freeleaks NpMaD vt1999 för Ma4 1(9) Innehåll Förrd 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1999 Del I, 13 uppgifter med miniräknare 3 Del II, breddningsdel 7 Förrd Km ihåg Matematik är att vara tydlig ch lgisk Använd text ch inte bara frmler Rita figur (m det är lämpligt) Förklara införda beteckningar Du ska visa att du kan Frmulera ch utvecklar prblem, använda generella metder/mdeller vid prblemlösning. Analysera ch tlka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet. Genmföra bevis ch analysera matematiska resnemang. Värdera ch jämföra metder/mdeller. Redvisa välstrukturerat med krrekt matematiskt språk. c G Rbertssn 016 buggar rbertrbertssn@tele.se 016-04-07
Sklverket hänvisar generellt beträffande prvmaterial till bestämmelsen m sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till ch med utgången av nvember 000. NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1999 Tidsbunden del Anvisningar Prvtid Hjälpmedel Prvmaterialet 180 minuter utan rast. Grafritande räknare ch frmelsamling. Prvmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn, kmvux/gymnasieprgram ch födelsedatum på de papper du lämnar in. Prvet Prvet består av 14 uppgifter. De flesta uppgifterna är av långsvarstyp där det inte räcker med bara ett krt svar utan där det krävs att du skriver ned vad du gör att du förklarar dina tankegångar att du ritar figurer vid behv att du vid numerisk/grafisk prblemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel Till några uppgifter (där det står Endast svar frdras ) behöver bara svaret anges. Pröva på alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av prvet få någn päng för en påbörjad lösning eller redvisning. Betygsgränser Ansvarig lärare meddelar de gränser sm gäller för betygen Gdkänd ch Väl gdkänd. Prvet ger maximalt 38 päng.
1. Triangeln ABC är given enligt figur. Beräkna längden av sidan AC. C (cm) A 5 4 6,6 B (p). Bestäm den primitiva funktin F(x) y = till funktinen f ( x) 8x 3 x = för vilken F ( ) = 4 (p) 3. Bestäm alla lösningar till ekvatinen sin x = 0, 6 i intervallet 0º < x < 450º (p) π 4. Beräkna integralen sin x dx med hjälp av primitiv funktin. (p) 0 5. Teckna ett integraluttryck för arean av det mråde sm begränsas av kurvrna y = 3x ch y = 16 x samt beräkna denna area. (3p)
yy ; yyyyy ;; ; yyy yyy y yy ;y ;; yy yy yy; y ;;;; yy ; y yyyyy yy; y ;;;;; yyy ; y yyyyy yyy; y y ; y yyyyy ;; yy ;;yy ; y yyyyy ; y ;;yy ; y yyyyy ; y yyyy ; y ; y yyyy ; y ; y yyyy ;;;;; y ; y yyyy ;;;;; y yyyy ;;;;; y ;; yy ; yyyyy ;;;; yy ;;;;; y yyyy ;;; y yy yyyy ;; ;;;; yy ;; ;;;; yyy;;;;; y ;; yy yyy;;;; ; yyyyy yy yyyy;;; yyyyy ; yyyyy ;; yyyy yyyy;; yyyy ; yyyyy ;; yyyy yyyyy;; yyyy yyyy ;; yyyy ; yyy yyyy ;; yyyy ; yyy yyyy ;; yyyy yyyyy yy yyyy ; yyy yy yyyy ; yyy yy ; yyyyy ; yyy yyyyy yy ;; yy yyyyy yy ;;; y yyyyy yy ;;;; yy yyyy yy ;;;; yy ;; yy ;;;; yy yyyy ; yyy ;; yyyyy yyyyy; yyy ; yyyyy yyyy yyyyy; yyy ; yyyyy ;; ; yyy ;; ;;;; yy ; yyy ;;; y ;;; y yyyyy; yyy ;;; y yyy;;; y ;;yy yyyyy;; yyyy ;;; y yyy;;; y y ;;;;; y ;;; y yy; yyy;; ;; yy ;;;; yy y; yyy;;;;; y yyyy yy ;;;; yy y; yyy;;;;; y yyyyy yy ;;;; yy y yy;;;;; y yyyyy yyy ;;;; yy y yy;;;;; y yyyyy yyy ;;;; yy y yy;;;;; y yyy ;; y yy;;;;; y yyy ;; yy;;;; yyyyy yyy ;; yy;;;; yyyyy;; yy yyy ;;;;;;; yyyyy y ; y ;;;;; y yyyy;;; yyy yyy ;; ; y ;;;; yyyy;;;; yyyy yyy yyyy ;; yy ;;;; yyyy yyyyy yyy yyyy ;;;; yyyy yyy yyyy yyyyyyy ;;;;; yyy yyyy yyyy ;;;; yyyy y yyyy ;; ;y ;;;; ;;;;; yyy y yyyy ;; ;y yy yyyy yy yyyy ;; ;y yy ;;;;; yyy yyy yyyy ;; ;y yy ;;; y yyyy ;; ;y yy yyyy ;; ;;yy ;; yyyy yyyy ;;; y ; yyy ;;; y ; yyy yyyy ;; ;;;; yy ; yyyyy yyyy; yyy yyyy ;;;; yy y yy ;;yy y yyyy ;;;; yy y ;y ;y yy yyyy ;;;; yy ;;yy ; yyyyy ;;yy yyyy ;;;; yy yy;;;; yyyy; y ;;yy yyyy ;;; y;;; yyy;; yy ;;yy yyyy ;;; y yyyy ;; ;;yy yyyy yyyy y yyyy y yyyy y yyyy y yyyy ;;yy yyyy y ;;;;; yyyy ;;;; yy ;; yy ;;; y ;;;; yyyy ;;; y ;;;;; yyyyy yyyyy ;;yy y ; yyyyy ;;;; yy y yy ; yyy ; yyy ; yyyyy ;y ; yyyyy ;y yyy ; yyy ;;yy ;; ;;;; y ;;;;; yyy ; y ;;;; yy ;;yy ; yy ; yyy yy ; yyy yyyy yyy yy ;;;;; y yyyyy ; yyy ;;;; yyyy ; y ;;;; yyyy ;; yy ; yyyyy yyy ;;;;; y ;;; yyyyy yy ;;;;; yyy ;;; y ;;; y yyyy yy yy ;; yy ;;; yyy yy ; y yy ; yyyyy ;;;; yy ;;;;; yyyyy ;; yy ; y yyyyy ; y yyy ; yyy yy ;;; y y ;y ;;; yyyyy ;;;;; yyyyy ; yyyyy yy yyy ; y ;; yy ;; yyyyy ; yyy ; y ; y ; yyyyy ;;;; yy ;;;;; yyy ;;yy ; y ;; yy ; yyy ; yyyyy yyyy y ;; yy yy ; yyy ;;;;; yyyyy ;; yy ;; yy ; y ; yyy y y ;; yy ;; yy ;; yy ; yyy ;;;;; yyyyy yy ;; yy ;; yy ;;; yyy ;; yyyy ;; yy y ; y ;;;;; yyy ; yyyyy ;;;;; yyy ; yyyyy ; y yyyy yyy ;;; y ; yyyyy yyyyy yy yyyy yyyy yyyyy ;;;; ; yyy ; yyy yyyyy ;;; yyyyy y yy ; y ; yyy y ; y yy y ; yyy ;;;;; y yyyyy ;;; ;;;; ;;;;; yyy yyyy yyyyy ; y yyyy ;; yyyy ;;;;; yyy ; y ;;;;; yyy ;;;; yy y yyyy ;;; yyyyy yy Np MaD vt 1999 6. S F K 105 ;; yy ;;yy ; y ;; yy ;;yy ;; yy ;; yy En slig ch vindstilla vinterdag är Helen ch Ltta ute ch åker långfärdsskridskr. Klckan 1.00 kmmer de fram till Kappelskär. De vet att det tar 35 minuter att åka från Kappelskär till Sundskär ch att det tar 60 minuter att åka från Kappelskär direkt till Furusund. Bussen från Furusund går kl. 14.30. Vinkeln mellan siktlinjerna mt Sundskär ch mt Furusund uppskattas till 105. De bestämmer sig för att åka till Sundskär ch fika ch sedan åka raka vägen från Sundskär till Furusund. Hur lång fikapaus kan de ta ch ändå hinna med bussen sm går 14.30? Vi förutsätter att Helen ch Ltta färdas med knstant fart. (3p) 7. Temperaturen i en sjö uppmättes under ett mlnigt smmardygn. Temperaturen visade sig följa funktinen y() t = 15 + sin 0, 6t där t är antalet timmar efter kl. 1.00. a) Bestäm y () t Endast svar frdras (1p) b) Beräkna y ( 10) Endast svar frdras (1p) c) Tlka vad y ( 10) betyder för vattnets temperatur. (1p) y 8. Visa att y = x cs x, då y = x sin x (p) x
yy yy ; yyy yy ; yyy yy y yy yy ;;yy yy ;;yy yy ;;;;; yyyy yyyy yy yyy yyyy ;;yy yyyy yyyy y yyyy yyyy y yyyy y yyyy yyyy yyyy yy ;;; y;; ;;; yyyyy ; y ;;;; yyyyy ;;;; yyyy ;;;; ;; yyy ;;;; ; y yyy yy ; yyyyy yyy ;; yy ; yyyyy ;;; yyy yyy ; yyyyy yyy ;y ;;;; yyy yy yyy ;;;;; yyy ;y yyy ;; yy yyyy yy yyy ;;yy ;;;; yy yyy yy ; yyyyy ; y yyy ;;;; yy ; yyy ;;;; yyy yyyy ;;; y yyy yyyyy ;y yyy ; y yyy yy ; yyyyy yyy ;; yyyy yyyy yyy ;;;; yy yy ;;;; ;;;;; y yyy ;;;; yy yy yy yy yy yy yy yy yy yy yy yy yyy yy yyy yy yyy yy yyy yy yyy yy yyy yy yyy yy yy yy yyyy ;; yy yy ; y yy ; y yy ; y yy ; y yy yy yy yy yy yy yy yy ;y ;y ;y ;y ;y ;y ;;;; yyyy ;;;; yyyy ;;;; yyyy ;;;; yyyy ;;;; yyyy ;;;; yyyy ;;;; yyyy ;; y Np MaD vt 1999 9. Låt gx ( )= x 0 1 1+ t dt a) Tlka med figur vad g(3) kan betyda. (p) b) Bestäm med hjälp av din räknare ett närmevärde till g(3). Endast svar frdras (1p) 10. Visa hur sambandet cs A = cs A 1 kan fås ur likheterna cs u + v = csu cs v sin u sin ch sin u + cs u = 1 (p) ( ) v 11. Bestäm den psitiva knstanten A i funktinen f ( x) 5 + Asin 3x = så att funktinens största värde blir dubbelt så strt sm dess minsta värde. (p) 1. En stenkula släpps en bit vanför en vattenyta. Grafen nedan visar hur stenens hastighet v m/s varierar med tiden t sekunder från det ögnblick då den släpps. v m / s A 5 4 B 3 C 1 D 0 0 1 3 4 5 6 t s yy ;;; ;; yy ; y a) Beskriv vad sm händer med stenkulan i A, B, C ch D. (p) b) Hur högt vanför vattenytan släpptes stenen? (1p) c) Stenkulans hastighet v () t m/s i vattnet kan beskrivas med funktinen 3t v() t = 1+ 18e. Bestäm vattendjupet där stenkulan släpps. Ge svaret i meter med två decimaler. (p)
13. Figuren visar en kvadrat ch grafen till en funktin. Välj en trignmetrisk funktin vars graf liknar den i figuren ch bestäm kvadratens area för den funktin du valt. (3p) y x 14. Funktinerna f ch g är deriverbara. hx ( ) = f( x) + gx ( ) För funktinerna f ch g gäller f ( 0) = ch g( 0) = 1 f ( x) = g( x) ch g ( x) = f ( x) Man bildar en ny funktin ( ) ( ) Bestäm h ( x) ch använd resultatet till att visa att hx ( ) = 5 för alla x. (4p)
Sklverket hänvisar generellt beträffande prvmaterial till bestämmelsen m sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till ch med utgången av september 000. NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1999 Breddningsdel Anvisningar Prvperid Vecka 4-1999. Prvtid Hjälpmedel Prvmaterialet Enligt beslut vid sklan (60 min rekmmenderas). Grafritande räknare ch frmelsamling. Prvmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn, kmvux/gymnasieprgram ch födelsedatum på de papper du lämnar in. Prvet Prvet innehåller två alternativa uppgifter varav en väljs. Frågrna i uppgiften kan vara sådana att du själv måste ta ställning till de möjliga tlkningarna. Du skall redvisa de utgångspunkter sm ligger till grund för dina beräkningar ch slutsatser. Vid redvisning av grafiska lösningar där grafritande räknare använts skall du redvisa i enlighet med de anvisningar ch metder du ch din lärare kmmit överens m. Även en påbörjad icke slutförd redvisning kan ge underlag för psitiv bedömning. Till varje uppgift finns en beskrivning av vad läraren kan ta hänsyn till vid bedömning av ditt arbete. Om någt är klart fråga din lärare. Arbetsfrmer Ansvarig lärare infrmerar m de arbetsfrmer sm gäller för breddningsdelen i prvet.
1. POTENSFUNKTIONER OCH AREOR Figuren föreställer grafen till en funktin y = x n, x 0, där n är ett reellt tal större än nll. Från den punkt på kurvan där x-krdinaten är c (c är en psitiv knstant) dras linjer parallellt med de båda krdinataxlarna. Dessa linjer avgränsar tillsammans med krdinataxlarna ch grafen två mråden med arerna A 1 respektive A. y y = x n A 1 A c x 1. a) Sätt n = ch undersök för några lika värden på c vad kvten A 1 A Frmulera en slutsats. blir. b) Visa att din slutsats gäller för alla värden på c när n =.. a) Sätt c = 1 ch undersök för några lika värden på n vad kvten A 1 A Frmulera en slutsats. blir. b) Visa att din slutsats gäller för alla värden på n när c = 1. 3. Låt nu både c ch n variera. Frmulera en slutsats m kvten A 1 A slutsats gäller för alla värden på c ch n. ch visa att din Vid bedömning av ditt arbete kmmer läraren att ta hänsyn till: hur systematisk du är i din undersökning. hur väl du redvisar ditt arbete ch mtiverar dina resultat. hur väl du frmulerar dina slutsatser. hur väl du visar att dina slutsatser gäller allmänt.
. TRIGONOMETRISKA EKVATIONER I denna uppgift ska du studera trignmetriska ekvatiner av typen a sin kx = b då 0 x 360. Antalet lösningar till ekvatinen berr på vilka värden på a, k ch b sm används. Om t.ex. a =, b = 1 ch k = så får vi ekvatinen sin x = 1. Vi kan grafiskt eller algebraiskt visa att den ekvatinen har fyra lösningar i intervallet 0 x 360. Sm en del av mtiveringen till en grafisk lösning till ekvatinen sin x = 1 kan en skiss av räknarens fönster ingå. 1. a) Beskriv hur du med hjälp av grafritande räknare kan bestämma antalet lösningar till ekvatinen 10 sin x = b då b = 5 (0 x 360 ). b) Bestäm samtliga värden på b för vilka ekvatinen 10 sin x = b har två lösningar i intervallet 0 x 360.. Undersök hur antalet lösningar till ekvatinen a sin x = 3 varierar med valet av knstanten a (0 x 360 ). 3. Undersök hur antalet lösningar till ekvatinen a sin kx = 3 varierar med valet av knstanterna a ch k, när k är ett psitivt heltal (0 x 360 ). Vid bedömning av ditt arbete kmmer läraren att ta hänsyn till: hur systematisk du är i din undersökning. hur väl du redvisar ditt arbete. hur väl du mtiverar dina slutsatser.