STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 17 december 2008 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och beräkningar av översiktskaraktär och du bör inte ägna mer än 1-2 timmar åt dessa innan du går vidare till del B. Del B består av standardproblem av beräkningskaraktär. Svar och lösningar kan ges direkt på problemsidorna i del A i de flesta fall. Lösningar till problemen i del B ges på separata blad som inlämnas hophäftade med dessa sidor. Skriv namn på varje löst blad. Hjälpmedel: PHYSICS HANDBOOK, RÄKNEDOSA, UTDELADE TABELLER OCH FORMELSAMLING. Ej tillåtet: Det är ej tillåtet att använda räknedosornas inbyggda statistiska funktioner (annat än för egen kontroll). Alla beräkningar skall utföras med hjälp av formlerna i formelsamlingen och redovisas, i förekommande fall översiktligt i tabellform, så att dessa går lätt att följa och bifogade tabeller används om så krävs. NAMN: LÖSNINGSFÖRSLAG. Lycka till! /bs

Del A (varje uppgift kan ge maximalt 2 p) Uppgift A1. Figuren till höger visar ett skjutmått efter en mätning. a) Läs av värdet som skjutmåttet visar med enhet. b) Ange avläsningsnoggrannheten. Nästa figur visar en belastad dynamometer med skalan förtydligad i vänster marginal (prov finns att tillgå under tentan). c) Läs av utslagets värde med enhet och d) uppskatta osäkerheten i detta värde. Svar A1: a) 16,65 mm (16,6 och 16,7 också OK) b) 0,05 mm (står skrivet på skjutmåttet) c) 1,03 N d) 0,005 N (0,01 också OK) Kommentar: man kan tydligt se skillnaden mellan 1,02 N och 1,04 N (de finare skalstrecken). Avläsningsnoggrannheten är alltså bättre än 0,01 N

Uppgift A2. Laborant Grön har presenterat följande tabell i sin rapport som avser uppmätning av ett glasprisma i form av ett rätblock med beräknad volym. Höjden mättes med en linjal graderad i hela mm och bredd och tjocklek mättes med ett skjutmått med avläsningsnoggrannheten 0,1 mm: H (cm) B (mm) T V (cm 2 ) 9 24 5,30 mm 11,448 0.255 Tabell 1. Mina data. Du kan säkert se en del konstigheter i tabellen. Hur tycker du att tabellen egentligen borde ha sett ut (med motivering om så behövs)? Svar A2: H (mm) B (mm) T (mm) V (cm 2 ) 90 24,0 5,3 11,4 0,3 Tabell 1. Uppmätning av rätblock med beräknad volym. Osäkerheten i volymen har beräknats utifrån mätinstrumentens mätnoggrannhet. Uppgift A3. I den fotoelektriska effekten (en elektron frigörs från en atom genom att en foton, ljuskvanta, träffar en bunden elektron i atomen och därvid ger elektronen energi) antages den frigjorda elektronens kinetiska energi, K, vara en linjär funktion av ljusets frekvens f, K = hf ϕ (1) där h och φ är konstanter. För att kontrollera denna linearitet mäter en student K för N olika värden på f och beräknar korrelationskoefficienten r för resultatet. a) Om studenten gör fem mätningar (N = 5) och finner r = 0,7. Har studenten då ett signifikant stöd för hypotesen (1) ovan? b) Hur stort är stödet om N = 20 och r = 0,5 istället? Svar A3: a) Prob(r > 0,7) = 19%. Sannolikheten för slumpmässiga korrelationer är stor och resultatet ger inget (starkt) stöd för hypotesen b) Prob(r > 0,5) = 2,5%. Sannolikheten för slumpmässiga korrelationer är liten och resultatet ger ett visst stöd för hypotesen.

Uppgift A4. I en lösning rör sig små partiklar på ett slumpvis sätt som beskrivs av Browns rörelse. Sannolikhetsfunktionen C att finna partikeln på avståndet r vid tidpunkten t, då den befann sig i origo (r = 0) vid tiden t = 0 beskrivs av funktionen: där D är en diffusionskoefficient. a) Vad har D för dimension? b) Vad har funktionen C för dimension? c) Hur skulle du uttrycka sannolikheten att finna partikeln i intervallet (r, r + dr)? Svar A4: a) Dt skall ha samma dimension som r 2 (argumentet i exponenten måste vara dimensionslös), dvs D har dimensionen m 2 /s. b) Det följer då att Dt har dimensionen m 2 och C får dimensionen m -1. c) Prob(r [r, r + dr]) = C(r,t) dr (som då blir dimensionslöst, jmf normalfördelningsfunktionen). Uppgift A5 C( r, t) = 1 4π Dt En fördelning har medelvärdet 70 mm med standardavvikelsen 14 mm. Skissera motsvarande sannolikhetsfördelning i diagrammet nedan om fördelningen antages vara normalfördelad. Visa gärna på separat blad hur du beräknar några väl valda punkter i grafen. 0 e Svar (utan skiss): Högsta punkten ges av G ( x = 70) = = 0, 028. En lämplig skala på 14 2π y-axeln är då 3cm = 0,01. x-axeln graderas lämpligen från 0 till 140. Värdet på G då x = 70 ± 14 är 0,017. Värdet på G då x = 70 ± 2 14 är 0,003. Fler punkter kan enkelt beräknas vid behov. En jämn kurva dras sedan för att sammanbinda punkterna. e r 2 4Dt

Uppgift A6. En tunn lins är gjord av kronglas med följande brytningsindex n (dimensionslöst) för olika våglängder λ hos ljuset (enhet i nm): a) För in mätresultaten i figuren nedan och skissa sambandet mellan 589,3 1,5100 brytningsindex och våglängd. 486,1 1,5157 b) Ersätt X: och Y: i diagrammet med lämplig text. Sätt storhet och 396,8 1,5246 enhet på axlarna. c) Ange dn / dλ med hjälp av diagrammet vid våglängden 633 nm. Såväl belopp som tecken som enhet skall anges. Figur 1. Brytningsindex vs våglängd. λ n 760,8 1,5049 656,3 1,5076 1,53 Linsens brytningsindex för olika våglängder. 1,525 1,52 1,515 1,51 1,505 1,5 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Ljusets våglängd i nm. Svar A6: a) och b) se figuren. c) En tangent till kurvan i punkten 633 nm dras. Lutningen hos tangenten är ca -33 10 3 m -1. Andra liknande lutningar kan godkännas.

Uppgift A7 En perfekt kvadrat och en perfekt cirkel skall uppmätas med hjälp av ett skjutmått. Kvadraten och cirkeln har lika stor area. Vilken av areorna uppmäts med det minsta relativa felet och hur stort är förhållandet mellan de uppmätta areornas relativa fel? Svar: Eftersom man använder ett skjutmått mäter man cirkelns diameter med samma mätosäkerhet som en av kvadratens sidor. Med enkel felfortplantning får vi: σ k 2σ r σ c 2σ d 2σ r = ; = = Då dessutom areorna skall vara lika får vi sambandet Ak r Ac d d 2r d = 1, 13r. Av detta följer att cirkelns area mäts med högre relativ noggrannhet och π förhållandet mellan det relativa felet hos kvadratens och det relativa felet hos cirkeln blir 2 1,13. π Uppgift A8 Ett okular är sammansatt av två tunna linser, vardera med brännvidden f 1, på inbördes avstånd d = 2f 1 /3. Okularet har då brännvidden f = 2,0 cm. Det gäller att 1 2 d = 2 f f1 f1 a) Beräkna f 1. b) Vid ett felmontage sattes linserna på inbördes avstånd 0,60 f 1 i stället för d = 2f 1 /3. Hur stort blev det systematiska felet i okularets brännvidd? Svar: a) Vi sätter in f = 2 och d = 2f 1 /3 och beräknar f 1 till 2 32 2, 7 cm. c) Då linserna felmonteras blir inte okularets brännvidd 2,0 cm utan 1 2 0,60 2,7 = 2 f fel 2,7 2,7 f fel = 1,9 cm. Systematiska felet i f rätt f fel = 2,0 1,9 = = 0,1 cm för lite. Uppgift A9 Ett år träffades 389 människor i USA av blixten (befolkning 281 421 906 personer). a) Uppskatta hur många människor som bör ha träffats av blixten i Sverige (alla andra yttre förhållanden likartade) under samma år (befolkningen i Sverige var 9 047 752 personer)? b) Hur stor är den statistiska osäkerheten i detta antal? Svar A9: Vi räknar med ren proportionalitet samt antar att antalet människor som träffas av blixten under ett år är Poissonfördelat: a) 389 9047752 / 281421906 = 12,5 b) ( 389) 9047752 / 281421906 = 0,6

Uppgift A10 Antag att vi med hjälp av två digitalmultimetrar har mätt spänningen U = 23,95 V över en resistans samt strömmen genom resistansen till I = 1,307 A. Ur manualerna till digitalmultimeter citerar vi följande för de mätområden som använts: Function Range Resolution Accuracy V 40,00 V 0,01 V ± (0,3%+1) I 4,000 A 0,001 A ± (0,5%+5) Accuracy anger procent av mätvärdet plus ett antal enheter i sista siffran. a) Beräkna osäkerheterna i mätvärdena med dessa uppgifter. b) Beräkna ett värde på resistansen med fel (R = U / I ). Svar A10: a) Mätvärdet 23,95 V har osäkerheten 23,95 0,3%+0,01 = 0,08 V. Mätvärdet 1,307 A har osäkerheten 1,037 0,5%+5 0,001 = 0,01 A. b) R = 23,95 / 1,307 = 18,32 med felet 0,18 (18,3 ± 0,2 Ohm).

Del B (varje uppgift kan ge högst 4 p) Uppgift B1 Frekvens I diagrammet till höger har laborant Blå mätt en storhet 18 gånger och prickat in sina mätvärden. Den första stapeln med x innebär ett mätvärde mellan 2 och 3, den andra stapeln med x mätvärden mellan 3 och 4, osv. a) Beräkna fördelningens medelvärde. b) Beräkna fördelningens standardavvikelse. c) Beräkna felet i medelvärdet. d) Hur stort är det systematiska felet om det sanna värdet är 9,0? Svar: En uppställning som nedan kan göras. Notera att vi använder mittpunkterna av intervallen. 13 12 11 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x x 4 x x 3 x x 2 x x x 1 x x x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 värde antal värde antal 2,5 1 2,50 3,004 3,5 5 17,50 2,689 4,5 10 45,00 0,711 5,6 2 11,20 3,736 18 76,20 0,772 =Standardavvikelsen medelvärde= 4,23 0,182 =medelvärdesfelet Uppgift B2 En stor öppen tank avtappas genom ett horisontellt rör enligt figuren. Vätskan har viskositetskoefficienten η och avtappningsröret har längden b och dess radie är r. Trycket som driver strömningen är (p 2 p 1 ). Hur stor volym rinner ut varje sekund, dvs hur stort är flödet Φ? Ansätt ett produktsamband med en dimensionslös konstant och bestäm härigenom två av de fyra okända exponenterna samt en relation mellan de två övriga. Enheten för viskositet är Pa s. Tryckskillnaden räknas i Pa. 1 Pa = 1 N/m 2. Svar: Ett produktsamband är Φ = konst. ( p 2 p 1 ) x b y r z η t. Vi får följande samband mellan exponenterna x + t = 0, -x +y + z = 3, -2x t = -1 Med lösningen: x = 1, t = -1, z = 3 y.

Uppgift B3 Jönssons Livs hade haft 8340 kunder under det senaste året och hans noggranna statistik över sitt kundunderlag visade att antalet besök per dag med mycket hög precision var Poissonfördelat. De dagar antalet kunder hade varit 35 eller fler har han måst arbeta över och missade då Rapport med A-ekonomi på TV. Hur många gånger var Jönsson tvungen att arbeta över det året? Problemet kan lösas genom att approximera Poissonfördelningen med en normalfördelning. Jönssons år har 300 dagar. Svar: Under årets 300 dagar hade Jönsson i medeltal 8340 / 300 = 27,8 kunder per dag. Detta är medelvärdet i en Poissonfördelning med osäkerheten 27,8 = 5,27. Poissonfördelningen kan i detta fall approximeras med en normalfördelning med medelvärdet 27,8 och standardavvikelsen 5,27. Vi vill nu beräkna sannolikheten för att antal kunder överstiger 35, alternativt sannolikheten att Jönsson skall ha < 35 kunder. Parametern t beräknas som t = (35 27,8) / 5,27 = 1,37. Appendix B i Taylor ger sannolikheten 41,47%. Vi förväntar oss att (50 41,47)% = 8,53% av fördelningen har värden över 35. Detta motsvarar 0,0853 300 = 25,6 dagar per år. Det blir full poäng om man istället räknar på 34 eller 34,5 kunder som gräns. Uppgift B4 Sex studenter mätte längden hos en lång pendel och fick följande värden: 8.2 ± 1.2 m, 7.8 ± 0.9 m, 8.4 ± 0.2 m, 8.6 ± 0.6 m, 9.2 ± 2.5 m, 7.9 ± 1.3 m. Vilken är den bästa kombinerade uppskattningen av pendelns längd? Svar: Ett viktat medelvärde är på sin plats här. En enkel uppställning med kända formler är: L dl 1/dL^2 L/dL^2 8,2 1,2 0,69 5,69 7,8 0,9 1,23 9,63 8,4 0,2 25,00 210,00 8,6 0,6 2,78 23,89 9,2 2,5 0,16 1,47 7,9 1,3 0,59 4,67 summor: 30,46 255,36 medelvärde: 8,38 0,18 Pendelns längd är 8,4 ± 0,2 m (8,38 ± 0,18 m).

Uppgift B5 Man vill bestämma hur belysningen (E) varierar med avståndet (r) från en lampa. Man mäter därför belysningen för några olika värden på avståndet. Ansätt funktionssambandet E = k r -n. Gör en oviktad minsta kvadratanpassning till dessa data och bestäm exponenten n och konstanten k. Svar: Vi erhåller ett linjärt samband genom logaritmering: y = ln E = ln k n ln r = K n x En enkel uppställning med kända formler är: Y X X^2 Y^2 X*Y log r/m E/lux (E/lux) ln(r/m) 0,25 764 6,64-1,39 1,92 44,07-9,20 0,3 550 6,31-1,20 1,45 39,82-7,60 0,35 417 6,03-1,05 1,10 36,40-6,33 0,4 328 5,79-0,92 0,84 33,56-5,31 0,6 158 5,06-0,51 0,26 25,63-2,59 0,8 94 4,54-0,22 0,05 20,64-1,01 summor 34,38-5,29 5,62 200,11-32,04 Delta= 5,76 A 4,14 62,93 B -1,80 Exponenten blir n = -1,80 och konstanten k = e 4,14 = 62,9. Uppgift B6 r / m E / lux 0,25 764 0,3 550 0,35 417 0,4 328 0,6 158 0,8 94 En student på Biologiska institutionen undersöker om det finns något enkelt samband mellan andningsintensiteten (i liter syre per timme och gram kroppsvikt) och kroppsvikten. Tabellen till höger visar på det experimentella sambandet: a) Hur skall studenten bäst påvisa detta samband i grafisk form (gör ett diagram)? b) Ange ett troligt enkelt samband mellan storheterna? Andnings- kroppsvikt intensiteten gram mus 1600 50 råtta 880 500 kanin 470 3000 hund 330 10000 människa 200 80000 häst 110 700000 Svar: Betraktar vi den högra kolumnen är det naturligt att införa en logaritm för att dra ihop skalan till lämpligt format (log 50 = 1,7 till ln 700000 = 5,8). En snabb skiss visar att punkterna ligger på en rät linje om även värdena i den vänstra kolumnen logaritmeras. Vi använder 10-logaritmen här:

Y=Andnings- X=kroppsvikt intensiteten i gram log(y) log(x) mus 1600 50 3,20 1,70 råtta 880 500 2,94 2,70 kanin 470 3000 2,67 3,48 hund 330 10000 2,52 4,00 människa 200 80000 2,30 4,90 häst 110 700000 2,04 5,85 Med följande diagram: 3,3 log(andningsintensitet) 3,1 2,9 2,7 2,5 2,3 2,1 1,9 1,7 1,5 y = -0,2828x + 3,6801 0 1 2 3 4 5 6 7 log(kroppsvikt i gram) Detta samband svara mot en potensfunktion: y = m x n, där exponenten n = -0,28 och konstanten m = 10 3,68 = 4786.