LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 2 augusti 217, klockan 8-12 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistik utgiven av MAI, och ett ytterligare formelblad (ett blad med text på båda sidorna (1 Låt den kontinuerliga tvådimensionella slumpvariabeln (X, Y ha täthetsfunktionen { x + y < x < 1, < y < 1 f(x, y annars (a Bestäm de marginella täthetsfunktionerna f X (x och f Y (y (1p (b Bestäm väntevärdena E[X] och E[Y ] (1p (c Beräkna kovariansen mellan X och Y, Cov(X, Y (1p (2 Livslängden hos en viss typ av elektroniska komponent modelleras med hjälp av en slumpvariabel X med väntevärde E[X] 5 dygn och varians 2 Livslängden hos olika komponenter antas vara oberoende (a Beräkna sannolikheten att den sammanlagda livslängden hos komponenter ligger mellan 12 och 18 dygn om 5 Använd centrala gränsvärdessatsen (15p (b Man vill garantera att sannolikheten att den sammanlagda livslängden hos komponenter ligger mellan 12 och 18 dygn är minst 9 Vad är det största värdet på som gör att detta uppfylls? (15p ( I en fabrik tillverkas 25% av enheterna vid maskin 1, 5% vid maskin 2 och % vid maskin Av produktionen är respektive 1%, 2% och % defekt Man blandar enheterna och sänder dem till kunderna (a Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt vald enhet är felaktig? (1p (b Antag att en kund påträffar en felaktig enhet Hur stor är sannolikheten att den har tillverkats vid maskin 1 (2p ( En dartspelare försöker träffas Bull s eye (innerste lilla cirkeln i piltavlan Antag att hon träffar Bull s eye med sannolikhet 1 i varje enskild kast och att kasten sker oberoende Låt X vara antalet kast som krävs tills hon träffar Bull s eye inklusive det lyckade kastet (a Bestäm sannolikhetsfunktionen av X (1p (b Låt j och k vara strikt positiva heltal Beräkna P (X > k + j X > j (2p (5 Antalet grammofonspelare som säljs hos handlare Alex beskrivs av en Poissonprocess med intensitet enheter per dag Den flitige Alex hat öppet 7 dagar i veckan och vid söndag kväll ringer han in beställning hos leverantören för nya produkter som dyker upp måndag morgon
(a Beräkna sannolikheten att minst en grammofonspelare säljs under en dag (1p (b Beräkna sannolikheten att inga grammofoner säljs på en hel vecka (1p (c En vecka tar grammofonerna slut redan på fredag På söndag besluter sig Alex, för att undvika att detta händer igen, att beställa så många grammofoner att han med minst 99% sannolikhet ska ha så det räcker hela veckan därpå Hur många måste han då minst beställa? (1p (6 Vid en tillverkning ställs vikten in till µ gram De tillverkade enheterna får då vikter som är oberoende och normalfördelade med väntevärde µ och standadavvikelse 8 gram För att kontrollera produktionen tar man regelbundet ut enheter, väger dessa och bildar medelvärdet x av vikterna Om x > K stoppas produktionen Ledning: Här anses x 1, x 2, x, x som utfall av de slumpmässiga vikterna X 1, X 2, X, X av de uttagna enheterna Vidare används x 1 (x 1 + x 2 + x + x och X 1 (X 1 + X 2 + X + X (a Bestäm konstanten K så att sannolikheten P ( X > K att produktionen stoppas när µ 5 gram är 1 (15p (b Med K som i (a, för vilka värden på µ kommer produktionen att stoppas med en sannolikhet som är större än 9? (15p
(1 (a f X (x Lösningar f(x, y dy (x + y dy x + 1 2 x 1 Annars f X (x På samma sätt fås f Y (y y + 1, y 1 Annars 2 f Y (y (b Det gäller att E[X] x f X (x dx På samma sätt fås E[Y ] 7 12 (c Det gäller att Cov(X, Y E[XY ] E[X]E[Y ] och E[XY ] [ y [ x 6 + y2 6 x (x + 1 [ ] x 1 2 dx + x2 7 12 xy f(x, y dx dy y + x2 ] 1 2 y2 1 ] 1 dy ( y + y2 2 xy (x + y dx dy dy Således Cov(X, Y E[XY ] E[X]E[Y ] 1 72 12 2 1 1 69 (2 Låt X 1, X 2,, X beteckna komponenternas livslängder i dygn Vi har då att X 1, X 2,, X är oberoende och likafördelade med E[X i ] 5 dygn och V ar(x i 2 Låt Y vara den sammanlagda livslängden för komponenter, dvs Y X 1 + + X (a Eftersom Y är en summa av st oberoende likafördelade stokastiska variabler kan vi använda oss av centrala gränsvärdessatsen för att beräkna sannolikheten att 12 Y 18 enligt ( 12 5 P (12 Y 18 P Y 5 18 5 ( P Z Här har vi Z N(, 1 vilket tillsammans med 5 och symmetriargument ger att ( P (12 Y 18 2P Y 1 2 Φ(122 1 78 (b För att bestämma så att P (12 Y 18 9 använder vi oss av att enligt centrala gränsvärdessatsen ( 9 P (12 Y 18 2 Φ 1 Vi får 165 och således
( (a Låt A beteckna händelsen {enhet är felaktig} Enligt lagen om total sannolikhet gäller det att P (A 25 1 + 5 2 + 215 (b Låt H i beteckna händelsen {enhet har tillverkats vid maskin i}, i 1, 2, Bayes formel medför att P (H 1 A 25 1 25 1 + 5 2 + 116 ( (a P (X k (1 p k 1 p, k 1, 2, (b X är större än i om och endast om de första i kasten har misslyckats Således är P (X > i 9 i Vi får P (X > j + k, X > j P (X > j + k X > j P (X > j P (X > j + k P (X > j 9j+k 9 j 9 k P (X > k (5 (a Om X är antalet förfrågningar under en dag, så är X P oiss( Då gäller att P (X 1 1 P (X 1 e 26 (b Om Y är antalet förfrågningar på en vecka gäller att Y P oiss(7 P oiss(21 Således är P (Y e 21 12 (c Ur tabell få vi att P (Y 5 9796 samt att P (Y 6 991 Alex måste således ha minst 6 grammofonspelar för att med minst 99% sannolikhet täcka en hel veckas förfrågningar (6 Medelvärdet x av de fyra vikterna är en observation av X N(µ, 8/ N(µ, (a µ 5 ger ( X 1 P ( X > K 1 P ( X 5 K 1 P K 5 som medför att Vi får så att ( K 5 1 1 Φ K 5 226 K 5 + 226 59 (b För allmänt µ, ( X P ( X > K 1 P ( X µ K 1 P K µ ( K µ 1 Φ
Det betyder att P ( X > K 9 medför att ( ( K µ µ K Φ 1 eller ekvivalent att Φ 9 Vi får µ K 12815, vilket ger att µ K + 12816 59 + 51 51