Variation för lärande

Variation för lärande Ulla Runesson Denna artikel grundar sig på doktorsavhandlingen Variationens pedagogik. Skilda sätt att behandla ett matematiskt innehåll" som lades fram i mars 1999. Fem erfarna lärares undervisning följdes och ljudbandades under ca två veckor. Fyra av lärarna undervisade om tal i bråkform, den femte om tal i procentform. I undervisningen framställdes det matematiska innehållet på så skilda sätt att det är möjligt att tala om att ämnet gavs olika karaktär då det presenterades för eleverna. När undervisning diskuteras och speciellt då hur den skall kunna förändras är det ofta hur den är organiserad, vilka arbetsformer eller undervisningsmetoder som används som kommer i fokus. I olika sammanhang talas tex om problembaserat lärande, undersökande arbetssätt eller datorstödd undervisning. När det gäller matematikundervisning är det kanske främst ord som laborativa arbetssätt, praktisk matematik eller behovet av att tala matematik som brukar nämnas och i samband med detta framhålls ofta att lärarens uppgift består i att handleda eleven i dennes aktiva kunskapssökande process. Det finns emellertid, enligt mitt sätt att se, ett problem med sådana beskrivningar. De är nämligen inte neutrala till innehållet. En elevaktiv undervisning, ett problembaserat lärande eller läraren som handledare kan betyda olika saker beroende på vad som är undervisningsinnehåll. Sådana beskrivningar säger därför troligen mer om hur undervisningen är organiserad än om hur innehållet behandlas. Undervisning som på en nivå förefaller att vara lika, kan nämligen visa sig vara mycket olika om man studerar hur det innehåll, dvs det som eleverna skall lära sig, framställs. Ulla Runesson är filosofie doktor i pedagogik vid Göteborgs universitet. Lika men ändå olika Den här studerade undervisningen behandlade samma matematiska innehåll. Även i andra avseenden fanns likheter mellan lärarnas undervisning. Fyra av dem använde samma läromedel. Den femte använde visserligen inte ett förlagsproducerat läromedel, men de uppgifter eleverna mötte var ändå av lärobokskaraktär. Lektionerna hade liknande uppläggning. Den inleddes oftast med en gemensam aktivitet. Därefter arbetade eleverna enskilt, i par eller grupp med uppgifter. Samtliga lärare använde ofta olika slag av laborativa material. Även eleverna fick möjlighet att arbeta med laborativt material av olika slag då de arbetade med uppgifterna. Allt som sades under de ca 20 inspelade lektionerna analyserades i syfte att kartlägga de olika sätt varpå ett matematiskt innehåll kan behandlas i undervisningen. Det var alltså inte de enskilda lärarnas undervisning som var av intresse utan de skilda sätt varpå samma innehåll kan framställas. Analysen visade att i undervisningen framställdes det matematiska innehållet på så skilda sätt att det är möjligt att tala om att ämnet gavs olika karaktär då det presenteras för eleverna. Trots att samtliga elever undervisas om tal i bråk- eller procentform, är det således helt skilda typer av matematik de möter och därmed ges möjlighet att lära. 19

Rätt svar och rätt lösningssätt Jag har kunna identifiera tre skilda sätt att framställa matematik. Ett av sätten innebär att det rätta svaret och det rätta sättet att lösa olika typer av matematiska problem utgör fokus. Det är de olika typer av tekniker som eleverna skall behärska som är det centrala i undervisningen. Dessa tekniker presenteras i regel innan eleverna möter uppgifterna i läroboken. Eleverna förbereds således med en uppsättning tekniker så att de kan lösa uppgifterna på ett rätt sätt och komma till rätt svar. Ibland ger emellertid eleverna uttryck för att de har andra tillvägagångssätt för att lösa uppgifterna än de som läraren presenterar. De kan då visserligen få beröm för att de har funnit andra och egen alternativ, men dessa avvisas oftast av läraren med motiveringen att de bara fungerar ibland. Det är således generella tekniker och procedurer som eleverna uppmanas att använda. De alternativ som eleverna erbjuds att använda för att komma fram till rätt svar är antingen abstrakta, symboliska metoder eller laborativa modeller. De uppmanas att bara tänka eller att vika papper, använda bilder etc. Så som matematiken framställs för eleverna i dessa situationer, blir den en uppsättning färdiga tekniker som de skall tillägna sig. Lärarens uppgift är att visa lämpliga tekniker för eleverna. Matematikens struktur öppnar för en variation Ett annat sätt att framställa innehållet, som jag fann i de undersökta lärarnas undervisning, är att matematiken gestaltas som ett givet, logiskt system. Här är det inte i första hand att lösa uppgifterna rätt och komma till rätt svar som betonas. Istället är det de bakomliggande principerna för lösningsmetoderna som kommer i fokus. Läraren avkräver tex eleverna förklaringar och motiveringar till de lösningssätt som de använder. Det är inte främst vetskapen om tex att det går fyra fjärdedelar på en hel som framhålls. Istället är det en förståelse för varför detta är fallet som lyfts fram i undervisningen, dvs innebörden av bråkbegreppet är centralt. Om eleverna förstår en sådan bakomliggande logik eller struktur, tillåts de att variera lösningssätten. Ja, de uppmanas tom att behärska olika lösningssätt; Du skall kunna lösa det på olika sätt, säger läraren. Eleverna presenteras inte heller lösningssätt och strategier i förväg. Eleverna får möta vissa principer eller stukturer. Dessa kan de sedan ha som en grund för att själva hitta lösningssätt. Det är emellertid inte bara variationer i lösningssätt som eleverna får möta. Även variationer i egenskaper hos talen i bråk eller procentform behandlas. Det kan exempelvis gälla att belysa innebörden av en andels storlek. Genom att sträcka ett gummiband där olika andelar finns markerade, visas att en fjärdedel av skrivtavlans längd inte är lika stor en fjärdedel av mattebokens längd (dvs skillnaden mellan absolut och relativ storlek). Men läraren kan också fokusera variationen i bråkbegreppet genom att samtidigt lyfta fram dess operators- och divisionsaspekt. Lärarens uppgift är här att lyfta fram en logisk struktur hos matematiken som eleverna sedan kan använda på olika sätt. Elevernas förståelse öppnar för en variation Det tredje sättet att framställa innehållet som jag har kunnat identifiera, överensstämmer i huvudsak med sätt nummer två som beskrevs ovan. Det finns emellertid en som det kan tyckas subtil skillnad när det gäller den karaktär som matematiken ges. I detta fall är det nämligen inte matematikens struktur, utan elevernas förståelse av matematiken och elevernas egen logik som bildar utgångspunkten för att belysa lösningssätt och begrepp. Här är det inte läraren som presenterar en struktur som eleverna kan variera. Istället är det lärarens uppgift att lyfta fram olikheterna i elevernas förståelse av tal i bråkform oavsett om denna är korrekt eller ej. Det är alltså via elevernas förståelse som matematikens logiska mönster eller struktur framställs. Detta sker genom utnyttjande av interaktionen i mindre grupper såväl som i helklass. Lära- 20

re och elever eller elever sinsemellan samtalar om och jämför olika sätt att tänka om de uppgifter de arbetar med. Samtalet sker efter det att eleverna (enskilt eller i grupp) har arbetat med uppgifterna. Detta samtal innebär en reflekterande process där det är variation i sättet att förstå som kommer i blickpunkten. Genom sådana resonemang, där argument ges och tas, blir eleverna delaktiga i ett återskapande av matematiken. Därmed får denna inte karaktären av något som är färdigt och skilt från ett mänskligt och socialt sammanhang. Skilda mönster av variation De skilda sätt att behandla undervisningsinnehållet som beskrevs ovan har vissa likheter med beskrivningar som andra forskare har gjort (se tex Skemp, 1976; Ernest, 1991). I denna studie kan jag emellertid också visa att hur innehållet kommer att framställas har att göra med det sätt på vilket lärarna använder sig av variation i undervisningen. När läraren försöker att få eleven att förstå något på ett visst sätt, görs detta genom en variation av en viss aspekt medan andra aspekter inte varieras. Det betyder att något varierar medan annat är konstant. Det är denna skillnad i vad som varierar och vad som hålls konstant som jag har funnit avgör hur undervisningsinnehållet framställs i undervisningen. Variation av talen i exemplet I de fall då vikt läggs vid den rätta tekniken, är det denna som hålls konstant, medan de tal som ingår i exemplen varieras. Följande exempel illustrerar detta: Under en lektion behandlas bråkets operatorsaspekt (tex 2/3 av 12). Läraren beskriver inledningsvis hur man går till väga för att beräkna längden på 2/3 av ett 90 cm långt kolasnöre. Hon säger: så först måste vi räkna ut hur mycket en tredjedel blir då va. Därefter fortsätter hon: Då tar vi kolasnöret här då. Det här är bara 40 cm, säjer vi... jag ska ha... en femtedel av det här?... Det är 40 cm långt. Efter att en elev har svarat rätt på frågan, fortsätter läraren: Men om du nu säjer så här då, att jag ska ha tre femtedelar? Där var det många som fastnade igår. Tre femtedelar av det här snöret? Hur tänker man då? Det är viktigt nu att ni fattar... detta. Så att ni inte fastnar. Läraren påpekar åter hur proceduren skall utföras: Ja OK, vi måste alltså först tänka ut en femtedel va, och då tar man ju 40 delat med fem sa vi. Och då får man fram 8. Och så tre femtedelar, måste vara tre gånger mera. Tre såna bitar. Och då blir det 24 cm. Nu införs en annan variation. Delen är lika stor, men längden på snöret förändras: Nu låtsas vi att det här snöret är 60 cm i stället... (skriver 60 cm) och så säjer jag likadant. Det här är 60 cm... en utav er ska ha tre femtedelar utav det här snöret, och en annan ska ha två femtedelar... av, för ni har satsat lite olika pengar säjer vi... Hur mycket ska den personen ha som ska ha tre femtedelar?... Jag frågar först, ska han ha mer eller mindre än hälften?... Mer eller mindre än hälften? Om han ska ha tre femtedelar?... Mer. Det är ni överens om allihop?... Det ser ni bara?... så då bör ju svaret bli mer än 30 cm. Det kan ju va en bra tumregel. OK hur gör vi? Hela snöret är 60... jag ska ha tre femtedelar. Då måste jag räkna ut en sak först, nämligen vad då? Exemplet visar hur tillvägagångssättet och uppgiften hålls konstant (att beräkna längden på en viss andel av snöret), medan de ingående talen i exemplet varierar på ett systematiskt sätt. Efter det första exemplet ändras längden på snöret samt andelens storlek (1/5 av ett 40 cm långt snöre). Därefter ändras antalet delar, så att längden av 3/5 av samma längd, dvs samma helhet, skall beräknas. I det sista exemplet förändras helhetens storlek, medan delarna är konstanta (3/5 av 60 cm). 21

Variation av lösningssätt Detta kan jämföras med en helt annan strategi; att låta uppgiften vara konstant och lyfta fram en variation av de sätt varpå denna lösas. I dessa fall är det inte rätt svar som kommer i fokus utan de skilda sätt varpå en uppgift kan lösas. Läraren uppmanar då eleverna att beskriva hur de har gått tillväga. Han frågar t ex är det någon som gjort på ett annat sätt? eller Gjorde alla så. Finns det andra sätt? Detta sätt att behandla undervisningsinnehållet innebär att det är de olika lösningssätten som lyfts fram. Dessa bildar därmed en dimension av variation i undervisningen. Variation av beteckning Men den dimension av variation som öppnas kan innefatta annat än lösningsätt. En av lärarna använder sig av variation för att lyfta fram innebörden i begreppet en fjärdedel. Eleverna har arbetat med ett rätblock bestående av ett antal olikfärgade centikuber. Avsikten är att rätblocket skall representera en helhet som delas av ett antal personer så att varje person får lika stor andel av blocket. Varje sådan andel har en egen färg. Eleverna skall först besvara frågan: Hur många är det som delar? Läraren skriver denna fråga på tavlan. Därefter fortsätter han: L: Och... hör ni ni. Vi har pratat massor om saker och ting, hur många är det som delar, man kan lika gärna säga; hur många delar (Läraren stryker är det som i frågan ovan)... och... vi har pratat om delar, delar, delar hela vägen så nu kommer vi att börja prata om dom här delarna... och nu är det ju så att om vi tittar på C-biten, om ni har den i minnet så var det fyra stycken som delar. Du fick alltså en... del av dom fyra bitarna, och det kan man skriva på ett väldigt bestämt sätt i matten, man skriver det så här: en etta ovanpå fyran och så ett streck så där (skriver 1/4). Och detta kallar man för en, ja det kanske ni kan? Eller? Vad heter detta? E: En fjärdedel. L: En fjärdedel ja. Så du fick alltså en fjärdedel. Därefter visar läraren att detta också kan beskrivas som att varje person får en av fyra delar av rätblocket. I denna situation varieras således sättet att beskriva andelen. Så beskrivs tex en fjärdedel som det är fyra som delar, det är fyra delar, en av fyra en fjärdedel samt 1/4. Kontrastering Ett annat sätt att använda variation, är att ställa något mot något annat, dvs att göra en kontrastering. Detta görs tex för att få eleverna att förstå innebörden av begreppet andel. En av lärarna visar exempelvis hur två olika grupper löst problemet att dela 10 pizzor på 6 personer. Han kontrasterar då en lösning mot en annan, en lösning där alla delar av pizzan är lika stora och en där delarna är av varierande storlek. Läraren kommenterar den senare lösningen: Så har dom delat dom då; 1,2,3,4,5,6... 1,2,3,4,5,6. Detta är väl rätt tänkt? Varje person får, om vi tittar på sexan, han får en stor pizza där, en liten pizzabit där, en liten pizzabit där, en stor och två små. De får ju allihop här. Men,... finns det nåt problem med att dela på det här viset här?... Det kan det vara ja. Vad för problem då i så fall? Det som varierar i denna situation är innebörden av begreppet delar ; delar i betydelsen andelar, dvs lika stora delar, kontra delar av varierande storlek. Läraren visar således vad något är genom att också visa på vad det inte är. 22

Variationen introduceras av eleverna Huruvida elevernas sätt att tänka, tolka och resonera kring matematiken tas till utgångspunkt eller ej i undervisningen, är som nämndes tidigare en viktig skiljelinje mellan olika sätt att behandla innehållet och därmed med vilken karaktär den matematiska kunskapen kan komma att framstå för eleverna. Men att låta elevernas förståelse komma fram har betydelse också på andra sätt. Genom att utnyttja elevernas förståelse, kan en variation komma att synliggöras som inte skulle komma fram annars. Ibland kan läraren genom att lyfta fram variationen i elevernas lösningssätt bidraga till att kritiska aspekter av bråkbegreppet blir belysta, vilket illustreras av följande exempel. En övning som eleverna har arbetat med består i markera 3/7 av 56 rutor. I helklass förs en diskussion kring olika sätt att lösa denna. Läraren inbjuder eleverna att berätta om hur de har gått till väga. En elev visar att detta kan göras genom att dela det hela i 7 lika stora delar och därefter markera 3 sådana delar. En annan elev har ett annat sätt vilket läraren förtydligar: L: Du, du räknade ett, två, tre, fyr, fem, sex, sju och så täcker du tre utav dom, och så en, två, tre, fyra, fem, sex, sju och så täcker du dom... med andra ord... om du räknar så här en, två, tre, fyra, fem, sex, sju... då kan du täcka dom tre sista där, va. Så. Då blir det där också... och så blir det där också. Hur gör du sen med dom här då? Fortsätter på samma sätt? E: Ja. L: En, två, tre, fyra, fem, sex, sju, så täcker du dom tre sista där... och sen en, två, tre, fyra, fem, sex, sju så täcker du dom tre sista där. Mm. Så. Jaha. Detta tillvägagångssätt innebär en annan tolkning av bråk som operator än den som den första eleven uppvisade. Istället för att dela det hela i sju delar, delas rutmönstret så att varje del utgörs av sju rutor, varav tre av dessa markeras. Genom att använda sig av variationen i elevernas tolkning av 3/7 av 56, blir en väsentlig begreppslig aspekt av bråk begreppet belyst 1. Lärares tysta kunskap Studien visar alltså att samtliga lärare i studien behandlar innehållet på ett sådant sätt att de åstadkommer någon form av variation, men också att de gör detta på olika sätt. Några öppnar för en mångfald av variation medan andra använder sig av få variationer. Att skapa variation genom att hålla något konstant och variera annat förefaller emellertid inte att var en uttalat medveten strategi hos lärarna. Då de gavs tillfälle till att berätta hur de tänkte om sin undervisning, vad de planerade att göra, vad de gjorde och om motivet för olika typer av undervisningshandlingar, beskrev de detta mer i allmänna termer tex vikten av att eleverna förstår, att man måste arbeta laborativt osv. Inte i något fall nämner lärarna användningen av variation som en strategi för att få eleverna att lära sig tal i bråk- och procentform. Förmåga att åstadkomma variation kan därför ses som uttryck för en tyst dimension av lärares kunnande, en kunskap i handling (Molander, 1993) som lärarna uppvisar då de interagerar med eleverna kring undervisningsinnehållet. Variation och lärande Vilken betydelse har då variationen, tex för elevernas lärande? Vad eleverna faktiskt lär sig har jag inte undersökt i denna studie, men andra forskare (Patrick, 1998; Rovio- Johansson, 1999) har kunnat visa att det sätt varpå läraren förstår sitt ämne och med vilken karaktär undervisningsinnehållet framställs, har betydelse för hur deras elever kommer att lösa problem som anknyter till det innehåll de har undervisats om. Det finns allstå empiriskt grundade skäl till att anta att den variation som öppnas i undervisningen kan relateras till elevernas lärande, även om sambandet förefaller att vara komplext. 1 Den variation av tolkning av bråkets operatorsaspekt som beskrivs här benämner Behr, Harel, Post & Lesh (1993) duplication/partition reducer -tolkning resp stretchershrinker -tolkning. 23

Ett annat skäl till att beakta betydelsen av den variation som eleverna exponeras för är inlärningsteoretiskt. Inom den fenomenografiska forskningstraditionen har en mängd studier genomförts som resulterat i beskrivningar av hur olika fenomen och företeelser kan uppfattas. (Neuman, 1987; Ekeblad, 1996; Ahlberg, 1998) En central utgångspunkt för dessa studier har varit att komma åt vad det innebär att förstå något på ett visst sätt, tex vad det innebär att förstå tal på sådant sätt att man kan lära sig de fyra räknesätten. Neuman (1987) menar att vissa sätt att förefaller att vara mer effektiva i detta avseende. Enligt Marton och Booth (Marton & Booth, 1997) är det förmågan att samtidigt kunna urskilja vissa aspekter av ett fenomen eller en företeelse som är kritiskt för hur fenomenet eller företeelsen kommer att förstås. När vi erfar något ett fysiskt objekt eller något abstrakt som tex begreppet tal riktar vi vårt medvetande mot vissa aspekter av detta. Och eftersom vårt medvetande är sådant att vi inte kan urskilja allting på samma gång och på samma sätt, kommer vissa aspekter av det erfarna träda i förgrunden och finnas i vårt fokala medvetande, medan andra aspekter inte urskiljs. Ett sätt att uppfatta begreppet tal innebär således att vissa aspekter skiljs ut och att detta görs samtidigt. Ett annat sätt att förstå kan innebära att andra aspekter urskiljs eller att de inte blir samtidigt urskilda. Vad är det då som avgör att vissa aspekter blir urskilda? För att kunna urskilja en viss aspekt måste man ha erfarit att aspekten i fråga kan variera. Eller enklare uttryckt: för att veta vad något är, måste vi veta vad något inte är. För att uttrycket vad tung den är skall ha en bestämd mening, måste man ha erfarit vad lätt innebär, dvs det förutsätter att man erfarit att ett föremåls massa kan variera. Det går inte att förstå vad röd färg är om man inte har erfarit andra färger, dvs att färg kan variera. Enligt detta sätt att se på lärande har alltså den variation som har erfarits en central betydelse. Vilken variation som exponeras för eleverna i en undervisningssituation torde därför vara betydelsefull för förmågan till urskiljning. I detta avseende har läraren således en viktigt uppgift, eftersom hon kan bidraga till att denna variation skapas i undervisningen. Att lyfta fram variationens betydelse för lärande betyder emellertid inte att jag hävdar att en större variation generellt skulle vara att föredra när det gäller elevernas möjlighet att lära. Det är mer troligt att den variation som eleverna får möta måste ses i relation till vilket innehåll som behandlas och vad man avser att eleverna skall lära sig, t ex vilka matematikkunskaper som behövs för att orientera sig i en alltmer komplex och varierad värld. Det betyder att det är typen av variation som blir intressant. Enligt den nuvarande kursplanen skall eleverna utveckla en fördjupad och vidgad taluppfattning om tal i bråk- och decimalform. Att taluppfattning har en mångfacetterad innebörd, beskrivs t ex i kommentaren till kursplanen (Skolverket, 1997). Forskare som studerat hur elever lär sig rationella tal (Engström, 1997; Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel, 1993) har också framhållit vikten av att rationella tal behandlas på ett sådant sätt att komplexiteten i begreppet blir belyst. Om vi antar att variation är en central aspekt av lärandet, är det rimligt att anta att den variation som eleverna erbjuds att erfara i en undervisningssituation är kritisk för deras lärande. Undervisningens vad och hur Inledningsvis argumenterade jag för att det inte är tilläckligt att enbart uppmärksamma undervisningens form, organisation eller de metoder som används, i varje fall inte om det är elevernas lärande som vi intresserar oss för. Studien visar tex att matematiska samtal eller arbete med laborativa modeller, ur en innehållslig aspekt, kan betyda olika saker och att undervisningsformen i sig inte innebär att en viss variation kommer till stånd. I tre av lärarnas undervisning uppmanas eleverna att samarbeta i grupp eller i par. Men det är endast en av lärarna som medvetet och på ett systematiskt sätt använder gruppen för att ta till vara den variation i förståelse som finns i gruppen. 24

Hur undervisningen organiseras och hur innehållet behandlas är sammanflätat på ett komplext sätt. Samma sätt att organisera undervisningen kan innebära olika sätt att behandla innehållet och vice versa. Sättet att organisera undervisningen bestämmer således inte att innehållet behandlas på ett visst sätt, sett i termer av variation. Å andra sidan verkar det som om vissa sådana öppningar av variation förutsätter vissa sätt att organisera undervisningen. Referenser Ahlberg, A. (1998). Children s ways of handling and experiencing numbers. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Ekeblad, E. (1996). Children Learning Numbers. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Engström, A. (1997). Reflektivt tänkande i matematik. Om elevers tankekonstruktioner. Stockholm: Almqvist & Wiksell. Ernest, P. (1991). The philosophy of mathematics education. London: The Falmer Press. Marton, F & Booth, S. (1997). Learning and Awareness. Mahwah, NJ: Erlbaum. Molander, B. (1993). Kunskap i handling. Göteborg: Daidalos. Neuman, D. (1987). The origin of arithmetic skills: a phenomenographic approach. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Patrick, K. (1998). Teaching and learning: the construction of an object of study. University of Melbourne. Post, T. R., Cramer, K. A., Behr, M., Lesh, R., & Harel, G. (1993). Curriculum implications of research on the learning, teaching, and assessing of rational number concept. In T. P. Carpenter, E. Fennema, & T. A. Romberg (Eds.) Rational numbers. An integration of research. Hillsdale, NJ: Erlbaum. Rovio-Johansson, A. (1999). Being good at teaching. Exploring different ways of handling the same subject in higher education. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Runesson. (1999). Variationens pedagogik. Skilda sätt att behandla ett matematiskt innehåll. Göteborg: Acta Gothoburgensis. Skemp, R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching 77, 20-26. Skolverket (1997). Kommentar till grundskolans kursplan och betygskriterier i matematik. Stockholm: Skolverket. Avhandling i Mathematics Education: Mathematical Modeling by Prospective Teachers Using Technology Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet disputerade den 27 mars 2000 vid The University of Georgia, Athens, USA Lingefjärds avhandling bygger på tre delstudier. Dessa har genomförts i syfte att undersöka blivande lärares förståelse av matematisk modellering då de har tillgång till tekniska hjälpmedel vid sin problemlösning. Studierna har genomförts i en kvalitativ inriktning där särskild uppmärksamhet har riktats mot en mindre grupp studenter under deras arbete i och utanför datorsalen. Data har insamlats via enkäter, videobandade intevjuer, observationer under pågående arbete samt skrivna dokument som inlämnings- och examinationsuppgifter. Resultaten från dessa studier visar att de studerande i så hög grad litar på de resultat som produceras med datorstöd och grafritande räknare att de får svårt att göra en relevant värdering av den framtagna modellen. De studerande tenderar också att okritiskt gå in i ett auktoritetsskifte där den egna kunskapen värderas lägre i förhållande till vad som erbjuds via de tekniska hjälpmedel som utnyttjas i modelleringssituationen. Studierna visar även att formerna för examination i dessa sammanhang är av avgörande betydelse för att klarlägga de studerandes uppfattningar och missuppfattningar kring matematisk modellering. Lingejärds avhandling är ett viktigt bidrag till diskussionen om hur blivande matematiklärare utvecklar förståelse av matematik och matematisk modellering i en alltmer teknikintensiv miljö. Avhandlingen i sin helhet finns tillgänglig i PDF-format på http://ma-serv.did.gu.se/matematik/thomas.htm Mikael Holmquist 25