Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 3: Fantasi, mönster och sannolikhet Lektionsaktivitet: Vad kan hända? Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte Innebörden i sannolikhet är en viktig kunskap för alla. Det finns gott om exempel på att sannolikhet används allt mer i vår vardag. I väderprognoser anges risken för regn ofta i procent, sannolikheten att lyckas i spel formuleras väldigt positivt i reklamen, vi blir översköljda med siffror om hur mycket risken för olika sjukdomar ändras beroende på livsstilsfaktorer. Har jag någon chans att vinna simtävlingen på lördag? Hur stor är risken att jag blir förkyld när så många på bussen hostade? Hur troligt är det att det snöar i morgon? Ska vi singla slant och låta slumpen avgöra? Tror du det är möjligt att jag kan se filmen hos dig ikväll? Vad är säkert? Vad är osäkert? Vad är slump? När använder elever sannolikhet i sin vardag? Detta är några av de frågor som behandlas i denna aktivitet om grundläggande sannolikhet. Eleverna får öva på att uppmärksamma skillnaden mellan händelser som antingen är säkra eller omöjliga och vad som är slumpmässiga händelser. Material Mynt, tärningar, kortlekar, häftstift, glasspinnar, beroende på vilken del av aktiviteten som väljs. Beskrivning Samtalen under A genomförs med alla elever, men på olika nivåer beroende på elevernas ålder, kunskaper och förutsättningar. Därefter kan förslagen under B D väljas och anpassas så varje elevgrupp börjar där de befinner sig och sedan får utmaningar som för deras lärande framåt. A. Om viktiga och grundläggande ord 1. Inled arbetet med att samtala i gruppen om orden helt säkert, helt omöjligt, chans, risk och slump. Uppmuntra eleverna att berätta och fantisera med hjälp av följande inledningar: 2. Berätta om något som du är helt säker på kommer att hända senare idag/i morgon/nästa vecka/om ett år Vad är det som gör att du är helt säker? Fantisera om vad som skulle kunna hända för att det inte längre skulle vara helt säkert Vad säger ni andra är det helt säkert att detta kan hända? Låt var och en berätta, rita, skriva 3. Berätta om något som absolut inte kan hända senare idag/i morgon/nästa vecka/om ett år Vad är det som gör att detta är helt omöjligt? Fantisera om vad som skulle kunna hända för att det inte längre skulle vara helt omöjligt http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (7)
Vad säger ni andra är det helt omöjligt att detta kan hända? Låt var och en berätta, rita, skriva Berätta om något som kanske kan hända senare idag/i morgon/nästa vecka/om ett år Vad är det som gör att det finns en chans eller risk att det händer? Fantisera om vad som skulle kunna hända för att det ska, eller inte ska, inträffa Vad säger ni andra kan detta kanske hända? Låt var och en berätta, rita, skriva Jämför orden chans och risk. Berättar eleverna om andra sorters händelser om det finns en chans istället för att det finns en risk att något särskilt ska hända? Positivt och negativt, bra eller dåligt. 4. Fortsätt på samma sätt med orden möjligt/omöjligt, troligt/inte troligt, vanligt/ovanligt. Låt hela tiden eleverna hämta exempel från sin vardag och låt dem också fantisera om vad som skulle kunna hända om något ovanligt, otroligt, osannolikt, omöjligt inträffar. 5. Begreppet slump är mycket abstrakt. Det finns ingen entydig definition men de flesta har en intuitiv känsla för vad det är. Ge exempel från tillfällen då du tyckte att det var något slumpmässigt som hände. Låt eleverna ge exempel och motexempel. Vad är slump? Vad är inte slump? Samla orden, förklaringarna och berättelserna. Låt eleverna skriva i egna böcker, anslå på väggen eller använda de tekniska lösningar som passar bäst. Avsluta denna del av aktiviteten med att själv berätta om en fantastisk, osannolik, otrolig men aktuell händelse som du varit med om, som du har snappat upp från en tidning, tvprogram eller som någon har berättat för dig om. Diskutera vad det var som gjorde att händelsen fick uppmärksamhet. B. Teoretisk sannolikhet Att använda mynt, tärning och kortlek är klassiska inkörsporter till (teoretisk) sannolikhet. Nedan ges förslag på inledande aktiviteter med att kasta ett mynt, en tärning eller att dra ett kort ur en kortlek. Samtliga varianter kan enkelt utökas till frågeställningar om vad som händer om man istället kastar två mynt, slår en tärning och ser efter hur många gånger det blir ett jämnt antal prickar etc. Fler idéer finns under Utveckling och variation. Kasta mynt Diskutera myntkastning. Vad är det? När används det? Har eleverna använt det? När skulle de kunna tänka sig att använda det? Titta tillsammans på en enkrona och bestäm vad som är krona och klave. Är det enklare att kalla sidorna något annat? Kronan och kungen? Bestäm gemensamt hur ett kast ska göras. http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (7)
Bestäm hur varje kast ska bokföras. Låt varje elev enskilt kasta ett bestämt antal gånger och bokföra. Hur många kast varje elev ska göra beror på antalet elever som ska kasta. Sammanlagt bör det bli åtminstone 100 kast, men ju fler desto säkrare resultat. (En bra räkneuppgift ) Vad är möjligt att utläsa ur varje elevs bokföring? Låt eleverna berätta och jämföra med varandras redovisningar. Sammanställ alla kast i en gemensam tabell, eller på annat lämpligt sätt. Vad är möjligt att utläsa ur den gemensamma sammanställningen? Diskutera hur stor chans det är att få krona i ett kast. Kan man någonsin vara säker på vad det blir i nästa kast? Varför? Varför inte? Här har ( gamla ) enkronor använts som exempel på mynt, men det går naturligtvis lika bra att använda vilka mynt som helst eller tvåfärgade markörer. I samband med att vi går över till nya svenska mynt 2016 blir det extra viktigt att använda dem även i sammanhang som detta för att på så många sätt som möjligt låta eleverna bli väl bekanta med dem. Låt elever som har inte har de fysiska förutsättningar att kasta mynt för hand göra det med exempelvis en app som slumpar fram önskat antal kast. De elever som kan kasta mynt många gånger bör få göra det en eller ett par gånger innan de går över till att slumpa fram kasten digitalt. Det ger en helt annan förståelse för vad som händer digitalt om man själv först har provat för hand. Tärningskast Titta på några olika tärningar. Vad är lika? Vad är olika? Vad används tärningar till? Varför? Vilka erfarenheter har eleverna? Diskutera om det är enklare eller svårare att få ett visst resultat vid ett tärningskast. Är det svårast att få en sexa? Kan jag vara säker på att få ett särskilt resultat? Bestäm tärningens utfallsrum. Vilka möjliga utfall finns? Jämför olika tärningar. Resonera om chansen att få en 4:a vid ett slag med en vanlig pricktärning (undvik att alltid titta på 6:or). Hur kan det skrivas matematiskt? En chans av sex möjliga en av sex 1 av 6 1/6 ( 0,1666667 16,7 %). Bestäm hur varje tärningskast ska bokföras. Låt sedan varje elev enskilt kasta ett bestämt antal gånger och bokföra. Ju färre elever, desto fler gånger får var och en kasta. Det bör bli sammanlagt åtminstone 100 kast. Sammanställ alla kast i en gemensam tabell, eller på annat lämpligt sätt. http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (7)
Vad är möjligt att utläsa ur sammanställningen? Diskutera hur stor chans det är att få ett visst resultat i ett kast. Kan man någonsin vara säker på vad det blir i nästa kast? Varför? Varför inte? Dra ett kort ur en kortlek Gör på motsvarande sätt med att dra ett kort ur en kortlek. Resonera, diskutera, undersök. C1. Experimentell sannolikhet Osymmetriska föremål kan användas för att undersöka experimentell sannolikhet. Förslag: plastgrisar som i Kasta gris-spelet eller häftstift. (En alternativ aktivitet finns nedan.) Titta på det valda materialet. Vad är lika? Vad är olika? Vad används det normalt till? Varför? Vilka erfarenheter har eleverna? Vilka möjliga lägen kan materialet hamna på då det kastas? Diskutera och bestäm utfallsrummet. Resonera om chansen att få ett visst utfall. Vilket läge verkar vara troligast att saken hamnar på? Minst vanligt? Rangordna utfallen. Låt varje elev enskilt kasta ett bestämt antal gånger och bokföra. Ju färre elever, desto fler gånger får var och en kasta. Det bör bli sammanlagt åtminstone 100 kast. Sammanställ alla kast i en gemensam tabell eller på annat sätt. (För eventuellt in relativ frekvens här.) Vad är möjligt att utläsa ur den gemensamma sammanställningen? Diskutera De stora talens lag. C2. Experimentell sannolikhet Till denna aktivitet behövs tio glasspinnar och en spelplan på ett A3-ark med parallella linjer uppritade. Låt avståndet mellan linjerna vara något längre än längden av en halv glasspinne. Håll en bunt med tio glasspinnar ovanför spelplanen. Släpp alla och räkna efter hur många pinnar som inte korsar någon linje, eller som korsar en eller två linjer. Bestäm tillsammans hur bunten ska hållas och ungefär hur högt över pappret glasspinnarna ska släppas. Diskutera vilket utfallsrummet är, dvs vilka utfall som är möjliga. Bestäm vad som händer med pinnar som hamnar helt utanför spelplanen. Diskutera hur varje pinnsläpp ska bokföras. Fortsätt så som det beskrivs i de tidigare delarna av aktiviteten med gemensam sammanställning och diskussioner om vad som går att utläsa. http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (7)
Diskutera De stora talens lag. Utveckla aktiviteten genom att ändra på förutsättningarna. Vad händer om linjerna dras tätare eller glesare? Om tändstickor eller blompinnar används istället för glasspinnar? D. Subjektiv sannolikhet Jackor till och från matsalen Denna aktivitet kan användas för att undersöka subjektiv sannolikhet. Se den som ett förslag att ta efter eller använd något annat liknande problem från er verksamhet. Förutsättningarna var följande: En grupp elever hade väldigt svårt att själva ta ansvar för att klä sig på ett relevant sätt när de skulle gå över skolgården till matbespisningen. Detta hade växt till ett ständigt återkommande problem för lärare, elever och föräldrar. Problemet sporrade en lärarstudent att göra ett utvecklingsarbete och det resulterade i ett dagligt inslag i verksamheten där eleverna delade på ansvaret. Varje dag mätte eleverna temperaturen och förde in den i ett överskådligt diagram. De satte också upp egentillverkade symboler som visade om det var soligt, molnigt, regnigt, snöigt, osv. De gick ut varje dag, kände efter och värderade hur det kändes utomhus. De gjorde bedömningar om vilken klädsel som var rimlig att ta på sig för promenaden till matsalen. Finns det risk för regn när vi ska gå tillbaka efter måltiden? Hur stor är chansen att vi kommer tillbaka torra om fötterna? Gruppen jämförde dagens väder med gårdagens och diskuterade likheter och skillnader. Eleverna föreslog sedan dagens klädsel, de valde och satte upp klädsymboler. Ska vi klä oss efter Astrids förslag eller ska vi låta slumpen avgöra om vi håller oss torra och varma? Problemet löstes och samtidigt fick eleverna möjlighet att använda många sinnen. De gjorde mätningar, rimlighetsbedömningar, förde samtal, dialoger och diskussioner. De fick argumentera för sina förslag och ta ansvar för att väder och klädsel stämde överens när de gick iväg. Ta med bilen till klassrummet Ett alternativ till aktiviteten ovan kan utgå från att räkna bilar och bokföra dem utifrån registreringsnumret. I artikeln Ta med bilen till klassrummet, Nämnaren 2010:2 beskriver Marianne Rönnbom hur hennes barndoms räknande av bilar senare har gett uppslag till undervisningsidéer. Idag kan vi ju inte se på registeringsnumret varifrån en bil kommer, men det går att göra mycket annat med undersökning av bilar. Är sannolikheten stor eller liten att nästa bil som kommer är grå? Att nästa bil är en Porsche? Att nästa bil är en långtradare? http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (7)
Det går att göra mycket annat också med bilräkning som inte direkt har med sannolikhet att göra och i artikeln ges flera förslag. Ytterligare en idé som kan löpa länge och ge upphov till mängder av samtal, fantiserande och resonemang är att hitta och bokföra registreringsnummer i ordningsföljd. Vem ser först en bil med 001? När, var och vad var det för bilmärke? Eller vänd på det: Förbered t ex ett excelark med talen 001 999. Fyll i de bilnummer som finns på familjernas, lärarnas, grannarnas bilar. Vilka nummer har taxibilarna som eleverna brukar åka med? Fortsätt skriva upp ett eller ett par nummer varje gång eleverna rör sig i närområdet och komplettera listan efter hand. Introduktion Aktiviteter bör inledas med introduktioner så att eleverna kommer på spåret. De behöver få veta något om vad som ska hända och varför, så att de blir nyfikna och får förväntningar på att veta mer. Eftersom denna aktivitet är uppdelad har, där det varit möjligt, den första punkten formulerats så den kan användas som introduktion. Brodera gärna ut ännu mer och anknyt så mycket det går till elevernas intresse och erfarenheter samt er verksamhet. Elevers dokumentation Redan insprängt i aktivitetens delar finns punkter som behandlar elevernas egen dokumentation, som exempelvis att bokföra i tabeller eller att rita och skriva berättelser. Använd tillgänglig och för varje elev anpassad (digital) teknik. Som komplement kan någon del av elevernas arbete fotograferas och/eller kan de få en påbörjad mening som de ska avsluta, t ex: Idag har jag Nu vet jag att Jag tyckte att (det jag gjorde) var (därför att ) Jag vill lära mig mer om (därför att ) Jag tror att Jag undrar varför Ett något mer avancerat innehåll är att göra jämförelser: Skillnaden på chans och risk är Skillnaden på möjligt och inte möjligt är Variation och progression Använd två röda och två blå rispåsar/vantar/strumpor/bollar. Lägg en av varje färg (eller annan egenskap) i en påse och de båda andra på bordet. Utmana eleven att gissa vilken färg som kommer att tas upp ur påsen genom att hon pekar på/markerar en av dem som ligger på bordet. Visa hur gissningen föll ut med glad/ledsen gubbe eller olika ljud. Bokför genom att sätta http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (7)
pennor/glasspinnar/sugrör i två burkar som representerar de båda utfallen. Undersök resultatet. Gör kast med två tärningar och summera slagen. Vilken summa är mest sannolik, d v s vanligast? Låt eleverna göra en tabell där alla de möjliga kombinationerna finns med. Vad mer kan man utläsa från tabellen? Använd spinners eller snurror, exempelvis för att illustrera chokladhjul. Andra aktiviteter och spel med sannolikhet Glupska grisen, s 60 61 i Familjematematik (enklare: Akta dig för ettan! s 103). Mångsiffrigt, s 68 69 i Familjematematik. 30 tärningskast, s 86 87 i Familjematematik. 30 kast till, s 88 89 i Familjematematik. Familjematematik är en NämnarenTEMA-bok. Den finns att ladda ner från Skolverkets webbplats, sök under Publikationer. Strävorna, se D-raden, ncm.gu.se/stravorna. http://matematiklyftet.skolverket.se 7 (7)