" í*4 r Del A: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 1) Förenkla: 20102 (æ + 1)(ac 1) 2/0/0 2) Ange A och B så att likheterna stämmer. Observera a2 ta och B är olika i de två deluppgzfterna a) och b) a) y2~a+25=(y -B)2 b) (A+B)(2m 3)=6m2 5:c 6 3/0/0 3) Förenkla uttrycket (3œ 2)2 + 4(3œ - 1) sä längt sommôjligt. O/l/O 4) Olle får uppgiften: "Bryt ut största möjliga faktor ur 8x2 -I- 12m". Olle svarar såhär: x J?,á Varför får inte Olle något poäng på uppgiften? l/o/o
5) Nedan finns grafen till Lös följande problem grafiskt. ï î î v ï î å a) Bestäm koordinaterna för grafens minimipunkt. b) Bestäm symmetrilinjens ekvation. c) Bestäm funktionens nollställen. 3/0/0 6) Lös ekvationerna a) ac2 6a3 16:0 b) m2 + 4a: = 0 c) 2x2 + 18 = 0 6/ 0/0 7) Lôs ekvationerna med algebraisk metod. a) ac2 4x 45=O b) (æ+1)2 =œ+1 2/2/0 3) Lôs ekvationerna nedan a) m2 + 81 = 0 b) æ2+2æ 15=0 c) En av ekvationerna ovan saknar reella rötter. Vad innebär det? Förklara! 4/1/0
9) En kvadrats area beskrivs av uttrycket 4x2 + 16a; + 16. Bestäm ett uttryck för kvadratens sida. 1/2/0 1o) Ge exempel på en andragradsekvation som saknar reella rötter. Motivera kortfattat ditt val av ekvation. 0/2/O 11) Leif säger att värdet på lg200 måste vara större än 2 men mindre än 3. Har han rätt? Motivera! 1/O/0 12) Lôs ekvationerna. Svara exakt. a) 3 = 5 5 _ b) æ 3 2/0/0 13) Beräkna a) lgo, 1 + lg100 lg103 + 10192 b) 2lg5 + lg4 2/2/0 14) Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt. År 1900 fanns det ungefär 239 000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär 2 300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden. Bestäm vilket år det för första gången kommer att vara farre än 200 blåvalar om minskningen fortsätter i samma takt. 0/3/0
15) En meter långa vedbitar staplas till en vedhög som har formen av ett rätblock. Ovansidan och kortsidorna av vedhögen täcks med presenning, grönmarkerat i figuren nedan. Bestäm vedhögens bredd x och höjd h då presenningens area är 10 kvadratmeter och högens volym är så stor som möjligt. 0/3/0 16) Experiment har Visat att det behövs ungefär ett tunnland jordbruksmark per person för att ge föda åt jordens befolkning. Är 1950 var jordens befolkning ungefär 2,5 miljarder och 1980 uppgick den till 4,6 miljarder. Om vi antar att befolkningen växer exponentiellt Ökar också behovet av jordbruksmark exponentiellt. Jorden har ungefär 9 miljarder tunnland jordbruksmark. Från och med vilket år räcker inte marken till för att försörja jordens befolkning enligt denna modell? 0/4/0 17) Visa att triangelns area är (3 + 2\/3) cm2. BV (x+2) 0/l/2
18) Bestäm de imaginära rötterna till andragradsekvationen f = 0 \ a i 0/0/3 19) Bestäm alla Värden på a som gör att ekvationen 2:122 + am = -18 får två olika reella rötter. O/O/3 20) Lôs ekvationen 3 V m2 4 : (a: + l) (a: l) 0/1/3
Bediimningsanvisningar 1) :122 + 1 Pobôrjad lôsning, tex. eleven använder konjugatregeln +EB Fullständig lösning med korrekt svar +131, 2) b) A=10y och B=5 Båda korrekt angivna. 3m och 2 En korrekt angiven. Ytterligare en korrekt angiven. + EPL + EPL + EPL 3) 9902 Korrekt svar. +CP 4) Största möjliga faktor är 4x. Godtagbart svar. +ER (-1, -4) Korrekt svar +133 X = -1 Korrekt svar +13B Korrekt svar +133
6) x1 = 8, 332 = 2 b) Godtagbar bestämning av en rot. Godtagbar bestämning av ytterliggare en rot. x1 = 0, :132 = 4 Godtagbar bestämning av en rot. Godtagbar bestämning av ytterliggare en rot. m1 = 373 och :02 = -31 Pâbôrjar en lôsning, t.ex. gôr omskrivningen \/T9 = 9z'2 med. korrekt svar +131, +131, +EB +13}, 7) b) :Jc1= 5,w2=9 Godtagbar ansats, sätter in värden korrekt i formeln för lösning av andragradsekvationer eller motsvarande för kvadratkomplettering med i Övrigt godtagbar lösning med korrekt svar. m1 = Û, Œg : 1 Godtagbar ansats, t ex korrekt omskrivning till m2 + æ = 0 med i ôvrigt godtagbar lösning med korrekt svar. V +cp +CP 8) b) :I: = i9z' Korrekt svar + redovisad lösning. m1 = 5 m2 : 3 Korrekt bestämning av en rot. Korrekt bestämning av båda rötterna. Icke reella rätter får vi 0m det blir negativt under rottecknet. Då inför vi de imaginära talen för att kunna lösa ekvationen. Betecknas med ett il Godtagbart svar. Använder ett korrekt matematiskt språk som till exempel imaginära tal eller komplexa tal. +EB "l" CK
?ID + '1311111-9 12d sn1991u11111111031 1193111us9q 112As 1112q3n1p03 p9111 311111s01 112q3121p03 1811110 1 pew 00179000685 = 008Z W01>I9JS3 I1PU3? ag; A12 311111111131s9q 191 1101112/1319131911031119 1121131991 x9 1 s112s1112 112q3121p0g ssozw (vt 90+ 80+ 1ms 1319110}1 3121301 p9111 131911031 811111/111>1s1110 11031211 10g 991+ 83+ 1ms 1319110)} 19111191 121319110315 1s1111^1 Z (q 0 (s1 "EH 113+ ÿ} = a: S 1ms 131911031 g : x JBAS 1319110)} _œ 251 _ 951 (q (zi 33+ 2= 000131119 1190 z = 00181 1112 1219110391 s11119du19x9 1112 11101193 2119p 1121911110111 119119151 ma! mi J!9'I (11 30+ 80+ '1311111-9 119 12d pl>190111n111111031 811119111101/11 '.I13AS J,}[9.I.IO}I (01 HO + (IO + ÏKÏH + '1;/\1u-;) çd p1219o11111111111031 811111sçr1 1ms 1911181112 131911031 1190 1119391s3u1191p12A31 1211111 3111193101319; 131911051 's12d1111_211111231s 111939193111191112/1311112 19s111 s112s1112 112q3121p09 T7+95Z (6
15) x=5m h=l5m Godtagbar ansats, tex. ställer upp sambandet h = 10 œ 2 2 bildar volymfunktionen, V = 5a: m?, och gör en ansats att ta reda på symmetrilinj en korrekt svar med en lösning som presenteras på C-nivå. +CM + CPL + CK 16) 2013 Redovisar godtagbar ansats, t ex genom att ställa upp ekvationen 2,5m = 4,6. Lôser ekvationen på ett godtagbart sätt. Ställer upp sambandet 2, 5-1, 021t = 9 eller motsvarande med ett godtagbart svar. + CPL + CP + CM +c 17) Påbörjad lösning. T.ex ställer upp m2 + (a: + 2)2 = (2m2) Korrekt uppsatt uttryck for triangelns area även om det inte är korrekt förenklat. _ (1+fi)-((1+fi)+2) _ Korrekt lösning 2 + CPL 'l' APL +AP 1s) m2 = 2i och m2 = 2i Ansats till att lôsa problemet, t ex ställer upp ett ekvationssystem. Beskriv parabeln med funktionen f = :v2 + 4. Korrekt svar med en tydlig lösning. + APL + AM +AK 19) a1 >12 (l2 < 12 2 Godtagbar ansats, till exempel inser att diskriminanten NIB ( ) q > 0 Kommer fram till en lösning Inser att olikhetstecknet behöver vändas för den negativa lösningen. + AB + APL +AR
20) m1=-20chm2=2 Ansats som kan leda till korrekt lösning. \/:1:2 =:c2 1 3 Korrekt Substitution eller korrekt kvadrering. 332-42152 eller 21:2- =a:4 8m2+16 Korrekt lösning till fjädegradsekvationen æ = fi och æ = i2 Med uteslutning av falska röterna +01, + APL + APL +AR