tentaplugg.nu av studenter för studenter

tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod Kursnamn K0003N Försöksplanering Datum 2014-06-02 Material Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Tentamen Bjarne Bergquist 3 15; 4 20; 5 25 22,25 (4a) Övrig kommentar

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Tentamen i Försöksplanering Kurskod: K7003N Totala antalet uppgifter: 5 (totalt 30p) Tentamensdatum: 2013-06-02 Examinator: Bjarne Bergquist Skrivtid: 09.00-15.00 Jourhavande lärare: Resultatet anslås senast: Erik Vanhatalo, Tel: 0920-(49) 17 20 (kommer till klassrummet ca kl. 11.30 och kl. 13.00) 1 juli (meddelas via Mitt LTU ) Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare, penna, sudd, linjal Engelsk-svenskt lexikon Kursbok, DC Montgomery Design and Analysis of Experiments Preliminära betygsgränser: U: 0 14.5 poäng 3: 15 19.5 poäng 4: 20 24.5 poäng 5: 25 30 poäng Om Dina lösningar Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt. Endast det numeriska svaret räcker inte för full poäng. Om du gör vissa antaganden för att lösa en speciell uppgift skall dessa antaganden redovisas klart. En korrekt lösning ger det poängantal som står angivet efter uppgiftstexten. LYCKA TILL! Sommarhälsningar! Erik Vanhatalo, Bjarne Bergquist & Peder Lundkvist 1

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Uppgift 1 Under denna kurs har du förhoppningsvis lärt dig en del kring planering av experiment. Antag att du skulle få chansen att förklara för en av nästa års studentgrupper i kursen vad man ska tänka på när man ska planera sitt hemförsök. Gruppen säger sig vara sugen på att göra ett experiment där man tänkt brygga vin, men så mycket mer än så har man inte tänkt ännu Din uppgift: Hjälp gruppen att få koll på viktiga aktiviteter i planeringen av deras försök genom att redogöra för vad de bör göra i en komplett planeringsfas för ett inledande försök i sitt vinexperiment. Följ STM1 (Montgomerys Supplemental Text Material, kap 1) så fullständigt som möjligt. Redovisa, diskutera och motivera enligt de 13 punkterna som rekommenderas i STM1 och försök koppla till realistiska frågeställningar som de kan ställas inför i sitt vinexperiment. Ledning: Flera av de 13 punkterna har delfrågor (a, b, c, d ) vilka du inte förväntas komma ihåg i detalj, men försök följa strukturen i STM1 så bra och komplett som möjligt. Denna uppgift går naturligtvis att arbeta med hur länge som helst, beroende på hur mycket man vill beskriva under varje punkt. Frågan ger som mest 5 poäng, vilket motsvarar 1/6 av tentans totala poäng. En sjättedel av tentatiden är som jämförelse en timme, vilket kanske kan vara en hjälp för din avvägning av hur mycket tid du ska lägga på att besvara frågan. (5p) 2

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Uppgift 2 I kontakten med ett företag i tillverkningsindustrin av kemiska produkter berättar du (stolt) att du har läst en kurs i försöksplanering och gillar det här med experiment! Företaget: Perfekt, vi har haft problem med lågt utbyte i en av våra processer. Ingenjörerna och medarbetarna har haft en spånskiva (brainstorming) och kommit fram till 6 faktorer som de misstänker kan påverka utbytet. Vi håller på att förbereda för ett experiment, men något upplägg är inte klart. Har du några tips? Du: Aha, känner ni till tvånivåers faktorförsök? Att testa alla kombinationer av faktorerna skulle innebära 64 delförsök. Men man kan ju reducera *du blir avbruten* Företaget: 64 delförsök! Nej, det har vi varken tid eller råd med! Varje försök kostar 5000:- och det är under förutsättningen att vi kan sälja det mesta av produkten som produceras. Nä, max 16 delförsök är rimligt! Vi vet ju inte ens om någon av faktorerna påverkar? Du: Ok, men jag tror jag kan sätta upp en försöksplan. Men jag behöver veta vilka faktorerna är och vilken resultatvariabel ni ska mäta. Tror ni det finns samspel mellan faktorerna? Företaget: Ja, vi mailar över faktorer och resultatvariabeln. Samspel? Vad menar du med det? 2a). Förklara för företaget vad ett samspel är genom att exemplifiera och förklara vad ett tvåfaktorsamspel är? (1p) I mailet från företaget står följande Hej, Enligt ö.k. kommer här lite info om experimentet. Resultatvariabel: Utbyte som vi vill öka. Försöksfaktorer: A: Katalysatorkoncentration B: Katalysatortyp C: Initial reaktionstemperatur D: Reaktionstid E: Slutlig reaktionstemperatur F: Omrörningshastighet Vi tror att det finns sådana där samspel som du pratade om mellan A och B samt mellan C och E. I övrigt vet vi inte så mycket. Kom gärna med ett förslag så kan vi diskutera vidare sen. Mvh/ Örjan 2b). Tag fram en lämplig försöksplan baserat på tvånivåers faktorförsök som uppfyller företagets önskemål. Redovisa vid behov definierande relation och definierande likheter. (3p) 3

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Uppgift 3 Lite längre fram i dina kontakter med företaget från uppgift 2 har man gjort ett experiment och konstaterade där att 4 av de 6 faktorerna tycktes påverka utbytet. Man gör nu ett fullständigt experiment med 4 faktorer (16 delexperiment). Företaget: Vi kommer inte att hinna med att göra hela experimentet under en veckas produktion. Vi behöver nog dela upp det över tiden, i alla fall över två veckor, men då har vi olika arbetsstyrkor som jobbar med processen troligen skiljer även råmaterialet. Det blir svårt att hålla allt konstant. Du: Ok, ett sätt är ju att dela upp experimentet på två veckor, men då rekommenderar jag att ni använder blockindelning. Företaget:?? 3a). Förklara för företaget vad blockindelning är och varför du tror det kan vara nödvändigt? (0.5p) Företaget: Ja, jo det verkar ju rimligt att göra så som du säger, kan du hjälpa oss med det? Du: Här är ett förslag på hur experimentet kan utföras i två block, se Figur 3.1. Företaget utför experimentet med de responser som ses i Figur 3.1. 3b). Förklara hur blockindelningen är utförd i försöksplanen i Figur 3.1? Ge också ett förslag på hur blockindelningen skulle kunna utföras (blockgeneratorer och blocköverlagringar) om man var tvungen att genomföra experimentet under fyra (4) veckor istället? (2p) Figur 3.1. Försöksplan med responsvärden för det utförda experimentet. Företaget: Har du lust att prova analysera försöket och se om du kommer fram till samma saker som vi? Du: Givetvis, *host* jag bryr mig inte om pengar och jobbar gärna gratis Nedan finns några av de plottar och tabeller som du tar fram i din analys. 4

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Design-Expert Software Utbyte Half-Normal Plot Design-Expert Software Factor Coding: Actual Utbyte One Factor Shapiro-Wilk test W-value = 0.968 p-value = 0.866 A: Katalysatorkoncentration B: Initial reaktionstemp C: Reaktionstid D: Omrörningshastighet Positive Effects Negative Effects Half-Normal % Probability 99 95 90 80 70 50 A-Katalysatorkoncentration X1 = A: Katalysatorkoncentration Actual Factors B: Initial reaktionstemp = 0.00 C: Reaktionstid = 0.00 D: Omrörningshastighet = 0.00 Utbyte 100 90 80 70 30 20 10 0 60-1.00-0.50 0.00 0.50 1.00 0.00 3.09 6.19 9.28 12.38 Standardized Effect Figur 3.2a. Halvnormalplott för effekter. A: Katalysatorkoncentration Figur 3.2b. Effektplott. Tabell 3.1. ANOVA-tabell för vald modell. Analysis of variance table [Partial sum of squares - Type III] Sum of Mean F p-value Source Squares df Square Value Prob > F Block 588.06 1 588.06 Model 612.56 1 612.56 21.74 0.0004 Significant A-Katalysatorkoncentration 612.56 1 612.56 21.74 0.0004 Residual 366.31 13 28.18 Cor Total 1566.94 15 Tabell 3.2. Koefficientskattningar och konfidensintervall. Coefficient Standard 95% CI 95% CI Factor Estimate df Error Low High VIF Intercept 79.94 1 1.33 77.07 82.80 Vecka 1-6.06 1 Vecka 2 6.06 A-Katalysatorkoncentration -6.19 1 1.33-9.05-3.32 1.00 3c). Dra slutsatser från experimentet. Hur ska faktorerna ställas in så att utbytet maximeras och ungefär vilket utbyte kan man förvänta sig? (1p) 3d). Var blockindelningen en god idé sett så här i efterhand? Ge din bästa uppskattning av vad blockeffekten är? Motivera och förklara tydligt. (1.5p) I samband med att du presenterar dina resultat för blir det känt att delexperimenten inte utförts i slumpmässig ordning under de två veckorna: Företaget: Vi samlade de fyra försöken med låg initialtemperatur som skulle göras under veckan och kört dem först och därefter ändrat till hög initialtemperatur och kört de fyra kvarstående försöken. 3e). Förklara först för företaget varför det är viktigt att utföra försök i slumpmässig ordning. Motivera och exemplifiera genom att beskriva hur försöket i Figur 3.1 borde ha utförts. Har det faktum att man frångått slummässig körordning påverkat försöket? Diskutera och motivera. (2p) 5

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Uppgift 4 Uppgiften är baserad på ett experiment beskrivet i artikeln: Leardi (2009). Experimental design i chemistry: A tutorial Analytica Chimica Acta, vol. 652, pp. 161-172. Experimentet har som syfte att optimera produktkvalitet och produktiviteten av en kolkvarn där två faktorer undersöks och två responser studeras. Information om faktorer och responser finns i Tabell 4.1. Målsättningen är att hitta en inställning där Y 1 > 70 samtidigt som Y 2 < 1. Tabell 4.1 Information om försöksfaktorer och responser. Faktor Förklaring Låg nivå Hög nivå X 1 Mill Load (Ton/h) 5 15 X 2 Positition av classifier (gardin som delvis stänger kvarnen). 1 3 Respons Målsättning Y 1 % mindre partiklar, mindre än 200 mesh. > 70% Y 2 % större partiklar, större än 50 mesh. < 1% Det var känt att försöksfaktorerna påverkade de två responserna och att påverkan var ickelinjär. Försöksplanen och resultatet från försöket redovisas i Figur 4.1. Figur 4.1. Försöksplan (kodade variabler) och resultat för de två responserna. 4a). Kommentera designen. Vad är detta för en typ av design? Kommentera sådant som är relevant att notera innan analysen påbörjas. (0.5p) Nedan följer en del tabeller som du bör basera din analys på. 6

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Tabell 4.2. Fit Summary för responsen Y 1 - % small particles (till vänster) och Y 2 - % large particles till höger. Summary (detailed tables shown below) Summary (detailed tables shown below) Sequential Lack of Fit Adjusted Predicted Sequential Lack of Fit Adjusted Predicted Source p value p value R Squared R Squared Source p value p value R Squared R Squared Linear 0,037 0,554 0,272 Linear 0,009 0,723 0,441 2FI 0,535 0,509 0,307 2FI 0,063 0,844 0,580 Quadratic 0,005 0,978 0,901 Quadratic 0,015 0,984 0,932 Cubic 0,301 0,994 0,861 Cubic 0,376 0,993 0,848 Sequential Model Sum of Squares [Type I] Sequential Model Sum of Squares [Type I] Sum of Mean F p value Sum of Mean F p value Source Squares df Square Value Prob > F Source Squares df Square Value Prob > F Mean vs Total 44287,800 1,000 44287,800 Mean vs Total 1,369 1,000 1,369 Linear vs Mean 328,620 2,000 164,310 5,970 0,037 Linear vs Mean 1,515 2,000 0,758 11,416 0,009 2FI vs Linear 13,470 1,000 13,470 0,440 0,535 2FI vs Linear 0,212 1,000 0,212 5,670 0,063 Quadratic vs 2FI 147,540 2,000 73,770 53,420 0,005 Quadratic vs 2FI 0,175 2,000 0,088 23,195 0,015 Cubic vs Quadratic 3,770 2,000 1,880 5,010 0,301 Cubic vs Quadratic 0,010 2,000 0,005 3,042 0,376 Residual 0,380 1,000 0,380 Residual 0,002 1,000 0,002 Total 44781,570 9,000 4975,730 Total 3,282 9,000 0,365 Model Summary Statistics Model Summary Statistics Std, Adjusted Predicted Std, Adjusted Predicted Source Dev, R Squared R Squared R Squared PRESS Source Dev, R Squared R Squared R Squared PRESS Linear 5,250 0,666 0,554 0,272 359,400 Linear 0,258 0,792 0,723 0,441 1,070 2FI 5,510 0,693 0,509 0,307 645,440 2FI 0,193 0,902 0,844 0,580 0,804 Quadratic 1,180 0,992 0,978 0,901 48,720 Quadratic 0,061 0,994 0,984 0,932 0,131 Tabell 4.3. ANOVA-tabeller och förklaringsgrader för responsen Y 1. Tabellen delad i två olika modeller. Censur Censur Y 1 = 75.76-4.84A - 5.6B + 1.83AB 1.71A 2-8.42B 2 Y 1 = 75.90-4.84A - 5.6B + 1.83AB - 8.42B 2 Tabell 4.4. ANOVA-tabeller och förklaringsgrader för responsen Y 2. Tabellen delad i två olika modeller. Y 2 = 0.15 + 0.46A - 0.21B -0.23AB + 0.28A 2 + 0.08B 2 Y 2 = 0.20 + 0.46A - 0.21B - 0.23AB + 0.28A 2 7

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 4b). Denna uppgift handlar om att komplettera Tabell 4.3 med den saknade informationen. Beräkna medelkvadratsumma, F 0 -värde och ge en approximation av p-värdet för A 2 i Tabell 4.3 (vänster). Beräkna också och kommentera prediktionsförklaringsgraden som saknas i Tabell 4.3 (höger) för den ena modellen för Y 1. Visa tydligt dina beräkningar. (1.5p) 4c). Föreslå lämpliga modeller för Y 1 och Y 2. Motivera tydligt genom att diskutera det du ser i tabell 4.2-4.4. (2p) Du går vidare och genomför en residualanalys för din slutligt valda modell. Här får du anta att de residualplottar du ser nedan överensstämmer med ditt slutliga val av modell. Figur 4.2 (residualer för modellen för Y 1 ) och 4.3 (residualer för modellen för Y 2 ) innehåller ett urval av residualplottar för de två responserna. Design-Expert Software Y1: % Small particles Normal Plot of Residuals Design-Expert Software Y1: % Small particles Residuals vs. Predicted Color points by value of Y1: % Small particles: 80.75 99 Color points by value of Y1: % Small particles: 80.75 10.00 58.42 Std # 2 Run # 8 X: 7.165 Y: 94.4 Normal % Probability 95 90 80 70 50 30 20 10 5 58.42 Std # 2 Run # 8 X: 65.699 Y: 7.165 Externally Studentized Residuals 5.00 0.00-5.00 1-10.00-4.00-2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 55.00 60.00 65.00 70.00 75.00 80.00 85.00 Figur 4.2a. Externally Studentized Residuals Figur 4.2b. Predicted Design-Expert Software Y1: % Small particles Residuals vs. Run Design-Expert Software Y1: % Small particles Predicted vs. Actual Color points by value of Y1: % Small particles: 80.75 10.00 Color points by value of Y1: % Small particles: 80.75 85.00 58.42 Std # 2 Run # 8 X: 8 Y: 7.165 Externally Studentized Residuals 5.00 0.00-5.00 58.42 Predicted 80.00 75.00 70.00 65.00 60.00 55.00-10.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 55.00 60.00 65.00 70.00 75.00 80.00 85.00 Figur 4.2c Run Number Figur 4.2d. Actual 8

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Design-Expert Software Y1: % Small particles Box-Cox Plot for Power Transforms Design-Expert Software Y1: % Small particles Residuals vs. A:X1: Mill load Lambda Current = 1 Best = -1.44 Low C.I. = -4.32 High C.I. = 2.18 Recommend transform: None (Lambda = 1) Ln(ResidualSS) 2.50 2.00 1.50 1.00 Color points by value of Y1: % Small particles: 80.75 58.42 Std # 2 Run # 8 X: 1.000 Y: 7.165 Externally Studentized Residuals 10.00 5.00 0.00-5.00-10.00 0.50-1.00-0.50 0.00 0.50 1.00-3 -2-1 0 1 2 3 Figur 4.2e. Lambda Figur 4.2f. A:X1: Mill load Design-Expert Software Y1: % Small particles Color points by value of Y1: % Small particles: 80.75 10.00 Residuals vs. B:X2: Classifier position 58.42 Std # 2 Run # 8 X: -1.000 Y: 7.165 Externally Studentized Residuals 5.00 0.00-5.00-10.00-1.00-0.50 0.00 0.50 1.00 B:X2: Classifier position Figur 4.2g. Design-Expert Software Y2: % large particles Normal Plot of Residuals Design-Expert Software Y2: % large particles Residuals vs. Predicted Color points by value of Y2: % large particles: 1.44 99 Color points by value of Y2: % large particles: 1.44 6.00 0.01 Normal % Probability 95 90 80 70 50 30 20 10 5 0.01 Externally Studentized Residuals 4.00 2.00 0.00-2.00-4.00 1-6.00-0.50 0.00 0.50 1.00 1.50-2.00-1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 Figur 4.3a. Externally Studentized Residuals Figur 4.3b. Predicted Design-Expert Software Y2: % large particles Residuals vs. Run Design-Expert Software Y2: % large particles Predicted vs. Actual Color points by value of Y2: % large particles: 1.44 6.00 Color points by value of Y2: % large particles: 1.44 1.50 0.01 Externally Studentized Residuals 4.00 2.00 0.00-2.00-4.00 0.01 Predicted 1.00 0.50 0.00-0.50-6.00-0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur 4.3c. Run Number Figur 4.3d. Actual 9

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Design-Expert Software Y2: % large particles Box-Cox Plot for Power Transforms Design-Expert Software Y2: % large particles Residuals vs. A:X1: Mill load Lambda Current = 1 Best = 0.63 Low C.I. = 0.14 High C.I. = 0.99 Recommend transform: Square Root (Lambda = 0.5) Ln(ResidualSS) 10.00 5.00 0.00 Color points by value of Y2: % large particles: 1.44 0.01 Externally Studentized Residuals 6.00 4.00 2.00 0.00-2.00-4.00-5.00-6.00-3 -2-1 0 1 2 3-1.00-0.50 0.00 0.50 1.00 Lambda A:X1: Mill load Figur 4.3e. Figur 4.3f. Design-Expert Software Y2: % large particles Color points by value of Y2: % large particles: 1.44 6.00 Residuals vs. B:X2: Classifier position 0.01 Externally Studentized Residuals 4.00 2.00 0.00-2.00-4.00-6.00-1.00-0.50 0.00 0.50 1.00 Figur 4.3g. B:X2: Classifier position 4d). Studera residualplottarna och kommentera det du ser. Föreslå också ev. åtgärder om du anser att residualanalysen indikerar att sådana behövs. (2p) Nu återstår att försöka optimera processen så att målsättningarna för de två responserna uppfylls (om det är möjligt?). I Figur 4.4 och 4.5 presenteras konturplottar och 3D-ytor för de två responserna. 3.00 Y1: % Small particles (%) 65 60 85 80 B: X2: Classifier position 2.50 2.00 81 80 70 75 Y1: % Small particles (%) 75 70 65 60 55 3.00 1.50 2.50 70 2.00 B: X2: Classifier position 15.00 1.00 5.00 7.50 10.00 12.50 15.00 1.50 10.00 12.50 7.50 A: X1: Mill load 1.00 5.00 A: X1: Mill load Figur 4.4a. Konturplott för Y 1 Figur 4.4b. 3D-yta för Y 1 10

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 3.00 Y2: % large particles (%) 1.5 1 B: X2: Classifier position 2.50 2.00 0 0.1 0.5 Y2: % large particles (%) 0.5 0-0.5 1.50 1 3.00 2.50 2.00 B: X2: Classifier position 1.00 5.00 7.50 10.00 12.50 15.00 1.50 1.00 5.00 7.50 10.00 12.50 15.00 A: X1: Mill load A: X1: Mill load Figur 4.5a. Konturplott för Y 2 Figur 4.5b. 3D-yta för Y 2 4e). Rita upp området där målsättningarna för båda responserna är uppfyllda, om det området finns. Gör detta genom att skapa en egen konturplott där du ritar upp det tillåtna området. Dessutom ange de optimala inställningarna som du skulle rekommendera i processen. Motivera ditt resonemang och antaganden. (2p) 11

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 Uppgift 5 I en artikel av George Box och Stephen Jones (Journal of Applied Statistics, 1992, 19, pp 3-26) beskrivs ett faktorförsök hos en kakmixfabrikant som syftade till att välja en lämplig kakmix (recept) som skulle vara okänslig mot konsumentens handhavande, dvs. de vill skapa ett så robust kakmixrecept som möjligt. Vid försöket valde man att testa recept där tre faktorer varierades: mjölmängd (M), matfett (F) och äggpulver (Ä). Störfaktorer som man antog att konsumenterna skulle variera en del var varierande ugnstemperatur (T) samt tid (t). Experimentet utfördes på följande sätt: Åtta (8) recept blandades där alla kombinationer receptparametrarna M, F och Ä testades. Varje receptmix delades sedan in fyra delar och varje del gräddades för en viss temperatur och tid. Alla kakor provsmakades sedan av en smakpanel och responsvariabel är smakpanelens medelbetyg (högre är bättre). Tabell 5.1 ger responserna för experimentet. Tabell 5.1 Data från kakmixexperimentet. Receptfaktorer Konsumentfaktorer T: - + - + Delförsök M F Ä t: - - + + 1 - - - 1,3 1,6 1,2 3,1 2 + - - 2,2 5,5 3,2 6,5 3 - + - 1,3 1,2 1,5 1,7 4 + + - 3,7 3,5 3,8 4,2 5 - - + 1,6 3,5 2,3 4,4 6 + - + 4,1 6,1 4,9 6,3 7 - + + 1,9 2,4 2,6 2,2 8 + + + 5,2 5,8 5,5 6,0 5a). Vad är detta för typ av experiment? Kommentera upplägg och relevanta iakttagelser. Förklara sedan först mycket kort hur du skulle ha skapat experimentet i Design Expert? Hur skulle du sedan göra för att analysera experimentet? (1.5p) 12

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 5b). I Figur 5.1 nedan presenteras två figurer som du får ta hjälp av för att analysera försöket. Tabell 5.2 ger alla skattade effekters värden. Vilka huvud- och samspelseffekter påverkar smaken av den bakade kakan och hur ska dessa ställas in för att få ett så högt smakbetyg som möjligt? Motivera tydligt! (1.5p) Half-Normal Plot Half-Normal Plot 95 99 Half-Normal % Probability 90 80 70 50 30 20 10 0 b-f (fett) abc ac ab bc c-ä (Ägg) a-m (mjöl) Half-Normal % Probability 95 90 80 70 50 30 20 10 0 abcd ad acd cde be abde abd ce bcd ace ade bde DE acde bce cdabce abe abcde ae bcde E-t (tid) D-T (Temp) bd 0.00 0.30 0.59 0.89 1.19 1.48 1.78 2.08 2.37 2.67 0.00 0.28 0.55 0.83 1.11 Standardized Effect Standardized Effect Figur 5.1a. Halvnormalplott nr. 1 Figur 5.1b. Halvnormalplott nr. 2 Tabell 5.2. Effektlista. 13

TENTAMEN - K7003N 2014-06-02 5c). Kakmixfabrikanten har konstaterat att det vanligaste problemet i konsumenternas ugnar är att de inte riktigt håller temperaturen, dvs. att baktemperaturen är för låg. Finns det någon rekommendation som du kan ge kakmixfabrikanten baserat på din analys för att ev. kompensera lite för detta problem? 5d). Beräkna och ge din bästa skattning på slumpeffekternas spridning i Figur 5.1a. Vad kallas denna spridning? (1p) (2p) 14