Vecka 1 matte D del C handlar om olika typer av integraler. Metoden går tillbaka till antiken; genom triangulering kan man beräkna arean av oregelbundna polygoner. Har men en figur med krokiga begränsningslinjer approximerar man med polygoner. T ex kan man approximera cirkelns area med regelbundna n-hörningars. Syftet med veckans övningar Vi skall titta på ett antal situationer där det (förhoppligen) känns naturligt att approximera verkligheten med skeenden där variablerna är styckvis konstanta korta tidsintervall och summera vad som händer i tidsintervallen. Vi skall räkna ut flera summor vilket osökt ger oss anledning att använda matlab (eller något annat). Att allt under veckan reduceras till uträknandet av approximerande summor skall vi använda till att reducera de nya typer av integraler som dyker upp till gamla hederliga. (Föreläsningen kommer att handla om detta) Säkert kommer ni från gymnasiet ihåg att derivering och integrering är omvända operationer och att bestämda integraler kan beräknas med insättning i baklängesderivatan.i den mån vi klarar av att hitta primitiva funktioner till resulterande uttryck kommer vi alltså att kunna räkna ut de nya integraltyperna med samma gamla teknik. Vecka 2 kommer att handla om metoder för att hitta primitiva funktioner uttryckta i gamla bekanta. Något om MATLAB MATLAB (Matrix Laboratory) skrevs ursprungligen för att enkelt kunna utnyttja FORTRANrutinerna i LINPACK och EISPACK i undervisningen. De båda fortranbiblioteken kan betraktas som avslutningen av 50- och 60-talens forskning i numerisk linjär algebra. Detta ur-matlab finns fortfarande tillgängligt gratis. I dag menar man i allmänhet med matlab någon av de kommersiella versionerna som utvecklats till tämligen fullständiga system för numeriska (och symboliska )räkningar. Ursprunget i undervisningen märks på det med tiden irriterande faktum att om man inte avslutar ett kommando med semikolon får man automatiskt se resultatet: Bra medan man lär sig, pest när man räknar med 500x500-matriser. I praktiskt arbete föredrar jag sjålv (och de småsaker vi skall syssla med passar för) att köra matlab som en kraftfull kalkylator, ett kommando i taget från matlabfönstret. villman köra fler kommandon i taget kan man skriva dem på samma rad med komma eller semikolon emellan eller i sin favoritredaktör skapa en s k m-fil (kalle.m) som sedan åkallas från matlab med kalle. Om m-filen kallas funktion sparas inte mellanresultat utan bara det definierade utresultatet. Annars sparas alla variabler i en matlabsession. Vilka som finns kan du se med kommandot who. För syntaxen för funktionsfiler rekommenderar jag att ni tittar på någon redan existerande. Matlab har en utmärkt hjälpfunktion för syntax, nödvändiga indata, optioner,... besläktade kommandon. Man skriver bara help plot (t ex) Vet man inte att kommandot heter något med plot är hjälpen sämre.
I instruktionerna kommer jag att ge namnen på erforderliga kommandon. Meningen är attni genom att observera resultaten (alla resultat skrivs ut om man inte slutar med semikolon) och använda help på kommandot skall förstå funktionen. Matrisbyggande Eftersom matriser är de fundamentala byggstenarna i matlab måste man kunna göra sådana. Matriser byggs med hakparenteser:börja med vänsterparentes och skriv in tal; vill du ha en vektor behövs bara mellanslag mellan talen ( eller komma) vill du ha fler rader i matrisen använd ny rad eller semikolon. Avsluta med högerhakparentes. För vektorer är konstruktionen u=start:step:stop mycket praktisk Har man redan vektorer u och v kan man konkatenera w=[u v] eller plocka ut delar v1=v(14:33) ger t ex elementen med index 14 t o m 33 ur v (vanliga parenteser används i st för matrisindex) Matlab skiljer på rad- och kolonnvektorer. Transponering betecknas. För att äntligen komma till veckans program: Att beräkna arean under en kurva Vi vill beräkna arean av området begränsat av kurvan y=f(x) (låt oss anta att f är positiv) och linjerna x=a, x=b och y=0. Vi gör det approximativt genom att dela in x-axeln mellan a och b i bitar och ovanför varje bit ta arean av en rektangel med biten som bas och en höjd ungefär som f, t ex f:s värde i bitens vänstra ändpunkt. Vi börjar med ett exempel där ni (väl?) kan det exakta svaret. f(x)=x^3,a=1,b=3. Skaffa en vektor av lämpliga x-värden x=1:.2:3; räkna ut motsvarande y-värden y=x.^3: OBS punkten efter x som gör att kuben räknas på varje element för sig. Om man glömmer den kommer matlab att protestera att radvektorer inte kan multipliceras mee sig själva som matriser. Kolla att det blev rätt plot(x,y) För att nu komma åt arean kan man nu ta y-värdena från vänstra (eller högra) ändpunkterna i småbitarna, multiplicera med intervallängden och summera.2*sum(y(1:10)) Om du inte klarar av att räkna ut i huvudet att y har 11 element kan du få veta det med size(y). Prova nu att använda högerändpunkterna i stället. Testa också att använda kortare intervall. Listigare än att använda någon ändpunkt år att ta medelvärdet av dem. Detta kallas trapetsregeln (Varför? Rita figur!) God matlabpraxis är att räkna med vektorer u=y(1:n-1);v=y(2::n);z=(u+v)/2 (n måste antingen vara förderfinierat eller skrivas in numeriskt).dålig matlabpraxis är att göra en slinga (men det går) for k=1:n-1; z(k)=(y(k)+y(k+1))/2;end
Ännu mer sofistikerat är att använda adaptiva rutiner som varierar indelningen efter hur svårt det är att få en given precision. Prova t ex matlabs burkrutin quad (help quad). Genom att sätta något som inte är 0 i trace kan du se vilka punkter som används. quad kräver att integranden finns som m-funktionsfil som kan hantera vektorargument: (fex.m) function y=fex(x) %y=fex(x) ger en funktion att integrera y=x=x.*sin(x); raden med procenttecken exekveras inte men kommer ut på help fex Den fysikaliska tolkningen behöver inte vara en area Exempel Om du drar en låda d meter och friktionen är F Newton uträttar du arbetet df Nm (=J) Om friktionen inte är konstant kan du approximera arbetet genom att dela in sträckan i småbitar och anta att kraften är konstant på varje liten bit. Om friktionen råkar vara x^3 och du drar lådan längs x-axeln från 1 till 3 år det precis det exempel vi räknat på förut En punktmassa m i punkten x på x-axeln ger ett moment gmx Nm kring origo. Momentet för en mer spridd fördelninga v av massa får man genom att ta massan i små intervall och multiplicera med hur långt från origao intervallet befinner sig. Börjar det här verka bekant? Kurvintegraler (linjeintegraler) Tänk om vi inte släpar lådan i exemplet ovan längs x-axeln? En låda släpas längs kurvan y=x^2 från punkten (1,1) till (2,4). Friktionen i varje punkt i xy-planet beror bara på x och är =x. Vilket arbete uträttas? Tag x=1:.01:2; y=x.^2; Nu har du punkter på kurvan. plot(x,y) I varje punkt tar du nu friktionen (=x-värdet) och multiplicerar med avståndet till nästa punkt. (avståndsformeln som är Pythagoras sats) vektorisera helst beräkningen Tycker du att detta har någon likhet med vanliga integraler? Andra exempel på när kurvintegraler dyker upp är fältet från en strömgenomfluten ledare som summeras uppav bidrag från småbitar av ledaren o likn.
Hur beskriver man en allmän kurva? I övningen ovan var kurvan en funktionskurva y=f(x). Alla kurvor ör inte sådana, t ex cirklar. Vad som är karakteristiskt för kurvor är att de är endimensionella, det behövs bara en parameter för att beskriva var på kurvan man befinner sig. En kurva ges alltså av två (eller tre) funktioner x(t),y(t) (z(t)) som beskriver hur en punkt rör sig när t ändras. Det är för det mesta praktiskt att tänka sig t som tiden. t=0:.05:8;x=sin(2*t);y=sin(3*t);plot(x,y) Detta ger (help plot)en approximation av kurvan med linjestycken mellan de punkter på kurvan som svarar mot t-värdena i t-vektorn. Detta syns tydligare om du tar glesare t-värden t ex t=0:.5:8 Prova gärna kurvan x=cos(3*t).*cos(t);y=cos(3*t).*sin(t) också Om vi nu vill släpa lådor längs kurvor av ovanstående typ (tur vi inte gör det på riktigt) behöver vi veta kraften i varje punkt F(x,y), och längden av de linjestycken som approximerar kurvan. Sedan kan vi multiplicera och summera som ovan. För att göra det enklare tar vi F=1 vilket ger längden av kurvan (tänk!) Räkna ut längden av Lissajousfiguren ovan (eller ta en cirkel x=cos(t);y=sin(t) i stället om du vill kunna jämföra med det rätta svaret) En speciell kurvintegral Just vid beräkningen av mekaniskt arbete är det mycket vanligt att kraften, som hittilss varit riktad i (eller kanske rättare mot) tangentens riktning, i stället ges av ett kraftfält F=(P,Q), P och Q funktioner av x och y och arbetet fås som skalärprodukten av F och förflyttningen v ( Egentligen skall man först dela med längden av v som man får en enhetsvektor, ta skalärprodukt, vilket ger projektionen av F i v;s riktning,och sedan multipliceera med längden av v för att få arbetet) Beräkna arbetet om man går runt en vertikal cirkel i tyngdkraftfältet. En cirkel: t=0:..01: 2*pi;x=cos(t);y=2+sin(t); Dubbelintegraler (volymen under en yta) Kommandot meshgrid skapar två matriser med konstanta rader resp kolonner som kan användas för att översätta matrisindex till variabelvärden t=-1:.1:1;[x y]=meshgrid(t,t); ytor ritas med mesh
mesh(x) mesh(y) roligare: z=x.^2+y.^2;mesh(z) eller mesh(x,y,z) Om du nu vill beräkna volymen mellan denna yta och xy-planet är det bara att ta och summera värdena i z-matrisen sum(sum(z)) (help sum) och multiplicera med en liten kvadratarea. ( Jag har tagit med lite väl många z-värden, eller hur?) Kommandot meshgrid begränsar oss till en rektangel i xy-planet och man brukar också diskutera teori fär dubbelintegraler över rektanglar eftersom det blir enklare. För att få volymer som inte ser ut som rektanglar rakt upprifrån kan man t ex göra så här: z1=z.*(x<y); mesh(z1) z2=z.*(x.^2+y.^2<1);mesh(z2) Uttrycken i parenteserna blir Booleska matriser som är 1 när utrycket är sant och 0 när det är falskt och matlab låter oss multiplicera reella tal med dessa. Förberedelser för nästa vecka Påminn dig om produktregeln och regeln för derivatan av en kvot och kedjeregeln för sammansatta funktioner. Gör valda derivator ur uppgift 523 och 541 i MAT Titta pä integralkatalogen i sats 7.1 Jag hoppas du känner igen det mesta utom det där med arcsin och arctan. Tyvärr hör de till de saker man möste ha en åtminstone ungefärlig utantillkunskap om eftersom de hoppar lite oväntat mellan funktionsklsser. Primitiv funktion till en rationell blir arctan