Inlämningsuppgift-VT lösningar

Inlämningsuppgift-VT lösningar A 1. En van Oddset-spelare har under lång tid studerat hur många mål ett visst lag gör i ishockeymatcher och vet att sannolikheterna beskrivs av följande tabell: Mål 0 1 2 3 4 fler än fyra Sannolikhet 0.07 0.19 0.26 0.21 0.14 Låt X stå för antalet mål laget gör. (a) Sannolikheten att laget gör fler än fyra mål, dvs P (X > 4), kan beräknas på två sätt: Beräkning av den sannolikhet som saknas, dvs P (X > 4), genom att summera ihop alla givna sannolikheter, dvs P (X = 1) + P (X = 4) = 0.87. Eftersom summan av alla sannolikheter måste vara 1 blir P (X > 4) = 1 0.87 = 0.13. Utnyttjas motsatser inses att P (X > 4) = 1 P (X 4) vilket ger samma resultat som ovan. (b) Sannolikheten att laget gör två mål eller färre, dvs P (X 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0.52. 2. Då man planterar en viss typ av växt måste man ta i beräkning att inte alla växer ut till vackra blommor av högsta kvalitet. Man planerar växterna fyra och fyra och vet att sannolikheten för blommor av högsta kvalitet i en plantering fördelar sig enligt följande tabell: Blommor 0 1 2 3 4 Sannolikhet 0.05 0.20 0.60 Låt X stå för antalet blommor som växer ut till vackra blommor av högsta kvalitet. (a) Det som söks är P (X = 0) och P (X = 4). Vi vet att P (X = 4) = 2P (X = 0). Om vi gör enkelhets skull betecknar P (X = 0) med p så kan vi räkna ut denna på följande sätt: p + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + 2p = 1 Ur detta följer att 3p = 1 0.05 0.20 0.60 = 0.15 vilket betyder att P (X = 0) = 0.05 och P (X = 4) = 0.10. 1

B (b) Sannolikheten att man får en eller två blommor av högsta kvalitet kan skrivas som P (1 X 2) vilket är P (X = 1) + P (X = 2) = 0.05 + 0.20 = 0.25. 1. Låt X står för inkomsterna från äppelförsäljningen. Den variabeln kan antas vara normalfördelad. Vi vet också att risken är 5 % att inkomsterna från försäljningen underskrider 70000 kronor och att chansen är 10 % att den överstiger 120000 kronor. Detta kan beskrivas på följande sätt grafiskt: 5% 10% 70 120 Med sedvanlig standardisering fås följande uttryck: ( X µ P (X < 70) = P < 70 µ ) ( = P z < 70 µ ) = 0.05 och ( X µ P (X > 120) = P > 120 µ ) ( = P z > 120 µ ) = 0.10 Samtidigt ser vi ur tabell att P (z < 1.64) = 0.05 och P (z > 1.28) = 0.10, dvs 5% 10% 1.64 1.28 Det betyder att högerleden i uttrycken ovan och dessa värden måste stämma överens, dvs 70 µ = 1.64 och 120 µ = 1.28 2

Detta är ett ekvationssystem, och det finns flera sätt att lösa det. Ett är att plocka loss µ ur vart och ett av sambanden: µ = 70 + 1.64 och µ = 120 1.28 Sätts dessa uttryck ihop fås att 70 + 1.64 = 120 1.28 vilket ger att = 17.12 tusen kr vilket var det som söktes. 2. Låt X stå för vikten uppmätt med den felaktiga vågen. Den kan betraktas som normalfördelad. Vi får veta att 10% av gångerna så visar vågen en vikt på 90 gram eller mindre och 1% av gångerna en vikt på 105 gram eller mer. Det som söks är den genomsnittliga vikten som vågen visar, dvs µ. I likhet med föregående uppgift kan detta beskrivas grafiskt, men för att spara utrymme görs det inte för denna uppgift. Istället går vi till ekvationssystemet: ( X µ P (X < 90) = P < 90 µ ) ( = P z < 90 µ ) = 0.10 och ( X µ P (X > 105) = P > 105 µ ) ( = P z > 105 µ ) = 0.01 Samtidigt ser vi ur tabell att P (z < 1.28) = 0.10 och P (z > 2.33) = 0.01, dvs 90 µ = 1.28 och 105 µ = 2.33 Vi söker genomsnittet µ, men det kan ändå kanske vara enklast att först beräkna. Lös ut µ genom µ = 90 + 1.28 och µ = 105 2.33 Sätts dessa uttryck ihop fås att 90 + 1.28 = 105 2.33 vilket ger att = 4.16. Sätts det sedan in i något av uttrycken för µ fås att µ = 95.32. 3

C 1. Låt X stå för antalet gånger siffran 8 kommer upp under fem spel. På ett europeiskt roulettebord finns 36 siffror som går att satsa på, samt nollan, som är till för att få oddsen i kasinots favör. Roulettespelaren Rolf påstår sig ha en känsla för att siffran 8 kommer att komma upp någon gång under följande fem dragningar och bestämmer sig därför för att satsa enbart på siffran åtta, i maximalt fem dragningar på raken. (a) Sannolikheten att 8:an kommer upp i en dragning är 1/37. Dragningarna bör vara oberoende av varandra. Vi ska beräkna sannolikheten att siffran 8 kommer upp i den tredje dragningen. Om vi med det menar att det inte ska bli 8 i de övriga fyra måste den sannolikheten bli ( ) 36 4 1 37 37 = 0.0270 (b) Sannolikheten att siffran 8 kommer upp i någon av de fem dragningarna kan beräknas på flera sätt. Ett vore att beräkna P (X 1) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 5). Var och en av dessa kan beräknas med uttrycket P (X = k) = ( ) ( ) n 1 k ( ) 36 (5 k) k 37 37 eftersom X bör kunna betraktas som binomialfördelad, med n = 5 och p = 1/37. Ett enklare sätt är att räkna med sambandet P (minst en åtta) = 1 P (ingen åtta) Den senare sannolikheten är ( ) 36 5 = 0.8720 37 vilket ger P (minst en åtta) = 0.1280 (c) På frågan om hur lång tid skulle Rolf behöva spela för att vara helt säker på att siffran 8 dras är svaret givetvis att han aldrig kan få någon sådan säkerhet. 4

D 2. Låt X stå för tiden (i sekunder) det tar för Caesar att gå ut på vintern. Den tiden kan beskrivas med modellen { 0 för t < 0 P (X t) = 1 e t/20 för t 0 (a) Sannolikheten att det tar mer än 30 sekunder innan Caesar bestämmer sig för att gå ut söks, dvs P (X 30. Med modellen ovan fås P (X 30) = 1 [1 e ( 30/20) ] = 0.2231 (b) Mediantiden, det vill säga tiden som uppfyller villkoret P (X m) = 0.50, för Caesars tvekan vid dörren ska bestämmas. Då måste vi lösa ut m ur P (X m) = 1 e m/20 = 0.5 Av detta följer att e m/20 = 0.5, vilket betyder att m/20 = ln(0.5) och m = 20 ln(0.5) = 13.86. Mediantiden är alltså 13.86 sekunder. 1. Låt X stå för vikten på en viss typ av kopieringspapper. Den vikten har genomsnittet µ = 5.0 gram per ark och standardavvikelsen = 0.02 gram per ark. I en kartong finns 1000 ark. Sannolikheten att den genomsnittliga vikten för ett ark i kartongen överskrider 5.1 gram handlar om att beräkna P ( X > 5.1 Ska den frågan besvaras måste vi veta något om fördelningen för X, och med stöd av centrala gränsvärdessatsen kan vi säga att X är (approximativt) normalfördelad med genomsnittet 5.0 och standardavvikelsen 0.02/ 1000. Tyvärr ärr värdena skumt valda, för P ( X > 5.1 = P (Z > 5.1 5 0.02/ ) = P (Z > 158) 1000 Detta är en händelse som kanske har en teoretisk positiv sannolikhet, men som är så låg att den inte är av någon som helst praktisk betydelse. 5

2. Låt X stå för lönen för en viss typ av anställda. Den variabeln har genomsnittet µ = 18000 kronor i månaden och standardavvikelsen = 2000 kronor i månaden. Ett urval av 100 personer görs, och medelvärdet X av dessa utvaldas lösner ska bildas. Det medelvärdet är med stöd av centrala gränsvärdessatsen approximativt normalfördelad med genomsnittet 18000 och standardavvikelsen 2000/ 100. Den sökta sannolikheten, P ( X > 18500) kan beräknas genom P ( X > 18500) = P ( Z > ) 18500 18000 2000/ = P (Z > 2.5) = 0.0062. 100 E 1. Låt A stå för händelsen att test A är positivt och B för händelsen att test B är positivt. För dessa gäller att P (A) = 0.95, P (B) = 0.98. Dessutom antas att händelserna är oberoende av varandra. (a) Vi söker sannolikheten att båda testen visar ett positivt resultat, dvs P (A och B), vilken med stöd av multiplikationssatsen för oberoende händelser är möjlig att beräkna genom P (A och B) = P (A)P (B) = 0.95 0.98 = 0.931 (b) Händelsen att ett av testen visar positivt resultat och det andra ett negativt resultat är detsamma som att exakt ett av testen är positivt. Det kan beräknas som P (exakt ett positivt test) = = P (A och inte B) + P (inte A och B) = = P (A) + P (B) 2P (A och B) = 0.068 2. Låt A stå för händelsen att Anna tar med sig en flaska champagne och på motsvarande sätt att B står för händelsen att Berit har med sig champagne. Dessa händelser har sannolikheterna P (A) = 0.5 och P (B) = 0.8. Händelserna är oberoende av varandra. (a) Sannolikheten att båda tar med sig en flaska champagne kan skrivas och beräknas som P (A och B) = P (A)P (B) = 0.50 0.80 = 0.40 6

(b) Sannolikheten att ingen tar med sig en flaska champagne kan beräknas på två sätt: Med utnyttjande av motsatsen, dvs P (ingen av A och B) = 1 P (minst en av A och B) = = 1 [P (A) + P (B) P (A och B)] = = 1 [0.5 + 0.8 0.5 0.8] = 0.1 med stöd av additionssatsen. Med utnyttjande av motsatsen för var och en av händelserna, dvs P (ingen av A och B) = = P (inte A)P (inte B) = (1 P (A))(1 P (B)) = 0.1 F 1. Låt X vara antalet av de tolv anställda använder datorn vid ett givet tillfälle. Den variabeln bör kunna betraktas som binomialfördelad med n = 12 och p = 0.3. (a) Sannolikheten att minst tre anställda använder datorn en slumpmässigt vald tidpunkt kan skrivas som P (X 3. Den kan sedan beräknas som P (X 3) = P (X = 3) + + P (X = 12) eller kanske lite enklare P (X 3) = 1 P (X < 3) = 1 P (X 2) = = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] Var och en av dessa sannolikheter kan sedan beräknas med modellen P (X = k) = Den sökta sannolikheten blir 0.7472. 7 ( ) n 0.3 k 0.7 (12 k). k

(b) Sannolikheten att fler än tre anställda använder datorn en slumpmässigt vald tidpunkt kan skrivas som P (X > 3) vilket är detsamma som P (X 4. Den sannolikheten är nog enklast att beräkna genom att ta motsatsen, dvs P (X 4) = 1 P (X 3) och med ovanstående modell blir den sannolikheten 0.5075. (c) Det mest sannolika utfallet är det utfall som har störst sannolikhet. Beräkning av P (X = k) för några värden på k blir k 0 1 2 3 4 5 6 P (X = k) 0.014 0.071 0.168 0.240 0.231 0.158 0.079 Högsta sannolikhet (0.240) fås för k = 3, dvs det mest sannolika utfallet är att tre anställda använder datorn i ett givet ögonblick. 2. Låt X stå för antalet frågor som studenten har rätt på. Den variabeln kan betraktas som binomialfördelad med n = 4 och p = 0.2. (a) Sannolikheten att studenten får alla rätt, dvs P (X = 4) ska beräknas. Den blir P (X = 4) = ( ) 4 0.2 4 0.8 0 = 0.0016 4 (b) Sannolikheten att studenten får noll rätt ska beräknas. P (X = 0) = ( ) 4 0.2 0 0.8 4 = 0.4096 0 (c) Det mest sannolika utfallet söks. Med beräkning av P (X = k) för några värden på k fås k 0 1 2 3 P (X = k) 0.410 0.410 0.154 0.026 Tabellen visar att den största sannolikheten delas av två lika sannolika utfall: 0 och 1. Det är alltså dessa båda som är mest sannolika utfall. 8

G 1. Låt m stå för händelsen att en man köper en mobiltelefon och k för att en kvinna gör detsamma. Låt vidare n stå för att köparen är nöjd och in att köparen inte är nöjd. Då vet vi att P (m) = 0.8, P (k) = 0.2, P (n m) = 0.4, P (in m) = 0.6, P (n k) = 0.3 och P (in k) = 0.7. n m k n in in (a) Sannolikheten att en slumpmässigt vald kund är nöjd med sin telefon kan skrivas som P (n). Den består av två delar: P (n) = P (n och m) + P (n och k) Var och en av dessa kan beräknas med hjälp av multiplikationssatsen för beroende händelser på följande vis: P (n och m) = P (n m)p (m) = 0.4 0.8 = 0.32 P (n och k) = P (n k)p (k) = 0.3 0.2 = 0.06 Det gör att P (n) = 0.32 + 0.06 = 0.38. (b) Man vet att en slumpmässigt vald kund är missnöjd med sin telefon. Sannolikheten att denna kund är en kvinna söks. Den sannolikheten kan skrivas som P (k in). Med hjälp av definitionen på betingade sannolikheter kan detta beräknas som P (k in) = P (k och in) P (in) Täljaren i det uttrycket kan beräknas med hjälp av multiplikationssatsen, dvs P (k och in) = P (in k)p (k) = 0.7 0.2 = 0.14. Nämnaren, dvs P (in) kan indirekt hämtas från föregående uppgift eftersom P (in) = 1 P (n) = 1 0.38 = 0.62. Det går förstås också att beräkna detta med hjälp av sambandet 9

P (in) = P (k och in) + P (m och in) = = P (in k)p (k) + P (in m)p (m) = 0.7 0.2 + 0.6 0.8 = 0.62 Detta ger tillsammans P (k in) = P (k och in) P (in) = 0.14 0.62 = 0.2258 2. Låt s stå för händelsen att en anställd skadas, k att en anställd är kvinna och m att en anställd är man. För dessa händelser vet vi att P (s) = 0.02, P (k) = 0.35, P (m) = 0.65, P (m s) = 0.70 och P (k s) = 0.30. Det som söks är sannolikheterna för att skada sig beroende på om man är man eller kvinna, dvs P (s k) och P (s m). För dessa gäller att P (s k) = P (s och k) P (k) = P (k s)p (s) P (k) = 0.3 0.02 0.35 = 0.017 P (s m) = P (s och m) P (m) = P (m s)p (s) P (m) = 0.70 0.02 0.65 = 0.022 Det är alltså under dessa förutsättningar större risk för männen att råka ut för skada. 10