Färdighet med förståelse

Färdighet med förståelse DAGMAR NEUMAN Är det möjligt att lära "räkneomogna" nybörjare den logik som är basen för matematisk förståelse? "Mognad" anses av många vara omöjlig att påverka genom undervisning och träning. "Omogna" nybörjare ges därför ofta rådet att vänta ett år med skolstarten. Då de börjar ska de lära sig fakta inom talområdet 1 18 utantill som tabeller. Dagmar Neumans åsikt är att utveckling och "mognad" sker genom konkret undervisning, som utgår från barnets eget sätt att förstå. Dagmar är forskarstuderande vid Pedagogiska institutionen, Göteborgs universitet, och har arbetat i snart 20 år som speciallärare i både grundskola och gymnasium. Från en nybörjarklass I en nybörjarklass sökte jag läsåret 1978 79 utreda skillnaden mellan "räknemogna" och "räkneomogna" elevers sätt att räkna. Jag prövade sex klasser dels med traditionella, dels med mer förståelseprövande test och hittade flera elever utan taluppfattning. De sex svagaste fick gå in i försöksklassen på matematiklektionerna. Jag specialläraren ledde undervisningen i matematik med klassläraren som kompanjonlärare. Vi arbetade laborativt och utgick inte från något traditionellt läromedel. Vi kunde kartlägga den förståelse de "omogna" saknade och finna metoder för att utveckla den. Vidare upptäckte vi olika "tankeknep" som avancerade elever använde för att tänka fram svar och fann metoder för att lära de svagare dessa "knep". Barnen behövde därför aldrig lära in tabeller utantill. Träning av faktauppgifter fick bli ett medel för att utveckla förståelse och principer för hur man tänker. Eleverna kunde vid läsårets slut snabbt tänka fram svar på uppgifter inom talområdet 1 10. Från denna bas gick det lätt att räkna med större tal. "Namnen" på alla tal Vi började med talet 5. Barnen fick dela 5 olika föremål knappar, kulor osv mellan sig på olika sätt och med siffror och tecken berätta hur de gjort. Efter många olika övningar kunde alla elever skriva "namnen" på talet 5 även utan konkret material: 0 + 5, 5 + 0, 1+4, 4+1, 2 + 3, 3 + 2 Då vi övat talet 4 på samma sätt klarade de också "namnen" på talet 4. Det förargliga var emellertid att de svaga eleverna då glömt talet 5. Trots att de lärt in tabeller med hjälp av laborativt material blev resultatet utantillinlärning "figurativ" utantillinlärning utan bestående värde. Piaget påpekar att lärare som arbetar konkret ofta förväxlar "operativ" inlärning, som ger förståelse, med "figurativ" snabbt glömd utantillinlärning. Vid "figurativ" inlärning lär man in bilder av t ex många enskilda talkombinationer. Vid "operativ" inlärning hittar man en generell princip som gäller i många sammanhang. "Operativ" inlärning kan ske spontant. Oftast krävs dock att läraren ordnar materialet och ställer väckande frågor för att barn skall få syn på en princip. Jag insåg så småningom vilken idé barnen måste finna ut för att kunna skriva "namnen" på vilket tal som helst. De måste förstå hur delmängder förhåller sig till varandra. De måste märka att antalet i hela mängden alltid är konstant. Därför ökar den ena delmängden lika mycket som den andra minskar, om man flyttar ting mellan dem. Vi lärde eleverna detta på följande sätt. Barnen fick placera fem knappar i en mängdring på flanotavlan. De fick sedan dela dem i "den allra största" och "den allra minsta" delmängden

bygga "trappor" av cuisenairestavar. Vi tränade nu att gå upp och ner för dessa trappor. Plustecknet fick betyda "gå upp" och minustecknet "gå ner". Då de övat ett par veckor kunde de direkt säga vad som var 1 - och räkna sig till vad som var 2 och 3 mer eller mindre än alla tal. Efter denna träningsperiod kunde alla elever utom en med funktionella metoder och utan konkret material skriva alla tals namn. (5 + 0). Därefter gömde vi de fem knapparna bakom ett papper och lät ett barn efterhand flytta en knapp i taget från den gömda till den synliga delmängden. De övriga fick fundera ut hur många det vid varje tillfälle kunde finnas i den gömda. En elev förde "protokoll" vid svarta tavlan och skrev ned förslagen, som sedan kontrollerades genom att papperet efter varje antecknat förslag togs bort. Min tanke var att det som man själv funderat ut, innan man tittat i verklighetens facit, borde vara lätt att förankra i medvetandet. (Redan i samband med de tidigare övningarna, som hade gett mycket förståelse förutom den jag åsyftat, hade barnen upptäckt den "kommutativa lagen" 2 + 3 = 3 + 2 och skrev därför talens "namn" så som i figuren.) Då eleverna en gång utfört detta med konkret material, fick de försöka utan. De låtsades då att de hade föremål i mängdringen. Efter denna övning började de skriva namnen på alla tal inom talområdet 1 10, inte endast på det vi övat. De behövde inte använda det laborativa materialet till detta, eftersom de nu förstod hur många föremål de olika delmängderna måste innehålla. En markant motivationstopp märktes då barnen förstått denna idé. Räkning "ett i taget" Vissa elever använde ineffektiva metoder då de skrev talens namn. De visste att det blev ett mindre än t ex 5, när man flyttat ett föremål från den gömda "femmängden" till den tomma mängden. Men de visste inte hur mycket ett mindre än fem var. De räknade genom att "pricka" med fingret på bänken: 1, 2, 3, 4, 5... 4, och skrev sedan "4". Jag arbetade då ut ett träningsprogram där alla elever fick träna att räkna 1, 2 och 3 steg framåt och bakåt från alla tal. De hade tidigare tränat att I samband med "trappövningarna" fick eleverna också bygga "trappor" av "ettor" och kombinera varje kolumn av "ettor" med rätt siffra. Barnen ritade dessutom av cuisenairestavar, som de lagt i en trappformad serie, på cm-rutat papper och skrev talens namn med siffror. De lärde sig i dessa övningar att man kan konstruera ett nytt tal genom att lägga ett till det föregående. De lärde sig också att t ex den gula staven hette "fem" dels därför att den var den femte i serien, dels därför att den mätte fem ettor (eller fem rutor). Sambandet mellan ordningstal och antal En elev som fortfarande ej kunde skriva talens namn förstod inte detta samband mellan ordningstal och antal. Hon kunde inte överföra ordningstalsräkningen i trappan till räkning av antal. Hon kunde mycket väl säga att "1 nedanför 6 i trappan" var 5, utan att se på någon trappa. Men hon kunde inte tänka ut hur många av 6 gömda knappar det fanns kvar då hon tagit fram 1. Jag lade 6 "ettor" från trappans "6-kolumn" utspridda på bänken och gömde dem i en burk. Därefter skrev jag likadant som då vi övat "att gå nedför trappan".

Hon räknade bakåt på samma sätt som då, varje gång hon tog fram en gömd "etta" ur burken: 5 (från början: nu är det 5 kvar). Hon kontrollerade därefter hur många som fanns kvar och blev till att börja med mycket förvånad, då hon såg, att det fanns 4 kvar i burken, när hon kommit till 4 vid bakåträkningen. I nästa steg fick hon bara låtsas att det fanns "ettor" i burken. Efter ytterligare en tids övning fick hon åter pröva att skriva "namnen" på alla tal och klarade det. Då var vi inne i februari månad. En tänkbar anledning till förvirring... Jag har senare förstått att övningarna att gå uppoch nedför trappan (liksom övningar i att förflytta sig framåt och bakåt utefter tallinjen) inte anknyter till barns eget sätt att räkna. Barn "döper" föremål med räkneorden och håller sedan reda på vilka föremål som försvunnit resp lagts till. De räknar alltså inte "9, 8, 7... 7 blir kvar" i uppgiften 10-7 = utan "10, 9, 8... 7 blir kvar". Kanske den svagaste eleven blivit mindre förvirrad om vi använt en metod, som anknutit till detta sätt att räkna. Tankeknep Jag kom underfund med de "tankeknep" avancerade elever använde för de 25 kombinationerna inom talområdet 1 10 (jfr fig på s 14). Med de metoder jag nedan beskriver kunde jag hjälpa övriga elever att upptäcka dem. Tankemönster A: "Lägga till och ta bort ett i taget." Detta tankemönster är lämpligt då ingen av termerna överstiger 3. Det går att använda i betydligt fler sammanhang, om uppgifter endast presenteras som addition, där summan efterfrågas (t ex 5 + 2 = ). Detta sätt att räkna lärde sig barnen i "trappövningarna". Tankemönster B: "Delmängder och hel mängd är beroende av varandra." Barnen måste förstå att om en delmängd minskar med 1 minskar hela mängden med 1, om två delmängder minskar med 1 minskar hela mängden med 2 osv. De upptäckte detta i följande övning: De fick först tänka ut och skriva ner hur mycket det blev kvar i en gömd 10-mängd delad i två 5-mängder om vi tog bort ett föremål från varje delmängd. De fick därefter tänka ut hur mycket det då kunde vara kvar i varje delmängd. Vi avslutade med att ta bort det pappersark, som gömde föremålen, så att barnen kunde kontrollera sina svar mot verkligheten. De lärde sig på detta sätt först "dubblorna" och därefter även de fakta som är ett mer eller mindre än "dubblorna" t ex 9 = 4 + 5 = 5 + 4 Innan övningarna vid svarta tavlan och flanotavlan inleddes utgick vi från den för barnen mest "naturliga dubblan": de två händernas 10 fingrar, delade i 2 femgrupper. Den var redan från början självklar. Att 4 + 4 måste bli 8 insåg barnen omedelbart då vi vek in ett finger på varje hand. Innan vi arbetade med fakta, som var ett mer eller mindre än "dubblorna", utgick vi också från de 10 fingrarna och vek in ett. Att 4 + 5 = 9 blev på detta sätt något givet för alla elever. Tankemönster C: "Delmängder är beroende av varandra." Att en delmängd minskar lika mycket som den andra ökar om man flyttar ett föremål mellan dem hade barnen redan lärt sig då de skrev "namnen" på alla tal. Det mönstret passade t ex till 3 + 5 = 8 Vi lärde in det genom följande samtal Här har du delat åtta ganska "rättvist". Har du delat "så rättvist du kan"? Nej... det är 4 + 4. Jag skriver 4 + 4 ovanför elevens uppgift och säger medan jag pekar med pennan från den första fyran till den andra: Här ser du att man har tagit en sak från den första delmängden (pekar på trean) och flyttat till den andra. Hur många kan det då blir där tror du? (Pekar på strecket.) Eftersom eleven i otaliga övningar skrivit namnen på alla tal genom att tänka att man flyttar ett föremål från den ena delmängden till den andra, svarar han utan att tveka: Fem! Tankemönster D: "Att räkna ut differensen fast tecknet är plus." Eleverna fick bygga uppgifter med cuisenaire-

stavar. Vi arbetade enbart med uppgifter, där den ena delmängden efterfrågades (ex 2 + = 7). Uppgifter där summan efterfrågades (2 + 5 = ) presenterade jag inte förrän eleverna lärt sig subtraktion. Vi utgick både i addition och i subtraktion från det hela talet delat i två delar. Skall den stav du söker vara större eller mindre än 9? Mindre!! Hur mycket mindre? 777 1 mindre???? 2 mindre? Nej... 3 mindre... 6!! Principen används när man kombinerar 1, 2 och ibland 3 med ett betydligt större tal. Vid uppgiftslösningen började somliga barn att söka sig fram: 4 passar inte, 6 passar inte, 5 blir bra. Andra försökte i stället räkna hur många ettor som kunde rymmas ovanför tvåan. De försökte t o m ibland rita ut ettorna. De använde alltså "lägga-till-ett-i-taget"-mönstret på ett oekonomiskt sätt. Det bör aldrig användas om man skall lägga till eller ta bort fler än 3. Efter någon tid började emellertid allt fler elever ta rätt stav direkt. Då vi frågade dem hur de visste att de skulle ta just en femma (i detta exempel) svarade de: Därför att 5 + 2 är 7. Då vi fortsatte: Men hur visste du att du skulle ta just 5... inte 6 eller 4, svarade de: Därför att det är ju femman som är 2 mindre än 7. De tänkte 2 steg bakåt "Vad är 2 mindre än 7?" trots att uppgiften bjudits som addition. (5 + = 7 tänkte de naturligtvis framåt.) Vi kunde hjälpa de elever som inte själva upptäckte detta tankeknep genom att fråga. (Exemplet är 3 + _ = 9.) Addition och subtraktion är två sidor av samma sak. Eleverna byggde subtraktion på samma sätt som addition. I uppgiften 7-5 = förstod de (efter att först ha försökt med en hel sjua) att man vid subtraktion måste utgå från ett "trasigt tal" (ett tal som redan var delat i två delmängder). Detta måste vara byggt av den delmängd som skall tas bort (5) och den som blir kvar (5 + = 7). Uppgiften var löst då de kom på detta. De tänkte två steg framåt, trots minustecknet. I uppgiften 7-2 = tänkte de naturligtvis två steg bakåt. Övningarna utvecklade ett flexibelt, reversibelt tänkande. Vi arbetade med "mastery-learning" på följande sätt: Ingen elev fick avsluta träningen av de fakta som förankrades i ett visst tankemönster förrän han korrekt och ofta på bestämd tid klarade alla uppgifter på ett utvärderande prov. Varje moment utvärderades också genom att vi för några av de skriftligt givna svaren på provet ställde frågan, t ex i uppgift 9-6 = 3: Hur tänkte du när det blev 3? Vägen till svaret var alltid viktigare än svaret. Att träna fakta "i sig" kan aldrig förbättra det matematiska tänkandet eller ge mer rationella tekniker för problemlösning. Effektiva tekniker utvecklas ur funktionella tankestrategier. Fakta kan säkrast återhämtas ur långtidsminnet om de förankras i tankemönster. De tankemönster som här redovisas är tillräckliga för fakta inom talområdet 1 10. Dessa fakta kan emellertid även förankras i andra tankemönster, t ex förhållandet mellan udda och jämna tal. Det jag beskrivit ser jag alltså inte som METO- DEN, endast som ett exempel på, hur man genom att utgå från barnets förståelse kan åstadkomma operativ inlärning förståelse på en högre nivå.

Att behärska talområdet 1 10 Min definition av att behärska talområdet 1 10 är att förstå hur man kombinerar tal inom talområdet på de 25 sätt som visas i nedersta figuren. Denna förståelse för talets del/helhetsschema skall ta sig uttryck i att man lätt kan besvara uppgifter oavsett hur de presenteras. De flesta av de 25 kombinationerna kan presenteras på 12 "dubblorna" på 6 olika sätt: Enligt mina erfarenheter är ett sådant behärskande av talområdet 1 10 basen för all vidare utveckling av räknefärdigheter. Sammanfattning "Tankemönster" inom talområdet 1 10 "Lägga till och ta bort ett i taget". "Delmängder och hel mängd är beroende av varandra". "Delmängder är beroende av varandra". "Att räkna från den största delmängdens till den hela mängdens sista räkneord".