Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. håll Follig fö Sigl & Sy L Alfdo L.Alfdo@liu. Sid. Avi. Bcig, igldfiiio 3 Siglly idoiulig igl 3 Fouiiuvclig 4 Fouifo 4 Lplcfo 5 Siglly iddi igl 5 Fouiiuvclig 6 Fouifo 6 Di fouifo, DF 7 -fo 7 Splig & Rouio 8 idoiulig Liä idivi (L-)Sy 8 Diffilviobivig 8 Uiglbäig y () 9 Syly iddi Liä idivi (L-)Sy Diffviobivig Uiglbäig y [] Syly iologi fölig v gl 3 Eli ä 4 fobll, idoiulig fuio 4 bll, Egp fouii 5 bll, Egp fouifo 6 bll 3, Fouifo 8 bll 4, Egp lplcfo bll 5, Lplcfo 3 fobll, iddi fuio 3 bll 6, Egp di fouifo, DF 4 bll 7, Egp fouifo 5 bll 8, Fouifo 7 bll 9, Egp -fo 9 bll, -fo
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Bcig, igldfiiio: idoiulig dicipul : ( ) ( ) d () idoiulig hg iddi hipul iddi hg u Sigufuio Ehgl Ehigl: Sic-fuio Piciplväd () ( ) d ( ). ; u () d ; ; ; Al. u, u.5; ; ; ; ; ; ; ; vlig väd: uu ; u ; g u u vp ; ; ;.5 c u u ;.5 ;.5 ; ; i ic ic, dä i ic ; f vp f ; Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Siglly idoiulig igl Sigli: E d Siglff: P li d Egiigl: E, P Effigl: E, P Få dic-ipul dfiiio föl idoiulig fyili igl d. uyc o Piodi igl FOURERSEREUVECKLGAR O ä ll och -piodi : Sigl gudvilfv: f, dä f ä igl gudfv. Fouiiuvclig v (o uppfyll Diichl ivillo): co C C D Sigl opl fouiioffici : D D d. C C, (lidig pliudpu) D C D g D (l- ll dubblidig fpu) Mdlväd: C D : Dubblidig pliudpu d, Effivväd: Pvl fol: Sigl(dl)ff fö P d D X d ä piodi igl 3
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. c-piodi igl FOURERRASFORMER O ä boluigb, dv. d () X( ) () d Al. f X( f) ( ) d f vilfv, f fv. X( ) X o X ( ), å fouifo: X( ) ( ) X( ) d Gll diibuiooi fouifodfiiio: f () X( f) d ( ) d X( ) d, dä ä.. fuio, och X Fvpu: X( ) X( ), dä X ( ) = Apliudpu g X ( ) = Fpu X ( ) = Egiähpu g X( ) E d X d Pvl fol: LAPLACERASFORMER Dubblidig lplcfo v : Eivillo: d Kovgoåd v yp, dä R. X d, vil g ä pu: R, R ll R v lplcfo: X X d Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Elidig lplcfo v, d fö : iilvillo: Eivillo: d, dä R R Kovgoåd v yp X d, vil g ä pu: v lplcfo: X X d Siglly iddi igl li Egiigl:, P Effigl: E, P Sigli: E Siglff: P E E iddi igl uyc o, co och i Piodi igl FOURERSEREUVECKLG ä. -piodi o fö ågo. O ä ll och -piodi O d piodi igl ä boluub, dv.., å fouiiuvcl: D,, d -piodi opl fouiioffici: D,,,,. Elidig lplcfo ä id! 4 5
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. c-piodi igl FOURERRASFORMER O ä boluub, dv. 6, å fouifo: X X X d Al. X od vilfv, od fv. X ä -piodi, X ä -piodi. X X o X g Fvpu: X X X, dä X = Apliudpu g X = Fpu X = Egiähpu E X d Pvl fol: DSKREA FOURERRASFORME, DF X d, E boluub v/igl v lägd, dv. fö vil DF X ä H di fouifo, X,,,,, dä DF X X,,,, och. ( A: Efo båd och -piodi, väl d ivll på och v lägd ä ll och.) Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. -RASFORMER Dubblidig -fo v : Eivillo: 7 X, dä, vil g ä pu: Kovgoåd v yp R R, R ll R v -fo: X X d Elidig -fo v, d fö : Eivillo:, dä C X, vil g ä pu: Kovgoåd v yp R v -fo: X X d SAMPLG & REKOSRUKO Lifoig plig d plpiod : C idoiulig pio: p p Fvfoio:, f f f f dl plig: p Poio uiofol: X X Aliv fo: X X, X X Rouio.h.. PAM: y h Y X H dl ouio: h ic ic
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. idoiulig Liä idivi (L-)Sy DFFEREALEKVAOSBESKRVG d y QD y PD, dä D y, dv. d M M d y d y d d y b M b M M b M d d d d y : ol löig/uigl y hoog löig + piulälöig = y y y y y, dä i o y y y i 8 = o-ipu po ( vug vägig ) y y = o- po ( fi vägig ) o Egifi y USGALSBERÄKG y () * * y h h h d h d h L-y ipulv H h g H H H, d o Apliudii: H o Fii: g H o Egiövföigfuio: H Y X H o fouifo i L-y fvfuio, H h Y X H () L-y h() L-y yfuio (l. övföigfuio) y() Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. L-y d ioä iu: Fö bil L-y d yfuio 9 H, fvfuio H, iigl och uigl y gäll föld: X y Y, dä Y XH XH, dä co co g X y Y Y X H X H C A y C H AH H, d pcilfll ov, ugö gfuio ill y, H, i d ull pcilfll. d illhöd gväd Fö d fll gäll y y. SYSEMAALYS L-y yfuio ä M M M M H piv M b b b H K p p p dä K, och p ä yfuio ivåo, olläll piv pol. M H H K P P, P g ä ollällvo och O H i ä polvo. Då håll: H K P P P dä M & Sbili fö L-y d ipulv P p P g H g K g g P h och yfuio H :, g P Sy ä iigl-uigl-bil ( BBO bl ) o h d. Då igå igiä l i ovgoåd fö H. Sy ä gill bil o H h i lpol, ig uliplpol, på igiä l och igiä l ugö d ill ovgoåd. Då ä h i boluigb bgäd fö ll. Sy ä ypoi ibil o igiä l ligg ufö ovgoåd ill H, liv o igiä l ugö d ill ovgoåd och d fi i uliplpol på igiä l. Då ä h v boluigb ll bgäd fö ll.
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Buwohfil v odig och 3 db-gävilfv p : p p H Pol: p p,, 3, 5,, p H, H log H Buwohfil h A log db däpig vid. iddi Liä idivi (L-)Sy [] L-y h[] DFFERESEKVAOSBESKRVG, Poiiv ( dvcd ) fo: QEy PE, dä E y y, dv. y y y b b b giv ( liv ) fo: y y y b b b y[] db p Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. USGALSBERÄKG y [] * * y h h h h h L-y ipulv H h H g H H, d o Apliudii: H Y X H o fouifo i L-y fvfuio o Fii: g H o Egiövföigfuio: H H h Y X H L-y yfuio (l. övföigfuio) L-y d ioä iu: Fö bil L-y d yfuio H, fvfuio H, iigl och uigl y gäll föld: X yy, dä Y XH XH, dä co co g X y Y Y X H X H C A y C H AH H, d pcilfll ov, ugö gfuio ill y, H, i d ull pcilfll. d illhöd gväd Fö d fll gäll y y. H piv ol löig/uigl y: y hoog löig + piulälöig = y c y y y y, dä i o y y y i = o-ipu po ( vug vägig ) o Egifi y y y = o- po ( fi vägig ) SYSEMAALYS L-y yfuio ä M M M M M b b b H K p p p dä K, och p ä yfuio ivåo, olläll piv pol.,
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. H H K M P P P, O H i g dä g ä ollällvo och P p P ä polvo. Då håll: H K P P P M g H g K g g P & Sbili fö L-y d ipulv h och yfuio H : Sy ä iigl-uigl-bil ( BBO bl ) o h Då igå hcil i ovgoåd fö H. Sy ä gill bil o. H h i lpol, ig uliplpol, på hcil och hcil ugö d ill ovgoåd. Då ä h i boluub bgäd fö ll. Sy ä ypoi ibil o hcil ligg ufö ovgoåd ill H, liv o hcil ugö d ill ovgoåd och d fi i uliplpol på hcil. Då ä h v boluub ll bgäd fö ll. iologi fölig v gl Aliig = viig. Au = däp. Aypoic biliy = ypoi bili (i biliå). BBO biliy (Boudd pu, Boudd Oupu) = iigl-uigl-bili ( biliå) Chciic od = ii (igl-). Covoluio = flig. Focd po = Uigl piulälöig. Fudl (fqucy) copo/o = gudo. Fudl (gul) fqucy = gudvilfv. Hoic = dlo. ul po = Uigl hoog löig. od vilfv, dä = od fv. Sdy- igl = ioä igl, o ä o, iufod ll llä piodi. i igl = i igl, o gå o oll ä / gå o. f fucio = yfuio. P Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Eli ä -od fö iufod päig och ö:. Eä ll iufod oh d opl oh, dv... Aco X A. Eä ll äl d opl ipd, dv. R ZR R, L ZL L och C Z C. C 3. B d vivl oplch o liöä (o ä L-y) och väd liöoi fö bä.. H ll ågo ö oplväd igl. y Y B y Bco y. 4. Fö igl: Ovdl bäd Vid llä fouiily v ä ä. B v dlo p och uppo/liäobi. Vid fouifoly väd fouifo ill ä ll päig och ö. Vid lplcfoly väd lplcfo ill ä ll päig och ö, opoch i äll fö oplch, dä R ZR R, L ZL L och C Z C. C Md lidig lplcfo h ollild iiillillåd. Eli bd Späig-ölio fö i, idu piv pci: di dv v () R i v L i C d d Kichhoff ölg: i Kichhoff päiglg: v Siopplig v ipd: Z Z Z Z Pllllopplig v ipd: Z p Z Z Z Z Späigdlig (E ligg öv Z + Z, V ligg öv Z ): V E Z Z Z Södlig ( födl på Z och Z, gå go Z ): Z Z Z Z Z p Z Z 3
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Egp fouii, D Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Egp fouifo, X Egp Piodi fuio Fouiioffici, piod D v, piod ˆ D. Liäi, b, bv D. idföuig 3. Fvif M 4. Koplougig 5. Syi 6. Spglig ˆ bd D D M D ll D D D 7. idlig, piod 8. Piodi flig 9. Mulipliio. Divig v d D DD ˆ v D Dˆ D D ˆ d d. gig d D bll D D Egp ho opl fouii fö idoiulig -piodi igl, dv. d gudvilfv. Opio iduyc, () fouyc, X(). fo X. Liäi,, b X bx b 3. Koplougig X 4. Syi ll X X 5. Duli X 6. idlig 7. Spglig (idlig d ) X X 8. idföuig X 9. Fvif, X d. Divig X d. Mulipliio d d X d. gig d X vp X 3. Flig, X X 4. Mulipliio 5. dl plig X X So fuio v fv: X f X f X bll Egp ho fouifo fö idoiulig fuio. 4 5
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Fouifo X. iduyc, () fouyc, X() Villo.. u vp 3. u vp 4. g vp 5. u 6. u 7. 8. u! 9. g. co u. i u. ; c ic ic ; 3. ic ic ; c ; 4. ic ic 4 4 Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. 5. W W ic W W ic 6. 7. 8. W W g 4 9... co. i vp vp 3. cou i u 4. D 5. D 6. 7. u vp bll 3 Fouifo v l idoiulig fuio. o ädd vi ho dic: vid fuio v fv: f f f f bll 3 Fouifo v l idoiulig fuio. fo. ä id! 6 7
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Egp lplcfo, X Opio () {()} = X () {()} = X (). fo X X. Liäi, b, b X bx 3. idlig 4. Spglig (idlig d ) 5. idföuig 6. foif 7. Mulipl. d 8. Diviio d X, (i) X X u X, X, X X d X 9. Koplo.. Divig d d d X v dv X d 3 d 3 d d d d X X - X - - 3 X- - - X d - d X 3 X X, (ii) Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V... gig ov u. Flig 3. iilvädo 4. Sluvädo bll 4 - d d y y li ( X li ( X, li X X : l pol > l oll.) li X : ll pol i VHP) X X Y (i) Egp ho lidig och dubblidig lplcfo fö idoiulig fuio. (i) Kovgoåd fö u/podu ä uio v ovgoåd fö d vå piv fo. (ii) Kovgoåd fö X fö X föu R å hög (o (o R ). X Y (i) ä li d ovgoåd R ) ll vä bll 4 Egp ho lidig och dubblidig lplcfo fö idoiulig fuio. (i) Kovgoåd fö u/podu ä uio v ovgoåd fö d vå piv fo. (ii) Kovgoåd fö X fö X föu R å hög (o (o R ). ä li d ovgoåd R ) ll vä fo. ä id! 8 9
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Lplcfo X. () iduyc, X() fouyc, Kovgoåd. ll. d d ll 3. u, u R 4. u 5. u 6. g! 7. u, u 8. u u, R R u! 9.. u. u R R R R,. u 3. u 4. u 5. u R R, (pc.fll v.) R! R R, R R bll 5 Dubblidig lplcfo v l idoiulig fuio. Då fo ovgoåd ä v yp R, å ä d ull fo lidig. fo. ä id! Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. 6. u 7.! 8. co u 9. iu. u co. u. i Aco B A i 3. co u 4. i u 5. co u u A B ( obiio v. och.) 6. i u 7. co u 8. i u bll 5 R R R R R R R R R R R R R Dubblidig lplcfo v l idoiulig fuio. Då fo ovgoåd ä v yp R, å ä d ull fo lidig. fo. ä id!
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. 9. co u 3. i u ; 3. c ; 3. 33. 34. bll 5 R R ih ll ; ih ; 4 ic u c icu ic u c ic u ll R R Dubblidig lplcfo v l idoiulig fuio. Då fo ovgoåd ä v yp R, å ä d ull fo lidig. Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Egp di fouifo, DF, lägd X Opio iduyc, fouyc, X. -piodici. Liäi,, bv 3. Koplougig 4. Syi ll 5. idföuig (ciulä) 6. Fvif, (ciulä) X X b X bv X X od X X X od X, X X od 7. Spglig (ciulä) od 8. Duli X 9. Flig (ciulä) y. Mulipliio y y od X X od od X Y X Y XY od bll 6 Egp ho di fouifo (DF:) fö iddi -piodi fuio. 3
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Egp fouifo, X Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Fouifo X Opio iduyc, [] fouyc, X[]. -piodici X X. Liäi, b, b XbX 3. Koplougig X 4. Syi ll X X 5. Spglig X 6. idifig X 7. Fvifig X pc.fll: pc.fll: X 8. Modulio co (illäpig v 7.) 9. Mulipliio d. Splig. Dciig. Epio (olliuig, L ollo ll v []-väd) 4 X X d X d X ; ; f.ö. L ;, L, L, L ; f.ö., X XL 3. Flig X X 4. Mulipliio bll 7 X X XWX WdW So f. v od fv: X X Egp ho fouifo fö iddi fuio.. iduyc, [] fouyc, X[] Villo.. vp 3. u vp 4. g 5. u 6. u u 7. u 8. 9... u u ; ; f.ö. ic ic ic ic 5 co i i c ; ( -piodi) ; bll 8 Fouifo v l iddi fuio.,, fo. ä id!
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V... 3. 4. 5. Fouii, llä -piodi igl: D, D, 6. co 7. i 8. co u 9. i u. co u co vp co vp i co co co co bll 8 Fouifo v l iddi fuio. o ädd vi ho dic: vid fuio v fv: Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. Egp -fo, X Opio [] {[]}=X ([]) {[]}=X ([]). fo X X. Liäi, b, b X bx (i) 3. Väifig u, X X u, X X 3 u, 3 3 X 3 3 X u, X X 4. Högifig u, X X u, X X 3 u, 3 X 3 3 u, X X 5. Högifig u X X 6. Spglig X bll 9 Egp ho lidig och dubblidig -fo fö iddi fuio. (i) Kovgoåd fö u ä uio v ovgoåd fö d vå piv fo. fo. ä id! 6 7
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. 7. Mulipl. d 8. Mulipl. d 9. Mulipl. d. Båid diff. Fåid diff. Suig 3. Flig 5. Sluvädo bll 9 X dx d d X d X X X X, X li X li li X ( X : ll pol å ligg ifö hcil) X X X (ii) Egp ho lidig och dubblidig -fo fö iddi fuio. (ii) Kovgoåd fö podu ä uio v ovgoåd fö d vå piv fo. Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. -fo X 4. iilvädo. iduyc, [] fouyc, X[] Kovgoåd. ll. o o 3. u 4. u 5. u 6. u 7. u 3 8. u 9. i i. u 3 3 3 4 4 u!! u l u u u u u u.. 3. 4. bll Dubblidig lplcfo v l iddi fuio. Då fo ovgoåd ä v yp R, å ä d ull fo lidig. fo. ä id! 8 9
Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. 5. u u ;, ; 6. u 7. i i! 8. u u 9. co u. i u. co u. i u 3. co u 4. i u 5. co u 6. i u co co i co co co i co co co co i i co 3 co co co 3 i i co Follig fö SD8,84 Sigl och Sy V.. 7. co u 8. i u 9. co u 3. i u 3. co u 3. i u 33. co u 34. i u co co i co co co i co co co co i i co 3 co co co 3 i i co bll Dubblidig lplcfo v l iddi fuio. Då fo ovgoåd ä v yp R, å ä d ull fo lidig. bll Dubblidig lplcfo v l iddi fuio. Då fo ovgoåd ä v yp R, å ä d ull fo lidig. fo. ä id! 3 3