Lena lfredsson Kajsa råting Patrik Erixon Hans Heikne Matematik 5000 Kurs 5 lå lärobok Natur & Kultur M5000 Kurs 5 la.indb 1 2013-07-11 15:34
NTUR & KULTUR ox 27 323, 102 54 Stockholm Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se Redaktion: Tel 08-453 86 00, info@nok.se www.nok.se Order och distribution: Förlagssystem, ox 30 195, 104 25 Stockholm Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se www.fsbutiken.se Projektledare: Irene onde Textredaktör: Mats Karlsson/Devella H ildredaktör: Erica Högsborn Grafisk form och omslag: Graffoto och Åsa Lundbom Layout: Måns jörkman/typ & Design och Mats Karlsson/Devella H Sättning: Mats Karlsson/Devella H Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden, utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt avtal med onus Presskopia och den mycket begränsade rätten till kopiering för privat bruk. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. 2013 Lena lfredsson, Jonas jörk, Lars-Eric jörk, Hans rolin, Kajsa råting, Patrik Erixon, Hans Heikne, nna Palbom och Natur & Kultur, Stockholm Tryckt i Lettland 2013 Första utgåvans första tryckning ISN 978-91-27-42633-7 M5000 Kurs 5 la.indb 2 2013-07-11 15:34
Välkommen till Matematik 5000 Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad på färdigheter, förståelse, kommunikation och problemlösning och erbjuder stora möjligheter till en varierad undervisning. Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen. Denna bok, Kurs 5 lå lärobok, riktar sig främst till elever som studerar på teknikprogrammet eller naturvetenskapsprogrammet. Hur är boken upplagd? Teoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel som framställs och förklaras på ett sätt som ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka matematiken. Teorin avslutas med flera lösta exempel som belyser det viktigaste. Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer, a, b och c, i stigande svårighetsgrad. ktiviteterna ger stora möjligheter att variera undervisningen. De finns i fyra olika kategorier: Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera. De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll. I Teman finns teori och uppgifter anpassade till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet och i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt sammanhang. På många sidor blandas uppgifter av standardkaraktär, uppgifter anpassade främst till teknikoch naturvetenskapsprogrammet och uppgifter som kräver matematisk problemlösning. Varje kapitel avslutas med: En ktivitet som uppmuntrar till kommunikation: Sant eller falskt? En kort Sammanfattning av kapitlet. Kan du det här? och Diagnos som tillsammans ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par eller smågrupper värdera sina kunskaper om matematiska begrepp och strategier och i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper. Om en elev behöver repetera delar av kapitlet finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken. Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta uppgifterna i bokens teoriavsnitt. Två olika varianter av landade övningar avslutar varje kapitel. Den första innehåller endast uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra innehåller även uppgifter från tidigare kapitel. landade övningar består av tre delar: Utan räknare, Med räknare och Utredande uppgifter. I Svarsdelen finns ledtrådar och lösningar till många uppgifter. Till läroboken finns en lärarhandledning med kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank. Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer och erbjuder många olika möjligheter för eleverna att utveckla sina matematiska förmågor. Mer information om läromedlet och digitalt material finns på www.nok.se/matematik5000 Lycka till med matematiken! önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik FÖRORD 3 M5000 Kurs 5 la.indb 3 2013-07-11 15:34
Innehåll 1. Diskret matematik I 6 Centralt innehåll 6 Inledande aktivitet: Hur många? 7 1.1 Kombinatorik 8 Lådprincipen 8 Multiplikations- och additionsprincipen 11 Permutationer 15 Kombinationer 19 Kommer du ihåg sannolikhetslära? 23 Kombinatorik och sannolikhetslära 26 Tema: Poker och Yatzy 28 inomialsatsen 30 Historik: Pascals triangel 32 1.2 Mängdlära 35 Mängder Grundbegrepp 35 Mängdoperatorer 39 Venndiagram 41 ktivitet: Undersök Kan du rita utan att lyfta pennan? 45 1.3 Grafteori 46 Inledning 46 Historik: Fyrfärgsproblemet 49 Några klassiska problem 50 Träd 54 ktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 57 Sammanfattning 1 58 Kan du det här? 1 60 Diagnos 1 61 landade övningar kapitel 1 62 2. Diskret matematik II 66 Centralt innehåll 66 Inledande aktivitet: Hittar du mönstret? 67 2.1 Talteori 68 Delbarhet och primtal 68 Gemensamma och icke gemensamma faktorer 71 ktivitet: Upptäck Räkna med rester 74 Kongruens och moduloräkning 75 Historik: Diofantiska ekvationer och Fermats stora sats 79 Talsystem med olika baser 80 Tema: RS-kryptering 82 2.2 Talföljder 84 Inledning 84 ktivitet: Undersök Sierpińskis triangel 87 Rekursionsformler 88 ritmetiska talföljder 90 Geometriska talföljder 92 ktivitet: Undersök Hur högt blir trädet? 95 Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga tillämpningar 96 ktivitet: Laborera Hur högt studsar bollen? 101 Historik: Fibonaccis talföljd 102 2.3 Induktionsbevis 103 ktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 108 Sammanfattning 2 109 Kan du det här? 2 110 Diagnos 2 111 landade övningar kapitel 2 112 landade övningar kapitel 1 2 114 4 INNEHÅLL M5000 Kurs 5 la.indb 4 2013-07-11 15:34
3. Derivator och integraler 118 Centralt innehåll 118 Inledande aktivitet: Finn grafen 119 3.1 Derivator 120 Repetition 120 Några bevis 126 Tangenter och linjär approximation 128 Förändringshastigheter och derivator 130 ktivitet: Laborera allongen 136 3.2 Extremvärden 137 Tillämpningar och problemlösning 137 Historik: Den första läroboken 144 3.3 Integraler 145 Primitiva funktioner, integraler och areaberäkningar 145 Geometriska sannolikheter 150 Partiell integration 151 Volymberäkning med skivmetoden 154 Historik: Kepler och vintunnornas geometri 157 Volymberäkning med cylindriska skal 158 Generaliserade integraler 160 ktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 162 Sammanfattning 3 163 Kan du det här? 3 164 Diagnos 3 165 landade övningar kapitel 3 166 landade övningar kapitel 1 3 170 4. Differentialekvationer 174 Centralt innehåll 174 Inledande aktivitet: estäm en funktion 175 4.1 Inledning 176 Grundläggande begrepp 176 Historik: Newton 179 Differentialekvationer och primitiva funktioner 180 Verifiering av en lösning 182 4.2 Differentialekvationer av första ordningen 184 Differentialekvationen y + ay = 0 184 Den inhomogena ekvationen y + ay = f x) 188 ktivitet: Upptäck Riktningsfält 191 Riktningsfält 192 Historik: Euler och hans stegmetod 196 4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer 198 Enkla förändringsmodeller 198 landningsproblem 200 vsvalning 202 Fritt fall med luftmotstånd 203 Tillväxt med begränsningar 204 Lösning med digitala verktyg 206 ktivitet: Diskutera Sant eller falskt? 210 Sammanfattning 4 211 Kan du det här? 4 212 Diagnos 4 213 landade övningar kapitel 4 214 landade övningar kapitel 1 4 218 5. Omfångsrika problemsituationer 224 Repetitionsuppgifter 237 Svar, ledtrådar och lösningar 242 Register 283 INNEHÅLL 5 M5000 Kurs 5 la.indb 5 2013-07-11 15:34
1 DISKRET MTEMTIK I Centralt innehåll egreppen permutation och kombination. Metoder för beräkningar av antalet kombinationer och permutationer. egreppet mängd, operationer på mängder, mängdlärans notationer och Venndiagram. egreppet graf, olika typer av grafer och dess egenskaper samt några kända grafteoretiska problem. Strategier för matematisk problemlösning. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria. I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och volym, skala och likformighet samt trigonometri. M5000 Kurs 5 la.indb 6 2013-07-11 15:34
238876744 894789475849 7547 15343274 55 112 777 1 482398678567 894789475849 Inledande aktivitet HUR MÅNG? Diskret matematik är en gren av matematiken som sysslar med objekt som är åtskilda från varandra och som går att räkna upp. 1 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1,2 och 3 om varje siffra bara får förekomma en gång? Skriv upp alla talen. b) Hur många tvåsiffriga tal kan bildas av siffrorna 4 och 7 om varje siffra får förekomma flera gånger? Skriv upp alla talen. c) Du ska bilda en summa av ett av de tresiffriga och ett av de tvåsiffriga talen i uppgift a) och b). Hur många olika summor kan du få? 2 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 1, 2 och 3 om varje siffra får förekomma flera gånger? b) Hur många tresiffriga tal kan bildas av sifforna 8, 9 och 0 om varje siffra får förekomma flera gånger? 3 a) Hur många fyrsiffriga tal finns det? b) Hur många fyrsiffriga tal finns det som är delbara med 11? M5000 Kurs 5 la.indb 7 2013-07-11 15:34
1.1 Kombinatorik Lådprincipen kombinatorik Kombinatorik är den gren av matematiken som handlar om hur vi kan välja ut, ordna och kombinera olika föremål. Frågorna Hur många och På hur många sätt är vanliga. Vi visar några generella verktyg som kan användas för att lösa kombinatoriska problem. Exempel lådprincipen Om en brevbärare ska lägga 6 brev i 5 brevlådor, så måste åtminstone en brevlåda innehålla två eller flera brev. Detta är ett exempel på lådprincipen. Om brevbäraren istället har 16 brev att lägga i de 5 lådorna så kommer åtminstone en brevlåda att innehålla 4 eller flera brev. 16 = 5 3 + 1 3 brev i varje låda och ytterligare 1 brev) Lådprincipen Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla två eller fler av föremålen. Om n k + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone en låda innehålla k + 1 eller fler av föremålen. I detta kapitel betecknar n och k positiva heltal. Det är förvånande att denna enkla princip kan användas för att lösa så många olika problem. Som problemlösare ska du försöka identifiera vad som är låda respektive föremål. Tyvärr är detta inte alltid så lätt! 8 1.1 KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb 8 2013-07-11 15:34
1101 Visa att i en grupp på 13 personer har minst två personer födelsedag i samma månad. Lådor: Årets 12 månader Föremål: De 13 födelsedagarna Placera de 13 födelsedagarna i de 12 månaderna. Enligt lådprincipen innehåller då åtminstone en månad två eller flera födelsedagar. 1102 Visa att om fem punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det minst två punkter vars avstånd är högst 3 cm. Triangeln delas i fyra kongruenta liksidiga deltrianglar med sidan 3 cm. Lådor: De fyra deltrianglarna n = 4) Föremål: De fem punkterna n + 1 = 5) Placera de fem punkterna i de fyra deltrianglarna. Enligt lådprincipen innehåller då minst en triangel två eller fler punkter. vståndet mellan två sådana punkter är högst 3 cm. T ex T ex 6 cm 6 cm 1103 Storstockholm har 1 510 000 invånare. Vi antar att en människa har färre än 500 000 hårstrån på huvudet. Visa att åtminstone 4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån. Lådor: 500 000 st, dvs 0, 1, 2,..., 499 999 hårstrån Föremål: 1 510 000 stockholmare Eftersom 1 510 000 > 500 000 3 + 1 så säger lådprincipen att åtminstone en låda innehåller minst 3 + 1 föremål. Det innebär att minst 4 stockholmare har samma antal hårstrån på huvudet. 1.1 KOMINTORIK 9 M5000 Kurs 5 la.indb 9 2013-07-11 15:34
1104 I en låda ligger enfärgade, osorterade strumpor i färgerna svart, vit, blå och grå. Hur många strumpor måste man ta ur lådan för att vara säker på att få ett par av samma färg? 1105 Visa att det i en klass på 32 elever finns åtminstone två som har födelsedag på samma datum i någon månad. 1106 Visa att om fem punkter placeras i en kvadrat med sidan 2 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst 2 cm. 1107 Till en nordisk skolkonferens kom det sammanlagt 31 elever från Sverige, Norge, Danmark, Finland och Island. a) Vilket tal är n antalet lådor )? b) Visa att något land representeras av minst 7 elever. 1108 EU-parlamentet består av 754 personer från 27 olika stater. Visa att minst 28 personer kommer från samma stat. 1109 1111 En låda innehåller 50 tröjor i fyra olika färger. Förklara varför det är a) minst 13 tröjor av samma färg b) minst 14 tröjor av samma färg om man vet att det finns exakt 8 röda tröjor. 1112 År 2010 fanns 7,2 miljoner invånare i Sverige, som var 20 år eller äldre. v dessa hade 47 % en månadsinkomst före skatt som var mindre än 20 000 kr. Visa att det år 2010 fanns åtminstone 160 svenskar som hade exakt på kronan samma månadsinkomst. 1113 Enligt SC hade Sverige 9 551 781 invånare den 30 november 2012. Det finns en dag på året även skottår)då åtminstone x svenska invånare har födelsedag. estäm x. 1114 Visa att om 10 punkter placeras i en liksidig triangel med sidan 6 cm, så finns det två punkter vars avstånd är högst 2 cm. 1115 I ett rum finns det n gifta par. Hur många av dessa 2n personer måste väljas ut för att man ska vara säker på att få minst ett gift par? Motivera. I en skål ligger 8 röda och 5 blå kulor. Hur många kulor måste du slumpvis ta upp för att säkert få två av a) samma färg b) olika färg c) varje färg? 1110 En musiker övar 110 timmar under en period på 12 dagar. Visa att hon övar sammanlagt åtminstone 19 timmar under två på varandra följande dagar. Hon övar i hela timmar.) 10 1.1 KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb 10 2013-07-11 15:34
Multiplikations- och additionsprincipen Exempel 1 När lma ska träna har hon följande kläder att välja på: linne, kortärmad tröja eller långärmad tröja korta byxor, knälånga byxor eller långa byxor löparskor eller inomhusskor. Vi visar med ett träddiagram på hur många olika sätt hon kan klä sig. linne kort lång Tröja korta knä långa korta knä långa korta knä långa yxor Skor löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom löp inom Diagrammet visar att lma kan klä sig på 18 olika sätt. Utan träddiagram kan vi tänka att hon har tre val att göra: 3 olika tröjor, 3 olika byxor och 2 olika skor. Detta ger beräkningen 3 3 2 = 18. multiplikationsprincipen Den regel inom kombinatoriken som ger det totala antalet möjliga kombinationer när flera val görs oberoende av varandra kallas multiplikationsprincipen. Multiplikationsprincipen Om ett första val kan ske på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt, så kan de båda valen utförda efter varandra göras på p q sätt. En förutsättning för detta är att det första valet inte påverkar det andra valet. 1.1 KOMINTORIK 11 M5000 Kurs 5 la.indb 11 2013-07-11 15:34
M E N Y Förrätt: Soppa Sallad Huvudrätt: Fisk Kött Vegetariskt Efterrätt: Glass Tårta Paj Exempel 2 På en restaurang kan man välja förrätt och huvudrätt eller huvudrätt och efterrätt för 200 kr. Erik undrar på hur många sätt man kan välja två rätter. Multiplikationsprincipen ger att: Förrätt + Huvudrätt kan väljas på 2 3 = 6 olika sätt. Huvudrätt + Efterrätt kan väljas på 3 3 = 9 olika sätt. Välj förrätt och huvudrätt eller huvudrätt och efterrätt för 200 kr Sammanlagt finns det alltså 6 + 9 = 15 olika sätt att välja 2 rätter på restaurangen. llmänt gäller: dditionsprincipen Om man ska välja 1 föremål från en mängd med p olika föremål eller från en mängd med q olika föremål, så kan detta ske på p + q olika sätt. Obs! En förutsättning är att mängderna inte har något föremål gemensamt. 1116 När William ska köpa en surfplatta står han inför tre val trots att han har bestäm vilket märke kan ska köpa. Det finns tre olika skärmstorlekar och liten eller stor hårddisk. åda hårddiskarna finns till alla skärmar och surfplattorna finns i färgerna svart, rött, grönt, blått eller vitt. Hur många olika surfplattor har William att välja på? Han står inför tre valsituationer där antalet valmöjligheter är 3, 2 respektive 5. Inget val påverkar det andra. ntalet varianter av surfplattor är 3 2 5 = 30. 12 1.1 KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb 12 2013-07-11 15:35
1117 Conrad ska välja en karamell ur vardera skålen. a) På hur många sätt kan detta ske? b) På hur många sätt kan detta ske om han vill ha minst en röd karamell? a) Multiplikationsprincipen ger 4 5 = 20 sätt. b) Den runda röda kan kombineras med de 5 fyrkantiga karamellerna, vilket ger 5 sätt. Den fyrkantiga röda kan kombineras med de 4 runda karamellerna, vilket ger 4 sätt. Här måste vi minska med 1 sätt eftersom två röda ingår i båda fallen ovan. dditionsprincipen ger 5 + 4 1 = 8 sätt. 1118 I en klass går det 11 pojkar och 15 flickor. På hur många sätt kan man välja a) en elevrepresentant b) två elevrepresentanter, en pojke och en flicka? 1119 Lukas som ska köpa en cykel ställs inför flera val. Herr eller damcykel? Vilket av fem märken? Mountainbike, streetcykel eller racer? 3, 5, 7, 18 eller 21 växlar? Pakethållare eller inte? Vilken av fyra färger? Lukas leker med tanken på att alla varianter kan kombineras med varandra. Hur många cyklar har han då att välja på? 1120 När man spelar på V75 ska man välja vilken häst som vinner i sju olika lopp. Vid ett tillfälle startade 9, 10, 9, 9, 11, 10 respektive 10 hästar i de olika loppen. På hur många olika sätt kan man skriva en V75-rad till den spelomgången? 1121 Hur många fyrsiffriga pinkoder finns det? 1122 Lubna ska låna ljudböcker på biblioteket. Hon väljer mellan fem deckare, tre självbiografier och fyra fantasyböcker. På hur många sätt kan hon välja a) en bok b) tre böcker med en i varje genre c) två böcker i olika genrer? 1123 Sex personer är med i utlottningen av två lika stora vinster. Det är herr och fru lm, herr och fru Olsson samt herr och fru Raciz. På hur många sätt kan de två vinsterna fördelas om åtminstone en av personerna i familjen lm vinner? 1124 Hur många olika svenska bilregistreringsskyltar för bilar kan man göra enligt modellen först 3 bokstäver och sedan 3 siffror? okstäverna I, Q, V, Å, Ä och Ö används inte. 1.1 KOMINTORIK 13 M5000 Kurs 5 la.indb 13 2013-07-11 15:35
1125 En kokbok innehåller 50 förrätter, 100 huvudrätter och 50 efterrätter. På hur många sätt kan man ur boken komponera en två- eller trerättersmiddag som innehåller en huvudrätt? 1126 En myra kryper kortaste vägen från till längs kubens kantlinjer. Hur många vägar kan myran krypa? 1127 I en av två parallellklasser går 17 killar och 9 tjejer. I den andra klassen går 13 killar och 15 tjejer. En elev från vardera klassen ska utses till elevrepresentanter. På hur många olika sätt kan detta ske om a) båda representanterna ska vara killar b) en kille och en tjej ska utses c) åtminstone en tjej ska utses? 1128 Evy har gjort en tipspromenad med 16 frågor som ska besvaras med 1, X eller 2. Hon påstår att a) det finns fler än 16 miljoner olika möjligheter att skriva en sådan tipsrad. Stämmer det? b) det bara finns 17 tipsrader med minst 15 rätt. Stämmer det? Motivera dina svar. 1129 Ett binärt tal skrivs med enbart nollor och ettor. T ex 53 10 = 110101 två Hur många binära tal med sex eller färre siffror finns det? 1130 I sin garderob har Kim 1 röd, 1 blå, 1 vit och 1 grön skjorta 2 par blå jeans, ett par grå finbyxor och ett par chinos 1 par stumpor vardera av färgerna röd, blå, svart och vit 1 par boots, 1 par sneakers och ett par svarta lackskor. På hur många sätt kan han klä sig, om a) alla skjortor, byxor, strumpor och skor kan användas tillsammans b) bootsen bara kan användas till jeans eller chinos c) han bara kan ha svarta strumpor till lackskorna och alltid vit skjorta till finbyxorna? På fredag ska Kim på födelsedagsfest till sin faster som fyller 34 år. d) Vad tycker du han ska ha på sig? 1131 Visa att ett val bland p föremål följt av ett val bland q föremål alltid leder till fler valmöjligheter, än ett val bland p + q föremål, förutsatt att p 2 och q > 2. 1132 Hur många binära tal mindre än 256 börjar och/eller slutar med två ettor? 14 1.1 KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb 14 2013-07-11 15:35
Permutationer Exempel 1 permutation Johannes har en spellista som innehåller 10 favoritlåtar. Om han trycker shuffle blandning) spelas varje låt en gång i slumpartad ordning. Varje sådant ordnat urval utan upprepning kallas en permutation. Varje låt på listan spelas endast en gång. På hur många olika sätt kan listans låtar spelas? När den första låten ska väljas finns det 10 valmöjligheter. Den andra låten kan sedan väljas på 9 sätt och den tredje på 8 sätt osv. ntalet möjliga sätt blir då enligt multiplikationsprincipen 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 3 628 800 ntalet permutationer av 10 föremål element) kan skrivas 10! 10! = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 n -fakultet Produkten av alla heltal från 1 till n kallas n-fakultet och betecknas n! llmänt gäller: ntalet permutationer av n element ntalet permutationer av n element är n! = n n 1) n 2) 3 2 1 där n är ett positivt heltal. Exempel 2 Om endast 3 låtar ska väljas från listan med 10 låtar kan detta göras på 10 9 8 = 720 olika sätt. ntalet permutationer ordnade urval) av 3 låtar bland 10 låtar kan skrivas P10, 3) = 10 9 8 = 10 9 8 7! = 10! 10! = 7! 7! 10 3)! Vi förlänger med 7! 1.1 KOMINTORIK 15 M5000 Kurs 5 la.indb 15 2013-07-11 15:35
llmänt gäller: ntalet permutationer av k element bland n ntalet permutationer av k element bland n givna element är n! P n, k ) = n n 1) n k + 1) = n k)! Elementen väljs endast en gång och med hänsyn till ordningen. Två specialfall: Om vi väljer n element av n får vi Pn, n) = n! n n)! = n! = n! om vi definierar 0! = 1 0! Om vi väljer 0 element av n får vi Pn, 0) = n! = 1 med tolkningen: noll element kan väljas på ett sätt. n! 1133 C Julia ska sätta upp förstoringar av tre fotografier i sitt rum. De ska hänga på rad. a) Utgå från det tre fotona, och C och gör en lista över de olika permutationerna. b) Hur många permutationer finns det? c) Julia lägger till fem foton och har nu åtta att välja på. På hur många sätt kan då tre foton hängas upp? a) C C C C C C b) ntalet permutationer av 3 element är 3! = 3 2 1 = 6 Svar: Det finns 6 permutationer. c) ntalet permutationer av 3 element bland 8 är P 8, 3) = 8 7 6 = 336 eller P 8, 3) = 8! 8 3)! = 8! 5! = 336 Svar: På 336 olika sätt. 16 1.1 KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb 16 2013-07-11 15:35
1134 Hur många olika ord kan man bilda av bokstäverna i ordet a) KEMI b) MTTE a) Fyra bokstäver kan ordnas på 4! = 24 olika sätt. De flesta orden saknar dock betydelse.) b) Fem bokstäver kan ordnas på 5! = 120 olika sätt. Eftersom det finns två T i ordet MTTE kommer flera av de 120 orden att vara lika. Två bokstäver kan ordnas på 2! = 2 sätt så antalet olika ord ges av 5! 2! = 120 2 = 60 Svar: a) 24 ord b) 60 ord 1135 Tolka och beräkna a) P 6, 6) b) P 8, 5) c) P 8, 1) d) P 8, 0) a) P 6, 6) är antalet permutationer ordnade urval) av 6 element. P 6, 6) = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 b) P 8, 5) är antalet permutationer när man väljer 5 element av 8. P 8, 5) = 8 7 6 5 4 = 6 720 eller P 8, 5) = 8! 8 5)! = 8! 3! = 6 720 c) P 8, 1) är antalet sätt att välja 1 element bland 8. P 8, 1) = 8 d) P 8, 0) är antalet sätt att välja 0 element bland 8. P 8, 0) = 1 På många räknare finns verktyg för beräkning av n! och P n, k). T ex 9 npr 4 ger att P 9, 4) = 126 1.1 KOMINTORIK 17 M5000 Kurs 5 la.indb 17 2013-07-11 15:35
1136 Sju personer ska skriva sitt namn på en lista. På hur många sätt kan listan se ut om man tar hänsyn till namnens inbördes ordning? 1137 eräkna utan räknare a) 4! c) 2! 3! b) 11! d) 100! 11 2)! 100 1)! 1138 I styrelsen till en idrottsförening ska man välja ordförande, sekreterare och kassör. På hur många sätt kan dessa väljas om styrelsen består av a) 6 personer b) 12 personer? 1139 eräkna och tolka a) P 9, 3) c) P 15, 1) b) P 4,4) d) P 100, 0) 1140 En vanlig kortlek innehåller 52 olika kort. På hur många sätt kan man dra fem kort om man tar hänsyn till ordningen och a) lägger tillbaka kortet efter varje dragning b) inte lägger tillbaka korten? 1141 Hur många tresiffriga tal a) finns det b) med endast jämna siffror finns det c) med endast udda siffror finns det, om varje siffra endast får förekomma en gång? 1142 a) Teckna och beräkna antalet permutationer av tre element bland fem. b) Förklara vad du beräknat i a). 1144 a) Hur många olika ord kan man bilda av bokstäverna i ordet NN? b) Hur många av orden i uppgift a) börjar med N? 1145 Tolv damer och tolv herrar kommer till en danskurs. a) Först hälsar alla på varandra genom att ta i hand. Hur många handskakningar innebär detta? b) Sedan bildas danspar av en dam och en herre. Hur många olika danspar kan bildas? 1146 a) estäm värdet på k utan räknare då 5 9! + 5 8! = k 8! b) Visa att a n! + an + 1)! kan skrivas a n!n + 2). 1147 I ett klassrum med 30 bänkar och 30 elever säger läraren: Vi prövar en ny placering varje dag. Hur många läsår dröjer det innan alla tänkbara placeringar är prövade? Vi antar att ett läsår har 200 dagar.) 1148 Ett spelbolag har ett spel, där det gäller att bland åtta deltagare i en tävling tippa de n första i rätt ordning. Hur stort måste n minsta vara, om antalet olika tipsrader ska bli mer än 1 000? 1149 Visa att P n, n) = P n, n 1) genom att a) förenkla båda uttrycken b) använda multiplikationsprincipen. 1143 Hur många fyrsiffriga koder finns det med a) siffrorna 0, 6, 8, 9 b) olika siffror c) siffrorna 3, 5, 5, 9 18 1.1 KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb 18 2013-07-11 15:35
Kombinationer Exempel 1 Vi återvänder till exemplet med Julias fotografier se uppgift 1133). Den här gången ska hon välja ut tre fotografier av totalt fyra. Vi skriver upp permutationerna av tre av fotografierna,, C och D: C D CD CD C D DC DC C D CD CD C D CD CD C D DC DC C D DC DC I den första kolumnen finns alla permutationer av, och C, i den andra alla permutationer av, och D, i den tredje alla permutationer av, C och D och i den sista alla permutationer av, C och D. Men nu är vi inte längre intresserade av i vilken ordning fotografierna ska hänga på väggen. Vi är bara intresserade av vilka tre fotografier Julia väljer ut. Varje kolumn motsvarar då en av Julias valmöljigheter. I varje kolumn finns 3! = 6 permutationer av de tre fotografierna överst i kolumnen. ntalet val får vi om vi delar det totala antalet permutationer 24) med 6. ntal permutationer av 3 element bland 4 = P4, 3) = ntal sätt att ordna 3 element 3! = 4! 4 3)! 3! = 4! 3!4 3)! = 1 2 3 4 1 2 3 1 = 4 kombination Varje urval, utan hänsyn till ordningen, kallas en kombination. ntalet kombinationer av 3 element av 4 betecknas C 4, 3) eller 4 3 ) som läses 4 över 3. llmänt gäller: ntalet kombinationer ntalet kombinationer av k element bland n element är C n, k ) = n k ) = n! k!n k)! Elementen väljs utan hänsyn till ordningen. 1.1 KOMINTORIK 19 M5000 Kurs 5 la.indb 19 2013-07-11 15:35
Exempel 2 Hur tolkar vi och hur beräknar vi 8 3 )? 8 3 ) = 8! 3!8 3)! = 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 1 2 3 4 5 = 8 7 6 1 2 3 = 56 Tre faktorer i både täljare och nämnare. Varje gång vi väljer 3 element bland 8 så blir 5 element kvar. ntalet sätt att välja 3 element bland 8 är alltså lika många som att välja 5 element bland 8. 8 5 ) = 8 7 6 5 4 1 2 3 4 5 = 56 Symmetri Talen n k ) har den viktiga symmetriegenskapen n ) k = n n k ) På många räknare finns ett verktyg för n k ) T ex 8 ncr 3 ger att 8 3 ) = 56 1150 eräkna a) 20 3 ) a) 20 3 ) b) 13 15 ) c) 20 19 18 = = 1 140 1 2 3 b) 13 15 ) = 15 15 14 2 ) = = 105 1 2 c) P30,4) 4! d) P5,5) 5! P30,4) 4! d) P5,5) 5! = 30 4 ) = 30 29 28 27 = 27 405 1 2 3 4 = 5 5 ) = 1 Vi utnyttjar symmetrin. 20 1.1 KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb 20 2013-07-11 15:35
1151 gnes har 30 pocketböcker i sin bokhylla. 10 av dem är på engelska och resten är på svenska. Hon ska låna ut sex böcker till en kompis som vill ha två engelska böcker. På hur många sätt kan gnes välja böckerna hon ska låna ut? Svenska Engelska ntal pocketböcker 20 10 ntal att låna ut 4 2 ntal sätt 20 4 ) 10 2 ) Multiplikationsprincipen ger antalet urval med 4 svenska och 2 engelska böcker. 20 4 ) 10 20 19 18 17 2 ) = 10 9 = 218 025 1 2 3 4 1 2 Svar: Det finns 218 025 urval med 4 svenska och 2 engelska böcker. 1152 Poker spelas med en vanlig kortlek som har 13 valörer i 4 färger spader, hjärter, ruter och klöver ). En pokerhand har fem kort. a) Hur många pokerhänder finns det? b) Hur många pokerhänder innehåller minst ett hjärterkort? a) Vi söker antalet kombinationer oordnade urval) av 5 kort bland 52. 52 52 51 50 49 48 5 ) = = 2 598 960 1 2 3 4 5 Svar: Det finns 2 598 960 olika pokerhänder. b) Vi börjar med att beräkna antalet pokerhänder som inte innehåller något hjärterkort alls. ntalet kort som inte är hjärter är 52 13 = 39 Vi söker antalet kombinationer av 5 kort bland 39. 39 39 38 37 36 35 5 ) = = 575 757 1 2 3 4 5 ntalet händer med minst ett hjärter = = Totala antalet händer ntalet händer utan hjärter = = 52 5 ) 39 5 ) = 2 598 960 575 757 = 2 023 203 Svar: Det finns 2 023 203 olika pokerhänder som innehåller minst ett hjärterkort. 1.1 KOMINTORIK 21 M5000 Kurs 5 la.indb 21 2013-07-11 15:35
1153 eräkna a) 10 3 ) b) 10 7 ) 1154 eräkna utan räknare a) 100 99 ) b) 20 18 ) c) 25 4 ) c) 10 0 ) 5th venue Madison venue Park venue Chrysler building Lexington venue 41st Street 40th Street 39th Street 38th Street 3rd venue 42nd Street 1155 I en skål ligger fyra kulor med olika färger. På hur många sätt kan man dra två kulor ur skålen a) om ingen hänsyn tas till ordningen b) om hänsyn tas till ordningen? 1156 En person är ledig två dagar varje vecka. Hur många olika sätt finns det att ordna ledigheten om han inte vill vara ledig både lördag och söndag? 1157 Lasse ska göra en bukett. Han har 15 olika blommor att välja bland. På hur många sätt kan han välja blommor till buketten om den ska bestå av a) 10 blommor b) 5 blommor c) Kommentera resultatet i a) och b). 1158 Ett test består av två delar med totalt 24 frågor. Del innehåller 8 frågor och del 16 frågor. För att få godkänt krävs att totalt minst 10 frågor är rätt, varav minst 4 rätt på del. På hur många sätt kan man få precis 10 rätt och bli godkänd? 1159 Lena ska bjuda 7 personer till en fest. Hon väljer bland 12 kompisar, där Nils och Erik ingår. Hon vet att det inte är lyckat att bjuda dem på samma fest. På hur många sätt kan hon göra sitt val om hon tar hänsyn till detta? You 37th Street 36th Street 35th Street 34th Street 1160 På Manhattan i New York är gatorna i kvarteren parallella. nta att du ska gå från korsningen 5th venue och 35th Street till Chrysler building. På hur många sätt kan du då gå den kortaste vägen? 1161 Ett innebandylag med 23 ungdomar och tre tränare har fått tio biljetter till en -lagsmatch. De undrar på hur många sätt de kan lotta ut de tio biljetterna om minst en tränare ska med. Erik föreslår beräkningen: C3, 1) C25, 9) Filip föreslår beräkningen: C26, 10) C23, 10). Förklara hur Erik respektive Filip kan ha tänkt. Har någon av dem tänkt rätt? 1162 Linn bakar tio cupcakes som kan dekoreras på fyra olika sätt. På hur många sätt kan dekorationerna fördelas? 22 1.1 KOMINTORIK M5000 Kurs 5 la.indb 22 2013-07-11 15:35