Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009

2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa, kastas den tärning eller de tärningar ytterligare en gång. Vad är sannolikheten för att alla tre tärningarna då visar sexor? Ledning: Bestäm först sannolikheten att en given tärning visar sexa efter två kast. 2. En institution består av 8 lärare: 5 adjunkter, 1 lektor och 2 professorer. En utskott om tre lärare ska utses. Urvalet sker med enkelt slumpmässigt urval utan återläggning. (a) Vad är sannolikheten att utskottet består av 1 person från varje lärarkategori? (b) Vad är sannolikheten att utskottet består av 3 personer från enbart en lärarkategori? 3. Antag att händelserna H 1,..., H n är parvis oförenliga, har positiva sannolikheter och tillsammans uppfyller hela utfallsrummet (dvs. P(H i ) > 0 och n i=1 H i = W). Visa att det för varje händelse A gäller att P(H i A) = P(H i)p(a H i ) n j=i P(H j)p(a H j ). 2

3 Endimensionella stokastiska variabler 4. Den kontinuerliga slumpvariabeln X har fördelningsfunktionen: x 4 för 0 < x < 1 F X (x) = 0 för x < 0 1 för x > 1 (a) Bestäm medianen för X. (b) Bestäm sannolikheten för att X är större än 0.5. 5. Fortsättning av uppgift 4: Definiera Y = X 2. Bestäm sannolikhetsfördelningen för Y och visa att täthetsfunktionen för Y blir: { 2y för 0 < y < 1 g Y (y) = 0 för övrigt 6. Den kontinuerliga slumpvariabeln X har täthetsfunktionen: x för 0 < x < 1 f X (x) = 2 x för 1 < x < 2 0 för övrigt (a) Bestäm medianen för X. (b) Bestäm sannolikheten för att X är större än 1.5. 7. Slumpvariabeln X har följande täthetsfunktion. { 2(1 x) om 0 x 1 f X (x) = 0 annars (a) Skissa täthetsfunktionen f X (x). (b) Bestäm fördelningsfunktionen F X (x). (c) Bestäm P(X < 0.5). (d) Bestäm fördelningens median. (e) Låt Y = 2X 1. Bestäm täthetsfunktionen f Y (y). (f) Bestäm P(0 < Y < 1). (g) Låt Z = 1 2X. Bestäm täthetsfunktionen f Z (z). 3

4 Flerdimensionella stokastiska variabler 8. Tre bilar, A, B och C, kör på en trefilig väg med maxhastighet 50 km/tim med hastigheter X, Y respektive Z. X, Y och Z antas oberoende och alla tre likformigt fördelade i intervallet [40, 60]. Låt V vara hastigheten hos den snabbaste bilen, dvs. V = max(x, Y, Z). (a) Visa att V har fördelningsfunktionen (b) Bestäm medianen för V. 0 för v < 40 ( F V (v) = v 40 ) 3 20 för 40 v 60 1 för v > 60 (c) Bestäm sannolikheten för att V är större än 56 dvs. bötfällning av polisen för fortkörning. 9. Y 1 är Po(m1)och Y 2 är Po(m2). Vidare är Y 1 och Y 2 oberoende. Vi definierar Y som Y = Y 1 + Y 2. (a) Visa att Y är Po(m1 + m2). (b) Visa att den betingade slumpvariabeln Y 1 Y = y följer en binomialfördelning samt bestäm parametrarna i denna. 4

5 Väntevärden 10. Låt X ha täthetsfunktionen f X (x) = 1 + ax 2 där a är en parameter. Bestäm E(X ) och V (X ). 1 x 1, 1 a 1 11. Låt X vara en kontinuerlig slumpvariabel med täthetsfunktionen (a) Bestäm E(X ). (b) Bestäm E(X 2 ). (c) Låt Y = X 2. Bestäm f Y (y). f X (x) = 2x 0 x 1. (d) Bestäm E(Y ) med hjälp av f Y (y) och jämför med uppgift 11b. (e) Bestäm V (X ). 12. Betrakta den kontinuerliga slumpvariabeln X, som har fördelningsfunktion x 5 för 0 x 1 F X (x) = 0 för x < 0 1 för x > 1 (a) Bestäm medianen för X. (b) Bestäm sannolikheten för att X är större än 0.75. 13. Fortsättning av uppgift 12: (a) Bestäm väntevärdet för X. (b) Bestäm variansen för X. 14. Betrakta den diskreta tvådimensionella slumpvariablen (X, Y ), som har en likformig sannolikhetsfördelning på punkterna ( 1, 0), ( 1, 1), (0, 0), (1, 0) och (1, 1). (a) Bestäm de marginella sannolikhetsfunktionerna för X repektive Y. (b) Bestäm korrelationskoefficienten mellan X och Y. 15. Fortsättning av uppgift 14: (a) Bestäm de villkorliga sannolikhetsfunktionerna för Y för givet värde på X (dvs. för X = 1, 0 och 1). (b) Bestäm väntevärde och varians för Y för givet värde på X. Är regressionen av Y på X linjär, dvs. är E(Y X = x) linjär i x och är V (Y X = x) konstant? 5

7 Binomialfördelningen och dess släktningar 16. Antal trafikolyckor med dödlig utgång under ett dygn i ett visst land kan anses vara en Poissonfördelad slumpvariabel med väntevärde 1. Antalet olyckor under olika dygn antas vara oberoende. (a) Beräkna sannolikheten att det under ett år (med 365 dagar) inträffar högst 400 dödsolyckor. (b) Beräkna sannolikheten att det åtminstone någon dag under ett år inträffar minst 5 dödsolyckor. 17. En hotelltjuv bryter sig in i ett hotellrum, där han finner en låst väska. Väskan öppnas genom att ställa in tre siffror (mellan 0 och 9) med rätt kombination. (a) Vad är sannolikheten att tjuven lyckas öppna väskan efter 3 försök, med kombinationer slumpmässigt valda mellan 0 och 999? (b) Hur många slumpmässiga försök måste tjuven göra för att sannolikheten för att han ska kunna öppna väskan ska vara minst 0.5? Ledning: P.g.a. stress antas tjuven välja nummer med återläggning. 6

11 Punktskattningar 18. Vi har ett stickprov om n observationer på en kontinuerlig slumpvariabel X med täthetsfunktion { 1 x f X (x) = 2a 2 e x 3 a för x > 0 0 för övrigt där a är en positiv parameter. (a) Bestäm ML-skattningen av a och visa att â obs = x 3. (b) Är ML-skattningen av a väntevärdesriktig? 19. Den kontinuerliga slumpvariabeln X är exponentialfördelad med parameter l. Vi har ett stickprov om n observationer på X. (a) Bestäm ML-skattningen av l. (b) Bestäm minstakvadratskattningen av l. (c) Är minstakvadratskattningen av l väntevärdesriktig eller åtminstone asymptotiskt väntevärdesriktig? Ledning: Använd Gauss approximationsformler 20. Låt X 1 och X 2 vara två oberoende observationer från N(m, s) och X 3 en observation, oberoende av de två första, från N(2m, s). s antas vara känd. (a) Bestäm minstakvadratskattningen av m. (b) Avgör om minstakvadratskattningen av m är väntevärdesriktig. 21. Fortsättning av uppgift 20: (a) En naturlig väntevärdesriktig skattning av m är ˆm = X 1 3 + X 2 3 + X 3 6. Undersök vilken av minstakvadratskattningen av m och ˆm, som har minst varians. (b) Bestäm ML-skattningen av m. 22. Låt x 1,..., x n vara oberoende observationer från en fördelning som har täthetsfunktionen { 2 1 x 2 f X (x) = p j e 2j 2 x 0 0 x < 0 där j > 0 är en parameter. (a) Bestäm ML-skattningen, ĵobs, av j. (b) Visa att E(X ) = j 2 p. (c) Bestäm MK-skattningen, j obs, av j. (d) Är j väntevärdesriktig? 7

13 Hypotesprövning 23. Den kontinuerliga slumpvariabeln X har täthetsfunktionen: { jx f X (x) = j 1 för 0 < x < 1 0 för övrigt där j är en positiv parameter. Vi vill med hjälp av en observation på X pröva H 0 : j = 1 mot H 1 : j = 2. Kritiska området bestäms till x > 0.95. (a) Vad är signifikansnivån för detta test? (b) Vad är styrkan för detta test? 24. En energisk spelare gör 900 kast med en tärning. Tärningen visar sexa i 170 av dessa kast. (a) Testa på nivån 5 % om sannolikheten för en sexa är 1/6. (b) Bestäm styrkan för detta test i det fall att sannolikheten för en sexa är 1/5. 25. X är Poissonfördelad med parameter m. Med hjälp av 10 oberoende observationer på X, X 1,..., X 10 vill man pröva H 0 : m = 0.5 mot H 1 : m > 0.5. Kritiska området bestäms till 10 i=1 x i > 8 (a) Bestäm signifikansnivån för detta test. (b) Bestäm styrkan för detta test i det fall att m = 0.6. 26. Slumpvariabeln X är exponentialfördelad med parameter m. Vi vill med hjälp av en observation på X pröva H 0 : m = 5 mot H 1 : m = 10. Kritiska området bestäms till x > 7.5. (a) Vad är signifikansnivån för detta test? (b) Vad är styrkan för detta test? 27. Vid ett laboratorium har man en längre tid använt en mätapparat, vars mätfel (i någon lämplig enhet) har standardavvikelsen 4. (Mätfel antas normalt inom de tekniska vetenskaperna vara normalfördelade.) Man har erbjudits en ny mätapparat, men man vill inte köpa den, om den inte har väsentligt bättre noggrannhet än den man redan har. För att undersöka om så är fallet eller ej, har man gjort 30 mätningar av kända storheter och fått mätfelen, x 1,..., x 30. Som test väljs att förkasta H 0 : s = 4 om s 2 n i=1 = (x i x) 2 n 1 C. (a) Bestäm C så att signifikansnivån för testet blir 1 %. (b) Genomför testet då s = 3,1 har observerats. (c) Bestäm styrkan mot alternativet s = 2. 8

Svar 1. ( ) 11 3 36 2. (a) 5 28 (b) 5 28 3. 4. (a) 2 1/4 5. (b) 1 0.5 4 6. (a) 1 (b) 0.125 7. (a) (b) 1 x > 1 1 (1 x) 2 0 x 1 0 x < 0 (c) 3 4 (d) x 0.5 = 1 0.5 { 1 y (e) 2 1 y 1 0 annars (f) 1 4 { 1+z (g) 2 1 z 1 0 annars 8. (a) (b) 40 + 20 2 1/3 (c) 0.488 9. (a) (b) Bin(y, m1 ) m1+m2 10. E(X ) = a 3, V (X ) = 1 3 a2 9 11. (a) 2 3 (b) 1 2 { 1 0 y 1 (c) 0 annars (d) 1 2, samma som i uppgift 11b (e) 1 18 12. (a) 2 1/5 (b) 1 0.75 5 13. (a) 5 6 (b) 5 252 14. (a) p X ( 1) = 0.4 p X (0) = 0.2 p X (1) = 0.4 p Y ( 1) = 0.2 p Y (0) = 0.6 p Y (1) = 0.2 (b) 2 2 15. (a) p Y X = 1 ( 1) = 0.5 p Y X = 1 (0) = 0.5 p Y X =0 (1) = 1 p Y X =1 (0) = 0.5 p Y X =1 (1) = 0.5 (b) E(Y X = x) = 0.5x V (Y X = 1) = 0.25 V (Y X = 0) = 0 V (Y X = 1) = 0.25 16. (a) 0.9686 (exakt 0.9670) (b) 1 0.9963 365 17. (a) 1 0.999 3 (b) 693 18. (a) (b) E(â) = a 19. (a) ˆlobs = 1 x (b) l obs = 1 x (c) E(l ) l 20. (a) m obs = x 1+x 2 +2x 3 6 (b) E(m ) = m 9

21. (a) V (m ) < V (ˆm) (b) x 1+x 2 +2x 3 6 n i=1 22. (a) x2 i n (b) (c) p 2 x (d) E(j ) = j 23. (a) 0.05 (b) 0.0975 24. (a) H 0 kan ej förkastas (b) 0.7487 25. (a) 0.0681 (b) 0.1539 (exakt 0.1528) 26. (a) e 1.5 (b) e 0.75 27. (a) 7.89 (b) H 0 kan ej förkastas (c) > 0.995 (exakt 0.9986) 10