Matematik med litet logik

Matematik med litet logik Ralph-Johan Back (gemensamt arbete med Joakim von Wright) Åbo Akademi, Institutionen för Informationsbehandling TUCS - Turku Centre for Computer Science 14 oktober 2005 TUCS/Åbo Akademi

Matematiska bevis Bevis är centrala för förståelsen av matematik Med ett bevis är ett matematiskt teorem en självklarhet, utan bevis en magisk formel Men bevis anses vara svåra och undviks i gymnasiematematiken Bevisen som ges är informella och intuitiva Mera exakt och formell notation används inom vissa områden, t.ex. lösning av ekvationer och förenkling av algebraiska uttryck TUCS/Åbo Akademi 1

Logik och bevis Ett matematiskt bevis är en logisk argumentation Men logisk notation används inte i större utsträckning i gymnasiet, och logiska inferensregler ges inte explicit När logik undervisas, behandlas det som ett separat ämne, inte som ett hjälpmedel för att lösa matematiska problem Det som behövs är praktisk logik för matematiska bevis och matematisk argumentation TUCS/Åbo Akademi 2

Praktisk logik och programmeringsmetodik Calculational derivations (linjära härledningar) är en paradigm för att utföra bevis som vuxit fram inom ett område av datateknik som kallas programmeringsmetodik. Utvecklat av E.W. Dijkstra och hans kolleger (Wim Feijen, Nettie van Gasteren, mm). En bok av David Gries och Fred Schneider beskriver metoden och används på universitetsnivå. Strukturerade härledningar är en vidareutveckling av kalkylerade härledningar, som Joakim von Wright och jag utvecklat. TUCS/Åbo Akademi 3

Exempel på en linjär härledning Distributionsregel för snitt och union: v A (B C) {definition av snitt} v A v B C {definition av union} v A (v B v C) {distribution av logiska konnektiver} (v A v B) (v A v C) {definition av union och snitt} v (A B) (A C) TUCS/Åbo Akademi 4

Linjära härledningar Startuttrycket transformeras steg för steg Varje ny version av uttrycket skrivs på egen rad Mellan raderna skrivs relationen mellan uttrycken + en motivation för varför relationen gäller Noggrannheten i stegen kan varieras; det sista steget här mostvarar två steg i början TUCS/Åbo Akademi 5

Fördelar Formatet tvingar studenten att explicit ange motiveringen för varje steg i härledningen En härledning är lättare att förstå, och lättare att kolla när motivationen för varje steg är givet En intial grovare lösning kan förfinas och göras mera exakt Metoden stöder självstudier Lättare att ge datorstöd för konstruktion, kontroll och läsning av linjära härledningar TUCS/Åbo Akademi 6

Förutsättningar En förståelse av logikens grunder behövs, propositions- och predikatlogik Det egentliga behovet av logik är relativt litet och matematiskt ganska trivialt En grundläggande dos i praktisk logik nyttig i sig själv TUCS/Åbo Akademi 7

Strukturerade härledningar Strukturerade härledningar en vidareutveckling av linjära härledningar Stöder explicita delhärledningar, användningen av antaganden i bevis mm De bildar ett fullständigt system for logiska härledningar, ekvivalent med Gentzen liknande bevissystem för högre ordningens logik Strukturerade härledningar utvecklade i vår bok, Refinement Calculus: A Systematic Introduction, Springer Verlag 1998. Ett stort antal bevis har utförts som strukturerade härledningar i boken Vi visar i det följande med exempel hur strukturerade härledningar fungerar i gymnasiematematiken TUCS/Åbo Akademi 8

Lösa ekvationer Traditionellt angreppssätt: Varje ny version av ekvationen på egen rad, indicera vilken operation som utförts för att erhålla nästa version 2x + 3 = 5 3 2x = 2 /2 x = 1 Om sista raden är av formen 0 = 0, så har ekvationen oändligt många lösningar Om sista raden är av formen 0 = 1, så har ekvationen inga lösningar TUCS/Åbo Akademi 9

Ekvationslösning med linjära härledningar 2x + 3 = 5 {subtrahera 3 från båda sidorna} 2x = 2 {dividera med 2} x = 1 Den logiska kopplingen (ekvivalens) mellan uttrycken skrivs explicit Motiveringen skrivs bredvid ekvivalenssymbolen Transitivitet ger slutresultatet 2x + 3 = 5 x = 1 Sista uttrycket är en lösning för att den är skriven i enkel form, där man direkt ser värdet på x. Ekvationslösning är förenkling. TUCS/Åbo Akademi 10

Härledningar med sanningsvärden 1 We introducerar sanningsvärdena T (sant) och F (falskt). 2x + 3 = 2x {subtrahera 2x från båda sidorna} 3 = 0 {olika heltal} F 2x + 3 = 2x F visar att ekvationen är falsk för alla värden på x ( ekvationen har inga lösningar ) TUCS/Åbo Akademi 11

Härledningar med sanningsvärden 2 2x = 2(x + 1) 2 {förenkla högra sidan} 2x = 2x {dividera med 2} T Här drar vi den slutsatsen att ekvationen 2x = 2(x + 1) 2 gäller för alla värden på x TUCS/Åbo Akademi 12

Ekvationslösning Ekvationslönsing följer ett enkelt mönster: Vi manipulerar den ursprungliga ekvationen med ekvivalensbevarande transformationer Vi försöker nå en ekvation som är så enkel som möjlig Uttryck av formen x = 5, F och T är tillräckligt enkla, de visar lösningen TUCS/Åbo Akademi 13

Disjunktion och konjunktion x(x 2) = 3(x 2) {subtrahera 3(x 2) från båda sidorna} x(x 2) 3(x 2) = 0 {distributivitet} (x 3)(x 2) = 0 {nollprodukt regeln: ab = 0 a = 0 b = 0} x 3 = 0 x 2 = 0 {lägg till 3 på båda sidorna i vänstra ekvationen} x = 3 x 2 = 0 {lägg till 2 på båda sidorna i högra ekvationen} x = 3 x = 2 TUCS/Åbo Akademi 14

Diskussion Den ursprungliga ekvationen ekvivalent med det logiska uttrycket x = 3 x = 2 Detta kan tolkas som att ekvationen har två lösningar Om ekvationslösningen delas upp i två separata härledningar, en för x 3 = 0 och en för x 2 = 0, kan detta leda till osäkerhet om hur de här två lösningarna är relaterade Detta problem blir värre om det finns mer än en obekant, och om vissa delekvationer inte har lösningar Explicita logiska kvantorer undviker även problemet med ± notationen; bättre att skriva x = 1 x = 3 än x = 2 ± 1. TUCS/Åbo Akademi 15

Exempel 2 (x 1)(x 2 + 1) = 0 {nollproduktregeln} x 1 = 0 x 2 + 1 = 0 {lägg till 1 på båda sidorna i vänstra disjunkten} x = 1 x 2 + 1 = 0 {lägg till 1 på båda sidorna i högra disjunkten} x = 1 x 2 = 1 {en kvadrat är aldrig negativ} x = 1 F {regel för konnektiver} x = 1 TUCS/Åbo Akademi 16

Kommentarer Kopplingen mellan de två delekvationerna är explicit, och det sista steget använder en vanlig logisk regel Regler som p F = p, p F = F, etc blir lika självklara som x + 0 = x eller x 0 = 0 med litet övning Hela härledningen hålls samman som en enda härledning med hjälp av de logiska konnektiverna. Det ursrpungliga uttrycket transformeras stegvis till ett uttryck som visar lösningen explicit. TUCS/Åbo Akademi 17

Graden av noggrannhet Vi har valt en viss grad av noggrannhet i härledningarna ovan I en mycket detaljerad härledning motiveras stegen med specifika regler ( nollproduktregeln ), i mindre detaljerade härledningar är motiveringarna mera generella strategier ( lös ekvationen ). I de fall där man ger en mindre detaljerad härldning tänker man sig att det finns en mera deteljerad härledning, men att den inte visas TUCS/Åbo Akademi 18

Delhärledningar En regel som utnyttjas i ett bevissteg kan härledas i en skild delhärledning Alternativt så kan vi ge en delhärledning inom den pågående härledningen: Vi indenterar delhärledningen ett steg till höger Den skrivs direkt efter motiveringen för steget Markeras med eller rubrik Slutet av delhärledningen indiceras med... Om delhärledningen etablerar ett allmännare resultat, som kan användas på andra ställen, är det bättre med ett lemma, är den specifik för härledningen och kort, är det bättre med delhärledning TUCS/Åbo Akademi 19

Exempel Vi väljer som exempel följande problem: För vilka värden på x är uttrycket x 1 x 2 2 definierat Vi väljer påståendet som utgångspunkt, och försöker manipulera det tills vi får en karakterisering av x värden på ett enkelt sätt. TUCS/Åbo Akademi 20

Lösning (x 1)/(x 2 1) är definierat {villkoret för att ett rationellt uttryck skall vara definierat} x 2 1 0 {övergå till logisk notation} (x 2 1 = 0) {lös ekvationen} x 2 1 = 0 {faktorisering} (x + 1)(x 1) = 0 {nollproduktregeln} x = 1 x = 1... (x = 1 x = 1) {de Morgans lagar} (x = 1) (x = 1) {ändra notation} x 1 x 1 TUCS/Åbo Akademi 21

Diskussion Det här visar att uttrycket är definierat för alla värden x utom 1 och 1 Vi löste här ekvationen x 2 1 = 0 i en delhärledning Användningen av logiska konnektiver och de Morgans regler visar explicit hur man når fram till de två förbjudna värdena Delhärledningen fokuserar på ett deluttryck, och räknar ut en egenskap hos delluttrycket Den logiska regeln som används här är substitution av lika för lika: s t u[s] u[t] Med det här undviker man att kopiera text som blir oförändrad i manipulationen TUCS/Åbo Akademi 22

Gömma delhärledningar Vi kan gömma delhärledningen: (x 1)/(x 2 1) är definierat {villkoret för att ett rationellt uttryck skall vara definierat} x 2 1 0 {övergå till logisk notation} (x 2 1 = 0) {lös ekvationen}... (x = 1 x = 1) {de Morgans lagar} (x = 1) (x = 1) {ändra notation} x 1 x 1 Här visar... att en delhärledning är gömd. TUCS/Åbo Akademi 23

Fokusering med lokala antaganden När vi utför delhärledningen, så kan vi lägga till lokala antaganden som följer av sammanhanget: När vi fokuserar på b i a b, så kan vi lägga till a som ett lokalt antagande När vi fokuserar på b i a b, så kan vi lägga till a som ett lokalt antagande När vi fokuserar på b i a b, så kan vi lägga till a som ett lokalt antagande Vi visar de lokala antaganden i början av delhärledningen (inom hakparenteser). TUCS/Åbo Akademi 24

Exempel x 1 + 2x y = 0 {egenskaper hos absoluta värden} x 1 = 0 2x y = 0 {lägg till 1 på båda sidorna till vänster} x = 1 2x y = 0 {förenkla högra konjunkten} [x = 1] 2x y = 0 {substituera värdet på x} 2 y = 0 [lös ekvationen} y = 2... x = 1 y = 2 TUCS/Åbo Akademi 25

Diskussion Lösningen x = 1 y = 2 kan även skrivas som { x = 1 y = 2 Den här notationen har en implicit konjunktion, men det är bättre att skriva ut den explicit. Ett liknande skrivsätt används för lösningarna till en andra grads ekvation, { x1 = 1 x 2 = 2 men här är den implicita konnetorn disjunktion, här avses x = 1 x = 2. TUCS/Åbo Akademi 26

Fönsterinferens De här reglerna kan beskrivas som inferensregler. Den två första reglerna är t.ex. Φ,t s t Φ u a u t Φ, t s t Φ u a u t Här är t ( t) det lokala antagandet i beviset av s t, medan Φ är de globala antagandena som är i kraft i beviset. En samling av inferensregler av det här slaget ( fönsterinferens ) är mycket användbar i strukturerade härledningar TUCS/Åbo Akademi 27

Ett minimeringsproblem x 2 x 6 når sitt minsta värde {skriv om i kvadratisk form} x 2 x 6 = {komplettera kvadraterna} x 2 x + 1 4 6 1 4 = (x 1 2 )2 25 4... (x 1 2 )2 25 4 når sitt minsta värde {konstanta termer inverkar inte på minimits position} (x 1 2 )2 når sitt minsta värde {minsta värdet för en kvadrat är 0} x 1 2 = 0 {lägg 1 2 x = 1 2 till båda sidorna} TUCS/Åbo Akademi 28

Diskussion Vi kan använda informella uttryck som delar av ett uttryck Vi gör här ett antal implicita antaganden om extremvärden för uttryck. Utan dessa antaganden borde vi börja med ett mera komplicerat uttryck, som ( y y 2 y 6 x 2 x 6) På den yttersta nivån har vi ekvivalens, men på den inre nivån likhetsrelationen. Vi kan även använda andra transitiva relationer, såsom implikation, ordningsrelationer, mm. TUCS/Åbo Akademi 29

Fokusering med monotonicitet Vi kan använda monotonicitet vid fokusering Antag t.ex. att vi vill transformera ett aritmetiskt uttryck av formen t s under relation. Vi kan fokusera på t och visa att t t, varav följer t s t s. Vi kan fokusera på s och visa att s s, varav följer t s t s. Inferensreglerna är här Φ t t Φ t s t s Φ s s Φ t s t s TUCS/Åbo Akademi 30

Exempel med epsilon-delta Vi visar att funktionen f (x) = 2x är uniformt kontinuerlig För att kunna uttrycka kontinuitet behövs (nästlade) kvantorer Reglerna som används är i princip formaliseringar av de vanliga reglerna för att hantera kvantorer I exemplet behöver vi specifikt regeln för - introduktion (man visar existens genom att ge ett vittne) Φ t[s/x] Φ ( x t) TUCS/Åbo Akademi 31

Beviset f är uniformt kontinuerlig {definition av uniform kontinuitet} ( ε ε > 0 ( δ δ > 0 ( x,y x y < δ x > y f (x) f (y) < ε))) {fokusera på slutsatsen, ersätt i ett monotont kontext} [ε > 0] ( δ δ > 0 ( x,y x y < δ x > y f (x) f (y) < ε)) {fokusera innanför kvantorerna, visa att δ ε/2 f (x) f (y) < ε}... ( δ δ > 0 ( x,y x y < δ x > y δ ε/2)) { - introduktionsregeln, vitnet för δ är ε/2 } ε/2 > 0 ( x,y x y < ε/2 x > y ε/2 ε/2)) {förenkla med hjälp av antaganden} T... ( ε ε > 0 T ) {förenkla med basregler för kvantorer och konnektiver} T TUCS/Åbo Akademi 32

Delbeviset Det gömda steget är [δ > 0,x y < δ,x > y] f (x) f (y) < ε {definitionen av f } 2x 2y < ε {förenkla med hjälp av antaganden} x y < ε/2 {antagandena och transitivitet} δ ε/2 TUCS/Åbo Akademi 33

Diskussion Exemplet illustrerar nästlade delhärledningar. Exemplet illustrerar även baklänges inferens (omvänd implikation bevaras i härledningen). Detta är ett exemple på ett målinriktat bevis, vi försöker reducera ett givet påstående till T. Om vi kan bevisa t T, så gäller t. De nästlade kvantorerna kräver i princip skilda fokuseringar, en för varje kvantor. Här har flera fokuseringar slagits samman. Samma schema kan användas för att bevisa uniform kontinuitet för vilken funktion som helst. Endast den innersta härledningen behöver göras om. Exemplet visar varför epsilon-delta metoden är komplicerad: här används 3 nästlade kvantorer. Om inferensreglerna är implicita, är det mycket svårt att argumentera intuitivt med ett komplicerat uttryck som det här. TUCS/Åbo Akademi 34

Problem med långa nästlade uttryck f är uniformt kontinuerlig {definition av uniform kontinuitet} ( ε ε > 0 ( δ δ > 0 ( x,y x y < δ x > y f (x) f (y) < ε))) {fokusera på slutsatsen, ersätt i ett monotont kontext} [ε > 0] ( δ δ > 0 ( x,y x y < δ x > y f (x) f (y) < ε)) {fokusera innanför kvantoren} [δ > 0,x y < δ,x > y] f (x) f (y) < ε {definitionen av f } 2x 2y < ε {förenkla med hjälp av antaganden} x y < ε/2 {antagandena och transitivitet} δ ε/2 TUCS/Åbo Akademi 35

... ( δ δ > 0 ( x,y x y < δ x > y δ ε/2)) { - introduktionsregeln, vitnet för δ är ε/2 } ε/2 > 0 ( x,y x y < δ x > y ε/2 ε/2)) {förenkla med hjälp av antaganden} T... ( ε ε > 0 T ) {förenkla med basregler för kvantorer och konnektiver} T När härdelningarna går över flere sidor, kan det vara svårt att se hur indenteringen fungerar Kan dela upp härledningen i mindre delar, som var och en ryms på en sida Kan ha en editor som kan gömma delhärledningarna Kan ha indikation i vänstra marginalen som visar indenteringsnivån Kan använda lemman Kan visa härledning och delhärledning sida vid sida TUCS/Åbo Akademi 36

Exempel på alternativ beskrivning TUCS/Åbo Akademi 37

f är uniformt kontinuerlig {definition av uniform kontinuitet} ( ε ε > 0 ( δ δ > 0 ( x,y x y < δ x > y f (x) f (y) < ε))) {fokusera på slutsatsen, monotont kontext} [ε > 0] ( δ δ > 0 ( x,y x y < δ x > y f (x) f (y) < ε)) {fokusera innanför kvantorerna,}... ( δ δ > 0 ( x,y x y < δ x > y δ ε/2)) { - introduktionsregeln, vittnet ε/2 } ε/2 > 0 ( x,y x y < ε/2 x > y ε/2 ε/2)) {förenkla med hjälp av antaganden} T... ( ε ε > 0 T) {förenkla } T [δ > 0,x y < δ,x > y] f (x) f (y) < ε {definitionen av f } 2x 2y < ε {förenkla med antaganden} x y < ε/2 {antagandena och transitivitet} δ ε/2 TUCS/Åbo Akademi 38

Fördelarna med strukturerade härledningar Lättare att konstruera och förklara härledningar under lektionen Lättare att förstå härledningar och bevis efter lektionen, vid självstudie Enklare och enhetligare logik-baserad notation Enklare och enhetligare begreppslig bas för matematiska härledningar Explicita regler visar vilka steg som är tillåtna Enklare att kontrollera och ge vitsord för härledningar Bra stöd för web-baserad undervisning i matematik Nästlade härledningar kan selektivt visas och gömmas TUCS/Åbo Akademi 39

Projekt Metoden har prövats på en större samling studentexamensuppgifter (lång matematik) Hela gymnasiekursen i matematik har förelästs med hjälp av strukturerade härledningar (Kuppis gymnasium i Åbo, Mia Peltomäki). Jämförande studie med en kontrollgrupp som undervisats på vanligt sätt. Gymnasiet har 3 år, med 12-13 kurser i matematik. En kurs Logik och problemlösningsmetoder har undervisats som specialkurs i gymansiet (Joakim von Wright, Vasa övningsskola i Vasa) Joakim och jag har skrivit en bok över metodiken: Matematik med litet logik: Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken. Bokens manuskript finns nu på svenska och engelska, översättning till finska är på gång. TUCS/Åbo Akademi 40

Erfarenheter från Kuppis Strukturerade härledningsgruppen klarat sig mycket bra i jämförelse med kontrollgruppen Gradering av kurser på skalan 5-10 (5 godkänd, 10 bäst). Strukturerade härledningsgruppen haft i medeltal vitsordet 9 över alla kurser, kontrollgruppen vitsordet 7. Strukturerade härledningsgruppen var i början bättre än kontrollgruppen (skillnaden cirka 1) och läraren var även bättre (skillnaden cirka 1). Statistiskt kan vi säga att det åtminstone inte leder till sämre resultat om man använder strukturerade härledningar Kurserna med strukturerade härledningar led av brist på ordentligt studiematerial (endast mycket preliminära kompendier kunde användas) Goda erfarenheter även från andra projekten. TUCS/Åbo Akademi 41

Hur introducera strukturerade härledningar i gymnasiet Man kan inte experimentera fritt med gymnasie-eleverna (oroliga föräldrar, osäkra lärare) Stukturerade härledningar är tillåtna i gymnasiematematiken i Finland, tillstånd av studentexamensnämnden Kan introducera metoden genom en frivillig kurs i logik och talteori, baserad på vår bok. En tillvalskurs kan ges på det här området tidigt i gymnasiet, t.ex. första året Kan lämpa sig t.ex. för att göra lärarna mera bekanta med metodiken. Lärarna kan sedan utnyttja metodiken i övrig undervisning, i den utsträckning som de känner sig säkra på metoden och dess fördelar TUCS/Åbo Akademi 42

Slutsatser Vi har visat hur man kan använda strukturerade härledningar för att lösa typiska problem i gymnasiematematiken Formatet tillåter att vi går från problemformulering till lösning i en enda enhetlig strukturerad härledning, där varje steg motiveras noggrant Härledningen kan inspekteras och kontrolleras av andra utan större svårighet Noggrannheten i beviset kan anpassas efter behov Vi kan bygga upp härledningen top-down (starta från problemet) eller bottom-up (starta med att bevisa nyttiga lemman) Formatet lämpar sig väl för olika slag av datorbaserat stöd. Metoden har prövats i praktiken, och visat sig fungera bra. TUCS/Åbo Akademi 43

Matematikuppgift på 1950-talet En skogshuggare säljet virke för 100 mark. Hans produktionskostnader är 4/5 av priset. Hur mycket får han i vinst? TUCS/Åbo Akademi 44

Matematikuppgift på 1960-talet En skogshuggare säljer virke för 100 mark. Hans produktionskostnader är 4/5 av priset, dvs 80 mark. Hur mycket får han i vinst? TUCS/Åbo Akademi 45

Matematikuppgift på 1970-talet En skogshuggare byter en mängd V av virke mot en mängd P av pengar. Mängden P har 100 element. Varje element har värdet 1 mark. Rita 100 punkter för att illustrera mängden P. Mängden av produktionskostnader K har 20 element mindre än mängden P. Visa mängden K som en delmängd av mängden P och svara på följande fråga: Hur många element finns det i den mängd som beskriver vinsten? TUCS/Åbo Akademi 46

Matematikuppgift på 1980-talet En skogshuggare säljer virke för 100 mark. Hans produktionskostnader är 80 mark och hans vinst är 20 mark. Uppgift: sträcka under talet 20. TUCS/Åbo Akademi 47

Matematikuppgift på 1990-talet En skogshuggare förtjänar 20 mark genom att fälla träd i en vacker skog. Vad anser du om det här sättet att förtjäna uppehället? Diskussionsämne för klassen efter att uppgiften blivit utförd: Hur kändes det för skogens fåglar och ekorrar när skogshuggaren fällde träden? TUCS/Åbo Akademi 48

Matematikuppgift på 2000-talet En skogshuggare säljer ett lass virke för 100 euro. Hans produktionskostnader är 120 euro. Hur stort stöd bör han få när vinsten skall vara 20 euro, och bokföringsbyrån skall ha 60 euro? TUCS/Åbo Akademi 49