Topologioptimering för jämn lastfördelning i skruvförband

EXAMENSARBETE I TILLÄMPAD MATEMATIK OCH BERÄKNINGSMATEMATIK 120 HP, AVANCERAD NIVÅ STOCKHOLM, SVERIGE 2015 Topologioptimering för jämn lastfördelning i skruvförband ELSA SKUNCKE KTH KUNGLIGA TEKNISKA HÖGSKOLAN SKOLAN FÖR TEKNIKVETENSKAP

Topologioptimering för jämn lastfördelning i skruvförband ELSA SKUNCKE Examensarbete inom optimeringslära och systemteori (30 ECTS credits) Masterprogram, tillämpad matematik och beräkningsmatematik Kungliga Tekniska högskolan 2015 Handledare på Scania SV AB: Peter Dahlin och Mikael Thellner Handledare på KTH: Krister Svanberg Examinator: Krister Svanberg TRITA-MAT-E 2015:84 ISRN-KTH/MAT/E--15/84--SE Kungliga Tekniska högskolan SCI Skolan för teknikvetenskap KTH SCI SE-100 44 Stockholm, Sweden URL: www.kth.se/sci

FÖRORD Detta examensarbete är utfört på Scania i Södertälje under mars till oktober 2015. Mitt varmaste och hjärtligaste tack till mina handledare Peter Dahlin och Mikael Thellner för stöd, undervisning och många givande diskussioner! Jag har lärt mig otroligt mycket. Stort tack även till Krister Svanberg på matematikinstitutionen på KTH för mycket bra handledning och nyttiga tips och råd och till Jenny Ryno och avdelningen RBRA för att jag har fått vara med er under ett jätteroligt halvår.

SAMMANFATTNING Vanligtvis ställs topologioptimeringsproblem upp så att en strukturs komplians minimeras under bivillkor på volymen som den får uppta. I skruvförband med flera ingående skruvar innebär detta ofta att lasten fördelas ojämnt mellan skruvarna och att förbandet med det optimerade fästet ändå går sönder. Fyra problemformuleringar för att erhålla en jämnare fördelning av lasten över de ingående skruvarna har undersökts på två olika förband, ett litet med två skruvar och ett större med sex skruvar. Förbanden utsätts för två respektive tre lastfall och är modellerade med skruvar som förspänns. Metoderna är undersökta med hjälp av topologioptimeringsprogrammet Tosca från FE-DESIGN och FEM-programmet Abaqus från Dassault Systèmes Simulia på Scania CV AB. Tre av problemformuleringarna visade sig vara rimliga metoder att använda.

ABSTRACT Usually topology optimization problems are posed so that the compliance of a structure is minimized under condition on the volume. In a joint containing several screws the result is often that the load is unevenly divided among the screws and the joint with the optimized bracket brakes anyway. In this master thesis four different formulations of the topology optimization problem with the purpose of obtaining an even distribution of the load among the screws have been investigated on two different joints, one smaller with two screws and one larger with six screws. The joints are exposed to two and three loadcases respectively and modeled with pretensioned screws. The methods are investigated with the topology optimization program Tosca by FE-DESIGN and the FEM program Abaqus by Dassault Systèmes Simulia at Scania CV AB. Three of the formulations are shown to be reasonable to use.

INNEHÅLL 1 INLEDNING... 2 1.1 Bakgrund... 2 1.2 Topologioptimering... 2 1.3 Mjukvara: Tosca... 4 1.4 Syfte med examensarbetet... 5 1.5 Jämförda problemformuleringar... 5 2 TESTPROBLEM... 6 2.1 Det lilla förbandet... 6 2.1.1 Geometri... 6 2.1.2 Skruvar... 8 2.1.3 Mesh... 8 2.1.4 Lastfall... 8 2.1.5 Problemformuleringar... 9 2.2 Det stora förbandet... 10 2.2.1 Geometri... 10 2.2.2 Skruvar... 12 2.2.3 Mesh... 12 2.2.4 Lastfall... 12 2.2.5 Problemformuleringar... 12 2.3 Smooth... 13 2.3.1 Interpolering av spänning... 14 3 NUMERISKA RESULTAT... 15 3.1 Det lilla förbandet... 15 3.2 Det stora förbandet... 27 4 DISKUSSION OCH ANALYS... 39 4.1 Framtida arbete... 40 5 SLUTSATSER... 41 Källor... 42 BILAGOR... 43

1 INLEDNING 1.1 Bakgrund För tillverkare av bussar och lastbilar är det en konkurrensfördel med lätta fordon eftersom kunderna vill kunna transportera så mycket som möjligt. Det är då viktigt att tidigt i utvecklingsarbetet ta hänsyn till komponenters massa. Med hjälp av topologioptimering kan strukturer utformas av en mindre mängd material och vara optimal med avseende på någon önskvärd parameter. I konstruktioner i fordon brukar denna vara komponentens styvhet när den utsätts för givna laster. I skruvförband med flera ingående skruvar är det vanligt att en eller några belastas mer än de andra. För att slippa använda onödigt många skruvar och överdimensionera dem är det önskvärt att sprida lasten och utnyttja fler av de ingående skruvarna. Detta examensarbete har blivit aktuellt eftersom Tosca, det program som används till topologioptimering på Scania, nyligen har fått funktionen att ta hänsyn till spänningar i strukturer. Alltså finns det möjlighet att med hjälp av topologioptimering utforma komponenter så att spänningar på grund av laster som krafter och moment sprids i strukturen på ett sådant sätt att även infästningen håller. Den nya funktionen tros kunna vara mycket användbar vid utformning av nya förband och det är av intresse att finna en bra formulering för hur problemet skall lösas. 1.2 Topologioptimering Topologioptimering innebär att material distribueras inom ett designområde Ω till en optimal struktur i förhållande till de givna laster och randvillkor som det utsätts för. Den matematiska formuleringen för problemet presenteras i Ekvation (1)-(5) [1]. min u U,ρ l(ρ, u) (1) s.t. a(ρ, u, v) = l(v) v U (2) ρ(x)dx V max Ω (3) ρ(x)ε{0,1} x Ω (4) Ω = {x Ω ρ(x) = 1}. (5) I Ekvation (1) beskrivs målfunktionen l(ρ, u), som i det klassiska topologioptimeringsproblemet är strukturens komplians, som är en funktion av den pålagda jämviktsförskjutningen u (U är alla tillåtna förskjutningar) l(ρ, u) = Ω f(ρ)udω + t(ρ)uds Γ T. (6) Här ges f av en kraft som designområdet Ω utsätts för och i den andra termen är Γ T randen av området som utsätts för en utbredd kraft t. Förskjutningen i sin tur är en funktion av materialets elasticitetsmodul E, som är vad som används för att säga om det är material i punkten eller inte. Detta görs genom att definiera den i alla punkter x i designvolymen som ρ(x)e, där designvariabeln ρ varierar och är ett i punkter där det är material och noll där det inte är det. Att kompliansen minimeras innebär att styvheten maximeras. I Ekvation (2) är v en godtycklig virtuell förskjutning och bivillkoret säger att strukturen ska vara i virtuell jämvikt. Ekvation (3) är ett bivillkor som säger att strukturens volym inte får överskrida ett givet värde V max. Den optimala strukturen Ω blir då alla punkter där ρ = 1. 2

För att topologioptimeringsproblemet i Ekvation (1)-(5) ska gå att lösa numeriskt anpassas problemformuleringen på två sätt: Istället för att vara kontinuerligt delas designområdet upp i finita element och problemet diskretiseras. Topologioptimeringsproblemet beskrivet i Ekvation (1)-(5) diskretiseras till min u,e e f T u (7) s.t. K(E e )u = f (8) E e εe ad (9) där meshen är samma för de ingående variablerna och styvheten E är konstant i varje element e. I Ekvation (7) består vektorerna f av lasten och u av förskjutningen. I Ekvation (8) är K styvhetsmatrisen som beror av styvheten i varje element och E ad uppsättningen tillåtna styvheter. Dessa ges av E = 1 Ω mate (0) 1 om x Ωmat, 1 Ω mat = { mat (10) 0 om x Ω 1 Ω mat dω V max, (11) Ω där E (0) är styvheten som materialet har i verkligheten och Ω mat är området med material [1]. Bivillkoret på ρ relaxeras och variabeln tillåts istället att anta alla värden mellan noll och ett, det vill säga 0 ρ(x) 1 x Ω. För att ändå efterlikna det binära villkoret används vanligtvis metoderna SIMP eller RAMP, som är typer av bestraffning om ρ antar mellanliggande värden. SIMP är den metod som används i detta examensarbete och fungerar så att styvheten E i Ekvation (10) ersätts med E SIMP = ρ p E (0), där p är bestraffningsfaktorn som vanligtvis ligger mellan två och fyra. För närmare förklaring av vad som är lämpligt val av bestraffningsfaktor, se sidan 6 i [1] och sidorna 718-719 i [2]. Ett av de största problemen som uppkommer vid topologioptimering är schackbrädemönster i lösningen. Även detta går att komma till rätta med genom att använda metoder som SIMP och RAMP, men kommersiella program har även ofta filter för att undvika sådana resultat. I övrigt kan lösningen vara beroende av de finita elementens storlek och detta behandlas på samma sätt som schackbrädemönstret [1]. Topologioptimeringsproblem är ofta inte konvexa, så det existerar vanligtvis flera lokala optimum och det går inte att få information om huruvida det finns fler eller bättre lösningar. Eftersom det är många designvariabler och få bivillkor är inte alla metoder för ickelinjära problem bra till att lösa dessa. De som är mest lämpliga är metoder som approximerar problemen med enklare konvexa subproblem [1]. 3

1.3 Mjukvara: Tosca Tosca är det kommersiella topologioptimeringsprogram som har använts i det här examensarbetet och Abaqus är FEM-programmet. I varje iteration importerar Tosca beräkningsresultat från Abaqus och skickar tillbaka en bättre topologi tills optimalitetsvillkoret är uppfyllt. Detta sker då målfunktionsvärdet och densiteten i elementen har förändrats tillräckligt lite sedan den tidigare iterationen [2]. Tosca har två strategier för att lösa optimeringsproblem TOPO_CONTROLLER och TOPO_SENSITIVITY. Den senare fungerar med annat än kompliansen i målfunktionen, varför den har använts i det här arbetet. Optimeringsproblemen löses med Krister Svanbergs metod Method of Moving Asymptotes [3] och SIMP-metoden med bestraffningingsfaktorn p = 3, vilket är förinställningen i Tosca. Det går även att manuellt välja RAMP istället [2]. Input till Tosca sker via en parameterfil som är uppbyggd av olika kommandon (commands) innehållande poster (items). Parameterfiler för samtliga testfall i denna rapport finns i BILAGOR. För fullständig förklaring av dessa se Toscas användarmanual [2]. KOMPLIANS Tosca beräknar kompliansen som summan av töjningsenergin i de olika lastfallen och den definieras i kommandot med posten = STRAIN_ENERGY [2]. Kompliansen går att använda både i målfunktionen och i bivillkoren. VOLYM Volymen beräknas om posten = VOLUME definieras i kommandot. Volymfraktionen α ställs in genom att, då volymen ska användas som bivillkor, i tillhörande kommandot definiera MAGNITUDE = REL och LE_VALUE = α. SPÄNNING När spänningen beräknas i Tosca används post SIG_TOPO_MISES = max i 2 σ vmi (f(ρ i )σ y ) 2 σ y, (12) där σ vm är effektivspänningen enligt von Mises och σ y är den så kallade referensspänningen [4]. Då spänningen används i ett bivillkor genom kommandot sätts referensspänningen till gränsvärdet σ max definierat i posten LE_VALUE = σ max, alltså σ y = σ max. Då spänningen används i målfunktionen genom kommandot OBJ_FUNC kan referensspänningen definieras antingen manuellt eller automatiskt av Tosca. Den sätts då till roten ur den högsta uppmätta spänningen i elementgruppen per lastfall, det vill säga det blir olika referensspänning för varje elementgrupp i varje lastfall. I Ekvation (12) är σ vmi effektivspännningen i varje element i och f(ρ i ) är en viktfunktion som antar värdet ett i solidelement, alltså f(ρ i = 1) = 1. Eftersom endast spänningen i skruvarna undersöks och de inte ingår i designvolymen kan således Ekvation (12) förenklas till max i σ 2 vmi σ σ y. (13) y I resultatet från Tosca presenteras den högsta spänningen, u-spänningen σ u, i elementgruppen som kommandot gäller och effektivspänningen enligt von Mises, σ vmt, räknas då ut från σ u = σ vmt 2 σ y σ vmt = σ y σ u. (14) 4

För att kontrollera den spänning Tosca beräknar läses även effektivspänningen av i strukturen från den sista iterationen direkt från FEM-beräkningen i Abaqus, σ vma. KRAFT I Tosca används post INTERNAL_FORCE_ABS för att beräkna beloppet av nodkrafterna i en elementgrupp. Både nodens och elementets id måste anges [2]. 1.4 Syfte med examensarbetet Examensarbetet går ut på att undersöka olika problemformuleringar för dimensionering av strukturer som ingår i skruvförband, där dessa topologioptimeras på ett sådant sätt att lasten fördelas så jämnt som möjligt övre de ingående skruvarna. Skruvarna har givna positioner och dimensioner. 1.5 Jämförda problemformuleringar De problemformuleringar som undersöks i detta examensarbete är 1. minimera kompliansen med bivillkor på strukturens volym och spänningen i skruvarna i förbandet. 2. minimera största spänningen i skruvarna med bivillkor på strukturens volym och modellens töjningsenergi. 3. minimera strukturens volym med bivillkor på spänningen i skruvarna och modellens töjningsenergi. 4. minimera kompliansen med bivillkor på strukturens volym och kraften i (de förenklade) skruvarna. Resultaten från tester med dessa problemformuleringar jämförs med resultatet från då kompliansen minimeras med bivillkor endast på volymen, som är det vanligaste sättet att utföra topologioptimering på Scania. 5

2 TESTPROBLEM De numeriska jämförelserna mellan de olika problemformuleringarna delas upp i två delar, som undersöks var för sig. I den första delen undersöks i huvudsak tre olika problemformuleringar (1, 2 och 3 i kapitel 2) för att minska spänningarna i de två skruvarna till ett enkelt, litet vinkelfäste. I den andra delen undersöks alla fyra problemformuleringar, beskrivna i kapitel 2, för att minska spänningen i ett större förbands skruvar. Anledningen att problemformuleringarna undersöks på två olika stora modeller är för att det lilla förbandet har betydligt färre element och därför är beräkningstiden kortare. Det är alltså möjligt att låta bli att prova vissa problemformuleringar på det större förbandet om de skulle visa sig ej fungera på det lilla. Det är ändå önskvärt att använda två olika modeller för att kunna säga något om resultaten och inte endast basera slutsatserna på ett enkelt förband. Det stora fästet är en förenkling av ett växellådsfäste som används på Scania och lasterna är verklighetstrogna för den här typen av förband. För att kunna avgöra vilken problemformulering som är bäst måste spänningarna i skruvarna i det optimerade förbandet från de olika problemformuleringarna jämföras. Alltså måste, i det fall dessa används, balkelementen ersättas med skruvar innan förbandet slutgiltigt FEM-modelleras och spänningen kan utläsas. De program som har använts är Tosca till topologioptimering, Abaqus som FEM-program och HyperMesh till meshning. Vid varje iteration Tosca utför beräknas en FEM-lösning i Abaqus, som Tosca sedan importerar och baserar optimeringen på. Skruvarna, fästet och ramen är i båda modellerna av stål med densiteten ρ steel = 7,85 kg/m 3, elasticitetsmodulen E steel = 210 10 9 Pa och Poissons konstant v steel = 0,3. 2.1 Det lilla förbandet 2.1.1 Geometri I första delen testas tre problemformuleringar i sex testfall på ett förband med två skruvar. Det föreställer ett vinkelfäste som sitter ihop med en rambalk, som i FEM-modellen är förenklat till geometrin i Figur 1. Fästet har en oregelbunden form, vilket beror på att det är utplockat ur det fäste som beskrivs i avsnitt 2.2 Det stora förbandet. Enda anledningen till att det lilla fästet är utformat på detta sätt är att det är en så liten del som möjligt ur det stora, men som innehåller två skruvhål. Det lilla fästets dimensioner återfinns i Tabell 1. 6

Mått, se Figur 1 Värde Förklaring a 51,5 mm Fästets bredd (x) b 96,3 mm Fästets höjd (z) c 25,0 mm Fästets djup (y) Ω 87,77 10 3 mm 3 Fästets volym V frys 28,39 10 3 mm 3 Frysta elements volym - 7,5 mm Skruvhålens radie r f 14,0 mm Radie fryst runt skruvhålen tjocklek e 60,0 mm Avstånd mellan skruvhålens centrumpunkter h 100,8 mm Rambalkens höjd (z) g 55,9 mm Rambalkens bredd (x) f 8,0 mm Ramens djup (y) Tabell 1. Det lilla förbandets dimensioner. För att fästet inte ska bli för vekt kring skruvarna och deformeras av klämkraften finns en ihålig cylinder bestående av frysta element (alltså sådana som hör till fästet, men inte ingår i designvolymen) runt varje skruvhål, se de lila elementen i Figur 2. Här syns även designvolymen, som utgörs av de gröna elementen. För att elementen inte ska hamna i varandra i simuleringen har kontakt modellerats mellan skruvskallen och fästet, muttern och ramen och den frysta cylindern och ramen. Detta innebär även att friktionen som uppstår i dessa ytor tas med i beräkningarna. Figur 1. Det lilla förbandet meshat. 7

2.1.2 Skruvar Figur 2. Det lilla förbandets designvolym i grönt och frysta element i lila. I förbandet används M14-skruvar vilka är 14 mm i diameter i skruvkroppen [5]. I modellen förenklas de så att skruven och muttern bildar en solid kropp utan gängor. Skruvskallen, som egentligen är sexkantig, förenklas till att ha rund form. Klämlängden är lika lång som flänsarnas totala tjocklek, det vill säga 33 mm och skruvhålet har 0,5 mm större radie än skruven. Skruvarna modelleras med förspänning i två förberedande laststeg. I det första steget läggs en förskjutning på u forsp = 10 3 mm för att skapa kontakt en första kontakt mellan flänsarna på, och i det andra steget läggs förspänningskraften F f = 57 kn på noden i y-led (skruvens längsriktning). En skruv består i FEMmodellen av 4644 element. 2.1.3 Mesh För att lösningen ska bli verklighetstrogen krävs en fin nog mesh, men ju fler element som måste utvärderas, desto längre blir beräkningstiden. Det som avgör mesh-storleken är bland annat hur tjocka ribbor det kan tillåtas i strukturen. En tumregel är att dessa måste vara minst fem element i varje riktning. I andra delar av strukturen är det andra saker som avgör. I skruvarna beräknas spänningen till resultatet, så elementen måste vara relativt små för att resultatet ska vara representativt. Däremot i ramen beräknas inte spänningen, den är endast till för föra över laster och ge en verklighetstrogen infästning. Därför är elementkvaliteten där inte lika viktig. Elementstorleken väljs till 1,5 mm i fästet och skruvarna och 4 mm i ramen. I modellen har 44163 element av typ C3D81, C3D6 och KINCOUP använts [6]. 2.1.4 Lastfall Efter de två förspänningsstegen belastas förbandet av två lastfall (Lastfall 1 och Lastfall 2) var för sig. I det första är det en kraft F 1 = (7,5; 0; 0) kn och i det andra en kraft F 3 = (0; 8,36; 0) kn i samma punkt. I båda fallen är rambiten fast inspänd längs två sidor, detta visas med trianglar i Figur 1. Krafternas angreppspunkt modelleras av en nod som är kopplad till förbandet via MPC som är fästa i noder tillhörande ett skikt av frysta element övers i fästet enligt Figur 3. 8

2.1.5 Problemformuleringar Figur 3. Krafternas angreppspunkts position. Hela förbandets töjningsenergi under de två yttre lastfallen summeras till kompliansen, W = W 1 + W 2. I de fall bivillkoret innehåller volymen, V DV, får den ej överskrida volymfraktionen α av designvolymen Ω och då det innehåller spänning får den i varje skruv i de 2088 stycken orangea elementen i Figur 4 inte överskrida σ max under något av de två lastfallen. Ett bivillkor ställs upp för varje skruvkropp, vilken då är elementgruppen beskriven i samband med Ekvation (14). I samtliga test används Toscas funktion DVCON_CAST, en funktion som gör att strukturen går att gjuta och dra ur en gjutform i angiven riktning, och i optimeringen tas endast hänsyn till de yttre lasterna med hjälp av funktionen [2]. Det är 25772 stycken element i designvolymen och således lika många designvariabler. Figur 4. Elementen i skruvarna som spänningsbivillkoret gäller markerade i orange. Inför test 1.2 väljs vilket värde som är lämpligt att sätta som σ max baserat på resultatet i test 1.1. Gränsen är lägre än den högsta optimala spänningen i test 1.1 så att bivillkoret är aktivt, men så pass högt att det existerar lösningar. Beloppet av σ max är inte relevant i den här jämförelsen så några olika nivåer testas och en nivå som ligger inom det beskrivna spannet väljs. I test 1.3a, 1.3b och test 1.4 sätts den högsta töjningsenergin från de två lastfallen i test 1.2 som gräns W max i bivillkoret, alltså W 1 W max och W 2 W max. Anledningen att bivillkoren gäller töjningsenergin i lastfallen var för sig och inte kompliansen är att fästet inte ska vara vekare än det är när det är som vekast i test 1.2. Referensspänningen σ y i test 1.3b får ej underskrida värdet enligt ekvationen på sidan 547 i [2] och väljs till den högsta automatiskt uträknade spänningen i test 1.3a. De problemformuleringar som testas presenteras i Tabell 2 och parameterfiler till alla test finns i BILAGOR. 9

Test Formulering i Tosca 1.1 MIN STRAIN_ENERGY REL VOLUME 0,3 1.2 MIN STRAIN_ENERGY REL VOLUME 0,3 ABS SIG_TOPO_MISES 650 1.3a MINMAX SIG_TOPO_MISES REL VOLUME 0,3 STRAIN_ENERGY 50784 Förklaring Minimera kompliansen så att volymfraktionen ej överskrider α = 0,3. Minimera kompliansen så att volymfraktionen ej överskrider α = 0,3 och effektivspänningen i kämlängdernas element ej överskrider σ max = 650 MPa. Minimera den maximala effektivspänningen i skruvkropparnas element så att volymfraktionen ej överskrider α = 0,3 och töjningsenergin ej överskrider W max = 50784 J. Automatiskt bestämd referensspänning σ y. 13b MIN SIG_TOPO_MISES REL VOLUME 0,3 STRAIN_ENERGY 50784 Minimera den maximala effektivspänningen i skruvkropparnas element så att volymfraktionen ej överskrider α = 0,3 och töjningsenergin ej överskrider W max = 50784 J. Manuellt bestämd referensspänning σ y = 1045 MPa. 1.4 MIN VOLUME Minimera designområdets volym så att ABS SIG_TOPO_MISES 650 effektivspänningen i kämlängdernas element ej överskrider σ STRAIN_ENERGY 50748 max = 650 MPa och töjningsenergin ej överskrider W max = 50784 J. Tabell 2. Problemformuleringar som testas på det lilla förbandet. 2.2 Det stora förbandet 2.2.1 Geometri I andra delen görs fyra test av problemformuleringar på ett förband med sex skruvar. Det föreställer ett vinkelfäste, som i FEM-modellen är förenklat till geometrin i Figur 5. Som i det mindre förbandet finns frysta element runt skruvhålen och ett översta skikt där kopplingar till kraften angriper. De lila elementen är som tidigare frysta och de gröna utgör designvolymen. Även i detta fall är den bakre flänsen en del av rambalken. Det stora fästets dimensioner återfinns Tabell 3. 10

Figur 5. Det stora förbandet meshat. Mått, se Figur 5 Värde Förklaring k 206,5 mm Fästets höjd (z) g 124,0 mm Fästets bredd (x) j 25,0 mm Fästets djup (y) Ω V frys 543,3 10 3 mm 3 Fästets designvolym 70,42 10 3 mm 3 Frysta elements volym - 7,5 mm Skruvhålens radie e (se Figur 1) 60,0 mm Höjd mellan skruvhåls centrumpunkter (z) m 85,0 mm Bredd mellan skruvhåls centrumpunkter (x) n 200,0 mm Ramens höjd (z) p 385,0 mm Ramens bredd (x) f (se Figur 1) 8,0 mm Ramens djup (y) q 80,0 mm Ramens flänsars djup (y) Tabell 3. Det stora förbandets dimensioner. 11

2.2.2 Skruvar Förbandet har sex stycken M14-skruvar enligt Figur 4 som förspänns på samma sätt i test 2.1 - test 2.4 som i avsnitt 2.1.2 Skruvar. I test 2.5 modelleras varje skruv som ett balkelement i stål med radien 7 mm. Dessa förspänns inte och har inga skallar, så kontakt modelleras i detta fall endast mellan ramen och fästet. Balkelementen är kopplade till noderna på kanten av skruvhålet med MPC. 2.2.3 Mesh Elementstorleken i fästet och skruvarna är 1,5 mm och 4 mm i ramen som angränsar mot fästet. I de yttre delarna av rambiten är elementstorleken 10 mm. Modellen i test 2.1 - test 2.4 består av 221109 element av typ C3D8I, C3D6 och KINCOUP. I test 2.5 består modellen av 191112 element av typ C3D8I, C3D6, KINCOUP och B31. 2.2.4 Lastfall Efter de två förspänningsstegen belastas förbandet av tre lastfall var för sig. I det första en kraft F 3 = (25,0,0) kn, i det andra en kraft F 4 = (0; 21,2; 0) kn och i det tredje kraften F 5 = (0; 0; 31,5) kn. Angreppspunkten har samma position i förhållande till skruv 2 i det stora förbandet som den har till skruv 1 i det lilla förbandet, se Figur 3. Även för det större förbandet är den bakre flänsen fast inspänd längs två sidor enligt trianglarna i Figur 5. 2.2.5 Problemformuleringar I bivillkoren bestäms σ max och W max på samma sätt som i avsnitt 2.1.5 Problemformuleringar. De formuleringar som testas på det stora förbandet presenteras i Tabell 4 och samtliga parameterfiler återfinns i BILAGOR. Även då problemformuleringarna testas på det stora förbandet används för att det i optimeringen endast ska tas hänsyn till yttre lastfall och DVCON_CAST för att strukturen ska vara gjutbar. Problemet har 161857 designvariabler, lika många som antalet element i designvolymen. 12

Test Formulering i Tosca 2.1 MIN STRAIN_ENERGY REL VOLUME 0,3 2.2 MIN STRAIN_ENERGY REL VOLUME 0,3 ABS SIG_TOPO_MISES 650 2.3 MINMAX SIG_TOPO_MISES REL VOLUME 0,3 STRAIN_ENERGY 104374 2.4 MIN VOLUME ABS SIG_TOPO_MISES 650 STRAIN_ENERGY 104374 2.5 MIN STRAIN_ENERGY REL VOLUME 0,3 INTERNAL_FORCE_ABS 20500 2.3 Smooth Förklaring Solidmodellerade skruvar Minimera kompliansen så att volymfraktionen ej överskrider α = 0,3. Minimera kompliansen så att volymfraktionen ej överskrider α = 0,3 och effektivspänningen i kämlängdernas element ej överskrider σ max = 650 MPa. Minimera den maximala effektivspänningen i skruvkropparnas element så att volymfraktionen ej överskrider α = 0,3 och töjningsenergin ej överskrider W max = 104374 J. Manuellt bestämd referensspänning σ y = 1045 MPa. Minimera designområdets volym så att effektivspänningen i kämlängdernas element ej överskrider σ max = 650 MPa och töjningsenergin ej överskrider W max = 104374 J. Skruvar modellerade som balkelement Minimera kompliansen så att volymfraktionen ej överskrider α = 0,3 och nodkraften i balkeelementen ej överskrider F max = 20500 N. Tabell 4. Prblemformuleringar som testas på det stora förbandet. Trots att SIMP används till bestraffning av mellanliggande värden kommer det i lösningen att finnas ρ som ligger mellan 0 och 1, alltså element med styvheter som ligger mellan 0 % och 100 %. För att ett fäste ska kunna tillverkas måste den optimala topologin översättas till en CAD- eller FEM-modell, vilket kan göras med hjälp av en funktion i Tosca som heter smooth. Genom iso-värdet styrs vilka element som förs över till ett optimalt fäste med jämn yta [2]. I test 2.5 modelleras skruvarna som balkelement och bivillkoret ställs på nodkraften i dessa. För att erhålla spänningen i skruvarna i detta fall används smooth-filen i BILAGOR för att skapa ett fäste där skruvar enligt avsnitt 2.1.2 Skruvar införs. Lasterna simuleras på denna modell en gång i FEMprogrammet Abaqus och spänningarna σ vmaf i resultatet jämförs med det optimala fästet från test 2.1 som har blivit skapat med samma smooth-fil. På detta sätt beräknas spänningarna i skruvarna i det optimerade fästet även i test 1.1, test 1.2 och test 1.4. Volymfraktionen α f för de optimala fästena skapade med smooth-funktionen ges av där V totf är fästets volym. α f = V totf V frys, (15) Ω 13

2.3.1 Interpolering av spänning När skruvförband konstrueras på Scania är det av intresse huruvida skruvarna faktiskt håller eller inte och alltså vad den faktiska spänningen i den riktiga skruv som modelleras blir. Den högsta spänningen uppkommer längst ut i skruvkroppen, närmast skallen eller muttern, men i FEM-resultatet kommer dessa element att ha högre spänning än i verkligheten på grund av att övergången mellan kropp och skalle/mutter modelleras som skarp. För att beräkna den högsta spänningsnivån som uppkommer används linjär interpolation. Den högsta spänningen sju elementrader in från skruvskallen eller muttern, σ 7, och fyra elementrader in, σ 3, avläses i resultatet. Eftersom elementen har samma dimension ges spänningen i det yttersta elementet av σ I = 2σ 3 σ 7. (16) 14

3 NUMERISKA RESULTAT 3.1 Det lilla förbandet Efter avslutad optimering skapar Tosca grafer som visar målfunktionens och bivillkorens värden som funktion av iterationerna. Dessa grafer för alla testfall samt tabeller med de optimala maximala u- spänningarna, σ u och effektivspänningarna, σ vmt enligt Ekvation (14) presenteras tillsammans med de optimala topologierna i avsnitten med resultat för respektive test. Sist i avsnitten finns även resultatet av Toscas funktion smooth med iso-värde 0,4 för alla problemformuleringar utom test 1.3a. 3.1.1 Minimera kompliansen med volymsbivillkor För test 1.1 nås ett optimum efter 21 iterationer. Det optimala värdet för kompliansen är W = W 1 + W 2 = 41594,1 + 10880,6 = 52474,7 J 52,5 kj och volymen är V DV = 26295 26,3 10 3 mm 3. Topologin visas i Figur 6 och den högsta spänningen i respektive skruvkropp är listad i Tabell 5. Figur 6. Den optimala topologin i test 1.1. test 1.1 Effektivspänning, σ vma [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Lastfall 1 811,9 475,1 Lastfall 2 436,1 414,6 Tabell 5. Den högsta uppkomna spänningen i respektive skruv och lastfall i test 1.1. Figur 7. Målfunktion test 1.1: minimera kompliansen. 15

FEM-LÖSNING FÖR OPTIMERAT FÄSTE EFTER APPLICERING AV SMOOTH I Figur 8 visas resultatet av Toscas funktion smooth med isovärde 0.4. Det färdiga fästet har den totala volymen V totf = 54,07 10 3 mm 3, vilket enligt Ekvation (15) ger volymfraktionen α f = 0,344. De avlästa spänningarna σ vmaf och interpolerade värdena σ I för spänningarna är beräknade enligt Ekvation (16) och presenteras i Tabell 6. Figur 8. Det optimerade fästet från test 1.1 efter applicering av Toscas funktion Smooth. test 1.1 Skruv 1 Skruv 2 Effektivspänning, σ vmaf [MPa] Lastfall 1 707,6 455,5 Lastfall 2 448,0 413,8 Interpolerad spänning, σ I [MPa] Lastfall 1 776,8 476,6 Lastfall 2 487,0 437,9 Tabell 6. Den maximala interpolerade spänningen i skruvarna i förbandet med det optimerade fästet i test 1.1 efter applicering av Toscas funktion Smooth. 3.1.2 Minimera kompliansen med volyms- och spänningsbivillkor I bivillkoret gällande spänningen sätts i Tosca σ max = 650 MPa och ett optimum nås efter 50 iterationer. Det optimala värdet för kompliansen är W = W 1 + W 2 = 50784,0 + 11235,8 = 62019,8 J 62 kj, designområdets volym är V DV = 26328 26,3 10 3 mm 3 och volymfraktionen α = 0,2996. Den optimala topologin visas i Figur 9 och den högsta spänningen i respektive skruvkropp, σ vma, i den sista iterationen presenteras i Tabell 7. Figur 9. Den optimala topologin i test 1.2. test 1.2 Effektivspänning, σ vma [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Lastfall 1 649,9 593,0 Lastfall 2 471,5 409,9 Tabell 7. De maximala spänningarna i respektive skruvkropp i de båda lastfallen i test 1.2. 16

Figur 10. Målfunktion test 1.2: minimera kompliansen. Figur 11. Bivillkor test 1.2: σ vm 650 MPa. test 1.2 Skruv 1 Skruv 2 u-spänning, σ u [MPa] Lastfall 1 649,8 541,0 Lastfall 2 342,9 258,5 Effektivspänning, σ vmt [MPa] Lastfall 1 649,9 593,0 Lastfall 2 472,1 409,9 Tabell 8. Den i Tosca beräknade u-spänningen och den med Ekvation (14) uträknade effektivspänningen i test 1.2. FEM-LÖSNING FÖR OPTIMERAT FÄSTE EFTER APPLICERING AV SMOOTH I Figur 12 visas resultatet av Toscas funktion smooth med isovärde 0.4. Det färdiga fästet har den totala volymen V totf = 55,53 10 3 mm 3, vilket enligt Ekvation (15) ger volymfraktionen α f = 0,360. Den maximala spänningen i respektive skruv är beräknad enligt Ekvation (16) och presenteras i Tabell 9. 17

Figur 12. Det optimerade fästet från test 1.2 efter applicering av Toscas funktion Smooth. test 1.2 Skruv 1 Skruv 2 Effektivspänning, σ vmaf [MPa] Lastfall 1 677,8 467,5 Lastfall 2 467,5 410,4 Interpolerad spänning, σ I [MPa] Lastfall 1 753,4 494,2 Lastfall 2 517,9 438,3 Tabell 9. Den maximala spänningen i skruvarna i förbandet med det optimerade fästet från test 1.2 efter applicering av Toscas funktion Smooth. 3.1.3 Minmax spänningen med volyms- och töjningsenergibivillkor TEST 1.3a AUTOMATISKT DEFINIERAD REFERENS Utöver volymsbivillkoret ställs bivillkoret i Tosca att töjningsenergin inte får överstiga W max = 50784 J och ett optimum nås efter 58 iterationer. I test 1.3a definieras ingen referensspänning, σ y, manuellt utan Tosca sätter automatiskt värdena enligt Tabell 10. test 1.3a Referensspänning, σ y [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Lastfall 1 1045,5 452,0 Lastfall 2 443,0 423,5 Tabell 10. Referensspänningar i test 1.3a automatiskt definierade av Tosca. Kompliansen är W = W 1 + W 2 = 50724,2 + 11116,8 = 61841,0 J 61,8 kj, designområdets volym är V DV = 26314 26,3 10 3 mm 3 och volymfraktionen α = 0,2998. Den högsta spänningen i respektive skruvkropp, σ vma, i den sista iterationen presenteras i Tabell 11 och den optimala topologin visas i Figur 13. Figur 13. Den optimala topologin i test 1.3a. 18

test 1.3a Effektivspänning, σ vma [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Lastfall 1 1014 464,2 Lastfall 2 420,1 433,0 Tabell 11. De maximala spänningarna i respektive skruvkropp i de båda lastfallen i test 1.3a. Figur 14. Målfunktion test 1.3a: minimera den maximala spänningen. Figur 15. Bivillkor test 1.3a: W 50784 J. test 1.3a Skruv 1 Skruv 2 u-spänning, σ u [MPa] Lastfall 1 983,4 476,8 Lastfall 2 398,4 442,7 Effektivspänning, σ vmt [MPa] Lastfall 1 1014 464,2 Lastfall 2 420,1 433,0 Tabell 12. Den i Tosca beräknade u-spänningen och den med Ekvation (14) uträknade effektivspänningen i test 1.3a. 19

TEST 1.3b MANUELLT DEFINIERAD REFERENS Även i test 1.3b ställs bivillkoret att töjningsenergin ej får överstiga W max = 50784. Då nås ett optimum efter 50 iterationer. Referensspänningen definieras för båda skruvarna (och gäller båda lastfallen) till σ y = 1045 MPa. Kompliansen är W = W 1 + W 2 = 50788,8 + 11243,8 = 62032,6 J 62,0 kj, designområdets volym är V DV = 26327 26,3 10 3 mm 3 och volymfraktionen α = 0,3000. Den högsta spänningen i respektive skruvkropp, σ vma, presenteras i Tabell 13 och den optimala topologin visas i Figur 16. Figur 16. Den optimala topologin i test 1.3b. test 1.3b Effektivspänning, σ vma [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Lastfall 1 663,5 580,1 Lastfall 2 476,9 416,4 Tabell 13. De maximala spänningarna i respektive skruvkropp i de båda lastfallen i test 1.3b. Figur 17. Målfunktion test 1.3b: minimera den maximala spänningen. 20

Figur 18. Bivillkor test 1.3b: W 50784 J. test 1.3a Skruv 1 Skruv 2 u-spänning, σ u [MPa] Lastfall 1 421,2 322,0 Lastfall 2 217,7 165,9 Effektivspänning, σ vmt [MPa] Lastfall 1 663,4 580,1 Lastfall 2 477,0 416,4 Tabell 14. Den i Tosca beräknade u-spänningen och den med Ekvation (14) uträknade effektivspänningen i test 1.3b. FEM-LÖSNING FÖR OPTIMERAT FÄSTE I 1.3b EFTER APPLICERING AV SMOOTH I Figur 19 visas resultatet av Toscas funktion smooth med isovärde 0.4. Det färdiga fästet har den totala volymen V totf = 54,43 10 3 mm 3, vilket enligt Ekvation (16) ger volymfraktionen α f = 0,348. Figur 19. Det optimerade fästet från test 1.3b efter applicering av Toscas funktion Smooth. test 1.4 Skruv 1 Skruv 2 Effektivspänning, σ vmaf [MPa] Lastfall 1 652,0 459,9 Lastfall 2 471,4 412,4 Interpolerad spänning, σ I [MPa] Lastfall 1 727,7 483,5 Lastfall 2 526,6 448,8 Tabell 15. Den maximala spänningen i skruvarna i förbandet med det optimerade fästet från test 1.4 efter applicering av Toscas funktion Smooth. 21

3.1.4 Minimera volymen med spännings- och töjningsenergibivillkor Bivillkoren att spänningen ej får överstiga σ max = 650 MPa och töjningsenergin ej får överstiga W max = 50784 J ställs. Ett optimum nås efter 120 iterationer. Kompliansen är W = W 1 + W = 50770,1 + 11374,1 = 62144,2 J 62,1 kj, designområdets volym är V DV = V totf = 28852 28,9 10 3 mm 3 och enligt Ekvation (15) volymfraktionen α = α f = 0,3287. Den högsta spänningen i respektive skruvkropp, σ vma, i den sista iterationen presenteras i Tabell 16 och den optimala topologin visas i Figur 20. Figur 20. Den optimala topologin i test 1.4. test 1.4 Effektivspänning, σ vma [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Lastfall 1 649,8 594,5 Lastfall 2 477,3 398,2 Tabell 16. De maximala spänningarna i respektive skruvs skruvkropp i de båda lastfallen i test 1.4. Figur 21. Målfunktion test 1.4: minimera volymen. 22

Figur 22. Bivillkor test 1.4: σ vmt 650 MPa. Figur 23. Bivillkor test 1.4: W 50784 J. test 1.4 Skruv 1 Skruv 2 u-spänning, σ u [MPa] Lastfall 1 649,7 503,2 Lastfall 2 351,7 247,8 Effektivspänning, σ vmt [MPa] Lastfall 1 649,8 571,9 Lastfall 2 478,1 401,3 Tabell 17. Den i Tosca beräknade u-spänningen och den med Ekvation (14) uträknade effektivspänningen i test 1.4. FEM-LÖSNING FÖR OPTIMERAT FÄSTE EFTER APPLICERING AV SMOOTH I Figur 24 visas resultatet av Toscas funktion smooth med isovärde 0.4. Det färdiga fästet har den totala volymen V totf = 58,04 10 3 mm 3, vilket enligt Ekvation (15) ger volymfraktionen α f = 0,389. Den maximala spänningen i respektive skruv är beräknad enligt Ekvation (16) och presenteras i Tabell 15. 23

Figur 24. Det optimerade fästet från test 1.4 efter applicering av Toscas funktion Smooth. 24

Maximal spänning [MPa] Maximal spänning [MPa] 3.1.5 Sammanställning En sammanställning av antalet iterationer, kompliansen och den högsta spänningen som uppkommer i skruvkropparna under de båda lastfallen för alla test presenteras i Tabell 18. I Figur 25, Figur 26, Figur 27 och Figur 28 visas hur spänningen i skruvkropparna förhåller sig mellan test 1.1 och de övriga. Test Antal iterationer Töjningsenergi, E [kj] Högsta spänning, σ vma [MPa] Volymfraktion, α eller α f 1.1 21 52,5 811,9 0,2996 1.2 50 62,1 649,9 0,2996 1.3a 58 61,8 1014,0 0,2998 1.3b 50 62,0 663,5 0,3000 1.4 120 62,1 649,8 0,3287 Tabell 18. Sammanställning av resultaten från de små testen. Test 1.2 1000 800 600 400 200 0 1/1 2/1 1/2 2/2 Skruv/Lastfall Test 1.1 Test 1.2 Figur 25. Den högst uppkomna spänningen i skruvkropparna i varje lastfall, test 1.1 och 1.2. Test 1.3a 1200 1000 800 600 400 200 0 1/1 2/1 1/2 2/2 Skruv/Lastfall Test 1.1 Test 1.3a Figur 26. Den högst uppkomna spänningen i skruvkropparna i varje lastfall, test 1.1 och 1.3a. 25

Maximal spänning [MPa] Maximal spänning [MPa] 1000 800 600 400 200 0 Test 1.3b 1/1 2/1 1/2 2/2 Skruv/Lastfall Test 1.1 Test 1.3b Figur 27. Den högst uppkomna spänningen i skruvkropparna i varje lastfall, test 1.1 och 1.3b. Test 1.4 1000 800 600 400 200 0 1/1 2/1 1/2 2/2 Skruv/Lastfall Test 1.1 Test 1.4 Figur 28. Den högst uppkomna spänningen i skruvkropparna i varje lastfall, test 1.1 och 1.4. 26

3.2 Det stora förbandet 3.2.1 Minimera kompliansen med volymsbivillkor I test 2.1 nås ett optimum efter 23 iterationer. Det optimala värdet för kompliansen är W = W 1 + W 2 + W 3 = 45536,3 + 88463,4 + 24533,6 = 158533,3 J 159 kj, designområdets volym är V DV = 162,74 10 3 mm 3 och volymfraktionen α = 0,2996. Topologin visas i Figur 29 och den högsta spänningen i respektive skruvkropp är presenterad i Tabell 19. Figur 29. Den optimala topologin i test 2.1. test 2.1 Effektivspänning, σ vma [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 Lastfall 1 695,2 487,8 478,5 441,1 422,5 414,0 Lastfall 2 533,3 469,9 610,2 612,6 650,2 640,7 Lastfall 3 432,9 491,2 508,2 429,2 517,3 410,2 Tabell 19. De maximala spänningarna i respektive skruvkropp i de tre lastfallen i test 2.1. Figur 30. Målfunktion test 2.1: minimera kompliansen. FEM-LÖSNING FÖR OPTIMERAT FÄSTE EFTER APPLICERING AV SMOOTH I Figur 31 visas resultatet av Toscas funktion smooth med isovärde 0.4. Det färdiga fästet har den totala volymen V totf = 241,6 10 3 mm 3, vilket enligt Ekvation (15) ger volymfraktionen α f = 0,315. De högsta spänningarna i respektive skruvkropp presenteras i Tabell 20. 27

Figur 31. Det optimerade fästet från test 2.1 efter applicering av Toscas funktion Smooth. test 2.1 Effektivspänning, σ vms, [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 Lastfall 1 660,2 478,4 479,6 448,1 421,8 412,7 Lastfall 2 526,7 460,2 606,7 603,0 642,8 639,3 Lastfall 3 418,9 475,1 506,3 427,3 546,3 403,3 Tabell 20. De maximala spänningarna i respektive skruvkropp i de tre lastfallen för det optimerade fästet från test 2.1 efter applicering av Toscas funktion Smooth. 3.2.2 Minimera kompliansen med volyms- och spänningsbivillkor I bivillkoret på spänningen sätts i Tosca σ max = 650 MPa och ett optimum nås efter 57 iterationer. Den optimala kompliansen är W = W 1 + W 2 + W 3 = 51245,3 + 104374,0 + 25267,9 = 180887,2 J 181 kj, designområdets volym är V DV = 162,77 10 3 mm 3 och volymfraktionen α = 0,2996. Den högsta spänningen i respektive skruvkropp, σ vma, i den sista iterationen presenteras i Tabell 21 och den optimala topologin visas i Figur 32. Figur 32. Den optimala topologin i test 2.2. test 2.2 Effektivspänning, σ vma [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 Lastfall 1 649,7 492,9 533,0 449,1 417,0 411,4 Lastfall 2 436,4 552,1 604,6 633,3 648,5 639,9 Lastfall 3 447,9 515,5 530,6 442,5 624,7 445,2 Tabell 21. De maximala spänningarna i respektive skruvkropp i de tre lastfallen i test 2.2. 28

Figur 33. Målfunktion test 2.2: minimera kompliansen. Figur 34. Bivillkor test 2.2: σ vm 650 MPa. Figur 35. Fortsättning bivillkor test 2.2: σ vm 650 MPa. 29

test 2.2 Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 u-spänning, σ u [MPa] Lastfall 1 649,3 373,8 437,1 310,3 267,5 260,4 Lastfall 2 301,3 468,9 562,4 617,1 647,1 630,0 Lastfall 3 310,2 408,8 433,2 301,2 600,4 305,6 Effektivspänning, σ vmt [MPa] Lastfall 1 649,6 492,9 533,0 449,1 417,0 411,4 Lastfall 2 442,5 552,1 604,6 633,3 648,5 639,9 Lastfall 3 449,0 515,5 530,6 442,5 624,7 445,7 Tabell 22. Den i Tosca beräknade u-spänningen och den med Ekvation (14) uträknade effektivspänningen i test 2.2. FEM-LÖSNING FÖR OPTIMERAT FÄSTE EFTER APPLICERING AV SMOOTH I Figur 36 visas resultatet av Toscas funktion smooth med isovärde 0.4. Det färdiga fästet har den totala volymen V totf = 240,53 10 3 mm 3, vilket enligt Ekvation (15) ger volymfraktionen α f = 0,313. Figur 36. Det optimerade fästet från test 2.2 efter applicering av Toscas funktion Smooth. 3.2.3 Minimera spänningen med volyms- och töjningsenergibivillkor I testfall 2.3 ställs bivillkoret att töjningsenergin ej får överstiga W max = 104374 J. Då nås ett optimum efter 50 iterationer. Referensspänningen sätts för samtliga de sex skruvarna (och gäller alla tre lastfall) till σ y = 1045,0 MPa. Kompliansen i sista iterationen är W = W 1 + W 2 + W 3 = 56793,2 + 104303,0 + 25789,6+= 186885,8 J 186 kj, designområdets volym är V DV = 162,78 10 3 mm 3 och volymfraktionen α = 0,2996. Den högsta spänningen i respektive skruvkropp, σ vma, i den sista iterationen presenteras i Tabell 23 och den optimala topologin visas i Figur 37. 30

Figur 37. Den optimala topologin i test 2.3. test 2.3 Effektivspänning, σ vma [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 Lastfall 1 641,0 473,7 490,7 452,8 422,1 414,5 Lastfall 2 556,3 500,4 632,3 641,7 641,3 631,0 Lastfall 3 436,8 462,1 472,8 415,5 564,4 561,3 Tabell 23. De maximala spänningarna i respektive skruvkropp i de båda lastfallen i test 2.3b. Figur 38. Målfunktion test 2.3: minimera den maximala spänningen. Figur 39. Bivillkor test 2.3: W 104374, 0 J. 31

test 2.3 Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 u-spänning, σ u [MPa] Lastfall 1 393,2 214,7 230,4 196,2 170,5 164,4 Lastfall 2 296,2 249,6 382,6 394,1 393,6 394,1 Lastfall 3 182,6 204,4 213,9 165,2 304,8 301,5 Effektivspänning, σ vmt [MPa] Lastfall 1 641,0 473,7 490,7 452,8 422,1 414,5 Lastfall 2 556,4 510,7 632,3 641,7 641,3 641,7 Lastfall 3 436,8 462,2 472,8 415,5 564,4 561,3 Tabell 24. Den i Tosca beräknade u-spänningen och den med Ekvation (14) uträknade effektivspänningen i test 2.3. FEM-LÖSNING FÖR OPTIMERAT FÄSTE EFTER APPLICERING AV SMOOTH I Figur 40 visas resultatet av Toscas funktion smooth med isovärde 0.4. Det färdiga fästet har den totala volymen V totf = 259,0 10 3 mm 3, vilket enligt Ekvation (15) ger volymfraktionen α f = 0,347. Figur 40. Det optimerade fästet från test 2.3 efter applicering av Toscas funktion Smooth. 3.2.4 Minimera volymen med spännings- och töjningsenergibivillkor Utöver volymsbivillkoret ställs i Tosca bivillkoren att spänningen ej får överstiga σ max = 650 MPa och töjningsenergin ej får överstiga W max = 104374,0 J. Ett optimum nås efter 52 iterationer. Kompliansen är W = W 1 + W 2 + W 3 = 57453,1 + 104050 + 25516,0 = 187019,1 J 187 kj, designområdets volym är V DV = V totf = 171,95 10 3 mm 3 och volymfraktionen enligt Ekvation (15) α = α f = 0,3165. Den högsta spänningen i respektive skruvkropp, σ vma, presenteras i Tabell 25. I Figur 41 visas den optimala topologin. Figur 41. Den optimala topologin i test 2.4. 32

test 2.4 Effektivspänning, σ vma, [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 Lastfall 1 646,7 498,1 613,8 464,0 417,3 415,6 Lastfall 2 533,2 538,6 619,1 647,9 650,4 643,1 Lastfall 3 521,5 543,8 540,4 428,2 621,5 472,0 Tabell 25. De maximala spänningarna i respektive skruvkropp i de båda lastfallen i test 2.4. Figur 42. Målfunktion test 2.4: minimera volymen. Figur 43. Bivillkor test 2.2: σ vm 650 MPa. 33

Figur 44. Fortsättning bivillkor test 2.2: σ vm 650 MPa. Figur 45. Bivillkor test 2.4: W 50784 J. FEM-LÖSNING FÖR OPTIMERAT FÄSTE EFTER APPLICERING AV SMOOTH I Figur 46 visas resultatet av Toscas funktion smooth med isovärde 0.4. Det färdiga fästet har den totala volymen V totf = 249,3 10 3 mm 3, vilket enligt Ekvation (15) ger volymfraktionen α f = 0,329. Figur 46. Det optimerade fästet från test 2.4 efter applicering av Toscas funktion Smooth. 34

test 2.4 Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 u-spänning, σ u [MPa] Lastfall 1 643,5 381,7 579,6 331,3 268,0 265,7 Lastfall 2 437,4 446,2 589,7 645,8 650,8 636,4 Lastfall 3 418,4 455,0 449,3 282,1 594,2 342,7 Effektivspänning, σ vmt [MPa] Lastfall 1 646,7 498,1 613,8 464,1 417,4 415,6 Lastfall 2 533,2 538,5 619,1 647,9 650,4 643,2 Lastfall 3 521,5 543,8 540,4 428,2 621,5 472,0 Tabell 26. Den i Tosca beräknade u-spänningen och den med Ekvation (14) uträknade effektivspänningen i test 2.4. 3.2.5 Minimera kompliansen med volyms- och kraftbivillkor I bivillkoret på kraften i balkelementen sätts i Tosca F max = 20,5 kn och ett optimum nås efter 133 iterationer. Den optimala kompliansen är W = W 1 + W 2 + W 3 = 64219,7 + 102703,0 + 5187,8 = 172110,5 J 172 kj, designområdets volym är V DV = 162,75 10 3 mm 3 och volymfraktionen α = 0,2996. De maximala nodkrafterna i den sista iterationen är presenterade i Tabell 27 och den optimala topologin visas i Figur 47. Figur 47. Den optimala topologin i test 2.5. test 2.5 Nodkraft i balkelement, F T [kn] Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 Lastfall 1 20,6 19,3 20,4 11,2 6,5 5,0 Lastfall 2 6,1 20,4 16,1 20,5 10,1 20,5 Lastfall 3 2,2 7,9 2,0 3,4 0,5 8,2 Tabell 27. Nodkrafter i balkelement i test 2.5. FEM-LÖSNING FÖR OPTIMERAT FÄSTE EFTER APPLICERING AV SMOOTH I Figur 48 visas resultatet av Toscas funktion smooth med isovärde 0.4. Det färdiga fästet har den totala volymen V totf = 238,22 10 3 mm 3, vilket enligt Ekvation (15) ger volymfraktionen α f = 0,309. Med solidmodellerade och förspända skruvar i detta fäste uppkommer de högsta spänningarna i respektive skruvkropp enligt Tabell 28. 35

test 2.5 Effektivspänning, σ vms [MPa] Skruv 1 Skruv 2 Skruv 3 Skruv 4 Skruv 5 Skruv 6 Lastfall 1 637,2 501,1 641,6 484,0 410,5 435,3 Lastfall 2 566,0 582,0 517,4 519,4 510,4 630,6 Lastfall 3 558,7 522,5 464,7 435,8 501,2 427,3 Tabell 28. De maximala spänningarna i respektive skruvkropp i de tre lastfallen för det optimerade fästet från test 2.5 efter applicering av Toscas funktion Smooth. Figur 48. Det optimerade fästet från test 2.5 efter applicering av Toscas funktion Smooth. 36

Maximal spänning [MPa] Maximal spänning [MPa] 3.2.6 Sammanställning En sammanställning av antalet iterationer, kompliansen och den högsta spänningen som uppkommer i skruvkropparna under de tre lastfallen i alla test presenteras i Tabell 29. I Figur 49, Figur 50, Figur 51 och Figur 49 visas hur spänningen i skruvkropparna förhåller sig mellan det första testfallet och de övriga. Testfall Antal iterationer Kompliansen, W [kj] Högsta spänning, σ vma [MPa] Högsta spänning, σ vms [MPa] Volymfraktion, α Volymfraktion, α f 2.1 23 159 695,2 660,2 0,2996 0,315 2.2 57 181 649,7-0,2996-2.3 50 186 641,7-0,2996-2.4 52 187 650,4-0,3165-2.5 133 175-641,6 0,2996 0,309 Tabell 29. Sammanställning av resultaten från de stora testfallen. 800 700 600 500 400 300 200 100 0 Test 2.2 1/1 3/1 5/1 1/2 3/2 5/2 1/3 3/3 5/3 Skruv/Lastfall Test 2.1 Test 2.2 Figur 49. Den högst uppkomna spänningen i skruvkropparna i varje lastfall, test 2.1 och 2.2. 800 700 600 500 400 300 200 100 0 Test 2.3 1/1 3/1 5/1 1/2 3/2 5/2 1/3 3/3 5/3 Skruv/Lastfall Test 2.1 Test 2.3 Figur 50. Den högst uppkomna spänningen i skruvkropparna i varje lastfall, test 2.1 och 2.3. 37

Maximal spänning [MPa] Maximal spänning [MPa] 800 700 600 500 400 300 200 100 0 Test 2.4 1/1 3/1 5/1 1/2 3/2 5/2 1/3 3/3 5/3 Skruv/Lastfall Test 2.1 Test 2.4 Figur 51. Den högst uppkomna spänningen i skruvkropparna i varje lastfall, test 2.1 och 2.4. 700 600 500 400 300 200 100 0 Test 2.5 1/1 3/1 5/1 1/2 3/2 5/2 1/3 3/3 5/3 Skruv/Lastfall Test 2.1 Test 2.5 Figur 52. Den högst uppkomna spänningen i skruvkropparna i varje lastfall, smoothade fästen från test 2.1 och 2.5. 38

4 DISKUSSION OCH ANALYS Alla uppställningar ger olika topologier, som uppfyller de krav som är ställda på dem. För det lilla förbandet är den högsta spänningen, volymfraktionen och kompliansen väldigt lika i test 1.2 och 1.3b och för det stora förbandet i samtliga test utom 2.1 som är referens, se Tabell 18 och Tabell 29. Detta visar att det finns många olika optimum och möjlighet att finna likvärdiga lösningar med alla tre problemformuleringar. Antalet iterationer är det som tillsammans med modellens storlek påverkar hur lång tid problemet tar att lösa. I test 1.4 är de betydligt fler än för de övriga problemformuleringarna (120 jämfört med 50 till 58 stycken) använda på det lilla förbandet, se Tabell 18. Det kan bero på formuleringen, men eftersom en optimal lösning för det stora förandet nås redan efter 52 iterationer är detta en slutsats som inte går att dra. EFFEKTIVSPÄNNING I Figur 25 - Figur 28 och Figur 49 - Figur 52 syns att alla problemformuleringar utom test 1.3a uppfyller syftet, att jämna ut lasten mellan de ingående skruvarna. För det lilla förbandet har spänningen framförallt minskat i den första skruven i det första lastfallet, vilket var den högst belastade, och ökat i den andra skruven i det första lastfallet. För test 2.2 - test 2.5 har lasterna fördelats om från den första skruven i det första lastfallet, som var den högst uppkommande spänningen, till övriga skruvar och lastfall, till exempel skruv 5 i lastfall 3 i test 2.2 och skruv 3 i lastfall 1 i både test 2.4 och 2.5. Alltså, spänningen har fördelats om från den högst belastade skruven till övriga och fördelningen av lasterna har blivit jämnare. I test 1.3a är det fel problem som löses. Det vore lämpligt att inte i Tosca kalla posten för SIG_TOPO_MISES, eftersom den inte står för effektivspänningen då den används i målfunktionen (vilket den står för i bivillkoren), utan för förhållandet mellan effektivspänningen och referensspänningen en helt annan sak. Detta kan medföra att spänningen i en elementgrupp som inte är högst belastad minimeras vilket är fallet i test 1.3a därav är spänningen i skruv 1, lastfall 1 mycket högre i Tabell 11 än i Tabell 13 (test 1.3b). När testerna av problemformuleringarna genomfördes var det inte intressant om skruvarna skulle hålla eller inte, därför är inte sträckgränsen vad som används då bivillkoret gäller spänningen. I stället är en nivå vald för test 1.2 och test 2.2 då lösningen konvergerar lagom snabbt, men bivillkoret ändå är aktivt. Det är denna nivå som använts för de övriga testerna så att parametrarna ska hållas samma för att formuleringarna ska kunna jämföras. Att hitta en lagom gräns till detta examensarbete var tidskrävande eftersom det innebar att testerna behövde köras många gånger tills denna nivå var funnen. I det verkliga utvecklingsarbetet är det många gånger tydligt vad denna gräns ska vara, skruven behöver hålla, så detta moment borde i de flesta fall ta betydligt kortare tid. Det är inte säkert att en optimal lösning existerar om bivillkoret på spänningen i skruvarna är för lågt för den valda volymfraktionen. Då måste antingen skruvarnas dimensioner ökas, fler skruvar måste läggas till, volymfraktionen ökas eller en kombination av åtgärderna. Alltså kommer det sannolikt att behövas flera iterationer oavsett vilken problemformulering som väljs. VOLYM Volymfraktionen är högre i test 1.4 och 2.4, alltså när volymen minimeras, än i övriga tester. Det finns alltså lokala optimum för volymfraktionen som är högre än α = 0,3 i båda fallen. Detta är inte den bästa lösningen, eftersom det i de övriga testerna uppkommit lösningar med lägre volymfraktion, samma eller lägre komplians och samma eller lägre spänning. Om det är väldigt viktigt att volymfraktionen ska uppfylla ett visst krav är det alltså lämpligt att omformulera det till ett bivillkor. Samma sak gäller för de andra egenskaperna som ingår i problemformuleringen. Är en gräns viktig bör den anges i ett bivillkor, men då kommer sannolikt detta 39