Lösningar till problem del I och repetitionsuppgifter 0 Problem I. 6 0 08 Beräkna kärnradien hos 8 O8, 50 Sn70 och 8 Pb6. Använd r 0 =, fm. L I. Enligt relation R = r 0 A 3 får vi R =. 6 3 = 3. 0 fm, R =. 0 / 3 = 5.9 fm respektive R =. 08 3 = 7. fm
Problem I. Hur stor energimängd i MeV fordras för att ta bort en neutron eller proton från 4 Ca? Atommassorna är: M( 4 Ca) = 4,95865 u mn =,008665 u M( 4 Ca) = 40,9675 u mp =,00777 u M( 4 K) = 40,9683 u M( H)=,00785 u L I. 4 Ca minus en neutron blir 4 Ca. Således blir massändringen: ( Δm ) n = M( 4 Ca)+ m n M( 4 Ca)= = 0. 035 u 93. 4 MeV / u =. 470 MeV 4 Ca minus en proton blir 4 K. Således blir massändringen: ( Δm ) p = M( 4 K)+ M( H) M( 4 Ca)= = 0. 003 u 93.4 MeV / u = 0.75 MeV
Problem I.3 Visa att fotonens rörelsemängd är E/c. (Relativistiskt) L. I.3 Relativistiskt gäller E = (pc) + (m 0 c ) Fotonens vilomassa m 0 = 0, Alltså blir p=e/c
Problem I.4 Hur stor hastighet har en β-partikel som har den kinetiska energin MeV? L I.4 ( ) ( pc) E = m 0 c p = m v T = E m 0 c 3 m = () () () m 0 () β 4 β= v c () 5 () ( pc) = E ( m 0 c ) Sätt in (), (3) och (4) m 0 c v β ( m 0 c ) β = ( T + m 0 c ) ( m 0 c ) β = T + T m 0 c ( m 0 c ) β = T + T m 0 c β T + T m 0 c β = T + T m 0 c ( T + m 0 c ) Sätt in T= MeV och m 0 c =0,5 MeV β = 0.8857 β=0,94 och v = 0, 94 c = 0, 94 3,0 0 8 =, 8 0 8 m/s ( )
Problem I.5 Vid vilken hastighet har en accelererad proton en total energi = m p c? Hur stor är då protonens kinetiska energi uttryckt i MeV? m p =protonens vilomassa L I.5 Sambandet mellan rörelsemängd och energi ges i relativitetsteorin av ( p c) E = ( m p c ) () där p = m v () Den relativistiska massan ges av m = m p β (3) med β=vc (4) Sätt in () och (3) i () ( ) m p v c ( β ) = E m p c Enligt uppgift är E = m p c Detta medför att: m p c 4 β = β ( ) 3 ( m p c ) och β = 3 ( β ) v =.60 0 8 ms
Enligt Tefyma är m p c = 938 MeV T = E m p c = m p c m p c = m p c = 938 MeV Problem I.6 Beräkna bindningsenergin hos den sista neutronen i 08 Pb med hjälp av semiempiriska massformeln. L I.6 Beteckningar: S n =bindningsenergin för sista neutronen ( ) ΣM =6m n + 8M H B=totala bindningsenergin S n för 08 Pb definieras av S n ( 08)= M 07 Pb S n ( 08)+ M 08 Pb ( ) + m n M ( 08 Pb) ( ) = M ( 07 Pb) + m n S n ( 08)+ΣM B( 08)=ΣM B( 07) S n ( 08)= B( 08) B( 07) Således (med värden på konstanterna från formelsamlingen): 3 3 S n ( 08) = av ( 08 07) as ( 08 ) 07 8 8 8 8 ac 3 3 08 07 ( 08 8) ( 07 8) a a sym + 08 07 08 = 6,9MeV p 3/ 4 S n (08) = 5.5 -.898+.976-8.635+0.6077 =6.89 MeV Således skulle det åtgå 6,9 MeV.
Problem I.7 Beräkna med hjälp av semiempiriska massformeln den totala bindningsenergin och Coulombenergin för (a) Ne, (b) 57 Fe, (c) 09 Bi och (d) 56 Fm. Lösning I.7 Semiempiriska massformeln ger: Nuklid Z A N B-energi E Coulomb Ne 0 73.04 3.5 Fe 6 57 3 503.0 Bi 83 09 6 69 86 Fm 00 56 56 887 3 Problem I.8 Givet massdefekterna, beräkna atommassorna för (a) 4 Na: -8.48 MeV, (b) 44 Sm: -8.964 MeV, (c) 40 Pu: +50.3 MeV. Lösning I.8 Massdefekten definieras som Δ = (M A) c (Krane, sidan 65), c = 93.5 MeV/u (Atom)massan (u) = Δ/93.5 MeV/u + A (där A är masstalet) För 4 Ne med Δ = -8.48 MeV gäller att M= 4-8.48 /93.5 [MeV/(MeV/u)] = 3.99096 u På samma sätt: M[ 44 Sm] = 43.9 u M[ 40 Pu] = 40.0538 u
Problem I.9 Naturligt samarium (Sm) har visat sig emittera 35 alfapartiklar per gram och sekund. Isotopen 47 Sm (5 viktprocents isotopförekomst) är ansvarig för aktiviteten. Beräkna halveringstiden för 47 Sm uttryckt i år. L I.9 Låt N vara antalet 47 Sm-kärnor i g naturligt Sm, dvs N = 5 3 6. 03 0 00 47 λ= ln( ) t t =. 0 0 λ N = 35 (.0 år 3.55 0 7 s) år
Problem I.0 Beräkna den energi utryckt i joule som totalt frigjorts, när curie 4 Na helt och hållet sönderfallit. Vid varje sönderfall frigöres 5,53 MeV. curie = 3,7 0 0 sönderfall/s. t = 5 tim. / L I.0 N = antalet 4 Na-kärnor från början aktiviteten = λ N = 3.7 0 0 sönderfall / s halveringstiden = t = 5 3600 s sönderfallskonstanten = λ = ln( ) t antalet 4 Na-kärnor = N = 3.7 00 λ = 3. 7 00 ln ( ) t Frigjord energi: N 5. 53 MeV = 3.7 00 ln ( ) 5 3600 5.53 0 6. 60 0 9 J = 550 J
Problem I.,80 MeV gammastrålning från 4 Bi undergår Comptonspridning. Hur stor är energien för den spridda strålningen om spridningsvinkeln är 90 respektive 80? Se ekvation 8.. L I. Använd formel för Comptonspridning, ekvation 7.5 i Krane E γ' = E γ + E γ ( ( )) m 0 c cos θ Eγ =.80 MeV m 0 c = 0.5 MeV För θ = 90 ger detta E γ' =.80 +.80 = 0. 40 MeV 0.5 och för θ = 80 E γ' =.80 +.80 = 0. MeV 0.5
Problem I. En MeV:s proton bromsas 50 kev i ett visst magnesiumfolium. Uppskatta hur mycket en 4 MeV alfa-partikel bromsas i ett kolfolium med samma tjocklek. Medelexcitationspotentialen I kan skrivas I = IoZ, där Io =,5 ev. Se ekvation 7.3 i Krane. L I. dt dx α = 4 π e 4 ( 4π ε 0 ) m α N C z m e T α Z C ln α T α Z C I 0 4m e m α dt dx p = 4π e 4 ( ) 4 π ε 0 m p T p N Mg z m e T p ZMg ln 4m e p Z Mg I 0 m p dt dx α dt dx p = m α T p z α m p T α z p ρ C ρ Mg A Mg A C Z C Z Mg ln ln T α Z C I 0 4m e m α T p Z Mg I 0 4m e m p (eftersom N = ρ A N Av ) dt dx dt dx dt dx dt dx dt dx α p α p α = 4 4 ρ C 4 ρ Mg 6 = 8 ρ C ρ Mg = 8..74 =0. = dt 0. = 50 kev dx p ln ln 4 6.5 0 6 4m e 4m p.5 0 6 4m e m p
Problem I.3 g jod, som består enbart av isotopen 7I bestrålas i en reaktor under ett dygn i ett flöde av,0 0 3 neutroner/cm /sek. Tvärsnittet för reaktion 7 I(n,γ) 8 I är 7 0-4 cm. Vad är aktiviteten i provet 0 minuter efter det att det tagits ut ur reaktorn? Halveringstiden för 8I är 5 minuter. L I.3 Utbytet U (= antalet producerade 8 I-kärnor per sekund) är konstant under bestrålningen och ges av U = σ φ N 7 där σ är tvärsnittet för reaktionen, φ neutronflödet och N7 totala antalet 7 I-kärnor =. 0 N A. Antalet 7 8 I-kärnor N efter bestrålning en tid tb ges av N( t b )= U λ e λ t b ( ) λ är sönderfallskonstanten = ln( ) = ln( ) t 5 min t b = dygn = 4 60 min λ t b 40 varför e λ t b är försumbart vid jämförelse med l. Således N4 ( 60)= U λ Efter bestrålning fås vanlig exponentiell avklingning. Om t' = 0 vid tiden tb erhålles och λ N0 ( )= U e N( t' )= U λ e λ t' ln() 5 0 =σ φ N 7 e ln ( ) 5 0 = 0.5 0 s
Problem I.4 En stråle av radioaktiva kärnor genomlöper ett evakuerat rör som är,0 m långt. Hastigheten är 0 5 m/s. Den radioaktiva intensiteten i strålen minskar till /3 vid passagen genom röret. Bestäm halveringstiden för kärnan. L I.4 Om A 0 är aktiviteten vid rörets början erhålles då passertiden är t =0 0 6 s Således är halveringstiden μs ln t A 0 3 = A 0 t e λ t = A 0 e t ln = ln 3 0 5 = 0 6 ln 0 5 t = A 0 e
Problem I.5 34 U sönderfaller från sitt grundtillstånd genom α-emission. Beräkna kinetiska energin hos den energirikaste α-partikeln. maximum på den potentialbarriär som α-partikeln måste passera (R=, A /3 fm). avståndet från kärnans centrum då α-partikeln passerat barriären M( 34 U) 34,040 904 u M( 30 Th) 30,033 087 u M( 4 He) 4,0060 3 u L I.5 a) Q = M( 34 U) M( 30 Th) M( 4 He)= = 0. 0054 u = 93.4 0. 0054 MeV = 4.856 MeV Vi antar att moderkärnan, 34 U, är i vila. Då gäller: p p Th = p α T Th = Th = m α T m 30 m α = 4 Th 30 T α T Th + T α = Q 4 30 T α + T α = Q T α = Q 30 34 = 30 4.856 = 4.773 MeV 34 b) Coulombpotentialen ges av V = z Z e 4 π ε 0 r där ze och Ze är a-partikelns respektive Th-kärnans laddning och r är avståndet mellan de båda partiklarnas centra. Coulombbarriärens höjd ges av
V CB = z Z e = 4 π ε 0 r α + r Th 4 π ε 0 = 9 0 9 90 e. 0 5 4 3 + 30 3 z Z e ( ) J= r 0 4 3 + 30 3 ( ) e 0 6 MeV 8 MeV c) Det sökta avståndet ges av z Z e 4 π ε 0 r = Q r = z Z e 4 π ε 0 Q = 9 0 9 90 e 4.856 e 0 6 m= 53 0 5 m= 53 fm
Lösningar till Repetitionsuppgifter Problem R Avgör med hjälp av den semiempiriska massformeln huruvida 55 Fe är stabil mot β- sönderfall. Om nukliden är instabil så ange vilka partiklar som emitteras vid sönderfall enligt massformeln. Parametrar till massformeln fås ur 3.9 eller formelsamling. Lösning Enligt Tefyma sönderfaller 55 Fe genom K-infångning. Vid detta sönderfall minskar antalet protoner i kärnan med och antalet neutroner ökar med - vi får 55 Mn. Massformeln ger endast en parabel för isobarerna med A = 55 eftersom 55 är udda. Vi behöver endast använda massformeln för att under-söka om 55 Fe är tyngre än någon av sina grannar ( 55 Mn och 55 Co), och i så fall vilken (kan endast vara en!). Om massformeln ger riktigt resultat skall (enligt Tefyma) 55 Fe vara tyngre än 55 Mn vilket vi testar.vi får M( H) m p + m e M( 55 Fe) c M( 55 Mn) c =...= = M( H) c m n c + a c m e = 9.09 0 3 kg = 5.5 0 4 u enl Tefyma m p = =, 0078 u enl Tefyma m n = =, 00867 u enl Tefyma Genom sortförvandling från u till MeV erhålles 5 55 3 a a 6 55 M( H) c m n c = 0.0084 93. 4 MeV = 0.78 MeV Enl. sid. -4 är ac = 0.6 och aa = 0 varför M( 55 Fe) c M( 55 Mn) c = 0.78 + 8.05 5.83 =.45 MeV Enligt massformeln är 55 Fe tyngre än 55 Mn med mer än mec =.0 MeV varför 55 Fe borde vara instabil mot både K-infångning och β + -sönderfall. (Troligtvis förutsäger massformeln en för stor massdifferens eftersom Tefyma ej säger något om β + -sönderfall*). Vid β + -sönderfall emitteras en neutrino förutom positronen och vid K-ingångning emitteras
en neutrino. (Efter K-infångningsprocessen deexciteras dotteratomen genom att emittera röntgen-kvanta och/eller Augerelektroner). * Experimentellt är massdifferensen 0,3 MeV. Problem R Ett plutoniumprov består av en okänd mängd av 39 Pu och 40 Pu. Provets specifika aktivitet uppmättes till,7 0 8 sönderfall per minut och milligram. Halveringstiderna för 39 Pu och 40 Pu är respektive,436 0 4 år och 6,58 0 3 år. Vilken procentuell viktssammansättning har provet? Lösning Antag att x viktprocent är 39 Pu. Då är (00-x) procent 40 Pu. Antalet sönderfall per gram och sek (dvs aktiviteten) ger ekvationen x 00 λ 39 N 39 + 00 x 00 λ. 7 0 40 N 40 = 60 Då N = N = N A A och λ =ln ( ) t erhålles x = 90.
Problem R3 Den naturligt förekommande toriumisotopen 3 Th ger upphov till en sönderfallskedja enligt 3 Th 8 Ra 8 Ac 8 Th 4 Ra 0 Rn k = 3 4 5 6 t k =.4 0 0 6.7 år 6. tim.9 år 3.6 dag 5 s år o.s.v. Antag att g 3 Th får stå till radioaktiv jämvikt inträder (> 5 år). Hur många 4 Raatomer finns det då i provet? Lösning Låt tk, Nk och λk betyda halveringstiden för, antalet av respektive sönderfallskonstanten för nuklid k. Eftersom t >> t erhålls så kallad sekulär jämvikt för t som är stort i förhållande till t. Då gäller λ N = λ N oberoende av tiden. N minskar således med halveringstiden t. Eftersom t >> t3 kommer nukliderna och 3 också i sekulär jämvikt, d v s λ N =λ 3 N 3 o.s.v. Hela kedjan kommer således att vara i sekulär jämvikt och λ N =λ N = λ 3 N 3 = λ 4 N 4 = λ 5 N 5 =... Härur följer att N 5 = λ λ 5 N = t 5 t N A 3 =. 8 09
Problem R4 Ett ursprungligen rent prov av 7 Th (t / =8, d) sönderfaller till 3 Ra genom alfa-emission. 3 Ra är också alfa-strålande med halveringstiden,7 d. Hur stort kommer förhållandet mellan aktiviteterna, 7 Th / 3 Ra, att vara efter flera månader? Lösning För seresönderfall gäller dn Th dt dn Ra = λ Th N Th =λ Th N Th λ Ra N Ra dt med lösningarna för aktiviteterna λ Th N Th =λ Th N Th,0 e λ Tht ( ) λ Ra N Ra = λ Th λ Ra N Th,0 e λ Tht e λ Ra t λ Ra λ Th Kvoten blir λ Th N Th = λ Ra λ Th e λ Tht λ Ra N Ra λ Ra e λ Tht e λ Ra t = λ Ra λ Th λ Ra e λ Ra λ Th För exponentialuttrycket gäller att för stora t går det mot då λ Ra > λ Th ( )t λ Th N Th = λ Ra λ Th = λ Th = t /,Ra λ Ra N Ra λ Ra λ Ra t /,Th λ Th N Th ==,7 λ Ra N Ra 8, = 0,3
Problem R5 4 Po utsänder alfapartiklar med energin 7,69 MeV. Dessa får infalla mot ett strålmål. Vilken är den största laddning (Z) strålmålet kan ha ifall dess kärnpotential skall påverka alfapartiklarnas spridning. Alfapartikelns radie är, fm. Lösning Alfapartikeln ( Z α = ) skall nå fram till kärnans rand mellan de två partiklarna. Följande måste gälla: kommer närmast strålmålkärnan vid central stöt. Om alfapartikeln ( R = r 0 A 3 ) måste den övervinna Coulombpotentialen Z α Z e 4π ε 0 r T α Z α Z e 4π ε 0 r α + R där T α är α-partikelns kinetiska energi och r α + R är centrumavståndet mellan kärnorna e = 9 0 9.60 0 9 4 π ε 0 då Således måste Med r 0 =. erhålles r α + R ( ) J m =.44 MeV fm ev =.60 0 9 J e Z = 0.375 Z fm 4π ε 0 T α.+. A 3 0.375 Z För A < 40 är Z A (fm) varför olikheten blir.+.5 Z 3 0.375 Z 8 6 4.+.5 Z /3 Grafisk lösning ger 0.375 Z 5 0 5 0 5 Z
Villkoret är uppfyllt för Z 5 Problem R6 Visa formeln för hur energin hos den spridda fotonen beror av vinkeln (formel 8.) i Comptonspridning.Relativistisk behandling krävs. Lösning E γ = E γ' + T e p γ = p γ' + p e p e = p γ p γ p e = pγ + pγ' pγ p γ' cos() θ () E γ = c p γ E e = ( p e c) + m 0 c ( ) = ( T e + m 0 c ) ( p e c) = ( T e + m 0 c ) ( m 0 c ) = T e + Te m 0 c Insättning i () ger T e + Te m 0 c = E γ + Eγ' E γ E γ' cos( θ) ( E γ E γ' ) + E ( γ E γ' ) m 0 c = E γ + E γ' E γ E γ' cos θ E γ E γ' E ( γ E γ' ) m 0 c = E γ E γ' cos() θ = cos θ + E γ' E γ E γ' = E γ () m 0 c + E γ m 0 c cos θ ( ()) ()
Problem R7 Från kända atommassor (t ex Appendix C, Krane eller IAEA:s databas http://wwwnds.iaea.org/relnsd/vchart/index.html), beräkna Q-värdena för följande sönderfall: a) 4 Pu 38 U + α b) 08 Po 04 Pb + α c) 08 Po 96 Pt + C d) 0 Bi 08 Pb + H Lösning: Från Krane; Q = (4.058737 38.050785 4.00603) c = 0.0053490 c = 4.98 MeV Alternativ: Från databasen ovan får man massdefekterna Δ = (M-A) c för t ex Pu, U och He: Q = c (M M M 3 ) = = c [ (Δ /c +A ) (Δ /c + A ) (Δ 3 /c +A 3 ) ] = = c (Δ /c - Δ /c - Δ 3 /c +A - A A 3 ) = Δ - Δ - Δ 3 eftersom A -A -A 3 = 0 a) Δ = 54.784 MeV Δ = 47.3089 MeV Δ 3 =.449 MeV ger Q = 4.9846 MeV b) p s s Q = 5.53 MeV c) Q = 5.779 MeV d) Q = -6.790 MeV Kan alltså inte ske utan energitillförsel! Problem R8 Använd semiempiriska massformeln för att beräkna α-sönderfallsenergin för 4 Cf och jämför med uppmätta värden (se Krane, figur 8.). Lösning Semiempiriska formels ger för 4 Cf bindningsenergin 799.73 MeV, för 38 Cm 780 MeV och 4 He 30.7803 MeV. Frigjord energi Q = (M -M -M 3 ) c = = - (B B B 3 ) =.3 MeV Figur 8. ger 7.3 MeV och databasen i R7 ger 7.5 MeV. Tolkning? Både Cf och Cm är mycket tunga och instabila nuklider i ett område där betastabila linjen upphört. Det är därför en ganska kraftig extrapolation att använda semiempiriska massformeln i detta område där dessutom effekter av permanent deformation mm påverkar kärnornas bindningsenergi.
Problem R9 96 Au kan sönderfalla med β -, β + och EC. Beräkna Q-värdena för de tre fallen med hjälp av kända atommassor. Massexcesserna är: 96 Au: -3.400, 96 Hg: -3.867, 96 Pt: -3.6474 MeV Q β- = (M Au M Hg ) c = Δ Au - Δ Hg = -3.400 (-)3.867 MeV = 0.687 MeV Q β+ = (M Au M Pt m e ) c = Δ Au - Δ Pt *0.5 MeV= 0.4854 MeV Q EC = (M Au M Pt ) c BE (Au-K) = Δ Au - Δ Pt 0.0807 MeV =.467 MeV Problem R0 Sönderfallskedjan 39 Cs 39 Ba 39 La observeras utgående från ett ursprungligen rent prov av mci 39 Cs. Halveringstiderna för 39 Cs är 9,5 min, 39 Ba 8,9 min medan 39 La är stabil. Vilken blir den maximala aktiviteten hos 39 Ba och när inträffar den? ( Ci är 3,7 0 0 Bq) Lösning Utgå från utrycket för seriesönderfall, derivera och sätt lika med noll för att erhålla maxvärde. t = /(λ A -λ B ) ln(λ A /λ B ), ger att t = 0s λ A = 0.006 λ B = 0.000394 Insättning av t=0 i seriesönderfallsformeln ger maximal aktivitet 3. MBq Problem R Pulshöjdsspektrat från ett radioaktivt preparat som emitterar enbart monoenergetisk gammastrålning med ganska hög energi uppvisar tre skarpa, distinkta toppar i kanalnummer 7389, 6490 och 5600. a) Förklara vilka processer som har gett upphov till de tre topparna! b) Vilken energi har gammastrålningen? Lösning a) Fototopp, single escape och double escape i avtagande energiordning. b) Linjär anpassning med kännedom om att 0.5 MeV resp.0 MeV försvunnit från fototoppen ger att energin för gammakvantat är 4.0 MeV.