Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III Sebastian Andersson Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 16 december 2015
är en prognosmetod vi kan använda för serier med en konstant nivå, dvs utan trend eller Metoden liknar glidande medelvärden, men vikterna avtar t Med en skonstant w (0 w 1): E t = wy t + (1 w)e t 1 Vi har alltså ett viktat genomsnitt av nuvarande periods observation (y t ) och tidigare periods utjämnade värde (E t 1 )
Metodens steg: 1 Bestäm ett värde för skonstanten w, 0 w 1 2 Beräkna den t utjämnade serien E t som följer: E 1 = y 1 E 2 = wy 2 + (1 w)e 1 E 3 = wy 3 + (1 w)e 2. E n = wy n + (1 w)e n 1 3 Prognosen för en framtida observation k steg framåt är F n+k = E n, k = 1,2,...
Men varför? De tre första värdena: E 1 = y 1 E 2 = wy 2 + (1 w)e 1 E 3 = wy 3 + (1 w)e 2 Stoppa in E 1 i E 2 och E 2 i E 3 och se att vi får en kvadrat på (1 w): E 3 = wy 3 + (1 w)e 2 E 3 = wy 3 + (1 w)(wy 2 + (1 w)e 1 ) (Byt ut E 2 ) = wy 3 + (1 w)(wy 2 + (1 w)y 1 ) (Byt ut E 1 ) = wy 3 + w(1 w)y 2 + (1 w) 2 y 1 (Multiplicera)
Summan av vikterna är 1: w + w(1 w) + (1 w) 2 = 2w w 2 + (1 2w + w 2 ) = 1. Högre värden för vikten w ger större vikt till närliggande observationer, lägre värden tar större hänsyn till äldre observationer Detta betyder att höga värden på w ger en hoppig serie, medan låga värden ger en mer mjuk och utjämnad serie Vad händer i gränsfallen, när w är 0 eller 1?
Exempel: BNP-tillväxt i Sverige t Period BNP 1 2014:3 0,3 2 2014:4 1,2 3 2015:1 0,6 4 2015:2 1,1 Vi väljer w = 0,2 och beräknar den utjämnade serien: E 1 = 0,3 E 2 = 0,2 1,2 + (1 0,2) 0,3 = 0,48 E 3 = 0,2 0,6 + (1 0,2) 0,48 = 0,504 E 4 = 0,2 1,1 + (1 0,2) 0,504 = 0,623 Prognoser för de två återstående kvartalen 2015 ges av: F 5 = E 4 = 0,623 F 6 = E 4 = 0,623.
Procent 3 2 1 0-1 -2 Variable BNP w=0.2 w=0.5-3 -4 Quarter Year 2002 2005 2008 2011 2014 Svensk BNP-tillväxt
Eftersom prognosen är det senaste utjämnade värdet, kan vi få en mer intuitiv tolkning av vad metoden gör Vi hade att: E n = wy n + (1 w)e n 1 Eftersom prognosen ett steg framåt vid tidpunkt n 1 är det senaste utjämnade värdet, dvs F n = E n 1, kan detta skrivas som E n = wy n + (1 w)f n = F n + w(y n F n ) = Föregående 1-stegsprognos + w Prognosfel Det utjämnade värdet vid tidpunkt n kan alltså ses som en uppdaterad prognos, dvs när vi får en ny observation behåller vi den gamla prognosen (första termen) men reviderar den något (andra termen)
är något begränsad, då den förutsätter att vi varken har någon trend eller Med metod utökas den enkla a en till att tillåta enbart trend eller både trend och, där trenden antas vara linjär Vi skriver metoden enligt: E t = wy t + (1 w)(e t 1 + T t 1 ) T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1 där både w och v är mellan 0 och 1. Utjämningen vid tidpunkt t (E t ) bestäms av en vid föregående tidpunkt (E t 1 ) samt en skattning av trendökningen (T t 1 )
Metodens steg: 1 Bestäm skonstanterna v och w, där båda är mellan 0 och 1 2 Beräkna s- och trendkomponenterna E t och T t enligt: { y 2, t = 2 E t = wy t + (1 w)(e t 1 + T t 1 ), t > 2 { y 2 y 1, t = 2 T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1, t > 2 3 Prognosen k steg framåt är F n+k = E n + T n k
Det enklaste sättet att förstå denna (något komplicerade) metod är att titta på ekvationen för dess prognos: F n+k = E n + T n k Precis som vid enkel använder vi det senaste utjämnade värdet, E n, men nu lägger vi även till en del för att i vår prognos ta hänsyn till trenden Detta uttryck är mycket likt vad vi hade för prognoser med minsta kvadrat-metoden: ŷ t = ˆβ 0 + ˆβ 1 t Skillnaden är alltså att vi uppdaterar interceptet ˆα med vårt senaste utjämnade värde, E n, och lutningskoefficienten ˆβ 1 med vår senaste skattning för trendökningen, T t
För en 1-stegsprognos är k = 1, så 1-stegsprognosen vid tidpunkt n 1 är då F n = E n 1 + T n 1 Som i fallet med enkel innebär detta att vi kan se en som en reviderad prognos, eftersom: E n = wy n + (1 w)(e n 1 + T n 1 ) = wy n + (1 w)f n = F n + w(y n F n ) = Föregående 1-stegsprognos + w Prognosfel Ekvationen ovan är exakt samma som för enkel, skillnaden är beräkningen av F n. I det här fallet tillåter vi även en trendökning!
Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t 2010 1 3520 * * 2011 2 3657 2012 3 3685 2013 4 3770 2014 5 3918 1 Vi kan omedelbart beräkna E 2 och T 2 : E 2 = y 2 = 3657 T 2 = y 2 y 1 = 3657 3520 = 137
Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t 2010 1 3520 * * 2011 2 3657 3657 137 2012 3 3685 2013 4 3770 2014 5 3918 1 Vi kan omedelbart beräkna E 2 och T 2 : E 2 = y 2 = 3657 T 2 = y 2 y 1 = 3657 3520 = 137
Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t 2010 1 3520 * * 2011 2 3657 3657 137 2012 3 3685 2013 4 3770 2014 5 3918 2 Därefter beräknar vi E 3 och T 3 : E 3 = 0,3 y 3 + 0,7 (E 2 + T 2 ) = 0,3 3685 + 0,7 (3657 + 137) = 3761,3 T 3 = 0,3 (E 3 E 2 ) + 0,7 T 2 = 0,3 (3761,3 3657) + 0,7 137 = 127,19
Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t 2010 1 3520 * * 2011 2 3657 3657 137 2012 3 3685 3761,3 127,19 2013 4 3770 2014 5 3918 2 Därefter beräknar vi E 3 och T 3 : E 3 = 0,3 y 3 + 0,7 (E 2 + T 2 ) = 0,3 3685 + 0,7 (3657 + 137) = 3761,3 T 3 = 0,3 (E 3 E 2 ) + 0,7 T 2 = 0,3 (3761,3 3657) + 0,7 137 = 127,19
Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t 2010 1 3520 * * 2011 2 3657 3657 137 2012 3 3685 3761,3 127,19 2013 4 3770 2014 5 3918 3 Vi kan nu beräkna E 4 och T 4 : E 4 = 0,3 y 4 + 0,7 (E 3 + T 3 ) = 0,3 3770 + 0,7 (3761,3 + 127,19) = 3852,94 T 4 = 0,3 (E 4 E 3 ) + 0,7 T 3 = 0,3 (3852,94 3761,3) + 0,7 127,19 = 116,53
Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t 2010 1 3520 * * 2011 2 3657 3657 137 2012 3 3685 3761,3 127,19 2013 4 3770 3852,94 116,53 2014 5 3918 3 Vi kan nu beräkna E 4 och T 4 : E 4 = 0,3 y 4 + 0,7 (E 3 + T 3 ) = 0,3 3770 + 0,7 (3761,3 + 127,19) = 3852,94 T 4 = 0,3 (E 4 E 3 ) + 0,7 T 3 = 0,3 (3852,94 3761,3) + 0,7 127,19 = 116,53
Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t 2010 1 3520 * * 2011 2 3657 3657 137 2012 3 3685 3761,3 127,19 2013 4 3770 3852,94 116,53 2014 5 3918 4 Slutligen har vi E 5 och T 5 : E 5 = 0,3 y 5 + 0,7 (E 4 + T 4 ) = 0,3 3918 + 0,7 (3852,94 + 116,53) = 3954,03 T 5 = 0,3 (E 5 E 4 ) + 0,7 T 4 = 0,3 (3954,03 3852,94) + 0,7 116,53 = 111,9
Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t 2010 1 3520 * * 2011 2 3657 3657 137 2012 3 3685 3761,3 127,19 2013 4 3770 3852,94 116,53 2014 5 3918 3954,03 111,9 4 Slutligen har vi E 5 och T 5 : E 5 = 0,3 y 5 + 0,7 (E 4 + T 4 ) = 0,3 3918 + 0,7 (3852,94 + 116,53) = 3954,03 T 5 = 0,3 (E 5 E 4 ) + 0,7 T 4 = 0,3 (3954,03 3852,94) + 0,7 116,53 = 111,9
Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t 2010 1 3520 * * 2011 2 3657 3657 137 2012 3 3685 3761,3 127,19 2013 4 3770 3852,94 116,53 2014 5 3918 3954,03 111,9 4 Prognoser för 2015 och 2016 fås genom: F 6 = E 5 + T 5 = 3954,03 + 111,9 = 4065,92 F 7 = E 5 + 2 T 5 = 3954,03 + 2 111,9 = 4177,82
metod utan kallas ibland dubbel eftersom vi har två serier vi jämnar ut Vi ska nu introducera även i modellen i vad som även kallas trippel Det finns egentligen allsköns kombinationer av additiv och multiplikativ, olika trender, etc i dessa modeller, men vi fokuserar här på multiplikativ med linjär trend Metoden är alltså med både trend och
Vi har nu istället tre ekvationer: ( ) yt E t = w + (1 w)(e t 1 + T t 1 ) S t P T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1 ( ) yt S t = u + (1 u)s t P E t där w,v och u är skonstanter (mellan 0 och 1) och P är periodiciteten Jämförelse med utan : 1 E t : istället för y t har vi det sjusterade värdet y t /S t P 2 T t : samma som förut 3 S t : viktat medel av en grov sskattning (y t /E t ) och senaste skattningen för samma period
Metodens steg: 1 Bestäm skonstanterna w, v och u (alla mellan 0 och 1) 2 Bestäm periodiciteten P (t ex 4 för kvartalsdata) 3 Beräkna de första värdena: E 2 = y 2 T 2 = y 2 y 1 S 2 = y 2 E 2 4 Beräkna andra delen, för t = 3,..., P + 2: E t = wy t + (1 w)(e t 1 + T t 1 ) T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1 S t = y t E t
5 Beräkna den resterande delen, för t = P + 3,..., n: ( ) yt E t = w + (1 w)(e t 1 + T t 1 ) S t P T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1 ( ) yt S t = u + (1 u)s t P E t 6 Prognosen k steg framåt är: F n+k = (E n + kt n )S n+k P
Exempel: BNP i 2014 års priser, 2000:1-2015:2 BNP (miljarder kronor) 1050 1000 950 900 850 800 750 700 Quarter Year 2002 2005 2008 2011 2014 BNP i 2014 års priser, miljarder kronor
1 Vi låter w = 0,7,v = u = 0.5 2 Eftersom vi har kvartalsdata är periodiciteten P = 4 3 Början av datamängden: Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000:1 1 735,77 2000:2 2 767,25 2000:3 3 696,25 2000:4 4 800,26 2001:1 5 757,16 2001:2 6 777,41 2001:3 7 704,96 2001:4 8 806,90
3 (forts.) Beräkning av de första värdena: E 2 = y 2 = 767,25 T 2 = y 2 y 1 = 767,25 735,77 = 31,48 S 2 = y 2 = 767,25 E 2 767,25 = 1 Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000:1 1 735,77 * * * 2000:2 2 767,25 767,25 31,48 1 2000:3 3 696,25 2000:4 4 800,26
4 Den andra delen med beräkningar sträcker sig från t = 3 till t = P + 2 = 6. Vi får: E 3 = 0,7 y 3 + 0,3 (E 2 + T 2 ) = 0,7 696,25 + 0,3 (767,25 + 31,48) = 726,99 T 3 = 0,5 (E 3 E 2 ) + 0,5 T 2 = 0,5 (726,99 767,25) + 0,5 31,48 = 4,39 S 3 = y 3 = 696,25 E 3 726,99 = 0,958 Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000:1 1 735,77 * * * 2000:2 2 767,25 767,25 31,48 1 2000:3 3 696,25 726,99-4,39 0,958 2000:4 4 800,26
4 (forts.) När tabellen är ifylld fram till t = P + 2 = 6 har vi: Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000:1 1 735,77 * * * 2000:2 2 767,25 767,25 31,48 1 2000:3 3 696,25 726,99-4,39 0,958 2000:4 4 800,26 776,97 22,79 1,030 2001:1 5 757,16 769,94 7,88 0,983 2001:2 6 777,41 777,54 7,74 1,000 2001:3 7 704,96 2001:4 8 806,90
5 Vi fyller i tabellen för t = P + 3 = 7 och framåt: ( ) y7 E 7 = 0,7 + 0,3 (E 6 + T 6 ) S ( 3 ) 704,96 = 0,7 + 0,3 (777,54 + 7,74) = 750,84 0,958 T 7 = 0,5 (E 7 E 6 ) + 0,5 T 6 = 0,5 (750,84 777,54) + 0,5 7,74 = 9,48 ( ) y7 S 7 = 0,5 + 0,5 S 3 E ( 7 ) 704,96 = 0,5 + 0,5 0,958 = 0,948 750,84
5 (forts.) Utökad tabell: Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000:1 1 735,77 * * * 2000:2 2 767,25 767,25 31,48 1 2000:3 3 696,25 726,99-4,39 0,958 2000:4 4 800,26 776,97 22,79 1,030 2001:1 5 757,16 769,94 7,88 0,983 2001:2 6 777,41 777,54 7,74 1,000 2001:3 7 704,96 750,84-9,48 0,948 2001:4 8 806,90 Genom att fortsätta med liknande beräkningar får vi slutligen de utjämnade serierna ända upp till 2015:2
BNP (miljarder kr) 1050 1000 950 900 850 800 750 Variable BNP E 700 Quarter Year 2002 2005 2008 2011 2014 BNP och E t
6 Förutom prognoser framåt i tiden (2015:3, 2015:4, etc) kan vi också beräkna löpande 1-stegsprognoser genom att vid varje tidpunkt göra 1-stegsprognoser enligt: F t+1 = (E t + T t )S t+1 P för t = P + 1, P + 2,..., n. De första 1-stegsprognoserna är: F 6 = (E 5 + T 5 )S 2 = (769,94 + 7,88) 1 = 777,83 F 7 = (E 6 + T 6 )S 3 = (777,54 + 7,74) 0,958 = 752,07 F 8 = (E 7 + T 7 )S 4 = (750,84 9,48) 1,030 = 763,59 etc
6 (forts.) Början på tabellen inklusive 1-stegsprognoser: Tid t BNP (y t ) E t T t S t F t 2000:1 1 735,77 * * * * 2000:2 2 767,25 767,25 31,48 1 * 2000:3 3 696,25 726,99-4,39 0,958 * 2000:4 4 800,26 776,97 22,79 1,030 * 2001:1 5 757,16 769,94 7,88 0,983 * 2001:2 6 777,41 777,54 7,74 1,000 777,83 2001:3 7 704,96 750,84-9,48 0,948 752,07 2001:4 8 806,90 770,79 5,24 1,038 763,59 Genom att fortsätta med liknande beräkningar får vi slutligen de utjämnade serierna ända upp till 2015:2
BNP (miljarder kr) 1100 1000 900 800 Variable BNP E F 700 Quarter Year 2002 2005 2008 2011 2014 BNP, E t och F t
6 (forts.) Prognoser framåt i tiden beräknar vi enligt: F n+k = (E n + k T n )S n+k P Botten av tabellen: Tid t BNP (y t ) E t T t S t F t 2014:3 59 918,57 989,21 6,44 0,928 2014:4 60 1031,42 997,86 7,55 1,033 2015:1 61 987,92 1003,00 6,35 0,985 2015:2 62 1045,23 1016,43 9,89 1,027 För k = 1, 2, 3, 4 får vi: F 63 = (E 62 + 1T 62 )S 59 = (1016,43 + 1 9,89) 0,928 = 952,54 F 64 = (E 62 + 2T 62 )S 60 = (1016,43 + 2 9,89) 1,033 = 1070,54 F 65 = (E 62 + 3T 62 )S 61 = (1016,43 + 3 9,89) 0,985 = 1030,88 F 66 = (E 62 + 4T 62 )S 62 = (1016,43 + 4 9,89) 1,027 = 1084,28
BNP (miljarder kr) 1100 1050 1000 950 Variable BNP E F 900 Quarter Year Q1 2014 Q1 2015 Q1 2016 BNP, E t och F t