UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är inte fullständig utan måste kompletteras med egna anteckningar och problemlösningar. 1. Binära operationer En binär operation på en mängd X är en avbildning : X X X. Normalt skriver man inte (x, y) för denna funktion; istället skriver man x y. Ofta skriver man (X, ) för en mängd X med en operation. Ni känner till många binära relationer sedan tidigare. Till exempel addition och multiplikation på de reella talen, alltså (R, +) och (R, ). Division på de reella talen är inte en operation, eftersom division med 0 inte är definierat. 2. Grupper och abelska grupper Definition 1. En mängd G med en operation kallas för en grupp om följande villkor är uppfyllda. 1. (a b) c = a (b c) för alla a, b,c (associativitet) 2. Det finns ett element e i G så att e x = x e = x för alla x i G. (existens av enhetselement) 3. För varje x i G finns ett element x 1 så att x x 1 = x 1 x = e (existens av invers) Vanligtvis brukar man beteckna gruppoperationen med + eller beroende på vad som verkar naturligast, och när man använder skriver man oftast inte ut den alls; man skriver xy för produkten x y. Exempel 2. (Z, +) är en grupp. Som enhetselement har vi 0 och som invers till x fungerar x. Exempel 3. (R, ) är inte en grupp eftersom 0 saknar invers. Talmängderna R + = {x R, x > 0} och R = {x R, x 0} är grupper under multiplikation. Talet 1 fungerar som enhetselement och talet 1/x är inversen till x. 1
Exempel 4. Låt n vara ett positivt heltal. Z n med addition modulo n som binär operation är en grupp. 0 är enhetselement och som invers till m Z n fungerar talet n m (som är m). Exempel 5. Låt n vara ett positivt heltal. Z n med addition modulo n som binär operation är en grupp. 0 är enhetselement och som invers till m Z n fungerar talet n m (som är m). Exempel 6. Låt p vara ett primtal. Z p med multiplikation modulo p som operation är inte en grupp eftersom talet 0 saknar invers. Men låt Z p = Z p {0}. Då är Z p en grupp med 1 som enhetselement. Varje element 0 i Z p har en multiplikativ invers (detta visades i Relationskompendiet av dem som gjorde övning 12). I exemplen ovan är den binära operationen kommutativ, dvs x y = y x. En sådan grupp kallas abelsk. Inte alla grupper är abelska. Till exempel utgör mängden av inverterbara n n-matriser under matrismultiplikation en ickeabelsk grupp. (Gå igenom gruppaxiomen och kontrollera att de är uppfyllda!) Övning 1: Låt X = {1, 2, 3} och låt G vara mängden av alla bijektiva funktioner f : X X. (En sådan funktion kallas en permutation av X). Som operation på G inför vi vanlig funktionssammansättning., dvs. f g = f g. Är associativa lagen uppfylld? Vilket är enhetselementet? Inverser? Kanske kan du ställa upp en multiplikationstabell för gruppen. Visa att gruppen inte är abelsk genom att ge exempel på två permutationer f och g som inte kommuterar. 3. Lite talteori För att komma vidare behöver vi lite talteori. Låt a och b vara heltal. Vi säger att a delar b, eller att a är en delare i b om b = na för något heltal n (alltså om b 0 (mod a)). Två heltal har alltid de gemensamma delarna ±1. Men de kan ha flera gemensamma delare. Till exempel har talen 6 och 9 de gemensamma delarna ±1, ±3. Ofta är det intressant att bestämma den största gemensamma delaren till två tal. Vi betecknar denna SGD(a, b). Till exempel har vi SGD(12, 30) = 6 medan SGD(9, 40) = 1. Om SGD(a, b) = 1 säger man att a och b är relativt prima. För att bestämma SGD(a, b) kan man använda Euklides algoritm som beskrivs i Anders Vretblands bok, Algebra och Geometri). Övning 2: Låt φ(n) beteckna antalet heltal i intervallet 1 x n som är relativt prima n, dvs. där SGD(x, n) = 1. Exempelvis är φ(3) = 2, φ(4) = 2 och φ(6) = 2. a) Uppenbarligen gäller φ(p) = p 1 för alla primtal p. Försök hitta en formel för φ(p q) där p och a är olika heltal genom att göra en lista över φ(n) för n = 6, 10, 14, 15, 35. 2
b) Bevisa sedan din formel genom att räkna hur många av talen 1, 2,...,pq 1 som är delbara med p respektive q. c) Vad är φ(p 2 ) om p är ett primtal? Övning 3: Beräkna binomialkoefficienterna ( 7 k) för k = 1, 2,...6 och verifiera att samtliga är delbara med 7. b) Motivera allmänt varför för k = 1, 2,...p 1. ( ) p 0 (mod p) k c) Visa (med hjälp av binomialsatsen och resultatet i b)) att (n + 1) p n p + 1 (mod p) d) Visa, förslagsvis med hjälp av induktion, att för alla n N. n p n (mod p) 4. Mer om grupper Vi kan generalisera Exempel 6 ovan genom att för godtyckligt positivt heltal n låta Z n vara mängden av alla heltal x i intervallet 0 < x < n som är relativt prima med n, dvs. där SGD(x, n) = 1. Antalet element i Z n brukar betecknas φ(n), jämför övning 2. Man kan visa att Z n är en grupp under multiplikation, med 1 som enhetselement. Associativa lagen är självklar. Att varje element har invers följer av att den diofantiska ekvationen ax + yn = 1 har en heltalslösning där 0 < x < n under de givna förutsättningarna (se till exempel Vretblads bok). Det följer att ax 1 yn 1 (mod n), vilket betyder att x är en invers till a. Övning 4: Skriv upp elementen i Z 15 och ange inversen för varje element. Följande resultat är av fundamental betydelse. Sats 7. Låt G vara en grupp med som operation. Låt a, b,c vara gruppelement. Om a b = a c så är b = c. Om b a = c a så är b = c. Satsen bevisas genom att ekvationerna multipliceras med a 1 från höger och från vänster. 3
Sats 8. Låt G vara en grupp med som operation. Då finns bara ett element e så att e x = x e = x för alla x G (enhetselementet är unikt) och för varje a G finns bara ett element a 1 så att aa 1 = a 1 a = e, (inversen är unik). Satsen bevisas genom att man antar att man har två enhetselement/inverser och visar att de är lika. Övning 5: Låt (G, ) vara en grupp och låt c n = c c c, med n faktorer c, där c G och n > 0. Visa (genom induktion) att (a b) n = a n b n om G är abelsk. Övning 6: Låt G vara en grupp (även en icke-abelsk grupp är tillåten), och anta att de tre elementen a, b,c uppfyller a b c = e. Visa att även b c a = e. 5. Homomorfismer och isomorfismer Låt G och H vara två grupper. En avbildning φ: G H kallas en homomorfism om φ(ab) = φ(a)φ(b) för alla a och b i G. (Multiplikationen φ(a)φ(b) ges naturligtvis av gruppoperationen på H.) Vi ska inte göra något närmare studier av homomorfismer, men noterar att man lätt kan visa att φ(e) är enhetselementet i H om e är enhetselementet i G och att φ(a 1 ) = φ(a) 1 gäller för alla a G. Om en homomorfism φ råkar vara en bijektiv avbildning, kallas φ för en isomorfism. Om G och H är två grupper och det finns en isomorfism φ mellan dem, kallas G och H isomorfa. Allt man vet om G kan då översättas till H, genom φ, och tvärtom genom φ 1. Det enda som skiljer grupperna är (möjligtvis) vad man kallar elementen. Exempel 9. Grupperna G = (R, +) och H = (R +, ) är isomorfa. En isomorfism ges av avbildningen φ(x) = e x, där e x är exponentialfunktionen. Vi vet ju att φ(x + y) = φ(x)φ(y) eftersom e x+y = e x e y. Inversen är naturligtvis logaritmfunktionen, som är definierad på R +. 4