Tankar om elevtankar HÖJMA-projektet JAN UNENGE I serien Tankar om elevtankar fortsätter här Jan Unenge sin redogörelse från forsknings- och utvecklingsarbetet vid Lärarhögskolan i Jönköping. Denna gång behandlas den mycket intressanta frågan hur reagerar eleverna inför uppgifter med verklighetsanknytning? Matematik eller verklighet? Några försöksklasser har testats på uppgifter med verklighetsanknytning. Två klasser i årskurs 6 fick följande uppgifter: Hur mycket är 1 h 45 min + 2 h 35 min? Hur mycket är 4 h - 1 h 43 min? Hur långt är det från kl 13.50 till kl 19.15? Två andra klasser fick följande uppgifter: 6 kg potatis kostar 9 kr. a Hur mycket kostar 4 kg potatis? b Hur mycket kostar 9 kg potatis? Hur reagerar nu eleverna när de möter uppgifter med viss verklighetsanknytning? Tar de på något sätt hjälp av klockan i de tre första uppgifterna eller finns "matematikräknandet" fortfarande med så att de börjar t ex "tänka i algoritmform"?
De vanligaste lösningsstrategierna kan sammanföras i tabellform för de två första uppgifterna: Tänker i form av Tänker på algoritmuppställning klockan Rätt svar Fel svar Rätt svar Fel svar 1h 45 min + 2h 35 min 4 1 17 6 4h - 1h 43 min 0 5 13 10 I redovisningen finns med några få elever som måste ta hjälp av papper och penna. De flesta försökte dock klara uträkningarna i huvudet. De som tänkte sig en algoritmuppställning kan ju sägas befinna sig på en ren matematiknivå de fann ingen anknytning till någon verklighet. Att det blev fel i subtraktionsuppgiften berodde på som en uttryckte saken "lånar man blir det ju hundra, förstår du", och svaret blev alltså 2 h 57 min... i bästa fall kanske man skulle våga säga om man nu vill gradera felaktigheter. Två elever fick ju 2 h och 43 min med det tyvärr så vanliga resonemanget att "noll minus tre är tre". Hur dessa elever reagerar när man skall räkna med negativa tal kan man ju undra eller medför det momentet bättre respekt för ordningen mellan termer? De elever som associerade till klockan försökte praktiskt taget genomgående att runda av till "hela kvartar", i några fall till halvtimmar eller "tio-minutrar". Ett exempel från uppgift 1: Först blir det ju 3 timmar åsså 45 minuter. Så tar jag en kvart till och då blir det 4 timmar åsså en kvart till å sen har jag 5 minuter kvar å då blir det 4 timmar å en kvart å 5 minuter så det blir 4 timmar å 20 minuter. Översatt till rent matematiskt språk skulle uträkningen se ut så här: 1 h 45 min + 2 h 35 min = 3 h 45 min + 35 min = 3 h 45 min + 15 min + 20 min = 4 h + 15 min + 5 min = 4 h 15 min + 5 min = 4 h 20 min Av denna "matematisering" av tänkandet ser man att elevens sista uppdelning av 20 min i "en kvart plus 5 minuter" är ett onödigt steg. Man ser också att denna elev liksom många andra får många termer att hålla reda på. De som fick fel svar klarade inte att hålla ordning på alla dessa termer. Detta framträder ännu tydligare i subtraktionsuppgiften: Först tar jag bort en timme, det blir 3 timmar. Sen tänker jag att jag tar bort 45 minuter så då blir det 2 timmar och en kvart... fast det var ju 2 minuter till så då blir det 2 timmar och 13 minuter.
Det är fel av samma typ som ofta förekommer i vanliga subtraktionsuppgifter av typen 57 18. Eleven minskar först med 20 och får 37 men "justerar" sedan differensen mellan 20 och 18 "åt fel håll" och svarar 35 i stället för 39. Här finns en viktig detalj där vi borde öva eleverna mycket i huvudräkning. När den tredje uppgiften presenterades så som den skrivits ovan fick vi i en klass inte ett enda rätt svar! Praktiskt taget alla ville ha hjälp av papper och penna. De ställde snabbt upp en subtraktion och tillämpade huvudsakligen två olika om än icke så lyckade metoder: a 19.15 b 19.15-13.50-13.50 6.45 5.35 (alternativt 6.35) I a återfinns det vanliga felet 1-5 = 4, i b försöker man hålla i sär timmar och minuter och tar 15 minuter från 50 minuter. Inför intervjuerna med en annan klass ändrade vi uppgiften och gav den muntligt: "Hur lång tid är det från tio i två till kvart över sju?" Nu blev det fler rätta svar. De som hamnade fel gjorde samma fel som i uppgift 2, de lyckades inte hålla reda på alla deltermer de fick vid uträkningen. Ingen vill väl ifrågasätta påståendet att dessa uppgifter tillhör självklara basfärdigheter. Ändå övar vi väl inte sådana uppgifter speciellt mycket på mellanstadiet. Dels tror vi väl att detta är uppgifter som eleverna klarar, dels kanske vi uppfattar övning på sådana här uppgifter som lätt triviala. Antagligen är det också så att i en praktisk, direkt verklighetsanknuten situation kan de flesta elever klara att räkna ut tidsdifferenser. Lite tillspetsat glömmer de matematiska modeller och räknar handgripligen ut hur lång tid någon uppgift representerar eller hur lång tid som återstår fram till ett visst klockslag. Men det är ju också beklagligt om vi inte lyckas ge eleverna några bra metoder och tankeformer inför uppgifter av denna typ. Några diskussioner då och då i grupper om hur man kan tänka och resonera när man skall räkna tid borde kunna höja nivån inom denna basfärdighet. Kanske är det till och med så att uppgifter av detta slag både kan ge insikt i positionssystemet där vi ju här har en annan bas när vi går från minuter till timmar och ge förbättrad taluppfattning? Uppgiften 4 h - 1 h 43 minuter kan nog ge en värdefull knuff i rätt riktning på elever: "Det fattas 17 minuter till 2 hela timmar så det måste bli 2 timmar och 17 minuter" för att citera en elev som skaffat sig en bra metod om det nu skett i eller utanför matematiklärosalen låter jag vara osagt. Uppgiften om potatispriset valdes för att få en direkt anknytning till en uppgift som använts inom BMN-projektet (se NÄM- NAREN nr 1 80/81, s 51 54). I BMN-projektet har man visat på
två huvudmetoder som översatt till denna testuppgift kan beskrivas så här: Uppgift 6 kg potatis kostar 9 kr. a Hur mycket kostar 4 kg? b Hur mycket kostar 9 kg? Metod I 1 kg potatis kostar 1,50 kr Därefter klarar man uppgifterna genom multiplikationer 4 1,50 kr resp 9 1,50 kr Metod II Relationen 6 till 9 är lika med 1:1,5 För 4 kg blir relationen 4:6 För 9 kg blir relationen 9:13,5 Här finns flera varianter: "man lägger till hälften", dvs "först 4 åsså hälften av 4" "man lägger till 3" Här räknar eleven då med en konstant differens och får att 4 kg kostar 4 + 3 = 7 kr (och outtalat att 0 kg alltså kostar 3 kr...) Den elegantaste varianten inom metod II är förstås att räkna med direkt proportionalitet med formeln y = 1,5 x. Eleverna i årskurs 6 har knappast fått någon direkt undervisning i proportionalitet som en form av generellt samband. Begreppet finns ju annars representerat till exempel i enhetsväxlingar, i procenträkning och i skalbegreppet. Uppgiften testades på 54 elever. 26 stycken klarade båda delfrågorna, ytterligare 6 kunde räkna ut priset på 4 kg men inte på 9 kg som ju leder till en något besvärligare multiplikation. Endast 5 av de 26 använde metod II, dvs utnyttjade den direkta proportionaliteten. De övriga startade lösningarna genom att på ett eller annat sätt försöka få fram priset på 1 kg. Elevernas redogörelser för sina tankar är knappast någon njutbar läsning för lärare eller kanske skall man säga teoretiker? som förordar en fast terminologi och ett korrekt matematiskt språk. Alla dessa elever var helt klara över i sina tankar att det gällde att dividera 9 med 6 och 14 stycken klarade det också bra. Men bara några få av dessa uttryckte sig helt korrekt. De vanligaste varianterna: Man delar sex i nio och får en å femti Jag dividerar sex med nio och får en å en halv krona Det är ju bara å ta sex delat med nio så får man ju att det kostar en å femti Det är väl inte ordningen eller oordningen i trappan som spökar? Några intressanta och ganska fiffiga varianter förekom också. Fyra elever tyckte "inte det var nån ide att räkna ut för ett
kilo utan 2 kilo kostar ju 3 kronor å då kostar ju 4 kilo 6 kronor... å nio kilo, ja tre kilo kostar ju fyra å femti så då blir det två gånger det är nio åsså en gång till det blir tretton å femti". Tre elever räknade nästan handgripligen i pengar: Då får man ta sex i nio men det är svårt men då tänkte jag att 9 kronor det är arton femtioöringar och delar jag det i sex så får jag tre femtioöringar så det blir en å femti kilot. Det är intressant att notera en parallell till en annan uppgift om proportionalitet, nämligen procenträkning (se NÄMNAREN nr 2 80/81). Där visade det sig att en majoritet av eleverna föredrog metoden att först räkna ut "vad en procent motsvarar". På denna uppgift var det också en klar majoritet av eleverna som startade med att räkna ut "vad ett kg motsvarar". Eleverna tycks alltså föredra att "räkna procenten för sig" respektive att "räkna kronorna för sig". Detta måste tillhöra sådant som är av intresse när man medvetet vill göra elevernas tankeinnehåll till ett undervisningsinnehåll. De här redovisade uppgifterna har en verklighetsanknytning. Man kan fundera över om de för eleverna representerar en verklighet eller om matematiken i uppgifterna dominerar. För många elever tycktes uppgifterna om tid representera en form av räknande, en form av matematik. När elever som tycktes komma fel i sina försök att klara uppgifterna erbjöds en klocka med ett litet tips om att den kanske kunde vara till hjälp resulterade detta faktiskt oftast i en direkt anvisning "tyst nu, jag räknar". Uppgifterna om potatispriserna tycktes däremot mer fjärran från ett matematiskt tänkande. Ingen elev ville ha hjälp av papper och penna och många försökte inte sällan framgångsrikt föra ett logiskt resonemang. Det förekom inte heller några uppenbart orimliga förslag till svar liknande dem vi mötte i andra uppgifter, t ex typen att 401-397 kan bli långt över hundra. Sedan har ju även verkligheten sina egna problem, vilket kan illustreras av eleven som på frågan om vad 4 kg potatis kostar blixtsnabbt kom med ett svar: E: 4 kilo, ja det blir fyra å åtti. I: Fyra å åtti, hur får du det? E: Ja, ett kilo är en å tjugo åsså fyra gånger det. I: Jamen, en å tjugo hur får du det? E: Jamen potatis kostar ju en å tjugo. Innan man ger sådana här uppgifter bör man kanske först kolla dagspriset.