. Syftet med denna kandidatuppsats är dels att se hur Holt-Wintersmetod förhåller sig till andra modeller för att göra prognoser över flygtrafik. Samt hur flygtrafiken inom Sveriges gränser kommer att utvecklas för de kommande två åren. Hur förhåller sig Holt-Winters-metoder i jämförelse mot andra metoder för att prognostisera flygtrafiken? Hur kommer flygtrafiken i Sverige att se ut under de kommande två åren? Hur skiljer sig Holt-Winters prognoser åt från andra modeller? 1.3 Avgränsningar Det skulle gå att fördjupa sig i saker som påverkar flygtrafiken, saker som naturkatastrofer, finansiella kriser och uppgångar, strejker osv. Det är svårt att ta hänsyn till alla händelser och gör det svårt att skatta dessa händelser då de ger unika utfall. Nämnvärt att säga är också att några prognoser för start respektive landningar för Arlanda samt Landvetter är ej gjorda. Detta då hela uppsatsen handlar om flygtrafiken i hela Sverige och inte specifikt till lokala flygplatser. 1.4 Datamaterial Datamaterialet som har behandlats i denna rapport kommer från Transportstyrelsens egna mätningar. Datamaterialet innehåller 17 variabler(tidsserier) och observationerna är mätta månadsvis. För de allra flesta variabler finns det data från januari 1992 till och med december 2012, totalt 252 observationer. För variablerna Överflygare, IFR-rörelser(inkl. Överflygare), 2

Inrikes landningar, Utrikes linjefart och Utrikes charter sträckers sig tidsserien mellan januari 1996 och december 2012 samt för variabeln Service units finns det data mellan januari 1999 och december 2012. Visas även i tabell 17 i bilaga. 1.4.1 Variabelförklaring Avresande PAX (inrikes linjefart): Antal avresande passagerare, resa inom landet, se figur 1. Avresande PAX (utrikes linjefart): Antal avresande passagerare, resa utrikes, se figur 1. Avresande PAX (utrikes chatertrafik): Antal avresande passagerare, resa utrikes, se figur 1. Landningar (inrikes linjefart): Totala antal landningar, flyg inom Sverige, se figur 2. Landningar (utrikes linjefart): Totala antal landningar, flyg från utrikes, se figur 2. Landningar (utrikes chartertrafik): Totala antal landningar för utrikes charterflyg, se figur 2. IFR-rörelser (Transportstyrelsen, 2014): (Instrument Flight Rules) instrumentflygregler, regler och procedurer som ska följas när ett luftfartyg huvudsakligen flygs med hjälp av instrument för att möjliggöra kontroll av luftfartygets attityd, navigering och separation till hinder, terräng samt i viss utsträckning andra luftfartyg. Rörelser, luftfartygs start och landning på flygplats, se figur 3. Överflygare: Överflygningar är en delmängd av det totala antalet IFR rörelser, flygplan i luftrum över ett område eller land(sverige i detta fall), se figur 3. IFR-rörelser(inkl. Överflygare): IFR-rörelser + Överflygare. Terminaltjänsteeheter(TSU): Används för beräkning av terminalavgift för en flygning inom en specifik avgiftszon. EG-förordning (1794/2006) om ett 3

gemensamt avgiftssystem för flygtrafiktjänster, se figur 4. Service Units (Transportstyrelsen, Trafikprognos luftfart, 2014): Tjänsteenheter används för beräkning av flygtrafikledningstjänst. Start: Antal starter, flyg som startar på respektive flygplats. Landningar: Antal landningar, flygplan som landar på respektive flygplats. 4

jan-96 sep-96 maj-97 jan-98 sep-98 maj-99 jan-00 sep-00 maj-01 jan-02 sep-02 maj-03 jan-04 sep-04 maj-05 jan-06 sep-06 maj-07 jan-08 sep-08 maj-09 jan-10 sep-10 maj-11 jan-12 sep-12 jan-92 dec-92 nov-93 okt-94 sep-95 aug-96 jul-97 jun-98 maj-99 apr-00 mar-01 feb-02 jan-03 dec-03 nov-04 okt-05 sep-06 aug-07 jul-08 jun-09 maj-10 apr-11 mar-12 1.4.2 Tidsserier Här presenteras tidsserierna som används i rapporten. Detta för att ge en överskådlig blick över hur tidsserierna beter sig. Passagerare 1 200 000 Utrikes linjefart Utrikes chartertrafik Inrikes linjefart 1 000 000 800 000 600 000 400 000 200 000 0 Figur 1 Passagerare inrikes linjefart, utrikes linjefart samt utrikes chartertrafik Landningar 20 000 18 000 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0 Inrikes Utrikes linjefart Utrikes charter Figur 2 - Landningar inrikes linjefart, utrikes linjefart samt utrikes chartertrafik 5

jan-99 jan-00 jan-01 jan-02 jan-03 jan-04 jan-05 jan-06 jan-07 jan-08 jan-09 jan-10 jan-11 jan-12 Rörelser 70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0 Överflygare IFR-rörelser (inkl. Överflygare) Figur 3 IFR-rörelser och överflygare Service units 350 000 300 000 250 000 200 000 150 000 100 000 50 000 0 Service Units Figur 4 - Service units 6

2 Metod: I denna del kommer de metoder som används i uppsatsen presenteras, beskrivas och förklaras. Klassisk komponentuppdelning kommer att användas främst för att hitta och urskilja cykler och trender. Holt-Winters metod och Box- Jenkins används för att göra modeller över tidsserierna för att sedan göra prognoser. 2.1 Klassisk komponentuppdelning(multiplikativ) Komponentuppdelning är en metod som delar upp tidsserien i fyra olika komponenter, metoden är inte byggt på någon teoretisk grund utan är helt och hållet en intuitiv metod för att förklara komponenter som inte förändras allt för mycket över tid, Komponenterna kan även kallas faktorer (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005). Trendkomponenten skattas till en linjär variabel som skattar den trend som finns i tidsserien. Säsongskomponenten skattar den säsong som återkommer varje år, vanligtvis tolv olika säsonger då observationerna sker månadsvis, men kan även vara till exempel kvartalsdata. 7

Cykliska komponenten skattar de cykler som finns i tidsserien och rör sig upp och ner runt trendnivån. Längden på en cykel mäts från topp till topp och kan finnas med i serien under en längre eller kortare tid. Oregelbundna komponenten är den komponent som skattar slumpen i modellen. 2.1.1 Beräkning När komponenterna för klassisk komponentuppdelning tas fram görs det i en stegvis process. För att få fram säsongskomponenten( används ett centrerat glidande medelvärd, även kallat CMA(centered moving average). För att beräkna CMA måste först ett glidande medelvärde kallat MA(moving average) skapas. Som beräknas genom att addera antalet säsongers, L, värden och sen dela med L. Nästa MA-värde skapas genom att den första säsongens observation utesluts och istället läggs nästa observation i tidsserien till. Då alla MA-värden är beräknade kan CMA beräknas. Detta beräknas genom att ett antal MA-värden adderas och se divideras med dess antal. Detta är nödvändigt för tidsserier med jämnt antal säsonger. När CMA har tagits fram läggs alla CMA ihop för sin respektive säsong och tar därefter tas ett medelvärde fram på den specifika säsongen 8

=. Därefter normaliseras medelvärdet, detta görs genom att ta antalet säsonger genom summan av säsongerna samt att gångra med medelvärdet för säsongerna. När säsongskomponenterna har tagits fram ska modellen säsongsrensas för att lättare ta fram trendkomponenten. När detta har gjorts skattas med hjälp av minsta kvadratmetoden. Nu när trenden och säsongerna är framtagna kan den cykliska- och oregelbundna komponenten tas fram. För att få fram den cykliska komponenten behöver vi jämna ut den oregelbundna komponenten detta görs genom att ett CMA skapas över i detta exempel används ett CMA på tre. När nu detta är gjort kan den oregelbundna komponenten tas fram och modellen är klar. 9

2.1.1.1 Prognos Efter att de fyra komponenterna har skattats undersöks den oregelbundna komponenten efter mönster. Upptäcks det inget mönster i den oregelbundna faktorn sätts till ett för att inte påverka prognosen. Cykliska faktorn undersöks även efter mönster men då den faktorn om det skulle upptäckas att det inte finns något ordentligt mönster i denna faktor sätts även den till ett i modellen. Efter det sätts de skattade värden som har tagits fram för modellen i ekvationen under för att få fram en prognos för tidpunkt t. Dock finns det ingen teoretisk korrekt metod för att skapa ett prediktionsintervall för. Men en metod som kan användas för att approximera prognosintervall är [ [ ( ]] som anses vara rimligt att använda (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005)där [ ( ] är felmarginalen i ett ( intervall. 10

2.2 Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning metod Holt-Winters är en modellanpassning som lämpar sig till tidsserier som har en trend som ligger på en linjär nivå lokalt om inte i hela tidsserien. Det finns två varianter av modellen där den ena är en additiv modell som används ifall säsongs har en konstant variation. Den andra varianten är den multiplikativ som används ifall tidsserien innehåller en ökande säsongsvariation. Det finns även varianter av modellen där ingen hänsyn tas till trenden, exponentiell säsongsutjämning, modellens parametrar skattas likadant som i Holt-Winters (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005). 2.2.1 Modell Multiplikativ Holt-Winters: ( Additiv Holt-Winters: Exponentiell säsongsutjämning: 11

2.2.2 Beräkningar För att beräkna skattningarna för Holt-Winters metod används följande formler: Skattningen av nivån i tidpunkt ( : ( ) ( ( Skattningen av nivån i tidpunkt ( : ( ( ( Skattningen av trend i tidpunkt : ( ( Skattningen av säsongsfaktorn i tidpunkt ( : ( ) ( Skattningen av säsongsfaktorn i tidpunkt ( : ( ( 2.2.3 Utjämningskonstanter I Holt-Winters metod används tre olika konstanter för att jämna ut modellen. Dessa konstanter har ett värde mellan 0 och 1 som avser hur stor vikt som ska läggas i observation Om konstanten får ett värde nära 1 läggs det större vikt i den nuvarande observationen än den observation som var tidsperioden innan. Även samma sak görs för trenden och säsonger där den lägger vikten för föregående säsong året innan eller trendpunkten innan. För att bestämma värdet på utjämningskonstanterna körs ett flertal iterationer där olika värden av utjämningskonstanterna testas tills en modell som förklarar tidsserien bäst väljs. Utjämningskonstanterna är som är utjämningskonstanten för nivån, för trend och för säsonger. 12

(nivå) Skattningen är nivån i tidpunkten och betecknar skattningen för den senaste säsongsmässiga faktor för motsvarande säsongen i tidspunkten. (multiplikativ), (additiv) är den säsongsrensade observationen i tidpunkt som gångras med utjämningskonstanten som ligger mellan 0 och 1. är det observerade värdet i tidpunkten, är 12 då det är antalet säsonger på ett år och är tidpunkt. (trend) och är skattningen i tidpunkten för tillväxttakten och nivån. Utjämningskonstanten som ligger mellan 0 och 1. (Säsongskomponent) För att beräkna säsongsfaktorn gångras utjämningskonstanten (som ligger mellan 0 och 1) med (multiplikativ) (additiv) som är en skattning av den nuvarande säsongsobservationen. 2.2.4 Prognoser Då alla skattningar är gjorda kan punktprognoser och prediktionsintervall skattas. Punktprognos, ( Punktprognos för den multiplikativa modellen i tidpunkt blir då: ( ( +, där I den additiva modellen läggs alla komponenter till och följande modell skapas: ( +. 13

Vid uträkningen av punktprognosen används som är den senaste skattningen av den säsongsmässiga faktorn för motsvarande säsong i tidspunkten. Prediktionsintervall Multiplikativ: ( ( ( Additiv: ( För att beräkna prediktionsintervall i tidpunkt för krävs en ytterligare beräkning, de relativa standardfelen i tidpunkten : ( [ ( ( ] ( [ ( ] Prediktionsintervall som beräknas på följande sätt: För multiplikativ: ( ( ( Om = 1 är (. Om = 2 är ( ( (. Om = 3 är ( ( ( ( +(. 14

Om ligger mellan 2 och är ( [ ] ( ( För additiv: ( Om = 1 är. Om = 2 τ L är [ ( ]. Om = 3 är [ ( ( ]. Där är 1 om är ett heltal multiplicerat med L annars sätts den som 0. 2.2.5 Simpel exponentiell utjämning(ses) Denna metod är användbar när tidsserier har en tendens att inte visa någon trend eller säsongsvariation. Då skattas för nivån eller medelvärdet för tidsperioden T som är given av utjämningsekvationen. ( är en utjämningskonstant som kan ta ett värde mellan 0 och 1 skattade nivån I T-1- är den ( där Ger en punktprognos I tidsperioden T, för att skatta ett prediktionsintervall används olika metoder beroende hur långt fram det skapas. Om Om Där s räknas ut genom S= [ ( ] [ ] 15

2.3 Box-Jenkins (ARIMA) En tidsserie med n antal observationer, kan modelleras med hjälp av metoden ARMA för att beskriva tidsserien. För att kunna använda ARMAmodeller måste några grundkrav uppfyllas. Först ska tidsserien avgöras om den är stationär eller inte. Är tidsserien inte stationär måste någon form av transformation av tidsserien utföras. För att avgöra om tidsserien är stationär betraktas oftast dess medelvärde och varians. Är dessa konstanta kan tidsserien anses vara stationär. Vidare om tidsserien inte skulle vara stationär kan en differentiering (I) göras. Då kallas modellen istället ARIMA(p, d, q), som består av tre delar, en autoregressiv(ar) del, en del som består av ett antal differentieringar, integreringar (I) och en del som består av glidande medelvärde(ma) (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005). Om tidsserien inte är stationär kan en differentiering (I) göras dvs. där. Skulle tidsserien fortfarande inte vara stationär efter den första differentiering kan en ytterligare, en andra, differentiering göras som ser ut. där t = 3,4,...,n. Den autoregressiva(ar) modellen är av ordningen p och skrivs på följande sätt: Där är en konstant,,,, är okända vikter som relaterar till,,,. Den autoregressiva delen hänvisar till att denna modell beräknar med funktionen av tidigare värden(,,, ) den aktuella tiden i tidsserien. Feltermen antas vara normalfördelad med medelvärde 0 och varians σ 2. 16

Glidande medelvärde(ma) av ordningen q: Där är en konstant,,,, är okända vikter som relaterar till,,,. Det glidande medelvärdes-delen visar att denna modell använder sig förutom av den aktuella feltermen föregående feltermen,,, o, och dessutom den ( o r an onn o h r. 2.3.1 Airline modell Denna modell hänvisar till en ARIMA(0,1,1)(0,1,1) modellering som är användbar för säsongsdata med en linjär trend. 2.3.2 SARIMA Är det istället en säsongsbaserad tidsserie används SARIMA som tar hänsyn till säsonger i dess ekvationer, som ger oss en modell av ordning SARIMA(p, d, q)x(p, D, Q). För att för nk a användand t av S R M används n backshift op ratör so skrivs som B. B skiftar indexet av en observation i tidsserien med en period vilket ger (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005): Nästa B är vilket skiftar indexet av observationen med k perioder: Även här som i ARIMA behöver tidsserien vara stationär. För att göra detta behövs den icke säsongsbetonade operatören definieras vilket blir: 17

Och den säsongsbetonade operatören till: Vilket ger den allmänna stationärhetsomvandling till: Där d är vilken nivå av icke säsongsbetonad differenseringen som har används och D är differenseringen på den säsongsbetonade nivån. Den säsongbaserade autoregressiva(ar)s, där s står för säsong, modellen är av ordningen P och skriv på följande sätt: Där är en konstant,,,, är okända vikter som relaterar till,,,.. L bestämmer antalet säsonger, till exempel tolv som är antalet säsonger på ett år. Det säsongsbaserade glidande medelvärdet(ma)s, där s står för säsong, av ordningen Q: Där är en konstant,,,, är okända vikter som relaterar till,,, o ( o r an onn o h r. 18

2.4 Transformation Om det finns en antydning till att variansen i en tidsserie ökar samtidigt som seriens värden ökar, kan en transformering av variabeln vara nödvändig. I denna uppsats används logaritmering av vissa tidsserier. 2.5 Mått på prognosers noggrannhet I denna uppsats jämnförs alla de olika felmått, RMSE, MAPE, R 2, AIC och BIC. För att få en djupare inblick och kanske hitta något felmått som är något bättre de andra. Transportstyrelsen använder sig enbart av R 2. 2.5.1 Roten ut medelkvadratavvikelsen(rmse) RMSE är roten ur residualsumman dividerat med antalet observationer. RMSE är ett vanligt felmått för att undersöka modeller. ( 2.5.2 Genomsnittliga absoluta procentavvikelsen(mape): Ett mått som kan användas för att jämföra olika modeller av tidsserier är MAPE. Detta mått ska vara så nära noll som möjligt, som är ett perfekt MAPEvärde. Ju lägre MAPE-värde desto bättre är modellen då den mäter det genomsnittliga absoluta procentavvikelsen. Formeln lägger mindre vikt på de stora residualerna och kan användas vid jämförelser mellan olika tidsserier, men kan ge problem om tidsserien varierar kraftigt eller ligger nära noll. Tolkning av detta mått är enkel eftersom summan i varje term är motsvarande tidspunkts procentuella prognosfel (SAS), (Bowerman, O'Connell, & Koehler, 2005). 19

2.5.3 Determinationskoefficienten (R 2 ) Determinationskoefficienten är ett mått på hur väl en modell förklarar och replikerar data. Den är även kallad förklaringsgraden. Förklaringsgraden ligger mellan noll och ett, ett säger att det är en perfekt modell (SAS). ( ( 2.5.4 AIC och BIC AIC, Akaike Information Criterion används som selektionskriterium och ges av formeln (SAS): ( Den första delen av formeln består av antalet observationer(n) multiplicerat med den naturliga logaritmen multiplicerat med MSE medan den andra delen av formeln är en bestraffning för hur många parametrar som används då k är antalet parametrar i den skattade modellen som multipliceras med 2. BIC, Bayesian Information Criterion är ett annat selectionskriterium som är relaterat till AIC (SAS): ( ( Formelns första del är precis likadan som i AIC men den andra delen bestraffar BIC-värdet hårdare än i AIC-formeln. Här är det istället antal parametrar multiplicerat med den naturliga logaritmen multiplicerat med antalet observationer. 20

Låga AIC och BIC värden är att föredra då en modell ska väljas. Eftersom BIC straffar extra parametrar hårdare än AIC, kommer BIC alltid att välja en modell med lika eller färre parametrar än AIC, som därför kan användas när en modell undersöks om den är överanpassad. 2.6 SAS forecasting För att ta fram skattningarna av modellerna i denna uppsats har (SAS, 2014) forecasting används. Forecasting använder sig av en algoritm som kallas STEPAR som består av 5 olika steg. 1. Anpassar en trend till modellen med minsta kvadratmetoden. 2. Tar residualerna från steg 1 och beräknar autokovariansen och laggar dem. 3. Återger de nuvarande värdena mot lag, använder sig autokovariansen från steg 2. 4. Hittar den autoregressiva parameter som är minst signifikant och fortsätter processen tills enbart signifikant parametrar finns kvar. 5. Genererar prognosen med hjälp av den skattade modellen. 21

3 Resultat och analys I denna del av rapporten kommer resultaten att presenteras genom olika former via tabeller, diagram och analytisk text. För varje variabels tidsserie skattas modeller för de olika metoderna från modellavsnittet dvs. komponentuppdelning, Holt-Winters och SARIMA. Modellerna är framtagna främst med hjälp av SAS som beräknar fram den bästa modellen. Val av intervention har lagts till och lett till en förbättring av vissa modeller. De kriterier som avgjort vilken modell som har tagits fram har varit MAPE samt BIC. 3.1 Komponentuppdelning Multiplikativ 3.2 Trend Trendfunktionerna är framtagna där MA(moving average) valts till 3 för att det gav det bästa utfallet för komponentuppdelningen. Dessa funktioner är bara en skattning av en trendlinje, en linjär linje. Tidsserie: Trendfunktion: Utrikes linjefart = 223751 + 2351*t Utrikes charter = 139716 + 87,2*t Inrikes linjefart = 599662-152,421*t Överflygare = 11549,4 + 73,4*t IFR-rörelser (Inkl. överflygare) = 51541,9 + 32,4*t Service units = 186424 + 511*t Landningar inrikes linjefart = 15362,0-25,7731*t Landningar utrikes linjefart = 7903,83 + 3,09*t Landningar inrikes charter = 1386,78-0,375943*t Landningar Landvetter = 2492,71 + 1,16*t Starter Landvetter = 2486,96 + 1,19*t Terminal tjänsteenheter Landvetter = 2209,49 + 2,41*t Landningar Arlanda = 10648,9-6,78519*t Starter Arlanda = 10646,0-6,77952*t Terminal tjänsteenheter Arlanda = 9654,79 + 2,05*t Tabell 1 Trendkomponent 22

3.2.1 Säsong Säsongerna är framtagna med hänsyn till tidsserierna där antalet säsonger är 12 som är antalet månader. Detta görs för att se om det finns några säsonger i datamaterialet. Samtliga diagram under denna sektion visar värden som jämförs med trendlinjen. 3.2.1.1 Inrikes- utrikes linjefart och utrikes chartertrafik passagerare: Det som visas i figur 5 är en väldigt tydlig säsong för de olika variablerna. Avresandes inrikespassagerare har sin lågsäsong i juli medan avresande charterpassagerare pikar under just denna tidpunkt. Det kan givetvis förklaras med att de flesta personer har sin semester under denna månad och väljer kanske att åka iväg på en chaterresa. För variabeln avresande utrikeslinjefartpassagerare råder lågsäsongen runt månaderna december januari och har sin högsta punkt precis innan semestermånaden juli. Procent 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 Utrikes linjefart Utrikes chartertrafik Inrikes linjefart Figur 5 Komponentuppdelning säsonger: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik PAX 23

3.2.1.2 IFR-rörelser, Service units och överflygare: För variablerna Överflygare, IFR-rörelser(inkl. Överflygare) och Terminaltjänsteenheter ses en tydlig säsong i figur 6. Då alla följs åt i en lågsäsong efter oktober och börjar återhämta sig i februari. Alla variablerna följs åt under nästan hela året förutom i juli då överflygare har en topp samtidigt som IRF-rörelser och terminaltjänsteenheter avtar ganska mycket. Procent Överflygare IFR-rörelser (inkl. överflygare) Terminal service units 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 Figur 6 Komponentuppdelning säsonger: IFR-rörelser Överflygningar Service units 3.2.1.3 Landningar: Då det är en stark korrelation mellan variablerna avresande passagerare och antal landningar följs säsongerna åt på samma sätt som i figur 7. En tydlig lågsäsong för inrikes landningar sker i juli och chartertrafiken når sin topp under säsongen under juni. 24

Procent 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Inrikes Utrikes linjefart Utrikes charter Figur 7 Komponentuppdelning säsonger: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik landningar 3.2.1.4 Arlanda: I figur 8 följs säsongerna åt under hela året och säsongerna är näst intill identiska, om ett flygplan landar på Arlanda är det mycket troligt att det flygplanet också startar där. Säsonger syns tydligt och den har sin lägsta punkt i juli för samtliga tre variabler men även runt december och januari råder det en viss lågsäsong. Procent 1,2 Landningar Starter Terminal service units 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 Figur 8 Komponentuppdelning säsonger: Starter, Landningar och TSU Arlanda 25

3.2.1.5 Landvetter: Samma sak i figur 9 som i figuren för Arlanda. De tre variablerna följs åt under hela perioden och har sina tydliga lågsäsonger i juli samt runt december och januari. Procent 1,2 Landningar Starter Service units 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 Figur 9 Komponentuppdelning säsonger: Starter, Landningar och TSU Landvetter 26

Jan1992 Jan1993 Jan1994 Jan1995 Jan1996 Jan1997 Jan1998 Jan1999 Jan2000 Jan2001 Jan2002 Jan2003 Jan2004 Jan2005 Jan2006 Jan2007 Jan2008 Jan2009 Jan2010 Jan2011 Jan2012 3.2.2 Cykler: Låg- och högkonjunkturer i samhället går i cykler. Sen finns det andra saker som naturkatastrofer, krig, terrorism och strejker är händelser som påverkar tidsserierna. 3.2.2.1 Inrikes- utrikes linjefart och utrikes chartertrafik passagerare: Vad som kan urskiljas är att fram till 2001 var att antalet passagerare för samtliga tre tidsserier i figur 10 antingen, aningen växande eller stabila men sedan avtar alla efter 2001. Detta kan förklaras med kapningarna av flygplanen som flögs in i World Trade Center. Något år efter den tragedin håller sig utrikes- och inrikes linjefart passagerare mer eller mindre stabila fram till 2008 då finanskrisen slog till. Då sjunker antalet avresande passagerare igen för samtliga avgångssätt för att sedan återhämta sig något fram mot 2012. Procent Utrikes linjefart Utrikes charter Inrikes pax 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Figur 10 Cykliska komponenten: Inrikes-, utrikes linjefart och chartertrafik PAX 3.2.2.2 Inrikes- utrikes linjefart och utrikes chartertrafik landningar: Antalet landningar ökade ganska kraftigt från 1996 fram till 2001 och därefter avtog antalet landningar för samtliga variabler. Samma sak händer igen runt 27

Jan1996 Jan1997 Jan1998 Jan1999 Jan2000 Jan2001 Jan2002 Jan2003 Jan2004 Jan2005 Jan2006 Jan2007 Jan2008 Jan2009 Jan2010 Jan2011 Jan2012 Jan1996 Jan1997 Jan1998 Jan1999 Jan2000 Jan2001 Jan2002 Jan2003 Jan2004 Jan2005 Jan2006 Jan2007 Jan2008 Jan2009 Jan2010 Jan2011 Jan2012 2008 i och med att finanskrisen slår till. Efter det hämtar sig och ökar både inrikes och utrikes linjefart igen medan utrikes charter faller än en gång efter 2010 som visas i figur 11. Procent 1,3 Inrikes linjefart Utrikes linjefart Utrikes charter 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 Figur 11 Cykliska komponenten: Inrikes-, Utrikes linjefart och chartertrafik PAX 3.2.2.3 IFR-rörelser och överflygare: Cykler som ses i figur 12 beror på, som beskrivits tidigare, främst på 9/11 och finanskrisen 2008. Topparna sker precis innan dessa händelser inträffar. Procent 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 Överflygare IFR-rörelser Figur 12 Cykliska komponenten: IFR-rörelser och överflygningar 28

Jan1999 Jan2000 Jan2001 Jan2002 Jan2003 Jan2004 Jan2005 Jan2006 Jan2007 Jan2008 Jan2009 Jan2010 Jan2011 Jan2012 3.2.2.4 Service units Två tydliga lågpunkter ses i figur 13 och en topp. Toppen är precis innan finanskrisen och efterföljande avtagande kurva beror på just krisen. Den andra lågpunkten kom efter attentaten på World Trade Center som skedde i september 2001. Procent 1,2 Service Units 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 Figur 13 Cykliska komponenten: Service units 3.2.2.5 Arlanda: Alla cyklerna för variablerna i figur 15 och 16 följs åt genom hela tidsserien och har samma cykliska toppar och dalar. Dalarna är efter 9/11 och efter finanskrisen 2008 samt att toppar som sticker ut är precis innan dessa händelser. 29

Jan1992 Jan1993 Jan1994 Jan1995 Jan1996 Jan1997 Jan1998 Jan1999 Jan2000 Jan2001 Jan2002 Jan2003 Jan2004 Jan2005 Jan2006 Jan2007 Jan2008 Jan2009 Jan2010 Jan2011 Jan2012 Jan1992 Jan1993 Jan1994 Jan1995 Jan1996 Jan1997 Jan1998 Jan1999 Jan2000 Jan2001 Jan2002 Jan2003 Jan2004 Jan2005 Jan2006 Jan2007 Jan2008 Jan2009 Jan2010 Jan2011 Jan2012 Procent 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 Landningar Starter TSU Figur 14 Cykliska komponenten: Starter, Landningar och TSU Arlanda 3.2.2.6 Landvetter: Procent 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 Landningar Starter TSU Figur 15 Cykliska komponenten: Starter, Landningar och TSU Landvetter 30

3.3 Holt-Winters I den här delen av analyskapitlet undersöks de metoder som används av Transportstyrelsen. Dessa modeller är framtagna med hjälp av SAS som även transportstyrelsen använder sig av när de skapar sina modeller. De modeller som har tagits fram är inte de exakta modeller som Transportstyrelsen har, utan skiljer sig då data som analyseras har ett år mer data än deras modeller. Modeller Det selektiva kriterium som har valts för att få fram de bästa Holt- Wintersmodellerna i SAS är MAPE. Variabel Modell MAPE RMSE BIC Inrikes Additiv 3.89288 29212 0.894 5198.9 linjefart pax Holt- Utrikes linjefart pax Utrikes charter pax Inrikes linjefart landningar Utrikes linjefart landningar Utrikes charter landningar Överflygare IFR-rörelser (inkl. Överflygare) Winters Multiplikativ Holt- Winters Seasonal exponential smoothing Log Additiv Holt- Winters Log Seasonal exponential smoothing Seasonal exponential smoothing Log Additiv Holt- Winters Seasonal exponential smoothing 6.16288 11057 0.943 5127.7 2.862093 25362 0.982 4703.7 3.88746 638 0.941 2650.81 3.15649 340 0.868 2389.04 4.60024 75 0.911 1773.52 1.94076 566 0.987 2601.75 2.51743 1842 0.892 3078.26 31

Service Units Terminal tjänsteenheter Arlanda Landningar Arlanda Start Arlanda Terminal tjänsteenheter Landvetter Landningar Landvetter Start Landvetter Additiv Holt- Winters Log Additiv Holt- Winters Log Additiv Holt- Winters Log Additiv Holt- Winters Log Additiv Holt- Winters Log Additiv Holt- Winters Log Additiv Holt- Winters 2.39494 7613 0.943 3018.4 2.71132 355 0.915 2976.0 2.880282 366 0.929 2991.5 2.88044 366 0.929 2991.0 3.14203 107 0.919 2369.4 3.483468 120 0.885 2429.0 3.46515 119 0.886 4703.7 Tabell 2 Modeller Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning Det som tydligt visas är de samband som finns hos de två flygplatserna där variablerna: Landningar, Terminaltjänsteenheter och starter hos Arlanda respektive Landvetter får samma modell (Log additiv Holt-Winters modell). Vad som kan ses på samtliga modeller är förklaringsgraden ( ) som ligger över 85 procent. Vilket kan anses som ett bra resultat för modellerna. 32

3.3.1 Parameterskattning Tidsserierna som visas i tabell 3 har modellerats med hjälp av Holt-Winters finns det en gemensam skattning av i samtliga modeller där den skattas väldigt nära noll vilket betyder att samtliga Holt-Winters lägger stor vikt vid den föregående skattningen av ( ) än i den nivåskillnad som uppkommer i nästa tidpunkt. Samma skattning av utjämningskonstant förekommer även i säsongsutjämningen där det läggs väldigt stor vikt i säsongen året innan förutom i utrikes chartertrafik och passagerare för utrikes charter. Nivån,, skattas till en relativt neutral utjämningskonstant vilket ligger nära 0,5 i de flesta modeller vilket tyder på att skattningen av nivån tar hänsyn till både föregående nivå samt nivån för observationstidpunkten. Variabel Inrikes linjefart 568878-132.9469 0.37677 0.00100 0.26714 pax Utrikes linjefart 833528 2286 0.35553 0.00100 0.50474 pax Utrikes charter 151768 ----- 0.44092 ----- 0.99900 pax Inrikes linjefart 9.25868-0.00192 0.23621 0.00100 0.00100 landningar Utrikes linjefart 9.01643 ----- 0.58524 ----- 0.00100 landningar Utrikes charter 1152 ----- 0.60947 ----- 0.93101 landningar Överflygare 10.07272 0.00380 0.65860 0.00100 0.00100 IFR-rörelser 55898 ----- 0.47781 ----- 0.00100 (inkl. Överflygare) Service Units 252299 456.97997 0.60860 0.00100 0.00100 Terminal 9.18811 0.0001879 0.57475 0.00100 0.00100 tjänsteenheter Arlanda Landningar 9.05015 0.0006999 0.49820 0.00100 0.00100 Arlanda Start Arlanda 9.04956 0.0007035 0.49999 0.00100 0.00100 Terminal 7.85542 0.0009195 0.56067 0.00100 0.00100 33

tjänsteenheter Landvetter Landningar 7.79928 0.0003313 0.50239 0.00100 0.00100 Landvetter Start Landvetter 7.79855 0.0003597 0.50672 0.00100 0.00100 Tabell 3 Parameterskattning Holt-Winters och säsongsbetonad exponentiell utjämning 34

3.4 Felmått SARIMA mot Holt-winters och exponentiell säsongsutjämning Här presenteras de olika modellerna som valts ut efter de olika felmåttskriterierna BIC, AIC, och MAPE. Modellernas felmått jämförs mot varandra. Samtliga Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning får bättre värden på R 2 vilket ses i tabell 5. BIC MODEL RMSE MAPE AIC BIC R 2 Avresande passagerare (Inrikes linjefart) HW - Additive Airline Model 29212 30796 3,9 4,2 5188 4944 5199 4951 0,894 0,886 Avresande passagerare(utrikes linjefart) SES ARIMA(0,1,1)s NOINT 11057 20588 6,2 11,6 4697 4770 4704 4773 0,943 0,800 Avresande passagerare(utrikes chartertrafik) Landningar (Landvetter) Start (Landvetter) Terminaltjänsteenheter (Landvetter) Landningar(Arlanda) Start (Arlanda) Terminaltjänsteenheter (Arlanda) Överflygare IFR-rörelser(inkl. Överflygare) HW - Multiplicative Log Airline Model* Log HW - Additive Log Airline Model Log HW - Additive Log Airline Model Log HW - Additive Log Airline Model Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive ARIMA(0,2,2)(0,1,1)s NOINT SES ARIMA(0,1,1)s 35 25362 26341 120 131 119 130 107 116 366 383 366 383 355 373 566 659 1842 3879 2,9 3,0 3,5 3,8 3,5 3,8 3,1 3,4 2,9 2,9 2,9 3,0 2,7 2,7 1,9 2,3 2,5 5,7 5117 4870 2418 2334 2417 2332 2359 2277 2981 2849 2980 2849 2965 2837 2592 2472 3072 3175 5128 4876 2429 2340 2427 2339 2369 2284 2992 2859 2991 2859 2976 2847 2602 2482 3078 3178 0,982 0,979 0,885 0,859 0,886 0,860 0,919 0,897 0,929 0,925 0,929 0,925 0,915 0,906 0,987 0,980 0,892 0,479

NOINT Landningar(Inrikes linjefart) Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s HW - Additive Airline Model* 638 685 3,9 4,3 2641 2500 Landningar(Utrikes linjefart) 340 445 3,2 4,0 2382 2496 Landningar(Utrikes 75 4,6 1767 chartertrafik) 89 5,3 1838 Service Units 7613 2,4 3009 8480 2,6 2808 * SARIMA-modellen är stationär, SES(exponentiell säsongsutjämning) Tabell 4 - Modellval med BIC som kriteriet 2651 2510 2389 2509 1774 1851 3018 2814 0,941 0,932 0,868 0,774 0,911 0,877 0,943 0,925 36

AIC MODEL RMSE MAPE AIC BIC R 2 Avresande passagerare HW - Additive 29212 3,9 5188 5199 0,894 (Inrikes linjefart) Airline Model 30796 4,2 4944 4951 0,886 Avresande passagerare(utrikes linjefart) SES ARIMA(0,1,1)s NOINT 11057 20588 6,2 11,6 4697 4770 4704 4773 0,943 0,800 Avresande passagerare(utrikes chartertrafik) Landningar (Landvetter) Start (Landvetter) Terminaltjänsteenheter (Landvetter) Landningar(Arlanda) Start (Arlanda) Terminaltjänsteenheter (Arlanda) Överflygare IFR-rörelser(inkl. Överflygare) HW - Multiplicative Log Airline Model* Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive ARIMA(0,2,2)(0,1,1)s NOINT* SES ARIMA(0,1,1)s NOINT 37 25362 26341 120 130 120 129 107 115 366 383 366 383 355 373 566 659 1842 3879 2,9 3,0 3,5 3,8 3,5 3,8 3,1 3,4 2,9 2,9 2,9 3,0 2,7 2,7 1,9 2,3 2,5 5,7 5117 4870 2419 2332 2417 2331 2359 2275 2981 2849 2980 2849 2965 2837 2592 2472 3072 3175 5128 4877 2429 2342 2427 2341 2369 2285 2992 2859 2991 2859 2976 2847 2602 2482 3078 3178 0,982 0,979 0,885 0,861 0,886 0,861 0,919 0,898 0,929 0,925 0,929 0,925 0,915 0,906 0,987 0,980 0,892 0,479

Landningar(Inrikes linjefart) Landningar(Utrikes linjefart) Landningar(Utrikes chartertrafik) Service Units Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s HW - Additive ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT* 638 685 340 445 75 89 7613 8410 3,9 4,3 3,2 4,0 4,6 5,3 2,4 2,6 2641 2500 2382 2496 1767 1838 3009 2808 * SARIMA-modellen är stationär, SES(exponentiell säsongsutjämning) Tabell 5 - Modellval med AIC som kriteriet 2651 2510 2389 2510 1774 1851 3018 2817 0,941 0,932 0,868 0,774 0,911 0,877 0,943 0,926 När AIC används som modellkriterium syns det tydligt i tabell 6 att Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning har bättre R 2 -värden på samtliga tidsserier. Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning får även bättre värden på MAPE och RMSE i samtliga fall. SARIMA modellerna får bäst AIC- och BICvärden i alla tidsserier förutom där SES har anpassats som modell. MAPE MODEL RMSE MAPE AIC BIC R 2 Avresande passagerare (Inrikes linjefart) HW - Multiplicative Airline Model 29421 30796 3,9 4,2 5192 4944 5202 4951 0,893 0,886 Avresande passagerare(utrikes linjefart) Log SES Log ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 11300 12910 5,8 6,7 4708 4779 4715 4793 0,940 0,922 Avresande passagerare(utrikes chartertrafik) Landningar (Landvetter) Start (Landvetter) HW - Multiplicative Log Airline Model* Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT 25362 26341 120 130 119 129 2,9 3,0 3,5 3,8 3,5 3,8 5117 4870 2418 2332 2417 2331 5128 4876 2429 2342 2427 2341 0,982 0,979 0,885 0,861 0,886 0,861 38

Terminaltjänsteenheter (Landvetter) Landningar(Arlanda) Start (Arlanda) Terminaltjänsteenheter (Arlanda) Överflygare IFR-rörelser(inkl. Överflygare) Landningar(Inrikes linjefart) Landningar(Utrikes linjefart) Landningar(Utrikes chartertrafik) Service Units Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,2)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT HW - Multiplicative Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Airline Model* SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s Log HW - Additive Log ARIMA(0,1,2)(0,1,1)s NOINT Log SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s HW - Additive ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT* 107 115 366 383 366 383 366 373 566 649 1842 2636 638 699 340 445 75 89 7613 8410 3,1 3,4 2,9 2,9 2,9 3,0 2,7 2,7 1,9 2,3 2,5 3,4 3,9 4,3 3,2 4,0 4,6 5,3 2,4 2,6 * SARIMA-modellen är stationär, SES(exponentiell säsongsutjämning) Tabell 6 - Modellval med MAPE som kriteriet 2359 2280 2981 2849 2980 2849 2981 2837 2592 2478 3072 3222 2641 2508 2382 2496 1767 1838 3009 2808 2369 2297 2992 2859 2991 2859 2992 2847 2602 2484 3078 3235 2651 2517 2389 2509 1774 1851 3018 2817 0,919 0,898 0,929 0,925 0,929 0,925 0,910 0,906 0,987 0,981 0,892 0,778 0,941 0,929 0,868 0,774 0,911 0,877 0,943 0,926 Tre SARIMA modeller uppnår stationäritet, samtliga Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning uppnår bättre värden på MAPE, RMSE och R 2 jämfört med SARIMA modellerna vilket visas i tabell 7. 39

R 2 MODEL RMSE MAPE AIC BIC R 2 Avresande passagerare (Inrikes linjefart) HW - Additive ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s 29212 30790 3,9 4,2 5188 4946 5199 4957 0,894 0,886 Avresande passagerare(utrikes linjefart) Avresande passagerare(utrikes chartertrafik) Landningar (Landvetter) Start (Landvetter) Terminaltjänsteenheter (Landvetter) Landningar(Arlanda) Start (Arlanda) Terminaltjänsteenheter (Arlanda) Överflygare IFR-rörelser(inkl. Överflygare) NOINT SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s HW - Multiplicative Log Airline Model* Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,2)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,2)(0,1,1)s NOINT Log HW - Additive ARIMA(2,1,2)(0,1,1)s NOINT SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s 40 11057 12771 25362 26341 120 130 119 129 107 115 366 383 366 381 355 371 566 645 1842 2636 6,2 6,9 2,9 3,0 3,5 3,8 3,5 3,8 3,1 3,4 2,9 2,9 2,9 3,0 2,7 2,7 1,9 2,3 2,5 3,4 4697 4773 5117 4870 2418 2332 2417 2331 2359 2275 2981 2849 2980 2851 2965 2839 2592 2481 3072 3222 4704 4787 5128 4876 2429 2342 2427 2341 2369 2285 2992 2859 2991 2868 2976 2856 2602 2498 3078 3235 0,943 0,924 0,982 0,979 0,885 0,861 0,886 0,861 0,919 0,898 0,929 0,925 0,929 0,926 0,915 0,907 0,987 0,981 0,892 0,778

Landningar(Inrikes linjefart) Landningar(Utrikes linjefart) Landningar(Utrikes chartertrafik) Service Units Log HW - Additive Log ARIMA(2,1,0)(0,1,1)s NOINT Log SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s SES ARIMA(2,0,0)(1,0,0)s HW - Additive ARIMA(2,1,2)(0,1,1)s NOINT* 638 685 340 445 75 89 7613 8379 3,9 4,3 3,2 4,0 4,6 5,3 2,4 2,6 2641 2500 2382 2496 1767 1838 3009 2810 * SARIMA-modellen är stationär, SES(exponentiell säsongsutjämning) Tabell 7 - Modellval med R 2 som kriteriet 2651 2510 2389 2509 1774 1851 3018 2826 0,941 0,932 0,868 0,774 0,911 0,877 0,943 0,927 Med R 2 som kriterium får samtliga Holt-Winters och exponentiell säsongsutjämning bättre värden. Det som kan tas i hänsyn är att vissa modeller får samma MAPE värden. 3.5 Prognoser Utifrån resultat och analysdelen framgick det att Holt-Winters modeller är den mest framgångsrika metoden att göra prognoser med. I denna del presenteras två-åriga prognoser med ett 80-procentigt konfidensintervall i diagramform, exakta nummer för varje prognos finns i tabeller under bilaga. Anledningen till att ett 80-procentigt konfidensintervall valdes grundar sig i att när Transportstyrelsens gör sina egna prognoser använder de just 80-procentigt konfidensintervall. 41

Jan2013 Mar2013 May2013 Jul2013 Sep2013 Nov2013 Jan2014 Mar2014 May2014 Jul2014 Sep2014 Nov2014 Jan2013 Mar2013 May2013 Jul2013 Sep2013 Nov2013 Jan2014 Mar2014 May2014 Jul2014 Sep2014 Nov2014 Det finns en liten skillnad mellan de två prognostiserade åren. Dock tyder prognosen på en negativ trend i figur 16. Passagerare 800000 700000 600000 500000 400000 Prognos 80% K.I 300000 200000 Figur 16 - Inrikes linjefart pax Under året 2014 ses en ökning vad det gäller passagerare för utrikes linjefart jämfört med prognosen för 2013. Den ökningen är stabil året genom, se tabell 10 i bilaga. Passagerare 1200000 1100000 1000000 900000 800000 700000 600000 500000 Prognos 80% K.I Figur 17 - Utrikes Linjefart pax 42

Jan2013 Mar2013 May2013 Jul2013 Sep2013 Nov2013 Jan2014 Mar2014 May2014 Jul2014 Sep2014 Nov2014 Jan2013 Mar2013 May2013 Jul2013 Sep2013 Nov2013 Jan2014 Mar2014 May2014 Jul2014 Sep2014 Nov2014 I figur 18 visar prognosen att det inte kommer vara någon skillnad mellan 2013 och 2014 vad det gäller passagerare på charterplan. Passagerare 300000 250000 200000 150000 100000 Prognos 80% K.I 50000 0 Figur 18 - Utrikes charter pax En negativ trend prognostiseras för flygplan inom inrikes linjefart se tabell 12 i bilaga. Landningar 14000 13000 12000 11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 Prognos 80% K.I Figur 19 - Inrikes linjetrafik flygplan För det första året som prognostiseras råder det en negativ trend jämfört med föregående år. Som sedan under 2014 vänds till en positiv trend som håller i sig 43

Jan2013 Mar2013 May2013 Jul2013 Sep2013 Nov2013 Jan2014 Mar2014 May2014 Jul2014 Sep2014 Nov2014 Jan2013 Mar2013 May2013 Jul2013 Sep2013 Nov2013 Jan2014 Mar2014 May2014 Jul2014 Sep2014 Nov2014 hela året i figur 20. Landningar 11000 10000 9000 8000 7000 Prognos 80% K.I 6000 5000 Figur 20 - Utrikes linjefart flygplan Under 2013 sjunker antalet landningar av charterplan jämfört med 2012 som sedan under 2014 ökar se tabell 14 i bilaga. Landningar 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 Prognos 80% K.I Figur 21 - Utrikes charter flygplan 44

Jan2013 Mar2013 May2013 Jul2013 Sep2013 Nov2013 Jan2014 Mar2014 May2014 Jul2014 Sep2014 Nov2014 Jan2013 Mar2013 May2013 Jul2013 Sep2013 Nov2013 Jan2014 Mar2014 May2014 Jul2014 Sep2014 Nov2014 Vad det gäller överflygare kommer det till antalet att öka för varje månad efter juni 2013 jämfört med föregående års månad se figur 22. Landningar 33000 31000 29000 27000 25000 23000 21000 19000 17000 15000 Prognos 80% K.I Figur 22 - Överflygare flygplan IFR-rörelser samt överflygare håller sig på en konstant nivå, vad det gäller från år 2013 till år 2014 se tabell 16 i bilaga. Landningar 70000 65000 60000 55000 50000 Prognos 80% K.I 45000 40000 Figur 23 - IFR-rörelser + överflygare flygplan 45