Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer 2 2.1 Domäner........................................... 2 2.2 Tolkningar........................................... 3 3 Logisk konsekvens 4 3.1 Modeller............................................ 4 3.2 Semantiska bevis....................................... 5 3.3 Semantiska motbevis..................................... 6 2.2 1 Lite mer syntax Kvantifierarnas räckvidd Kvantifierarens räckvidd sträcker sig över den formel som står precis efter kvantifieraren 2.3 Fria och bundna variabler En variabel är bunden om den förekommer inom räckvidden av en kvantifierare x eller x. Annars är den fri En formel utan fria variabler kallas en sats En formel med fria variabler är varken sann eller falsk eftersom det beror på hur variabeln tolkas 1
2.4 Övning: Räckvidd Rita ut kvantifierarnas räckvidd,vilka variabler som är bundna,vilka variabler som är fria, och vilka formler som är satser 1. xp(x,y) yq(x,y) 2. x( y f (x) = y f (x) = a) 2.5 2 Strukturer Strukturer Vi använder sanningstabeller för att definiera konnektivens betydelse Men de bygger på att vi kan lista alla möjliga kombinationer av sanningsvärden i en enda tabell När vi blandar in kvantifierare och funktioner kan vi få oändligt många möjliga kombinationer för varje tal så finns ett större tal x(tal(x) y(tal(y) y > x)) Nu utökar vi semantiken till godtyckliga formler genom strukturer En struktur m = (M,T ) består av en domän M och en tolkning T. A B A B S S S S F F F S F F F F 2.6 2.1 Domäner Domäner Domänen är en mängd med minst ett objekt, exempelvis: alla svampar alla människor allt i hela universum 2.7 2
2.2 Tolkningar Tolkningar Tolkningen tilldelar en betydelse till symbolerna Om c är en konstant så är T (c) ett objekt i MT (g) = Bill Gates Om f är en funktionssymbol så är T ( f ) en funktiont (+) = additionsfunktionen Om P är en predikatsymbol så är T (P) en relationt (Ä) = att vara ett äpple, Ä(x): x är ett äpplet (Släkt) = släktskapsrelationen, Släkt(x,y): x är släkt med y 2.8 Exempelstruktur Antag att vi har konstanternagustav6gustavcarl16 en funktionfar ett predikatsläkt Till höger ser vi en struktur m = (M,T ) 2.9 Tolkning av funktioner Vi definierade tolkningen T för konstanter, funktioner och predikat Men semantiken måste ge betydelsen av hela formler Vi utvidgar definitionen av T till funktionstermer, atomära formler och likhet: 3
2.10 Tolkning av konnektiv Sedan utvidgar vi definitionen av T så att den inkluderar konnektiven 2.11 Tolkning av kvantifierare Slutligen utvidgar vi T till att gälla kvantifierare I det följande antar vi att alla objekt har var sin konstant Med A(x) menas en godtycklig formel A som innehåller variabeln x 2.12 Räkna ut tolkningen 2.13 3 Logisk konsekvens 3.1 Modeller Modell 4
När en struktur m gör en formel P sann säger vi att m är en modell för P och skriver När en struktur m inte gör en formel P sann skriver vi 2.14 Logisk konsekvens B är en logisk konsekvens av A om B är sann i varje modell till A Vi definierade förut ett korrekt resonemang som ett resonemang där slutsatsen med nödvändighet följer från premisserna. Nu kan vi ge en formell definition 2.15 3.2 Semantiska bevis Bevisa logisk konsekvens 2.16 Alternativ till semantiska bevis Vi använde definitionen av strukturer för att bevisa logisk konsekvens Resultatet är ett semantiskt bevis Tyvärr är sådana bevis ofta bökiga att skriva och läsa Nästa föreläsning handlar om att använda naturlig deduktion för bevis Resultatet är ett syntaktiskt bevis Sådana bevis är trevligare att skriva och läsa 2.17 5
3.3 Semantiska motbevis Motbevisa logisk konsekvens 2.18 Inga alternativ till semantiska motbevis Vi använde definitionen av strukturer för att motbevisa logisk konsekvens Resultatet är ett semantiskt bevis I ett motbevis räcker det att hitta en enda struktur som uppfyller premisserna men inte slutsatsen I ett bevis måste vi visa att alla möjliga strukturer som uppfyller premisserna också uppfyller slutsatsen Därför är motbevis inte lika bökiga att skriva och läsa Nästa föreläsnings naturlig deduktion kan inte användas för motbevis Därför var det nödvändigt att lära oss strukturer 2.19 Övning: Tolkning i struktur 2.20 Övning: Tolkning i struktur 6
2.21 Övning: Tolkning i struktur 2.22 7