Matematik med lite logik

Transkript

1 Ralph-Johan Back Matematik med lite logik Strukturerade härledningar som allmänt bevisformat Turku Centre for Computer Science IMPEd Resource Centre TUCS Lecture Notes No 9, Oct 2008

2

3 Matematik med lite logik Strukturerade härledningar som allmänt bevisformat Ralph-Johan Back Oktober 2008, Åbo, Finland Copyright Ralph-Johan Back All rights reserved TUCS Lecture Notes Nr 9 IMPEd Series

4

5 Förord Strukturerade härledningar är en metodik för att konstruera matematiska bevis och härledningar. Metodiken har prövats i ett antal undervisningsexperiment på gymnasie- och högskolenivå, med goda undervisningsresultat. Metoden bygger på ett fast format för hur en matematisk härledning skall se ut, samt på användning av enkel logik i härledningarna. Det fasta formatet gör att härledningarna är relativt lätta att förstå och överblicka, och underlättar även kontroll av att bevisen är riktiga, både för den som själv utför beviset och för den som läser beviset. Vi beskriver här kortfattat strukturerade härledningar, och ger en allmän syntax och semantik för metodiken. Strukturerade härledningar kan ses som en syntes av tre olika bevisstilar: Hilbert-liknande framåtgående bevis, Gentzenliknande bakåtgående bevis samt Dijkstra-liknande kalkylerande bevis. Vi visar att strukturerade härledningar har samma uttryckskraft som Gentzen-liknande bevis, genom att visa att varje strukturerad härledning kan reduceras till ett ekvivalent Gentzen-liknande bevis och omvänt, att varje Gentzen-liknande bevis kan ses som en strukturerad härledning. Matematik med logik Den här publikationen är en del i en serie som beskriver strukturerade härledningar och deras tillämpning i matematikundervisningen. För tillfället har följande publikationer utkommit i den här serien: Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken (Back, von Wright [7]) En kort kurs i talteori (Back, von Wright [6]) Studentexamen i lång matematik, våren 2003 (Back, von Wright [8]) Introduktion till strukturerade härledningar (Back [1]) Logik för strukturerade härledningar (Back [2]) Strukturerade härledningar som allmänt bevisformat (Back [3]) Vi hänvisar till de övriga publikationerna i den här serien för att få en mera mångsidig uppfattning om den här metoden och dess användning i praktiken. Tackord Arbetet med att utveckla strukturerade härledningar och experimenten med att använda metoden i undervisningen har skett i nära samarbete med medlemmarna i Learning and Reasoning laboratoriet, ett forskningslaboratorium som är gemensamt för Åbo Akademi och Åbo Universitet. Speciellt vill jag tacka följande personer för en mängd givande och intressanta diskussioner om 3

6 metoden och bidrag till metodens utveckling (listan är i alfabetisk ordning): Stefan Asikainen, Johannes Eriksson, Tanja Kavander, Linda Mannila, Martin Nylund, Mia Peltomäki, Viorel Preoteasa, Teemu Rajala, Tapio Salakoski, Petri Sallasmaa, Fredrik Sandström, Patrick Sibelius, Solveig Wallin och Joakim von Wright. Forskningen har finanasierats av Finlands Akademi, inom ramen för projektet Center of Excellence in Formal Methods in Programming, samt av Teknologiindustrin, inom ramen för dess 100 års jubileumsfond. 4

7 Innehåll 1 Introduktion 7 2 Strukturerade härledningar 9 3 Gentzen-liknande bevissystem 15 4 Strukturerade härledningar och Gentzen-liknande bevis 23 5 Syntes av olika bevisstilar 29 5

8 Innehåll 6

9 1 Introduktion Vi ger i den här artikeln en översikt av strukturerade härledningar som ett format för matematiska bevis och härledningar. Formatet tillåter noggranna bevis av vanliga matematiska påståenden med en liten dos logik. Avsikten är att bevisen som konstrueras skall vara lätta att förstå och överblicka, och att det skall vara lätt att kontrollera om bevisen är riktiga, både för den som själv utför beviset och för den som läser beviset för första gången. En central målsättning med strukturerade härledningar är att öka användningen av formell logisk argumentering och matematiska bevis på gymnasieoch högskolenivå. Det här sker på två olika plan. Dels skrivs strukturerade härledningar med ett fast bevisformat, en syntes av Dijkstras linjära härledningar, Hilbert-liknande bevissystem och Gentzen-liknande bevissystem. Dels så använder vi logisk notation och logiska slutledningsregler på samma sätt som vi använder aritmetik och algebra, som ett systematiskt och logiskt sätt att räkna fram resultat. Strukturerade härledningar bygger vidare på en tradition som initierats av Edsger W. Dijkstra, en av de stora pionjärerna i datateknisk forskning. Dijkstra och hans kolleger (Wim Feijen, Carel Scholten och Nettie van Gasteren) koncentrerade sig på att göra matematiska bevis både enkla och exakta. De utvecklade en notation som i branschen går under namnet calculational proof [9, 14, 10]. En exakt översättning skulle vara kalkylliknande bevis, men vi har valt att kalla dem linjära härledningar eller beviskedjor på svenska. Avsikten var att matematiska bevis och härledningar skulle vara mera likt beräkningar, som när man löser ekvationer, förenklar uttryck eller utför multiplikation och division för hand. Det här målet uppnås genom att utnyttja logik som en samling räkneregler som används för att bestämma sanningen av matematiska påståenden. Dijkstras bevisteknik har utvecklats inom det datatekniska forskningsområde som kallas programmeringsmetodik (eller formella metoder i programmering). Ett centralt tema inom detta forskningsområde är hur man skall bevisa att ett program är matematiskt korrekt. En ansenlig skara av forskare inom det här området har under de senaste åren övergått till att använda Dijkstras kalkylerande sätt att utföra matematiska bevis i sina publikationer, och metoden kan med fog sägas bilda en standard i dag inom det här forskningsområdet. David Gries och Fred Schneider har även studerat och propagerat för 7

10 1 Introduktion användningen av den här metoden i matematikundervisning [11, 13] och har publicerat en bok om hur metoden kan användas för undervisning av logik och diskret matematik vid universitetet [12]. Joakim von Wright och jag utvecklade strukturerade härledningar som en vidareutveckling av Dijkstras linjära härledningar. Metoden har ursprungligen presenterats i vår bok om refinement kalkylen [5] samt i en tidskriftspublikation [4]. I boken utnyttjar vi strukturerade härledningar för ett stort antal mer eller mindre komplicerade bevis inom programmeringslogiken. Dijkstras linjära härledningar baserar sig på en variant av första ordningens predikatkalkyl och på ett Hilbert-liknande bevissystem, medan vi har byggt upp strukturerade härledningar kring en klassisk standardlogik, en så kallad högre ordningens logik, och på ett Gentzen-liknande bevissystem. Strukturerade härledningar har vidareutvecklats efterhand, och den version som presenteras här tillåter även Hilbert-liknande bevis. Vi kan därför se metoden som en syntes av klassiska Gentzen-liknande bevis, Hilbert-liknande bevis och Dijkstras linjära härledningar. Strukturerade härledningar är en praktisk teknik för att konstruera bevis som är rigorösa, men som inte kräver att den underliggande teorien är totalt axiomatiserad. Bevisens riktighet är då beroende av att argumenteringen i den underliggande teorin stämmer. Om så är fallet, har vi ett korrekt bevis. Det här ger oss en separation mellan å ena sidan tekniken för att skriva ner bevis och å andra sidan axiomatiseringen av den underliggande teorin. Den här separationen gör att strukturerade härledningar kan användas på vilket område som helst inom matematiken. Vår avsikt här är att definiera syntax och semantik för strukturerade härledningar. Vi börjar med att i kapitel 2 beskriva strukturerade härledningar, med speciell focus på hur man skriver strukturerade härledningar och hur man använder dem. I kapitel 3 ger vi sedan en snabb överblick av Gentzen-liknande bevissystem. I kapitel 4 definierar vi semantiken för strukturedare härledningar, genom att visa hur varje strukturerad härledning kan reduceras till ett ekvivalten Gentzen-liknande bevissystem. I det sista kapitlet visar vi sedan hur strukturerade härledningar kan ses som en syntes av tre centrala bevisformat: Hilbert-liknande bevis, Gentzen-liknande bevis samt Dijkstras linjära bevis. 8

11 2 Strukturerade härledningar Strukturerad härledningar erbjuder ett allmänt format för problemlösning. Vi kan använda strukturerade härledningar för att beskriva matematiska påståenden (teorem, lemman, uppgifter) och deras bevis, beräkningsuppgifter, där vi på ett systematiskt sätt vill bestämma något värde, samt konstruktionsuppgifter, där vi på ett systematiskt sätt arbetar fram en matematisk lösning som uppfyller givna randvillkor Vi börjar med att beskriva syntaxen och layouten för strukturerade härledningar. Vi hänvisar till [1] för en mera intuitiv introduktion till strukturerade härledningar, med en samling exempel som illustrerar olika sätt att använda metoden vid matematisk argumentering. Härledning En (strukturerad) härledning består av en uppgift som skall lösas, en samling observationer som utarbetas som en del av lösningen, samt ett bevis som visar hur uppgiften löses. Uppgiften kan vara en logisk utsaga som skall bevisas, en konstruktionsuppgift som skall lösas, eller en beräkningsuppgift, där vi skall bestämma något värde. En härledning har den allmänna formen härledning = uppgift observation 1. observation n [bevis] där n 0. Vi skriver alltså först ner uppgiften, sedan en samling observationer, och slutligen ger vi ett bevis (en lösning) för uppgiften. Om n = 0, så finns 9

12 2 Strukturerade härledningar det inga observationer i härledningen. Vi skriver beviset inom klammer, för att visa att beviset vid behov får lämnas bort. Vi tillåter alltså härledningar som inte har bevis. Syntaxen är avsedd att även stöda härledningar som vi jobbar med som bäst. Då är det helt rimligt att vi har börjat på härledningen, kanske skrivit ner uppgiften och gjort en del observationer, men ännu inte hunnit börja med beviset. En sådan härledning är syntaktiskt riktig (dvs det är en strukturerad härledning), men den är inte fullständig. En härledning är fullständig om den innehåller alla behövliga bevis. En fullständig härledning behöver inte ännu vara korrekt, i betydelsen att alla bevissteg är riktiga. Först om härledningen är korrekt så vet vi att påståendet i härledningen är sant. Uppgift En uppgift består av ett påstående, som vi skall bevisa eller lösa, samt av en samling antaganden som vi får göra när vi löser uppgiften. En uppgift har den allmänna formen uppgift = [påstående] - antagande 1. - antagande n där n 0. När n = 0 så har vi inga antaganden. Klammer runt påståendet visar att det inte nödvändigtvis finns ett explicit påstående i härledningen. Om påståendet saknas, så antar vi att den framgår implicit från själva beviset. Vi har i syntaxbeskrivningen explicit indicerat kolumnerna med vertikala sträck för att det skall vara lättare att förstå syntaxen. Det är emellertid inte meningen att de här sträcken skall skrivas ut i praktiken. Här är påstående och antagande 1,..., antagande n logiska uttryck (logiska utsagor). Uppgiften identifieras vanligen med tecknet. I stället för kan vi ge en mera specifik identifiering av uppgiften, såsom Teorem 3, Uppgift 7a, eller Problem 14. Antagandena identifieras vanligen med symbolen -. I stället för det här kan man ge en mera specifik identifiering av antagandena, såsom [1], [2], [3] eller [a], [b], [c]. En alternativ notation som vi även använt är att skriva antagandena inom klammer, för att klart skilja antagandena från termerna i själva härledningen. Observera att uppgiften skrivs i två kolumner. I den vänstra kolumnen skriver vi specialsymboler, såsom och, medan den högra kolumnen innehåller den egentliga texten. 10

13 Observation En observation består av ett påstående följt av ett argument för varför påståendet gäller. En observation identifieras vanligen med tecknet +. Vi kan även ge en mera specifik identifiering, såsom Lemma 3, Observation 1, eller [1], [2], [3]. Syntaxen är följande: observation = + påstående [argument] Argumentet anger varför påståendet gäller. Vi kan ha ett påstående utan argument. Det här är nyttigt medan vi arbetar med beviset. Ofta är det bra att explicit skriva ner påståenden som man vill utnyttja i beviset, för att sedan bevisa dessa påståenden i ett senare skede, när man vet att de behövs i beviset. En härledning är emellertid inte fullständig innan påståendena i alla observationer bevisats. Bevis Ett bevis har den allmänna formen bevis = [argument] [beviskedja ] [ ] Det inledande argumentet kan lämnas bort i kedjebeviset om det är uppenbart från sammanhanget. Beviset behöver inte heller innehålla en beviskedja överhuvudtaget. Beviset identifieras med tecknet. Bevisets slut anges vanligen med tecknet, men även andra tecken kan användas, t.ex. q.e.d (quad erat demonstrandum, dvs vad som skulle bevisas ). Bevissymbolen innebär att antagandena i uppgiften skall gälla både för beviset och för dess delbevis. I stället för kan vi även använda bevissymbolen 0, om vi vill att uppgiftens antaganden bara skall gälla i beviset, men inte i dess delbevis. Vanligen består beviset av en beviskedja och argument saknas. I vissa fall skriver man argument, om det inte är uppenbart varför beviskedjan bevisar påståendet. Det är även möjligt att ha ett bevis utan beviskedja. I så fall bevisas påståendet direkt av argument, utan stöd av en beviskedja. Vi ger exempel på båda bevisformaten i [1]. 11

14 2 Strukturerade härledningar Beviskedja En beviskedja har den allmänna formen beviskedja = term 0 rel 1 argument 1 term 1. term n 1 rel n argument n term n där n 1. Det måste alltså finnas åtminstone en relationsterm i en beviskedja. Här är rel 1,..., rel n relationssymboler. En term är ett uttryck av någon typ (t.ex. aritmetiskt uttryck, logiskt uttryck eller algebraiskt uttryck). Argument Ett argument består av en motivering samt av en följd av delhärledningar. Motiveringen beskriver varför det påstående som argumentet ansluter sig till är riktigt, om varje delhärledning bevisas. En delhärledning är en härledning i sig själv, dvs vi har en rekursiv definition av bevis. Ett argument har den allmänna formen argument = [ { motivering } ] härledning 1. härledning n där n 0. Om n = 0 så finns det inga delhärledningar. Då bör det finnas en motivering, som direkt förklarar varför uppgiften gäller. Det är även möjligt att det finns delhärledningar men att motiveringen saknas. Det här kan användas i de fall där motiveringen är klar från sammanhanget. Syntaktiska kategorier som inte definieras Den syntax som vi givit ovan lämnar de konkreta detaljerna odefinierade. Tanken är att dessa bestäms av den logiska teori som man arbetar i och den precisionsnivå som man eftersträvar. För att göra syntaxen för strukturerade härledningar fullständig borde man även definiera syntaxen för följande kategorier 12

15 påståenden hur man uttrycker den uppgift som skall lösas eller det påstående som skall bevisas antaganden hur man uttrycker de antaganden som görs i härledningen motiveringar hur man skriver motiveringarna termer vilka slags termer man får använda i härledningar och hur dessa uttrycks relationer vilka relationer får man använda i en härledning Vi lämnar de här kategorierna odefinierade. Då kan vi använda samma bevismetod för bevis inom olika områden av matematiken, och med olika precisionsnivå. Det här gör det möjligt att lösa matematiska uppgifter med strukturerade härledningar utan att behöva överge gängse matematisk praxis vad beträffar notation, regelsamlingar mm på det område dit uppgiften hör. Konstruktion av en strukturerad härledning En strukturerad härledning är en konstruktion som följer strikta regler. Då man löser en uppgift, bör man förutom själva härledningen även ge en allmän diskussion av uppgiften, som beskriver den omgivning i vilken uppgiften löses. Här kan man ge allmänt kända regler (med eventuell motivering) som kommer att användas i härledningen, och även beskriva figurer och diagram som utnyttjas i beviset. I den allmänna diskussionen kan man även göra observationer om uppgiften och om härledningen, avsedda att hjälpa läsaren att bättre förstå vad som skall göras och hur härledningen är konstruerad. Syntaxen för strukturerade härledningar tillåter att man blandar framåt- och bakåtgående bevis, vilket ger större frihet för den som konstruerar beviset. I framåtgående bevis formulerar man först observationer, (påståenden, lemman) som man tror att kan vara till hjälp vid bevis av huvudsatsen. Man kan bevisa dessa observationer direkt, för att vara säker på att de gäller, eller så kan man lämna bevisen till senare, till efter att man konstaterat att observationerna verkligen behövs i beviset. I ett bakåtgående bevis börjar man med att formulera huvuduppgiften, och tar sedan i tu med att bygga upp beviset för den. När man behöver ett resultat för att motivera ett större steg, så bevisar man det på plats, som delhärledning för steget. Alternativt kan man formulera resultatet som en observation, som antingen bevisas direkt eller senare, när man sett att beviset för huvudsatsen går att genomföra med de tilläggsantaganden som man genererat. 13

16 2 Strukturerade härledningar 14

17 3 Gentzen-liknande bevissystem Gentzen-liknande bevissystem bildar den matematiska och logiska basen för strukturerade härledningar. Vi ger här en kort översikt av de här bevissystemen. I nästa avsnitt visar vi sedan hur strukturerade härledningar kan ses som Gentzen-liknande bevissystem med speciell notation och egna konventioner, avsedda att göra det lättare att skriva semi-formella bevis. Logiska utsagor En logisk utsaga säger något som antingen är sant eller falskt, t.ex. det regnar eller temperaturen är 10. En logisk utsaga kan innehålla logiska variabler, såsom x i påståendet x är ett primtal eller x och y i påståendet x 2 + y Då är sanningen vanligen beroende av vilka värden man tilldelar de logiska variablerna. Så är t.ex. utsagan x är ett primtal sann när x = 2 och x = 5, men falsk om x = 4, medan utsagan x 2 + y 2 10 är sann när x = 2, y = 2 men falsk när x = 3, y = 2. En tilldelning av värdet a för den logiska variabeln x skrivs som x := a. I samma tilldelning kan vi ge värden åt flera logiska variabler. Vi skriver då x, y, z := a, b, c (eller x := a, y := b, z := c). Sekventer En sekvent är ett uttryck av formen A 1,..., A m B där A 1,..., A m, B är logiska utsagor, m 0. Utsagorna A 1,..., A m är sekventens antagande och B är sekventens påstående. Antag att x 1,..., x k är de logiska variabler som uppträder i en eller fler av utsagorna A 1,..., A m, B. Intuitivt säger sekventen att om A 1,..., A m alla är sanna för en viss tilldelning x 1 := a 1,..., x k := a k av värden för de logiska variablerna, så är även B sann för samma tilldelning. Vi kan läsa A 1,..., A m B som att av antagandena A 1,..., A m följer påståendet B. Observera att m = 0 även tillåts, så en sekvent behöver inte ha antaganden, dvs den kan vara av formen B. Vi skriver vanligen en sekvent i formen Φ B där Φ = {A 1,..., A m }. Vi tänker på Φ som mängden av påståenden (snarare 15

18 3 Gentzen-liknande bevissystem än som en följd av påståenden), eftersom ordningsföljden av påståendena inte har någon betydelse. B kan även skrivas som B. Slutledningar En slutledning är av formen H 1,..., H n C där H 1,..., H n och C är sekventer, n 0. H 1,..., H n är slutledningens hypoteser och C är slutledningens slutsats. En slutledning behöver inte ha några hypoteser (n = 0). En slutledning utan hypoteser kallas för ett axiom. Intuitivt säger en slutledning att om vi fastställt att H 1,..., H n alla stämmer, så vet vi att även slutsatsen C gäller. Axiomatiskt system Ett axiomatiskt system beskriver vilka slags logiska utsagor som man får skriva ner, och vilka slutledningar man får göra när man resonerar om sanningen av utsagorna. Det finns ett antal olika axiomatiska system, men i praktiken används endast ett fåtal, främst propositionskalkylen, predikatkalkylen, axiomatisk mängdlära, högre ordningens logik samt konstruktiv typteori. Tillsammans täcker de här systemen största delen av dagens matematik. Slutledningsregler Det finns vanligen oändligt många slutledningar som är tillåtna i ett axiomatiskt system. En ändlig mängd av slutledningsregler används för att beskriva alla de tillåtna slutledningarna. En slutledningsregel har formen N : H 1[X],..., H n [X], om V [X] C[X] där n 0. En slutledningsregel skrivs som en slutledning, men kan innehålla syntaktiska variabler X = X 1,..., X h (ofta kallade metavariabler) som står för olika syntaktiska konstruktioner. Vi skriver S[X] för S för att visa att sekventen S kan innehålla metavariabler från X. Slutledningsregelns namn är N. En slutledningsregel kan ha ett villkor V [X] som begränsar användningen av regeln. Slutledningsregeln är ett schema enligt vilket vi konstruerar tillåtna slutledningar. En tilldelning X := E av syntaktiska uttryck E = E 1,..., E h för metavariablerna X = X 1,..., X h i regeln N skrivs som N[X := E], och ger slutledningen N : H 1[E]... H n [E] C[E] dvs vi har ersatt varje förekomst av metavariabeln X i med det syntaktiska uttrycket E i i slutledningsregeln, för i = 1,..., h. Den här slutledningen är 16

19 tillåten, om villkoret V [E] gäller. Det finns vanligen ett oändligt antal syntaktiska uttryck som kan tilldelas metavariablerna. En slutledningsregel kan därför beskriva ett oändligt antal tillåtna slutledningar. Exempel på slutledningsregler Ett exempel på en slutledningsregel är följande transitivitetsregel i aritmetiken: Transitivitet : Φ 1 t R t Φ 2 t R t Φ 1 Φ 2 t R t, om R {=,,, <, >} Regeln säger att för två godtycklig mängder Φ 1 och Φ 2 av antaganden och för varje val av aritmetiska termer t, t, t så gäller följande: om vi kan visa att t R t gäller under antagandena Φ 1 och att t R t gäller under antaganden Φ 2, så får vi dra slutsatsen att t R t gäller under antagandena Φ 1 Φ 2. Den här regeln gäller för relationerna =,,, <, >. Villkoret är alltså en begränsning av hur påståendena i regelns sekventer är konstruerade. Vi erhåller en slutledning från en slutledningsregel genom att ersätta metavariablerna med verkliga syntaktiska termer. Vi har t.ex. att följande slutledning följer av transitivitetsregeln: x < 0, y 1 x + 1 y x < y, y 1 y x 2 x < 0, y 1, x < y x + 1 x 2 { Transitivitet; X := E; V [E] } Vi har här inom mängdparenteser givit motiveringen för slutledningen. Motiveringen anger den slutledningsregel som använts för att få slutledningen; här har vi använt transitivitetsregeln den substitution som gjorts i regeln; här har vi använt substitutionen X := E, som står för Φ 1 := {x < 0, y 1}, Φ 2 := {x < y, y 1}, R :=, t := x + 1, t := y, t := x 2 samt konstaterar att villkoret för regeln gäller; här är villkoret V [E] att {=,,, <, >} 17

20 3 Gentzen-liknande bevissystem Ett annat exempel på en slutledningsregel är substitutionsregeln Substitution: Φ a = b Φ u[a] = u[b] Den säger att om vi fastställt Φ a = b, så får vi dra slutsatsen Φ u[a] = u[b], för varje värde på de syntaktiska variablerna Φ, a, b, och u. Hypotesen Φ a = b säger här att a = b är sant om antagandena Φ är sanna. Påståendet Φ u[a] = u[b] säger att u[a] = u[b] är sant under samma antaganden Φ. Här är u[a] ett uttryck u[x] där X har ersatts med a, medan u[b] är samma uttryck där X har tilldelats värdet b. Den här regeln har inget villkor, alla slutledningar som vi kan få från den är tillåtna. Ett exempel på en tillåten slutledning som vi erhåller från subsitutionsregeln är y 0 x/y = 1, {Substitution; X := E} y x/y + x y = x y där X := E står för Φ := {y 0}, a := x/y, b := 1, u[x] := 1 + X + x y Observera att a och b skall substitueras för samma deluttryck X i u[x]. Ett tredje exempel är utnytjandet av antaganden: Antagande: Φ, B B Den här regeln säger att varje påstående som är uppräknat i antagandena är direkt sant, dvs är ett axiom. Ett exempel på en slutledning som vi fått från den här regeln är x < 0, y 1 y 1 {Antagande; Φ := {x < 0}, B := y 1} I praktiken lämnar vi ofta åt läsaren att lista ut vilken substitution som har utnyttjats för att erhålla slutledningen från den givna regeln, liksom även att kontrollera att villkoret för regeln gäller för den substitution som använts. Som motivering räcker då att bara nämna vilken slutledningsregel som använts för att få slutledningen. Den allmänna principen är att det skall vara lätt för läsaren att se vilken substitution som använts. Oftast nämner man i substitutionen endast en del av de syntaktiska variablerna, de för vilka det kan vara svårt att 18

21 se från slutledningen vilken substitution som använts, men man lämnar bort de syntaktiska variabler vilkas värden är uppenbara från sammanhanget. Slutledningsregler, slutledningar och sekventer slutledningsregler, slutledningar och sekventer: Observera skillnaden mellan En slutledningsregel används för att konstruera giltiga slutledningar. En slutledning säger att en viss sekvent (slutsatsen) gäller om vissa andra sekventer (hypoteserna) kan visas gälla. En sekvent säger någonting om det vi studerar: att ett påstående är sant under vissa antaganden. Bevis Ett bevis kombinerar individuella slutledningar till större argument. En bevisstruktur S har följande form: S ::= S 1,..., S n Φ B {N; X := E; V [E]} Det här är en rekursiv definition, där S 1,..., S n också är bevisstrukturer. Här refererar N till någon slutledningsregel i det axiomatiska system som används, X := E är en substitution av värden E för de syntaktiska variablerna X i slutledningsregeln, och V är villkoret för att regeln får användas. Bevisstrukturen S är ett bevis av sekventen Φ B om följande villkor gäller: 1. S i är ett bevis av någon sekvent Φ i C i, för i = 1,..., m. 2. Slutledningen Φ 1 C 1,..., Φ m C m Φ C {N; X := E; V [E]} är giltig, dvs den har erhållits från N med substitutionen X := E så att villkoret V [E] gäller. 3. Bevisstrukturen S är ändlig. Eftersom vi har en rekursiv definition, är det möjligt att bevisstrukturen skulle bli oändlig. Det tredje villkoret utesluter emellertid oändliga bevisstrukturer som bevis. Ett bevis blir ändligt om alla slutledningar förr eller senare utmynnar i axiom, dvs slutledningar som inte har några hypoteser. 19

22 3 Gentzen-liknande bevissystem Följade är ett exempel på ett enkelt bevis: y 0, x/y = 1 x/y = 1 {Antagande} y 0, x/y = x/y + x y = x y {Substitution} Ett annat exempel är följande bevis av konjugatregeln: (a b)(a + b) = a 2 + ab ba b 2 {D} a 2 + ab ba b 2 = a 2 b 2 {A} (a b)(a + b) = a 2 b 2 {T} Här står D för en distributionsregel, A för en additionsregel och T för transitivitet. Bevisen växer uppåt, som ett träd. Beviset är ändligt för att båda grenarna i det uppåtväxande trädet slutar i axiom. Det här formatet har uttryckligen gjorts för att få en enkel matematisk struktur på bevis, så att det skall vara lätt att analysera bevis i allmänhet matematiskt. Formatet är mindre lämpat för praktisk matematisk bevisföring, bevisen blir snabbt för stora och komplicerade för att rymmas på pappret. Härledda slutledningsregler I praktiken är de slutledningsregler som vi direkt får anta i ett axiomatiskt system ofta för enkla och primitiva, vi vill göra mera i en slutledning. Därför kombinerar man gärna flera slutledningar i ett enda steg. Det här ger oss slutledningsregler som är härledda från andra slutledningsregler, dvs de är bevisade. En härledd slutledningsregel kan innehålla syntaktiska variabler, som då har samma innebörd över hela beviset, samt villkor som härstammar från de slutledningsregler som använts i beviset. Som ett exempel kan vi generalisera beviset ovan till följande bevis för en härledd slutledningsregel: Φ, a = b a = b {Antagande} Φ, a = b u[a] = u[b] {Substitution} Det här kan vi skriva som en enda slutledningsregel, Φ, a = b u[a] = u[b] Med andra ord, vi kan direkt sluta oss till u[a] = u[b], om a = b ingår i antagandena. Vi kan använda den här regeln för att direkt skapa slutledningen y 0, x/y = x/y + x y = x y {Substitution, antagande} 20

23 I praktiken arbetar man ofta med härledda slutledningsregler. Man kan ge ett direkt bevis av den härledda slutledningsregeln, som vi givit ovan, men oftast nöjer man sig med att bara antyda hur slutledningsregeln kan härledas, genom att nämna de slutledningsregler som använts i beviset. 21

24 3 Gentzen-liknande bevissystem 22

25 4 Strukturerade härledningar och Gentzen-liknande bevis Gentzen-liknande bevis är en standard i matematisk logik, och används bl.a. i interaktiva teorembevisare som PVS, HOL och Isabelle. Vi visar i det här kapitlet att strukturerade härledningar kan ses som en variant av Gentzen-liknande bevis. Vi visar först att varje Gentzen-liknande bevis kan skrivas som en strukturerad härledning. Varje strukturerad härledning kan i sin tur reduceras till ett ekvivalent Gentzen-liknande bevis. En strukturerad härledning innehåller konstruktioner som inte har en direkt motsvarighet i Gentzen-liknande bevis, men vilka kan ersättas med motsvarande konstruktioner som är tillgängliga i Gentzen-liknande bevis. Strukturerade härledningar erbjuder alltså en ny notation för Gentzen-liknande bevis, med en samling konventioner som gör det lättare att konstruera och förstå bevis i praktiken. Den matematiska basen för strukturerade härledningar är den samma som för Gentzen-liknande bevis. Betydelsen (semantiken) av en strukturerad härledning är den samma som betydelsen av motsvarande Gentzen-liknande bevis. Gentzen-liknande bevis som strukturerade härledningar Gentzen-liknande bevis har den allmänna formen Ett bevissteg i ett Φ 1 C 1,..., Φ m C m Φ C {N; X := E; V [E]} för m 0. Här är Φ, Φ 1,..., Φ m envar en mängd logiska påståenden, Φ = {A 1,..., A n }, och Φ i = {A i,1,..., A i,ni }, där i = 1,..., m och n, n 1,..., n m 0, och C, C 1,..., C m är logiska påståenden. Vi har här använt slutledningsregeln N med substitutionen X := E för de syntaktiska variablerna för att reducera slutledningen Φ C till hypoteserna Φ 1 C 1,..., Φ m C m. I motiveringen har vi dessutom angivit att villkoret V [X] för att använda slutledningsregeln är uppfyllt med den här substitutionen, dvs att V [E] gäller. Vi skriver det här bevissteget som ett reduktionssteg i en strukturerad härledning, på följande sätt: 23

26 4 Strukturerade härledningar och Gentzen-liknande bevis C - Φ 0 {N; X := E; V [E]} C 1 - Φ 1. C m - Φ m Här står Φ i för listan A i,1... A i,ni i delbevisen. Observera att vi använder 0 och inte i beviset. Det här betyder att antagandena inte automatiskt ärvs i delbevisen. Ett bevis konstrueras nu på samma sätt i strukturerade härledningar och traditionella Gentzen-liknande bevis, genom att fylla på med bevis för deluppgifterna. Beviset är fullständigt när varje deluppgift har ett bevis. Strukturerade härledningar som Gentzen-liknande bevis Omvänt kan vi fråga oss om varje strukturerad härledning kan skrivas som ett Gentzen-liknande bevis. Det här är en viktig fråga, eftersom det har att göra med hur uttrycksfullt bevissystemet är. Om det finns strukturerade härledningar som inte kan skrivas som Gentzen-liknande bevis, så kunde vi eventuellt bevisa påståenden med strukturerade härledningar som inte går att bevisa med Gentzen-liknande bevis. Det här skulle öppna möjligheten att vi kunde bevisa för mycket med strukturerade härledningar, dvs att vi även kunde bevisa falska påståenden. Vi behöver emellertid inte oroa oss för det här, eftersom vi kan visa att varje strukturerad härledning kan reduceras till ett ekvivalent Gentzen-liknande bevis. Det här ger oss då semantiken för strukturerade härledningar: en strukturerad härledning har samma betydelse som motsvarande Gentzen-liknande bevis. Nedan visar vi hur vi transformerar en godtycklig strukturerad härledning till ett ekvivalent Gentzen-liknande bevis. Vi har tre konstruktioner i en strukturerad härledning som inte direkt finns i Gentzen-liknande bevis: observationer, beviskedjor, och ärvda antaganden. Vi visar nu hur man systematiskt kan ersätta de här konstruktionerna i en strukturerad härledning med motsvarande konstruktioner som passar in i den 24

27 begränsade form av strukturerade härledningar som direkt svarar mot Gentzenliknande bevis. 1) Eliminering av observationer Betrakta först observationer. Ett bevis med en observation ser i princip ut som i vänster ruta. Vi kan emellertid skriva det på ett ekvivalent sätt som i höger ruta. C C - Φ - Φ + L {motivering L } H 1. H k {motivering C } C 1 - Φ 1. C m - Φ m {motivering C, lemmaregeln} L {motivering L } C 1 - L - Φ 1. C m - L H 1. H k - Φ m Med andra ord, obsevationen L blir en extra hypotes i beviset av slutledningen C. Hypotesen bevisas med hjälp av antagandena Φ. Men L kan sedan användas som ett extra antagande i beviset av de andra hypoteserna C 1,..., C m. På det här sättet kan alla observationer tas bort, en i gången, tills vi inte har några observationer kvar. Lemmaregeln är följande regel: Ψ L Φ, L C Φ Ψ C {lemmaregeln} 2) Eliminering av beviskedjor Betrakta sedan beviskedjor. Ett bevis med en beviskedja ser ut som i vänster ruta nedan. Rutan till höger visar en ekvivalent 25

28 4 Strukturerade härledningar och Gentzen-liknande bevis skrivning, som ett rent reduktionsbevis: {motivering} {motivering} härledning 1 härledning 1.. härledning k härledning k t 0 t 0 R 1 t 1 R 1 argument 1 t 1 R 2 argument 2 argument 1 t 1 R 2 t 2 argument 2. R n t 2 t n 1 argument n t n. t n 1 R n t n argument n Vi har här ersatt den linjära härledningen med en samling delhärledningar som tillsammans säger samma sak. Det här visar att vi kan eliminera alla beviskedjor i en strukturerad härledning. 3) Eliminering av ärvda antaganden Betrakta slutligen ärvda antaganden. I traditionella Gentzen-liknande bevis använder vi inte ärvda antaganden, utan alla antaganden som behövs i en slutledning måste skrivas ut explicit. I praktiken betyder det här att samma antagande upprepas många gånger i ett bevis. Vi kan undvika nedärvning av antaganden i strukturerade härledningar genom att systematiskt använda 0 i stället för. Bevissteget i vänster ruta använder nedärvning av antaganden ( ), men kan skrivas utan nedärvning som bevissteget i höger ruta. 26

29 C - Φ C - Φ {motivering} 0 {motivering} C 1 C 1 - Φ 1 - Φ. - Φ 1 C m. - Φ m C m - Φ - Φ m Med andra ord, de antaganden som annars skulle ärvas upprepas i varje delbevis. På detta sätt kan man stegvis transformera en strukturerad härledning som innehåller ärvda antaganden till en form som inte innehåller ärvda antaganden. När vill man inte ärva antaganden? Orsaken till att man i vissa fall inte vill ärva antaganden har att göra med de bevisregler som postuleras i ett Gentzenliknande bevissystem. Tag som ett exempel den allmänna bevisregeln för en transitiv relation som t.ex. : Φ 1 p 0 p 1 Φ 2 p 1 p 2 Φ 1 Φ 2 p 0 p 2 {transitivitet} Bevisregeln är formulerad så att man räknar upp exakt de antaganden som behövs i beviset. I det här fallet behövs endast antagandena Φ 1 för att bevisa den första implikationen, medan antagandena Φ 2 är tillräckliga för att bevisa den andra implikationen. Om vi jämför det här med bevisregeln som motsvarar ärvda antaganden, Φ p 0 p 1 Φ p 1 p 2 Φ p 0 p 2 {transitivitet} så ser vi att den här bevisregeln kan introducera extra antaganden i beviset av implikationerna, vilka strängt taget inte skulle behövas för beviset. Det finns alltså bevisregler som inte direkt kan formuleras med ärvda anta- 27

30 4 Strukturerade härledningar och Gentzen-liknande bevis ganden och som därför kräver bevissymbolen 0. I praktiken verkar det som om det här inträffar ytterst sällan, i de allra flesta fallen vill man uttryckligen att antagandena ärvs från huvudhärledning till delhärledningar. 28

31 5 Syntes av olika bevisstilar Den axiomatiska metoden härstammar från Euklides, som använde den för att härleda matematiska teorem i geometrin. Den här metoden formaliserades av David Hilbert i slutet av 1800-talet, och har blivit standard inom matematisk logik. En alternativ formulering av bevis introducerade av Gerhard Gentzen på 1930-talet, avsedd att göra det lättare att analysera bevis matematiskt. Linjära härledningar har en lång tradition i matematiken, bl.a. i samband med lösning av ekvationer och förenkling av matematiska uttryck. De har populariserats och utvecklats inom datavetenskaplig forskning av E.W. Dijkstra och hans kolleger på 1980-talet. Strukturerade härledningar är en syntes av Gentzen-liknande bevis, Hilbertliknande bevis och linjära härledningar. Det här betyder att alla de här bevisformaten kan ses som specialfall av strukturerade härledningar. Vi har i föregående kapitel visat hur Gentzen-liknande bevis kan skrivas som strukturerade härledningar. Strukturerade härledningar är en generalisering av linjära härledningar, där vi har lagt till nya mekanismer som gör det lättare att utföra mera omfattande bevis. En linjär härledning ser ut på följande sätt: t 0 R 1 {motivering 1 } t 1 R 2 {motivering 2 } t 2. t n 1 R n {motivering n } t n Det här är en strukturerad härledning, men utan explicit påstående och utan explicita antaganden, inga observationer, och inga delbevis (och följaktligen 29

32 5 Syntes av olika bevisstilar inte heller några ärvda antaganden). Hilbert-liknande bevis Vi kan även skriva Hilbert-liknande bevis som strukturerade härledningar, genom att använda en följd av observationer. Ett Hilbertlikande bevis skrivs vanligen på följande sätt. 1. påstående 1 (antagande). m. påstående m (antagande) m + 1. påstående m+1 (motivering m+1 ). m + k 1. påstående m+k 1 (motivering m+k 1 ) m + k. påstående m+k (motivering m+k ) Härledningen består av en följd av numrerade påståenden. Varje påstående är antingen ett antagande (påstående 1,..., påstående m ), eller så är det en slutsats som erhållits från tidigare påståenden med hjälp av någon bevisregel (påstående m+1,..., påstående m+k ). Varje slutsats motiveras med en bevisregel. Vi får skriva ner slutsatsen påstående i, i = 1, 2,..., om den är (a) ett antagande eller (b) om den erhållits med en giltig bevisregel från hypoteser som skrivits ned tidigare i beviset (dvs hypoteserna finns bland påstående 1,...,påstående i 1 ). I motivering i anger vi den bevisregel som har använts för att härleda påstående i, samt numren för de påståenden som används som hypoteser i regeln. Det sista påståendet är det som bevisas. En motsvarande strukturerad härledning ges nedan. 30

33 påstående m+k [-1] antagande 1. [-m] antagande m [m + 1] påstående m+1 {motivering m+1 }. [m + k 1] påstående m+k 1 {motivering m+k 1 } {motivering m+k } I den strukturerade härledningen skrivs påståendet först. Sedan skriver vi antagandena, som här försetts med negativ numrering, för att skilja dem från observationerna, som getts positiv numrering. Vi använder samma påståenden och samma motiveringar i den strukturerade härledningen som i det Hilbertliknande beviset, endast uppställningen i beviset är annorlunda. För det slutliga beviset räcker det att endast hänvisa till de påståenden som bevisats tidigare, dvs det är tillräckligt att endast ge motivering m+k. Kombinering av olika bevisformat Strukturerade härledningar ger en enhetlig notation för olika slags bevisstilar. Dessa bevisstilar representerar i sjäva verket olika grundprinciper för hur man konstruerar bevis. Ett Hilbert-liknande bevis är typiskt framåtkedjande: man utgår från det man vet, gör en samling successiva observationer på basen av den här informationen, tills man slutligen mer eller mindre direkt kan ge ett argument för varför påståendet gäller. Ett Gentzen-liknande bevis är igen typiskt bakåtkedjande: man utgår från det påstående som skall bevisas, försöker reducera det till enklare påståenden, tills man successivt reducerat alla påståenden till uppenbara sanningar eller antaganden. En linjär härledning är igen paradigmen för en beräkning: vi utgår från ett givet uttryck och manipulerar det successivt tills vi får ett uttryck som uppfyller något på förhand givet krav på enkelhet (t.ex. lösning av en ekvation). Fördelen med att beskriva alla dessa bevisstilar i en enhetlig notation är att vi nu fritt kan kombinera de olika bevisparadigmerna i samma bevis. Ett Hilbertliknande bevis i en strukturerad härledning börjar med en samling antaganden 31

34 5 Syntes av olika bevisstilar och räknar sedan upp en samling observationer. De här observationerna måste kunna motiveras direkt med en enkel bevisregel i ett Hilbert-liknande bevis. I en strukturerad härledning kan vi ha ett mera omfattande bevis av observationerna. För varje observation kan vi välja om vi vill bevisa det med ett Gentzen-liknande bevis (ett reduktionsbevis), en linjära härledning, eller med ett Hilbert-liknande bevis. I en linjär härledning bör varje relation mellan två termer motiveras direkt med en kommentar. I en strukturerad härledning kan relationen bevisas genom en mer eller mindre omfattande delhärledning. Den här delhärledningen kan ha formen av ett Gentzen-liknande bevis, ett Hilbert-liknande bevis eller vara en ny linjär härledning. Slutligen, om vi har ett Gentzen-liknande bevis på en nivå, där vi har reducerat påståendet till en samling hypoteser, så kan hypoteserna bevisas med linjära härledningar, med Hilbert-liknande härledningar eller med Gentzen-liknande härledningar. Vi avslutar med ett exempel på en strukturerad härledning som visar hur man kan kombinera observationer (Hilbert-liknande bevisstil) med linjära härledningar (Dijkstra-liknande bevisstil) och delhärledningar (Gentzen-liknande bevissstil). Exempel 12 Vi vill bestämma den punkt på parabeln y = x 2 2x 3 där parabelns tangent har riktningsvinkeln 45. Vi omformulerar problemet enligt följande: Bestäm koordinaterna (x, y) på parabeln y = f(x) = x 2 2x 3 där riktningsvinkeln α för parabelns tangent är 45. Vi identifierar här antaganden med bokstäver och observationer med siffror. 32

35 Bestäm punkten (x, y), då [a] [b] y = f(x) = x 2 2x 3 och parabelns tangent i punkten (x, y) har riktningsvinkeln α = 45 [1] f (x) = 1 {bevis} parabelns tangent i punkten (x, y) har riktningsvinkeln 45 {riktningskoefficienten är k = tan α} parabelns tangent i punkten (x, y) har riktningskoefficienten tan 45 { tan 45 = 1} parabelns tangent i punkten (x, y) har riktningskoefficienten 1 {första derivatan ger riktningskoefficienten} f (x) = 1 {lemmaregeln} (x, y) = {bestäm värdet av x, observation [1]} f (x) = 1 {antagande [a], beräkna derivatan} 2x 2 = 1 {lös x} x = ( 3 2, y) = {bestäm y under antagandet [a]} ( 3 2, ( 3 2 )2 2( 3 2 ) 3) = {räkna ut} ( 3 2, 15 4 ) 33

36 5 Syntes av olika bevisstilar 34

37 Litteraturförteckning [1] Ralph-Johan Back. Matematik med litet logik: Introduktion till strukturerade härledningar. TUCS Lecture Notes 7, Abo Akademi, Dept of Information Technologies, October [2] Ralph-Johan Back. Matematik med litet logik: Logik för strukturerade härledningar. TUCS Lecture Notes 8, Abo Akademi, Dept of Information Technologies, October [3] Ralph-Johan Back. Matematik med litet logik: Strukturerade härledningar som allmänt bevisformat. TUCS Lecture Notes 9, Abo Akademi, Dept of Information Technologies, October [4] Ralph-Johan Back, Jim Grundy, and Joakim von Wright. Structured calculational proofs. Formal Aspects of Computing, 9: , [5] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. Refinement Calculus: A Systematic Introduction. Springer-Verlag, Graduate Texts in Computer Science. [6] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. Matematik med lite logik: En kort kurs i talteori. TUCS Lecture Notes 2, Abo Akademi, Dept of Information Technologies, October [7] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. Matematik med litet logik: Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken. TUCS Lecture Notes 1, Abo Akademi, Dept of Information Technologies, October [8] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. Matematik med litet logik: Studentexamen i lång matematik, våren TUCS Lecture Notes 3, Abo Akademi, Dept of Information Technologies, October [9] Edsger W. Dijksta and C. S. Scholten. Predicate Calculus and Program Semantics. Springer-Verlag, [10] E.W. Dijkstra. The notational conventions i adopted, and why. Formal Aspects of Computing, 14:99 107,

38 Litteraturförteckning [11] David Gries. Teaching calculation and discrimination: A more effective curriculum. Communications of the ACM, (34):45 54, [12] David Gries and Fred Schneider. A Logical Introduction to Discrete Mathematics. Springer-Verlag, [13] David Gries and Fred Schneider. Teaching math more effectively through calculational proofs. Am. Math. Monthly, pages , October [14] A. J. M. van Gasteren. On the Shape of Mathematical Arguments. Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, Berlin,

39

40 Turku Centre for Computer Science TUCS Lecture Notes 1. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematik med lite logik: Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken 2. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematik med lite logik: En kort kurs i talteori 3. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematik med lite logik: Studentexamen i lång matematik, våren Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematiikkaa logiikan avulla: Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa 5. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematiikkaa logiikan avulla: Lyhyt lukuteorian kurssi 6. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematiikkaa logiikan avulla: Pitkän matematiikan ylioppilaskoe, kevät Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematik med lite logik: Introduktion till strukturerade härledningar 8. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematik med lite logik: Logik för strukturerade härledningar 9. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematik med lite logik: Strukturerade härledningar som allmänt bevisformat 10. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematiikkaa logiikan avulla: Johdatus rakenteisiin päättelyketjuihin 11. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematiikkaa logiikan avulla: Logiikka ja rakenteiset päättelyketjut 12. Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematiikkaa logiikan avulla: Rakenteiset päättelyketjut yleisenä todistusmuotona

41

42 Turku Centre for Computer Science Joukahaisenkatu 3-5 B, Turku, Finland University of Turku ldepartment of Information Technology ldepartment of Mathematics Åbo Akademi University ldepartment of Information Technologies Turku School of Economics linstitute of Information Systems Sciences ISBN ISSN

43 Ralph-Johan Back Matematik med lite logik: Strukturerade härledningar som allmänt bevisformat