Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A Deltentamen, 4p november 004, kl. 09.00-.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamling (skall returneras) samt miniräknare. Ansvarig lärare: Övrigt: Leif Ruckman Varje uppgift kan ge max 0p. Lösningar skall utansvårighet kunna följas. Införda beteckningar skall förklaras. För betyget Godkänd krävs minst 0 p och för Väl godkänd krävs 45 p. Uppgift. TABELL S V O F +/- P. Malmö FF 6 5 4 44-5. Halmstads BK 6 8 4 5-50. IFK Göteborg 6 5-0 4 4. Djurgårdens IF FF 6 8 8-4 5. Kalmar FF 6 0 0 6-8 40 6. Hammarby 6 0 9 8-8. Örebro SK FK 6 9 6-45 8. GIF Sundsvall 6 8 8 0 8-0 9. IF Elfsborg 6 8 8 0 5-0. Helsingborgs IF 6 9 0 4-0. Landskrona BoIS 6 9 0-0. Örgryte IS 6 6 0 0 5-8. AIK 6 5 0-5 5. Trelleborgs FF 6 8-55 Tabellen ovan visar fotbollsallsvenskan 004. Den innehåller lagets placering, namn, antal spelade matcher, antal vunna matcher, antal oavgjorda matcher, antal förlorade matcher, antal gjorda mål, antal insläppta mål samt antal poäng. a) Hur många mål gjorde lagen i genomsnitt? b) Beräkna ett lämpligt spridningsmått för variabeln i a-uppgiften. c) Redovisa de olika lagens antal gjorda mål i ett stam-blad-diagram.
Uppgift. Utgå från tabellen i uppgift. a) Redovisa lagens poäng i ett lådagram (boxplot). b) Beräkna :e percentilen för antal poäng. Uppgift. Utgå från tabellen i uppgift. Antag att du slumpmässigt skall välja ut tre av lagen (utan återläggning). Vad är sannolikheten att åtminstone två av de utvalda har vunnit mer än matcher? Uppgift 4. Utgå från tabellen i uppgift. Antag att du slumpmässigt skall välja ett lag och studera slumpvariabeln X Antal förlorade matcher. a) Illustrera sannolikhetsfördelningen för X grafiskt. b) Illustrera fördelningsfunktionen för X grafiskt. c) Beräkna väntevärde och standardavvikelse för X. Uppgift 5. Utgå från tabellen i uppgift. Antag att du slumpmässigt skall välja ett lag och studera händelserna A Laget har vunnit exakt 0 matcher och B Laget har spelat oavgjort i exakt 0 matcher. a) Beräkna P(A). b) Beräkna P(B). c) Beräkna P(A och B). d) Beräkna P(A eller B). e) Beräkna P(A B). f) Är A och B oberoende? Motivera.
Uppgift 6. En viss spelare med smeknamnet Schlatan läste nyligen en kurs i statistik. Han visste ju redan innan kursen att ibland gjorde han bra matcher och ibland var hans insatser på planen sämre. Nu funderade han om detta kunde beskrivas statistiskt. Eftersom han var mycket intresserad av statistik hade han sedan lång tid tillbaka samlat på sig data från sina matcher och kunde nu konstatera att antalet korrekta passningar han slog i en match kan beskrivas med en Poissonfördelning med µ.8. (En korrekt passning är en passning som kommer fram till den spelare den var avsedd för.) a) Beräkna sannolikheten att Schlatan vid en slumpmässigt vald match slår åtminstone korrekta passningar. b) Om man slumpmässig väljer ut 50 av Schlatans matcher, vad är då sannolikheten att han i minst 5 av dessa matcher har slagit åtminstone korrekta passningar?
Lösningsförslag till tentamen i statistik, 04, STAA, deltenta. Uppgift. x 44 a) Σx 44 N µ.5 mål N b) Σx 5 σ x N ( x) c) Antal gjorda mål Stem-and-Leaf Plot N 44 5 8.6 9.09 mål Frequency Stem & Leaf,00. 8,00. 5588,00. 8,00 4.,00 5. Stem width: 0 Each leaf: case(s) Uppgift. a) Det två mittersta lagen är lag och 8 som har resp. poäng. Median (+)/.5 poäng L 5 (+). 0.5.5 Q 8+0.5. (0-8) 9.5 poäng L 5 (+). 0.5.5 Q 4+0.5. (4-4) 4.5 poäng Extremvärden är de som är mindre än 9.5-.5(4.5-9.5)0 respektive de som är större än 4.5+.5(4.5-9.5)6 Materialet har inga extremvärden.
Boxplot of Poäng 0 0 0 Poäng 40 50 b) L (+). 0. 4.95 :e percentilen är 0 poäng. Uppgift. X Antal lag som vunnit mer än matcher I populationen finns N lag varav S9 lag har vunnit mer än matcher. Välj n lag utan återläggning. X är hypergeometriskt fördelad. P ( X ) p() + p() 9 5 + 9 5 0 64 0.5 64 Uppgift 4. x 4 6 9 0 p(x) / / / / 5/ / / F(x) / / 5/ 6/ / /
a) Ant. förlorade matcher p(x) 8 6 5 0 9 8 6 5 4 0 0,4 0, 0, 0, 0,0 b) Ant. förlorade matcher Percent 8 6 5 0 9 8 6 5 4 0 00 80 60 40 0 0
c) 5 6 E(X) µ xp(x) 4 + 6 + + 9 + 0 + + 9 matcher σ 4 ( x µ ) p( x) x p( x) µ + 6 + + 9 + 0 5 0 + + 9 8 8 4 σ σ. matcher Uppgift 5. A Laget har vunnit exakt 0 matcher B Laget har spelat oavgjort i exakt 0 matcher a) lag har vunnit exakt 0 matcher; Kalmar och Hammarby. P ( A) b) lag har spelat oavgjort i exakt 0 matcher; Kalmar, Örgryte, AIK. P ( B) c) lag har både vunnit exakt 0 matcher och spelat oavgjort i exakt 0 matcher; Kalmar. P(A och B) d) 4 lag har antingen vunnit exakt 0 matcher eller spelat oavgjort i exakt 0 matcher (eller både och); Kalmar, Hammarby, Örgryte, AIK.
4 P(A eller B) 4 Formellösning; P(A eller B) P(A) + P(B) P(A och B) + e) Av de lag som spelat exakt 0 oavgjorda matcher så har lag vunnit exakt 0 matcher; Kalmar P ( A B) Formellösning: P( AochB) P ( A B) P( B) f) P ( A) P( A B) Det faktum att vi vet att B har inträffat påverkar sannolikheten för A. A och B är därmed beroende. Uppgift 6. X Antal korrekta passningar i en match. X är enligt uppgiften Po(µ.8) a) P(X ) -P(X ) [tabell] -0.900 0.098 b) Välj slumpmässigt ut 50 av Schlatans matcher. Y Antal matcher då Schlatan slagit åtminstone korrekta passningar. Y är bin(n50, π0.098) Y är approximativt bin(n50, π0.) P(Y 5) P(Y 4) [tabell] -0.4 0.5688 Alternativ lösning; n>0 och π<0. så Y är approximativt Po(µnπ4.9) P(Y 5) P(Y 4) [tabell] -0.458 0.548 Kommentar; Om man med datorn räknar fram sannolikheten exakt så får man P(Y 5 Y Bin(n50, π0.098)) [dator] 0.550 Trots att π 0.098 ligger väldig nära 0. så ger en avrundning av π-värdet ett större fel än en approximation till Poisson-fördelningen. 0.5688-0.550 0.08 0.548-0.550 0.008