Analysschema i matematik. För skolår 6 9

Analysschema i matematik För skolår 6 9

Förord I januari 2001 färdigställdes Analysschema i matematik för åren före skolår 6 med syfte att förbättra stödet för analys av barns kunskapsutveckling i matematik. I anslutning till detta startade arbetet med en fortsättning för de senare skolåren. Resultatet av arbetet kan ses i föreliggande Analysschema i matematik för skolår 6-9. I materialet relateras analysschemats olika delar till målen i läroplanen och till kursplanemålen för grundskolan. Vidare finns en beskrivning av hur lärare och elever tillsammans kan ta fram ett underlag för analys och hur analys och dokumentation kan gå till. Analysschema i matematik för skolår 6-9 är ett erbjudande till berörda lärare/arbetslag. Tanken är att varje lärare själv avgör när och hur materialet ska användas samt vilka delar som bäst gagnar arbetet med att analysera och stödja den enskilda elevens utveckling av sina matematikkunskaper. Det ska samtidigt sägas att materialet inte avses vara ett förslag till undervisningsplan. Analysschemat innehåller inga uppgifter som eleverna ska lösa. Däremot hänvisas i materialet till en uppgiftsbank, Diagnostiska uppgifter i matematik för skolår 6-9. Materialet är utarbetat av prim-gruppen vid Lärarhögskolan i Stockholm på Skolverkets uppdrag. Projektledare för prim-gruppen är Astrid Pettersson och ansvarig för utarbetandet av analysschemat har varit Lisa Björklund. I arbetet har yrkesverksamma lärare, lärarutbildare och forskare deltagit. Stockholm i mars 2003 Bengt Fredén Undervisningsråd

Förfrågningar och synpunkter Frågor om analysschemat ställs till prim-gruppen, Lärarhögskolan i Stockholm, fax: 08-618 35 71, e-post: info@prim-gruppen.se eller telefon: Lisa Björklund 08-120 765 98 Katarina Kjellström 08-120 766 13 Astrid Pettersson 08-120 765 90 Inger Stenström 08-120 765 82 Ingemar Ingemansson 08-120 766 09 Synpunkter på materialet kan lämnas på enkäten, sidan 72. Analysschema i matematik för skolår 6-9 Upplaga 1:1 ISBN 91-85009-33-4 Skolverket, 2003 Tryck: Edita Västra Aros, Västerås 2003 Nytt digitalt original: Lejut Reklambyrå AB, Stockholm 2008, www.lejut.se

Innehåll Förord... 3 Förfrågningar och synpunkter... 4 Inledning... 7 Materialets struktur... 8 Allmän lärarinformation... 9 Nationella diagnostiska material och prov... 9 Läroplaner och kursplan... 10 Översikt... 13 Citat ur styrdokumenten... 14 Att arbeta med analys av kunskap... 16 Att ta fram underlag för analys... 16 Att analysera kunskap... 17 Att dokumentera analyser... 17 Schemats struktur... 19 Exempel på ifyllda schemadelar... 20 Användning av nationella diagnostiska material... 22 Koppling till diagnostiska uppgifter... 22 Koppling till Analysschema i matematik för åren före skolår 6... 24 Kommentarer och exempel till analysschemat lärarversion... 26 Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband... 27 Statistik och sannolikhet... 38 Taluppfattning... 41 Mönster och samband... 48 Kommentarer och exempel till analysschemat elevversion... 54 Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband... 55 Statistik och sannolikhet... 57 Taluppfattning... 58 Mönster och samband... 60 Analysschema... 63 Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband... 64 Statistik och sannolikhet... 66 Taluppfattning... 68 Mönster och samband... 70 Lärarsynpunkter... 72 5

6

Syftet med detta material är att stödja elever och lärare i att reflektera över och dokumentera den kunskaps utveckling i matematik som den enskilde eleven visar under skolår 6 till 9. Analysschemat bygger på det innehåll och de strukturer som präglar Analysschema i matematik för åren före skolår 6 (Skolverket 2000). Viktiga utgångspunkter vid utarbetandet av materialet är att det, i enlighet med skolans styrdokument, ska sätta fokus på olika perspektiv av matematikämnet och att det ska synliggöra kvaliteten i elevers kunnande i olika verksamheter och situationer. Materialet är omfattande eftersom matematikämnet har många infallsvinklar och kunskapsområden och eftersom det ska kunna användas för elever i olika åldrar. Givetvis behöver inte allt fyllas i för varje elev. Hur omfattande analysen blir beror bland annat på vilka delar av matematiken som den enskilde läraren/arbetslaget/eleven väljer att fokusera. När det gäller att ta fram underlag till analysen kan, förutom eleven själv och läraren i matematik, också andra personer vara delaktiga, till exempel lärare i andra ämnen. 7

Materialets struktur Materialet består av följande delar: Allmän lärarinformation Under denna rubrik beskrivs de nationella diagnosmaterialen och proven för grundskolan. Här belyses också hur analysschemats olika delar kan relateras till målen i läroplanen och till kursplanemålen för grundskolan. Att arbeta med analys av elevers kunskap Här beskrivs hur eleven och läraren tar fram underlag för analys och hur analys och dokumentation kan gå till. Användning av nationella diagnostiska material: Under denna rubrik hänvisas till material som är användbara i kombination med analysschemat. Kommentarer och exempel till analysschemat (lärarversion) Här kommenteras analysschemats olika delar och vad analysen kan foku seras på. Underrubrikerna har samma ordningsföljd som rutorna i analysschemat. Kommentarer och exempel till analysschemat (elevversion) Analysschemats olika delar och vilket kunnande som passar att doku mentera under varje rubrik beskrivs kortfattat. Underrubrikerna har samma ordningsföljd som rutorna i analysschemat. Analysschema Innehållet i analysschemat har strukturerats under rubrikerna Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband, Statistik och sannolikhet, Taluppfattning och Mönster och samband. Syftet med denna indelning och strukturen vad gäller underrubriker na är att materialet ska vara så lättanvänt som möjligt. Det ska sam tidigt sägas att det inte är ett förslag till undervisningsplan. 8

Allmän lärarinformation Nationella diagnostiska materiai och prov Det nationella provsystemet i grundskolan består av diagnostiska material och ämnesprov. Vägledande för konstruktionen av samtliga material är den kunskaps och ämnessyn som kommer till uttryck i läroplan respektive kursplan. De diagnostiska materialen finns för två olika åldersgrupper. Det diagnostiska materialet i matematik för åren före skolår 6 tar sin utgångspunkt i förskolebarns tidiga kunnande och sträcker sig till mål att uppnå i slutet av det femte skolåret. Det består av Analysschema i matematik för åren före skolår 6 och av Diagnostiska uppgifter i matematik för användning i de tidiga skolåren. Det diagnostiska materialet i matematik för de senare skolåren har en likartad uppbyggnad och sträcker sig till den kunskap som elever kan visa i skolår 9. Ena delen är analys materialet som finns i detta häfte och här är det enbart elevens kunnande som lyfts fram och dokumenteras. Den andra delen är Diagnostiska uppgifter i matematik för skolår 6-9 (revidering och komplettering av Diagnostiskt material i matematik för skolår 1, 1996) vars syfte är att belysa elevens starka och svaga sidor i matematik och att vara ett stöd i en bedömning av vad som krävs för att eleven troligtvis kommer att nå kursplanens mål att uppnå i slutet av det nionde skolåret. Ämnesprov finns i engelska, matematik och svenska för skolår 5 och skolår 9. I skolår 5 syftar ämnesproven till att vara ett stöd för läraren att bedöma om eleven har den kunskap som krävs för de olika målen att uppnå. Syftet är också diagnostiskt och proven ska således även vara en hjälp att belysa elevens starka och svaga sidor i matematik. Syftet med ämnesproven i skolår 9 är att stödja läraren i bedömningen om och hur väl den enskilde eleven nått målen i kursplanen, ge stöd för betygssättningen samt bidra till en likvärdig bedömning över landet. 9

Läroplaner och kursplan Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet, Lpo 94, och Kursplan i matematik för grundskolan har varit utgångspunkter i arbetet med de två analysmaterialen. Eftersom materialet för yngre åldrar, Analysschema i matematik för åren före skolår 6, även bygger på Läroplan för för skolan, Lpfö 98, påverkar denna läroplan i viss mån också innehållet i föreliggande material. Det gäller framför allt översikten längst bak i häftet. Utöver läroplaner och kursplan har aktuell forskning och erfarenheter från verksamhet och undervisning för de aktuella åldrarna påverkat innehållet. På sidan 12 finns citat ur läroplanen, kursplanen i matematik och bedömningens inriktning som är särskilt tillämpliga för materialet. Ansvar och självbedömning När det gäller analys och bedömning är elevens aktiva deltagande viktigt. Reflektion kring sitt kunnande i matematik ger eleven möjlighet att inse vad hon/han kan och kan därigenom öka tilltron till den egna förmågan. Vid användningen av analysschemat kan eleven delta på olika sätt. Eleven kan själv vara den som förvaltar och fyller i schemat med hjälp av läraren som stöttar med kommentarer vid behov. Som en hjälp för en uppläggning av detta slag finns en kommentardel som särskilt riktar sig till eleven (som kopieringsunderlag på sidan 46). När läraren är den som handhar och fyller i schemat kan eleven uppmanas att aktivt fundera över sin lärandeprocess och påpeka för läraren när något nytt kan fyllas i på schemat. I Diagnostiska uppgifter i matematik för skolår 6-9 och Ämnesprov i matematik för skolår 5 finns material som kan användas som en del aven självbedömning. Under varje huvudrubrik i analysschemat, sidan 63, finns en underrubrik som särskilt fokuserar elevens tilltro till och ansvar för sitt eget lärande, Visar tilltro och tar ansvar. Här kan eleven och/eller läraren fylla i sådant som är relevant ur denna aspekt. Ur Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet: Skolan skall sträva efter att varje elev tar ett personligt ansvar för sina studier och sin arbetsmiljö. successivt utövar ett allt större inflytande över sin utbildning och det inre arbetet i skolan. Ur Kursplan i matematik för grundskolan: Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer. Problemlösning Problemhantering intar en särställning bland mål att sträva mot eftersom problemlösning finns med inom alla matematikens kunskapsområden och kan dessutom ses som en viktig miljö för lärandet. I en problemlösningssituation kan eleven dels visa sin problemlösningsförmåga bland annat genom val av lösningsstrategier, dels annan matematisk kunskap som till exempel förståelse för olika begrepp. Ur Kursplan i matematik för grundskolan: Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen. 10

Under varje huvudrubrik i analysschemat finns en underrubrik som särskilt fokuserar problemlösning, Hanterar och löser problem, men även i de områden som beskrivs under övriga underrubriker är problemlösningen central. Tillämpning En person kan ha mer eller mindre tillgång till sitt matematiska kun nande i olika situationer och ju större tillgången är, desto större nytta har han/hon självklart av sin kunskap. En viktig del i analysen är hur eleven tar med sig sitt matematiska kunnande från en vardaglig situation till en matematisk situation och tvärtom. Andra situationer där eleven kan tillämpa sitt matematiska kunnande är till exempel i övriga ämnen och temaarbeten. Tillämpning kan också handla om att integrera matematik från olika kunskapsområden och att använda matematiska modeller. Under varje huvudrubrik i analysschemat, sidan 63, finns en underrubrik som särskilt fokuserar tillämpning, Tillämpar matematik. Ur Kursplan i matematik för grundskolan: Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven inser att matematiken har spelat och spelar en viktig roll i olika kulturer och verksamheter och får kännedom om historiska sammanhang där viktiga begrepp och metoder inom matematiken utvecklats och använts, utvecklar sin förmåga att använda enkla matematiska modeller samt kritiskt granska modellernas förutsättningar, begränsningar och användning. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det nionde skolåret. Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning. 11

Kommunikation och språk I all matematisk aktivitet ingår kommunikation av något slag, ibland som en inre dialog men ofta i samspel med andra. Allt lärande och i synnerhet begrepps bildning kräver kommunikation. Dessutom måste eleven kommunicera på något sätt för att visa sin kunskap. En aspekt på kommunikation är i vilken utsträckning eleven visar sina matematiska tankar för omgivningen, det vill säga elevens förmåga att på något sätt uttrycka sig så att matematikinnehållet blir begrip ligt. En annan aspekt är hur eleven använder matematiken då eleven kommunicerar, till exempel förmågan att använda relevant matematisk terminologi. Kommunikationen kan ske skriftligt och muntligt med till exempel gester, bild, ord, symboler. Under varje huvudrubrik i analysschemat, sidan 63, finns två underrubriker som särskilt fokuserar elevens kommunikation och språk, Kommunicerar och Matematiskt språk. Under Kommunicerar kan elevens matematiska kommunikation i allmän mening dokumenteras medan Matematiskt språk främst fokuserar elevens använd ning av matematisk terminologi och symboler. Ur Kursplan i matematik för grundskolan: Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer, utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande. Ur Bedömningens inriktning: En viktig aspekt på kunnandet är elevens förmåga att uttrycka sina tankar muntligt och skriftligt med hjälp av det matematiska symbolspråket och med stöd av konkret material och bilder. 12

Översikt I materialet finns en översikt som visar hur schemats olika delar är relaterade till såväl mål att uppnå som mål att sträva mot. Syftet med översikten är att ge en helhetsbild över det som kan analyseras med hjälp av materialet. Eftersom översikten bygger på den översikt som finns i Analysschema i matematik för åren före skolår 6 finns även mål från förskolan med. Översikten finns längst bak i häftet och beskrivs nedan. Innerst i mittcirkeln finns de mål att sträva mot för förskola och grundskola som har en mer övergripande karaktär. Dessa hör inte samman med något särskilt kunskapsområde i matematik utan är applicerbara på allt som kan analyseras med hjälp av föreliggande material. I ytterkanten finns mål att sträva mot som är specifika för olika ämnesinnehåll. Dessa mål hör samman med olika kunskaps områden i matematik och med de olika delarna av analysschemat. Däremellan finns bland annat målen att uppnå för skolår 9 samt ord och uttryck från analysschemat inplacerade. Det går att dela in matematiken i olika kunskapsområden. Hur indelningen än görs har de olika områdena starka band till varandra. Detta illustreras av modellen nedan. De ord som står inom parentes finns med i motsvarande modell i Analysschema i matematik ör åren före skolår 6. 13

Citat ur styrdokumenten Ur Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet, Lpo 94: Mål att uppnå i grundskolan Skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet. Ur Kursplan i matematik för grundskolan: Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer, inser att matematiken har spelat och spelar en viktig roll i olika kulturer och verksamheter och får kännedom om historiska sammanhang där viktiga begrepp och metoder inom matematiken utvecklats och använts, inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer, utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slut satser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna iförhål lande till den ursprungliga problemsituationen, utvecklar sin förmåga att använda enkla matematiska modeller samt kritiskt gran ska modellernas förutsättningar, begräns ningar och användning, utvecklar sin förmåga att utnyttja mini räknarens och datorns möjligheter. Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda grundläggande talbegrepp och räkning med reella tal, närmevärden, proportiona litet och procent, olika metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma storleken av viktiga storheter, grundläggande geometriska begrepp, egenskaper, relationer och satser, grundläggande statistiska begrepp och metoder för att samla in och hantera data och för att beskriva och jämföra viktiga egenskaper hos statistisk information, grundläggande algebraiska begrepp, ut tryck, formler, ekvationer och olikheter, egenskaper hos några olika funktioner och motsvarande grafer, sannolikhetstänkande i konkreta slumpsituationer. Mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det nionde skolåret Eleven skall ha förvärvat sådana kun skaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen före kommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning. Inom denna ram skall eleven ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråkoch decimal form, ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med natur liga tal och tal i decimalform samt pro cent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel, kunna använda metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma längder, areor, volymer, vinklar, massor, tidpunkter och tidsskillnader, 14

kunna avbilda och beskriva viktiga egen skaper hos vanliga geometriska objekt samt kunna tolka och använda ritningar och kartor, kunna tolka, sammanställa, analysera och värdera data i tabeller och diagram, kunna använda begreppet sannolikhet i enkla si umpsituationer, kunna tolka och använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser. Ur Bedömning i ämnet matematik Bedömningens inriktning Bedömningen av elevens kunnande i ämnet matematik gäller följande kvaliteter: Förmågan att använda, utveckla och uttrycka kunskaper i matematik. Bedömningen avser elevens förmåga att använda och utveckla sitt matematiska kunnande för att tolka och hantera olika slag av uppgifter och situationer som förekommer i skola och samhälle, till exempel förmågan att upptäcka mönster och samband, föreslå lösningar, göra överslag, reflektera över och tolka sina resultat samt bedöma deras rimlighet. Självständighet och kreativitet är viktiga bedömningsgrunder liksom klarhet, noggrannhet och färdighet. En viktig aspekt av kunnandet är elevens förmåga att uttrycka sina tankar muntligt och skriftligt med hjälp av det matematiska symbol språket och med stöd av konkret material och bilder. uppmärksammas elevens förmåga att självständigt och kritiskt ta ställning till matematiskt grundade beskrivningar och lösningar på problem som förekommer i olika sammanhang i skola och samhälle. Förmågan att reflektera över matematikens betydelse för kultur och samhällsliv Bedömningen avser elevens insikter i och känsla för matematikens värde och begränsningar som verktyg och hjälpmedel i andra skolämnen, i vardagsliv och samhällsliv och vid kommunika tion mellan människor. Den avser också elevens kunskaper om matematikens betydelse i ett historiskt perspektiv. Förmågan att följa, förstå och pröva matematiska resonemang Bedömningen avser elevens förmåga att ta del av och använda information i såväl muntlig som skriftlig form, till exempel förmågan att lyssna till, följa och pröva andras förklaringar och argument. Vidare 15

Att arbeta med analys av kunskap I arbetet ingår att ta fram underlag för analys och att analysera och dokumentera kunskap. Att ta fram underlag för analys Eleven kan visa sin kunskap med olika uttrycksformer och i olika situationer. Uttrycksformer Nedan beskrivs uttrycksformer med vilka eleven kan visa sitt mate matiska kunnande. Handling Eleven kan uttrycka matematiskt kunnande med konlkret hand ling genom att tillexempel lösa ett praktiskt inriktat problem och då utföra de handlingar som beskrivs i problemet. Bilder Eleven kan grafiskt förklara sina matematiska tankar genom att till exempel rita bilder och/eller diagram. Ord talade och skrivna Eleven kan med ord, muntligt och skriftligt, kommunicera sina matematiska tankar. Symboler Eleven kan visa sitt matematiska kunnande med symboler som siffror, likhetstecken, bokstäver med mera. Situationer Underlag för analys av kunskap i matematik kan tas fram av läraren och/eller eleven i olika situationer, förutom matematiklektioner till exempel fritidsaktiviteter, tematiskt/ämnesövergripande arbete, arbete i andra ämnen, vardagssituationer. Nedan ges exempel på olika sorters situationer där elever visar sitt kunnande i matematik. Varje situation passar in på flera olika rutor i schemat, sidan 52. Några av dessa är nämnda här. Matematiklektioner Exempel på Hanterar och löser problem och Likheter och olikheter: Eleverna i klassen far ett problem att lösa: På ett fält där man tränar hunddressyr finns människor och hundar. Det finns sammanlagt 52 ben och 21 huvuden. Hur många människor och hur många hundar finns det? Hanna gör en tabell över olika alternativ för att lösa problemet medan David använder ekva tion och Niklas ritar en bild. Fritidsaktiviteter Exempel på Tillämpar matematik, Hanterar och löser problem och Datahantering, tabeller och diagram: David och Victoria engageras avelevrådet att arrangera en volleybollturnering där alla lag möter alla. De gör ett spelschema för de intresserade klasserna och gör en tabell över resultaten och lagens inbördes ställning. Tabellen reviderar de med hjälp av ett kalkylpro gram på datorn allt eftersom matcherna spelas. Tematiskt arbete Exempel på Tillämpar matematik och Avbildning, kartor och ritningar: Klassen arbetar med ett tema om länder. Moa och Jacob arbetar med Italien. De gör en tredimensionell karta i formbar sand för att visa formen på landet. 16

Arbete i andra ämnen Exempel på Visar tilltro och tar ansvar; Tillämpar matematik, Kommunicerar och Likheter och olikheter: På en kemilektion arbetar eleverna med att skriva formler för kemiska reaktioner. Hanna kan se likheter med ekvationslösning och kommenterar: Det måste vara lika många atomer av varje slag på båda sidor. Då blir det ju mycket enklare att lista ut hur det blir. Vardags- och samhällsliv Exempel på Tillämpar matematik, Räknemetoder och Formler och uttryck: Jenny märker att hennes månadspeng tar slut alldeles för fort. Hon vill hitta ett system för att ha bättre överblick. Efter en matematiklektion där de har arbetat med ett kalkylprogram använder hon sig av sin nya kunskap. Hon gör i ordning ett kal kylblad där hon fortlöpande för in sina inkomster och utgifter. För att datorn ska utföra de beräkningar hon vill skriver hon in formler i kalkylbladets celler. Att analysera kunskap En viktig aspekt i analysen är med vilken kvalitet eleven Visar och/eller använder sin kunskap. Högre kvalitet kan till exempel vara att eleven visar förståelse för ett begrepp på olika sätt och i olika sam manhang. Kunskap i matematik kan vara situationsbunden. Att eleven visar förståelse för ett begrepp i en viss situation behöver inte innebära att hon/ han säkert visar samma förståelse i en annan situation. Analysen bör därför fokusera i vilken utsträckning eleven har tillgång till sitt kunnande i olika situationer. En annan kvalitetsaspekt är i vilken mån eleven kan se och använda mönster och strukturer. Eleven kan till exempel se ett mönster när det gäller hur ett visst problem ska lösas och använder sedan detta mönster för att lösa ett liknande problem. En aspekt på kvalitet är vidare i vilken utsträckning eleven ger generella lösningar på problem. Under rubriken Kommentarer och exempel till analysschemat (lärarversion), sidan 26, finns mer detaljerad information. Där be skrivs vad analysen kan fokusera på och där finns också exempel från olika situationer. Att dokumentera analyser En strävan är att materialet ska omfatta den kunskap och de infallsvinklar som är relevanta i matematik för den aktuella åldersgruppen och som överensstämmer med läroplan, kursplan och aktuell forskning. Detta innebär dock inte att de analyser som görs behöver bli omfattande. Vad som fylls i på schemat för en enskild elev beror på vad eleven och/ eller läraren fokuserar analysen på. 17

Exempel på användning av analysschemat Materialet har arbetats fram i samarbete med lärare, lärarutbildare och forskare. Vid utarbetandet av materialet har lärare beskrivit olika sätt som de kommer att använda materialet på: Vi kommer att försöka fånga tillfället i flykten genom att kontinuerligt dokumentera den kunskap som varje elev visar i olika situationer. Till vår hjälp kommer vi att använda oss av elevens egna reflektioner. Kanske att varje elev får föra sin egen matematikdagbok där han/hon får anteckna sin lärandeprocess. Ur den kan vi sedan välja ut det kunnande som vi tycker ska föras in i schemat. Hos oss kommer eleven själv att få ta ansvar för att analysschemat används. Efter skrift liga diagnoser och andra arbeten ber vi eleverna reflektera över vad de har lärt sig. Med hjälp av elevvarianten av kommentardelen far varje elev sedan fylla i nya saker i schemat. De kan självklart fråga oss om hjälp och vi kommer också att läsa det varje elev skriver. Jag kommer att inrikta mina iakttagelser och analyser på några elever i taget. Då kan jag också fråga andra vuxna vilket kunnande de ser att eleven visar. Vi kommer att sammanfatta då och då, till exempel en gång i halvåret, vilken kunskap varje elev har visat och göra dokumentationen då. Till vår hjälp har vi elevens och våra anteck ningar och de mappar där eleverna samlar sina arbeten. Det bästa för mig blir nog att inrikta analysen på några olika rutor i taget. Då fyller jag i just de rutor som passar för alla elever i gruppen. För oss passar det bäst att i första hand analysera varje elevs arbete vid skriftliga diagnoser. Analyserna dokumenterar vi i analysschemat. För vissa elever kanske vi vill ha ytterligare underlag för analys. Vi iakttar då dessa elever i olika situationer och ber dem också att själva kommentera sin kunskapsutveckling. 18

Schemats struktur Schemat är strukturerat så att olika områden är sammanförda under olika rubriker, till exempel Taluppfattning. Syftet med denna struktur är att schemat ska vara lätt att hitta i för läraren och är, som nämnts tidigare, inte ett förslag till undervisningsplan. Ordningen på analys schemats olika rutor är inte en beskrivning även progression vad gäller svårighetsgrad mellan innehållet i rutorna. Som tidigare beskrivits är detta material en fortsättning på Analysschema i matematik för åren före skolår 6. Det finns stora likheter mellan schemana i dessa båda material, men också vissa skillnader. De är uppbyggda på liknande sätt där de fyra första rutorna under varje huvudrubrik stämmer väl överens i de båda materialen. Dessa rutor har en mer övergripande karaktär och de har i detta häfte utökats jämfört med det tidigare schemat. De verb som förekommer i rutorna, till exempel analyserar, reflekterar, drar slutsatser, generaliserar, kan ses som kvalitetsaspekter på elevens kunnande. Den femte rutan under varje huvudrubrik handlar om kvaliteten i elevens språk och förmågan att uttrycka matematiska tankar muntligt och skriftligt med matematikens ord och symboler. De efterföljande rutorna hand lar i båda schemana om olika områden i matematiken. Även i dessa rutor finns verb som kan ses som kvalitetsaspekter. Analysschemat kan spegla elevers kunskapsutveckling över tid och det kan därför också användas för information vid lärarbyten och utvecklingssamtal. I de fall ett analysschema följer en elev genom flera skolformer kan givetvis flera kopior av analysschemat behövas. På de följande sidorna finns exempel på ifyllda schemadelar. 19

Exempel på ifyllda schemadelar Analysschema Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad eleven kan som hur eleven visar sin kunskap. Vilka rutor som tylls i beror framför allt på vad läraren och eleven väljer att fokusera. Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad. Visar tilltro och tar ansvar Visar tilltro till och intresse för sitt lärande. Visar medvetenhet om och tar ansvar för sitt lärande. Hanterar och löser problem Analyserar, reflekterar, drar slutsatser, generaliserar. Jämför, tolkar och värderar lösningar. Använder tekniska hjälpmedel. Tillämpar matematik I olika situationer: i andra ämnen, temaarbete, vardagsliv, samhälle. Integrerar matematik från olika områden. Inser värdet av och använder relationer och satser. Använder matematiska modeller. Kommunicerar Beskriver, förklarar, lyssnar, argumenterar muntligt och skriftligt. Använder gester, bild, ord, symboler. Matematiskt språk Använder matematisk terminologi, matematiskt symbolspråk. Känner igen, jämför, tolkar, beskriver, definierar begrepp. Fortsättning nästa sida: 20

Exempel på ifyllda schemadelar Fortsättning: Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband Avbildning, kartor och ritningar Likformighet, symmetri, kongruens, skala. Tolkar, använder, ritar/konstruerar. Geometriska objekt En-, två- och tredimensionella. Känner igen, jämför, beskriver, konstruerar, definierar. Geometriska mönster Uppfattar, avbildar, fortsätter, beskriver, konstruerar, generaliserar. Geometriska satser Troliggör, visar på, använder. Genomför enkla bevis. Längd, area, volym Förstår, jämför, uppskattar, mäter, bestämmer. Behärskar enheter. Massa (vikt) Förstår, jämför, uppskattar, mäter, bestämmer. Behärskar enheter. Vinklar Förstår, jämför, uppskattar, mäter, bestämmer. Tid Jämför, uppskattar, anger och avläser tider, behärskar enheter, bestämmer tidsskillnader. 21

Användning av nationella diagnostiska material Syftet med analysmaterialet är, som tidigare beskrivits, att det ska vara en hjälp att följa och dokumentera elevens kunskapsutveckding i matematik, från målen att uppnå i skolår 5 till det kunnande elever kan visa i skolår 9. Här är det enbart det eleven kan som fokuseras. Även i Diagnostiska uppgifter i matematik för skolår 6-9 fokuseras elevens kunnande men här kan också brister belysas. Koppling till diagnostiska uppgifter Nedan beskrivs var i Diagnostiska uppgifter i matematik för skolår 6-9 det går att hitta uppgifter som passar till analys schemats rubriker. Rubrik ur analysschemat Uppgifter ur Diagnostiska uppgifter Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband Visar tilltro och tar ansvar Hanterar och löser problem Tillämpar matematik Kommunicerar Matematiskt språk Avbildning, kartor och ritningar Geometriska objekt Geometriska mönster Geometriska satser Längd, area, volym Massa (vikt) Vinklar Tid GAl; GA2; GB2:3,4; GB3; GC1:5; GC3:4; GC4:6; GC5:5; GC6:4 GB1:2; GB2:1,3; GB3; GC1:5; GC5:3,4; GC6:1,2 GC1:3; GB2:3,4; GB3; GC1:2,5; GC2:2; GC3:4; GC4:3-5; GC5:2,3,4; GC6:2 GB2:4; GB3; GC1:5,6; GC2:3; GC3:4; GC4:6; GC5:5; GC6:4 GB1:1,5; GB2:4; GB3; GC1:5,6; GC2:4; GC3:4; GC4:6; GC5:5, GC6:4 GB1:3; GB3; GC2:4; GC4:4; GC5:1,3; GC6:4; TC5:7 GB1:1,2; GB2:2-4; GC2:3,4; GC3:4; GC4:2,5,6; GC5:3-5; GC6:4; MB1:4; MC5:2 GB2:1 GC4:5,6; GC5:4; GC6:2; MC5:2 GB1:2,3,5; GB2:2-4; GB3; GC1:1,2,6; GC2:3,4,5; GC3:1,2,4; GC4:1,2,4-6; GC5:2,3,4; GC6:1-3; TC5:1,7 GB1:5; GC1:3; GC4:3: GC6:3 GB2:4; GC1:4; GC2:1; GC3:3,4; GC4:6; GC5:5 GC1:4,5; GC1:5,7; GC2:2,5; GC5:2; GC6:3 22

Statistik och sannolikhet Visar tilltro och tar ansvar Hanterar och löser problem Tillämpar matematik Kommunicerar Matematiskt språk Läges- och spridningsmått Datahantering, tabeller och diagram Sannolikhet SA; SB1:2,3; SB2; SC2:3,4; SC3:3 SB1:2; SB2; SC2:3 SB1:12,3; SB2; SC1:1; SC2:1-3; SC3:1,2,4,5 SB1:3; SB2; SC2:3 SB1:1,3; SB2; SC2:1,3 SC2:2,3; SC3:1,2; TC4:6 SB1:1-3; SB2; SC1:1,2; SC2:1; SC3:1; TC4:6 SC2:4; SC3:3-5 Taluppfattning Visar tilltro och tar ansvar Hanterar och löser problem Tillämpar matematik Kommunicerar Matematiskt språk Talområden Positionssystemet Del av Räknesätt och räkneregler Räknemetoder TAl; TA2; TB2:1,2; TC4:6 TB1:4; TB2:1,2; TC1:4; TC3:3; TC5:7; TC7:6,8 TB2:1,2; TC1:4; TC3:3,7; TC4:4; TC6:4; TC7:1,8 TB1:2; TB2:1,2; TC1:3; TC3:4; TC6:4,7,8; TC7:3 TB1:2; TB2:1,2; TC3:4,8; TC6:7; TC7:1,3 TB1:1,5; TC4:1,6; TC5:7; TC6:1,5; TC7:2,4 TB1:5; TC1:1; TC2:4,5; TC3:1,5; TC4:1,4; TC5:2,7; TC6:2; TC7:2 TB1:2,4,5; TB2:2; TC1:1,2; TC2:2,3; TC3:1-7; TC4:1,5; TC5:1,4,5; TC6:1,2; TC7:2,6,8; GC4:1; SC1:1 TB1:3; TB2:1,2; TC1:3,4; TC2:1,6,7; TC3:8; TC4:2-4; TC5:2,3,6; TC6:3,7; TC7:1,3,8; GC4:4; MC1:3 TB2:2; TC1:4; TC2:1,4,5,7; TC3:1,3,5-8; TC4:3; TC5:2,3; TC6:2,3,5; TC7:5,7; GC1:7; MC1:4 23

Mönster och samband Visar tilltro och tar ansvar Hanterar och löser problem Tillämpar matematik Kommunicerar Matematiskt språk Mönster Formler och uttryck Grafer och funktioner Likheter och olikheter MAI; MA2; MB1:2; MC2:2,4; MC3:5; MC4; MC5:4 MB1:1,2; MC2:2; MC4; GB2:1 MB1:1,2,4; MC2:2,4; MC4; MC5:2 MB1:3; MC2:2,3,4; MC4; MC5:3,4 MB1:2; MC1:2; MC2:1-3; MC3:2,4,5; MC5:2,4,5 MB1:1,2; MC1:3; MC2:2; MC3:5; GB2:1 MC1:2; MC2:2,3; MC3:2-5; MC5:1,2,5; GB2:1 MB1:3,4; MC1:1; MC2:2,4; MC3:1,4,5; MC4; GB2:1 MC1:2,4; MC2:1,3; MC3:3; MC5:3,5; TC5:2,3; TC7:5,7 Koppling till Analysschema i matematik för åren före skolår 6 Här visas hur rutorna i analysschemat i detta häfte hänger samman med det schema som ingår i Analysschema för åren före skolår 6. Med hjälp av denna struktur underlättas arbetet när dokumentatio nen aven elevs kunskapsutveckling sker under en längre tid. Före skolår 6 Mätning och rumsuppfattning Visar tilltro till sin förmåga Hanterar och löser problem Använder Mätning och rumsuppfattning Kommunicerar Mätning och rumsuppfattning Vardagsord Skolår 6-9 Mätning, rumsuppfattning och geometriska satser Visar tilltro och ansvar Hanterar och löser problem Tillämpar matematik Kommunicerar Matematiskt språk Grundläggande rumsuppfattning Avbildning, förstoringar och förminskningar Avbildning, kartor och ritningar Kartor och ritningar Symmetri Fortsättning på nästa sida. 24

Geometriska objekt Mönster Geometriska objekt Geometriska mönster Geometriska satser Längd Area Längd, area, volym Volym Massa (vikt) Vinklar Tid Massa (vikt) Vinklar Tid Sortering, tabeller och diagram Visar tilltro... till och med Vardagsord se Mätning och rumsuppfattning Lägesmått Statistik och sannolikhet Visar tilltro... till och med Matematiskt språk se Mätning och rumsuppfattning Lägesmått och spridningsmått Klassificering och sortering Tabeller Diagram Datahant, tabeller och diagram. Sannolikhet Taluppfattning Visar tilltro... till och med Vardagsord se Mätning och rumsuppfattning Taluppfattning Visar tilltro... till och med Matematiskt språk se Mätning och rumsuppfattning Talområden Positionssystemet Tal i bråk- och decimalform Förståelse för räknesätten Positionssystemet Del av Räknesätt och räkneregler Uppdelning av tal Huvudräkning Skriftliga räknemetoder Räknemetoder Miniräknare Hälften/dubbelt Mönster (Under rubriken Taluppfattning) Symboler och obekanta tal (Under rubriken Taluppfattning) Mönster och samband Mönster Likheter och olikheter Formler och uttryck Grafer och funktioner 25

Lärarversion Kommentarer och exempel till analysschemat Materialet är indelat i fyra områden, Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband, Statistik och sannolikhet, Taluppfattning samt Mönster och samband. De fem första underrubrikerna inom varje område återkommer under varje huvudrubrik och har liknande formuleringar. Underrubrikerna är Visar tilltro och tar ansvar, Hanterar och löser problem, Tillämpar matematik, Kommunicerar samt Matematiskt språk. De fyra första av dessa rubriker har en övergripande karaktär och hör ihop med de mål att sträva mot som finns i den inre cirkeln på översikten längst bak i materialet. Den femte rutan, Matematiskt språk, har inte samma övergripande karaktär eftersom det matematiska språket skiljer sig åt mellan de olika kunskapsområdena. Alla rubriker i nedanstående text kommer i samma ordning som i analysschemat. Under de flesta rubrikerna finns exempel på situationer där elever visar kunskap. De allra flesta av situationerna passar in på flera av rutorna. Vi har valt att ändå inte upprepa något exempel utan har i stället strävat efter att mångfalden av exempel ska vara så stor som möjligt. Efter de exempel som handlar om eleven Hanna finns förslag på noteringar som skulle kunna göras i hennes analysschema. Det finns också en kommentardel som riktar sig direkt till eleven. Den återfinns som kopierings underlag på sidan 46. 26

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband De fem första underrubrikerna återkommer inom varje område med liknande formuleringar. Visar tilltro och tar ansvar Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven visar tilltro till sitt lärande. Analysen inriktas även på den glädje och det intresse eleven kan känna och visa i olika situationer för lärande. Aspekter som hör ihop med detta är i vilken utsträckning eleven griper sig an uppgifter som han/hon inte är bekant med och att hon/han inte låter sig nedslås vid motgångar utan i stället tar nya tag. Vidare omfattar analysen i vilken utsträckning eleven visar medvetenhet om sitt eget lärande. Denna medvetenhet innefattar självinsikt om sitt kunnande och också att kunna sätta upp nya mål för sitt lärande. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven tar ansvar för sitt lärande. En viktig del i detta är i vilken utsträckning han/hon ställer frågor om sådant som är oklart. Här avses i första hand situationer där kunskap från Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband ingår. Hanterar och löser problem Analysen fokuseras på elevens förmåga att hantera och lösa problem, med särskilt fokus på i vilken utsträckning eleven använder kunskap från Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband i problemhanterandet. Med ett problem menas här en uppgift där lösningsmodellen inte på förhand är given för eleven. Viktiga aspekter i analysen är i vilken utsträckning eleven analyserar problemsituationen, reflekterar över ingående data och möjliga lösningsmetoder, drar slutsatser samt ser kopplingar till andra problem med liknande matematisk struktur. En kvalitets aspekt är i vilken utsträckning eleven kan använda olika problemlösningsstrategier som exempelvis att rita en bild, konstruera en tabell, beskriva med ord, teckna en ekvation med mera. Under hela problemlösningsprocessen samt efter att ett problem är löst fokuseras analysen på i vilken utsträckning och med vilken kvalitet eleven jämför, tolkar och värderar olika lösningar. Analysen omfattar också elevens förmåga att jämföra olika lösningsmetoder och att då inse vilka metoder som är mer generella. En annan aspekt som kan lyftas fram här är i vilken utsträckning eleven använder tekniska hjälpmedel när det är lämpligt/ relevant samt med vilken säkerhet eleven använder dessa, till exempel hur hon/han utnyttjar räknarens och datorns skilda möjligheter. I problemhanterandet kan eleven visa i vilken utsträckning han/hon använder logiska resonemang och sin intuition. Exempel: Värdera lösningen Eric ska ta sig från Uddevalla till Göteborg. Han beräknar avståndet med hjälp av karta och skala till 5 km. Han inser dock att det är fel för man kan inte gå mellan Uddevalla och Göteborg. Problemlösning med tekniska hjälpmedel Victoria funderar på hur stor vinkelsumman är hos en fyrhörning som inte är en rektangel. Läraren låter eleverna undersöka fyrhörningar med datorn och ett geometriprogram. Victoria finner att hur man än drar i hörnen på en fyrhörning så fortsätter vinkelsumman att vara 360. Problemlösning med olika lösningsmetoder Eleverna får i uppgift att lista ut hur många runda kulor det finns i en cylinderformad glasburk. De funderar först själva och har då olika ideer till lösningar. Hanna föreslår att de ska räkna ungefär hur många som finns i det understa lagret och att de sedan ska uppskatta antalet lager och multiplicera. Niklas tycker att de ska väga en kula, sedan väga alla kulor och dividera den vikten med vikten för en kula. Victoria vill beräkna volymen av cylindern och volymen aven kula, och räknar sedan med att ungefär hälften är luft. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan lösa problem praktiskt. 27

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Tillämpar matematik Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven tillämpar sitt matematiska kunnande, här främst det inom Mätning, rumsuppfatt~ ning och geometriska samband, i olika situationer, till exempel i andra skolämnen, temaarbeten, vardagsliv och samhälle. I analysen ingår i vilken utsträckning eleven fattar välgrundade beslut med hjälp av sin matematiska kunskap såväl i välkända som i nya situationer. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven kombinerar och använder matematik från olika kunskapsområden. Vidare handlar analysen om i vilken omfattning eleven inser värdet av och använder geometriska relationer och satser samt utvecklar förmågan att använda matematiska modeller. Exempel Tillämpning av kunnande om längd Jacob behärskar enheter för längd på matematiklektionerna. Han kan göra enhetsbyten av olika slag och också genomföra mätningar med linjal.på ett tillfredställande sätt. På slöjdlektionerna går det däremot inte lika bra. Han känner sig osäker på prefixens betydelse och även på an vändningen av de mätinstrument som finns i slöjden. För Theresia är det tvärtom. Hennes säkerhet när det gäller längdmätning som hon känner och visar på slöjdlektionerna har hon inte på matematiklektionerna. Under ett temaarbete utvecklar båda eleverna sitt kunnande inom området och de kan sedan tillämpa detta på såväl matematiklektioner som slöjdlektioner och också i helt nya situationer. Vid en diskussion om hur långt det är från skolan till busshållplatsen säger Eric: Det är bara att stega. Jag vet att jag tar 120 steg på 100 meter. Användning aven matematisk modell I klassen talar de om användning av matematiska modeller och läraren ger olika exempel. Därefter får eleverna fundera över om de har använt en matematisk modell den senaste tiden. Hanna berättar då att hon nyligen resonerade med sin mamma om hur lång tid det kunde tänkas ta att åka bil mellan Kalmar och Ronneby, en sträcka på 12 mil. Hanna undrade om de skulle ta hänsyn till rusningstid och Hannas mamma föreslog olika vägval. Till slut enades de om att den genomsnittliga farten vid det aktuella tillfället nog var 70 km/h och med den matematiska modellen löste de problemet. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan använda en matematisk modell i vardagen. Kommunicerar Analysen fokuseras på i vilken utsträckning elevens kommunikation har ett innehåll från Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Analysen omfattar då i vilken utsträck~ ning eleven beskriver, förklarar, lyssnar och argumenterar för sina tankar muntligt såväl som skriftligt. Kommunikationen/argumentationen kan till exempel ske med gester, bild, ord och symboler. Exempel Kommunikation: Eleverna sitter i matsalen och diskuterar hur långt de har till skolan. Eric säger: Jag har unge fär dubbelt så lång väg som Jenny, för hon cyklar på 5 minuter och för mig tar det 10 minuter och vi cyklar lika fort. 28

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Matematiskt språk Analysen fokuseras på elevens användning och förståelse av matematisk terminologi som har med Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband att göra, till exempel rektangel, cirkel, sida, kant, bisektris, diagonal. I användningen av matematisk terminologi ingår att känna igen, jämföra, tolka, beskriva och definiera matematiska begrepp samt att rita geometriska figurer. Analysen fokuseras vidare på hur väl eleven använder det matematiska symbolspråket samt de matematiska konventioner som finns inom området Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband, till exempel att kvadrat centimeter skrivs cm 2. Exempel Användning av matematisk terminologi: Eleverna får i uppgift att beskriva en triangel så exakt som möjligt. Jacob använder viss matematisk terminologi och skriver: Det är en triangel. Längst upp ska det vara ett streck som är 2,5 cm. På vänster sida av strecket ska man göra ett streck ner som är 5 cm. På höger sida av streck~ et ska det vara ett snett streck som är 5 cm. Jenny visar att hon kan använda ett mer mate~ matiskt språk när hon skriver: Figuren är en rätvinklig triangel. Längst upp i vänstra hörnet är vinkeln 90 grader. I högra hörnet längst upp är vinkeln 60 grader. Ena vinkelbenet från 90-gradersvinkeln fortsätter rakt ner 4,7 cm. Det andra vinkelbenet fortsätter rakt ut till höger 2,6 cm. Där emellan ska det sista strecket vara. Vinkeln som är neråt är 30 grader. Definition av begrepp Niklas visar att han har förstått definitionen av diagonal när han under en diskussion på matematiklektionen pekar på bilden och säger: Ja, men en diagonal är en sträcka som går mellan två hörn som inte ligger bredvid varandra i en månghörning, så då måste även detta vara en diagonal. 29

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Avbildning, kartor och ritningar Analysen fokuseras på hur eleven tolkar och använder avbildning, kartor och ritningar samt i vilken utsträckning eleven själv kan rita/ konstruera avbildningar, kartor och ritningar. Här ingår avläsningar av olika skalor och mätinstrument. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven inser vad som kännetecknar likformighet och symmetri samt att eleven förstår att vid både förstoring och förminskning är avbildningen likformig med utgångsbilden / föremålet. Analysen fokuserar förståelsen av skala både vid förstoring och förminskning. Analysen kan också omfatta hur area och volym förändras vid olika avbildningar. Vidare kan ingå att hantera parallellförflyttning, vridning och spegling (i linje) samt att inse att en figur efter detta är kongruent med originalbilden. Exempel Konstruktion Hanna arbetar med en uppgift i Hem och konsu mentkunskap där hon ska planera sitt framtida hem. Hon gör en skalenlig ritning i skala 1:100 över den tänkta lägenheten för att bättre kunna planera sina möbelinköp med mera. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan göra en skalenlig ritning. Tolkning av kartor Klassen arbetar med länder och kartor. Johan visar förståelse för skala genom att ta reda på det verkliga avståndet mellan två orter. Hantering av skala Victoria ska rita om en figur från skala 1:100 till skala 1:20. Hon inser att hon ska göra sidorna i figuren 5 gånger så långa som innan. Längd- och volymskala David kritiserar ett diagram, där en fördubbling åskådliggörs med en låda i skala 2:1. David ser att sidan i och för sig blir dubbelt så stor men att volymen då blir 8 gånger så stor. Geometriska objekt Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven kan känna igen och jämföra geometriska objekt efter egenskaper som form, vinklar, dimensioner med mera. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven kan beskriva och konstruera geometriska objekt. Geometriska objekt omfattar här endimensionella objekt som exempelvis linje, sträcka och tvådimensionella objekt som exempelvis triangel, cirkel samt tredimensio nella objekt som exempelvis klot, kub. Ord som exempelvis höjd, bas, längd, bredd, kant och hörn är viktiga när det gäller att beskriva egenskaper hos objekt och också förhål~ landen mellan längder, vinklar, areor och volymer. Elevens kunnande om olika sorters figurer och kroppar ingår i analysen, till exempel för trianglar: rätvinklig, likbent och liksidig triangel och för polyedrar: rätblock, kub, prisma, pyramid. Parallella linjer och vad som kännetecknar dessa är ett kunnande som ingår i analysen. 30

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Exempel Känna igen geometriska objekt: Gruppen arbetar med ett tema, friidrott. Läraren uppmanar eleverna att leta efter geometriska objekt på en friidrottsarena. Johan startar med rektanglar (dit han också räknar kvadraterna) och cirkelsektorer. Niklas ser parallella linjer och antecknar det, senare hittar han rätblock, klot, koner och cylindrar. Hanna ger som exempel på föremål med cylind risk form: vattenslang och tunnel. Noteringsförslag till Hannas schema: Hittar cylindrar i verkligheten. Nina arbetar med att klippa ut olika figurer i pap per. Hon viker ett papper på mitten och klipper sedan ut som bilden visar. Nina funderar över hur den urklippta biten kom mer att se ut när hon vecklar ut den. Hon kommer fram till att den kommer att vara en kvadrat. Beskrivning/definition av geometriska figurer: Efter en lång diskussion om rombens egenskaper säger Samuel: Men då räcker det ju att säga att den har fyra lika långa sidor. Klassen diskuterar hur man på bästa sätt ska beskriva en cirkel. Efter en del funderande med hjälp av lärarens frågor säger Victoria: Jo, men så här kan man säga. Alla punkter på cirkeln är lika långt från medelpunkten. Konstruktion Eleverna får i uppgift att konstruera en liksidig triangel på ett blankt papper utan rutor. Niklas använder linjal och gradskiva för att rita triang eln och Hanna konstruerar triangeln med hjälp av passare och linjal. David går till datorn som står i klass rummet och konstruerar triangeln i ett interaktivt geometriprogram. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan konstruera med passare och linjal. 31

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Geometriska mönster Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven kan uppfatta, avbilda, fortsätta, beskriva och konstruera mönster. I detta fall avser analysen mönster inom geometri. Analysen fokuserar också hur eleven kan generalisera sin beskrivning av mönstren och se likheter mellan olika mönster. Vissa geometriska mönster kan beskrivas algebraiskt, till exempel: Andra geometriska mönster är inte lika lätta att beskriva algebraiskt, till exempel: Exempel Konstruera mönster Klassen arbetar med att göra sammanhängande och täckande mönster tessellerande mönster av geometriska figurer. Jacob konstruerar ett mönster: Senare syr han en kudde i slöjden med samma mönster. Jenny har ritat ett sammanhängande mönster av sexhörningar. Eric säger att om man byter ut vissa sexhörningar mot femhörningar så blir det en fotboll. 32

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Geometriska satser Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven kan förstå och använda geometriska satser som exempelvis vinkelsumman aven triangel och Pythagoras sats. Analysen kan också omfatta i vilken utsträckning eleven kan gå från att troliggöra en geometrisk sats till att genomföra ett bevis för satsen. Dess utom kan analysen omfatta i vilken utsträckning eleven inser skillnaden mellan att trolig göra och bevisa. Exempel Troliggöra, visa på Eleverna undersöker geometriska figurer med geobräden (kvadratiska skivor med spikar/ piggar i kvadratiskt rutnät) och gummisnoddar. Hanna undersöker rätvink liga trianglar. Hon blir tipsad om att hon ska göra kvadrater utgående från katetrarna och hypotenusan. Hon gör det och bestämmer arean av dessa kvadrater. Hon funderar en stund över sitt resultat och säger sedan: Kateterkvadraternas areor är tillsammans lika stora som hypotenusakvadratens area. Noteringsförslag till Hannas schema: Har troliggjort Pythagoras sats. Klassen arbetar med vinkelsumman i en triangel. Alla eleverna har ritat sin triangel, mätt och adderat vinklarna och fått summan till ungefär 180. David säger: Men det skulle väl i alla fall kunna finnas en triangel som det inte stämmer på. Efter att klassen och läraren tillsammans genomfört ett bevis med parallella linjer, inser David och andra elever skillnaden mellan att tro liggöra och bevisa. Likformighet hos trianglar Samuel känner igen likformiga trianglar på att de har lika stora vinklar och kan använda likformig heten som förhållande mellan sidorna för att beräkna en sida i den ena triangeln av två likfor miga trianglar. 33

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Längd, area, volym Analysen fokuseras på elevens förståelse för längd, area och volym. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven kan jäm föra, uppskatta, mäta och bestämma längder, areor och volymer och då använda lämpliga metoder, mätinstrument och måttsystem. I analysen ingår elevens kunnande om sam banden mellan dessa storheter samt i vilken utsträckning hon/han har referensmått att utgå ifrån vid uppskattning. Vidare omfattar analysen hur eleven hanterar samband mellan enheter och enhetsbyten såväl inom en och samma storhet, till exempel längd, som mel lan storheter. Prefixens betydelse är också en del av analysen liksom sambanden mellan olika måttsystem för volym. Exempel Förståelse av volym Jenny ska ta reda på vilken av två stenar som har störst volym. Hon gör det genom att sänka ner dem i vatten var och en för sig och ser för vilken sten som vattenytan höjs mest. Läraren frågar senare: Vad är volym? Jenny svarar: Volym är hur stor plats någonting tar. Jämföra, uppskatta, mäta och bestämma: Klassen arbetar med uppskattning och mätning av längd. Jacob uppskattar längden på olika sträckor i skolan. Han mäter sedan sträckorna och anger längden på olika sätt genom att använda olika enheter. Uppskattningarna stäm mer ungefär. Hanna och Niklas får till uppgift att ta fram en milliliter ur en klump modellera. Hanna uppskat tar hur stor biten ska vara och kontrollerar med hjälp av ett kryddmått. Niklas formar sin millili ter bit till en kub och mäter sedan med linjal för att se att sidan är 1 cm. Noteringsförslag till Hannas schema: Vet att ett kryddmått = en milliliter. Eleverna i en klass undersöker vilken rektangel med en given omkrets som har den största arean. Några elever använder ett hopknutet snöre och centimeterrutat papper för att lösa uppgiften, medan de flesta beräknar arean genom att först mäta längden på sidorna. Jacob säger: De rek tanglar som är smalare har mindre area. Jenny säger: Kvadraten har störst area. Eleverna ska tillverka en låda som rymmer 1 dl. Johans låda blir för stor och han inser det bara genom att titta på den. Niklas låda är för liten och han inser det när han försöker hälla 1 dl puffat ris i den. Hanna tycker det är onödigt att kontrollera eftersom hon vet att hon har räknat rätt och den ser lagom stor ut. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan uppskatta och beräkna volym. Hantera enheter Victoria uppskattar bordets area till en halv kvadratmeter. Hon mäter och beräknar det till 24 dm 2 och konstaterar att det var mindre än hälften av vad hon trodde. Hanna ger exempel på i vilka sammanhang man använder olika volymenheter: milliliter för medicin, centiliter för dricka, deciliter när man bakar, liter när man köper mjölk och kubikmeter när man fyller en pool. Noteringsförslag till Hannas schema: Har bra referenser vad gäller volymenheter. David ska beräkna en volym och börjar med att uttrycka längdenheterna i decimeter för att få svaret i liter. 34

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Massa (vikt) Analysen fokuseras på elevens förståelse vad gäller massa. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven kan jämföra, uppskatta, mäta och bestämma massor och då använda lämpliga metoder, mätinstrument och mått system samt i vilken utsträckning han/hon har referensmått att utgå ifrån vid uppskatt ning. Vidare omfattar analysen hur eleven hanterar samband mellan enheter och en hetsbyten som har med massa att göra. Pre fixens betydelse är också en del av analysen. Exempel Uppskattning av massa (vikt) Jenny rangordnar några föremål efter deras massa. Hon känner hur tunga föremålen är i han den och låter sig inte påverkas av föremålens storlek. Eric uppskattar några föremåls massa: Den här väger nog ungefär 2 hg för den känns som dubbelt så mycket som min mobiltelefon och den väger 100 g. Vinklar Analysen fokuseras på elevens förståelse vad gäller vinklar. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven kan jämföra, uppskatta, mäta och bestämma vinklar och då använda lämpliga metoder, mätinstrument och mått system. I analysen ingår namnen på olika vink lar som exempelvis trubbig, rät och spetsig. I analysen kan också ingå vad som kännetecknar till exempel sidovinklar och vertikalvinklar. Exempel Förståelse av vinklar Theresia har en bild med flera vinklar avbildade. Hon kan ordna dem från den minsta till den största vinkeln. Att vinkelbenen är olika stora påverkar inte hennes bedömning. Hon kan också förklara hur hon vet att en vinkel är större än en annan. Johan får i uppgift att förklara för klassen vad en vinkel är. Han minns hur de hade arbetat med vinklar tidigare i klassen och väljer därför att ställa sig framför klassen och vrida sig 45, 90 och så vidare. Olika sorters vinklar Hanna hittar räta, trubbiga och spetsiga vinklar i rummet. Noteringsförslag till Hannas schema: Känner igen olika sorters vinklar. 35

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Tid Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven jämför, uppskattar, anger och avläser tider. Analysen omfattar såväl analog som digital tid samt i vilken utsträckning eleven kan bestämma tidsskillnader och avläsa tidtabeller. I analysen ingår också i vilken ut sträckning eleven kan förstå tider angivna med stor noggrannhet, till exempel 3.15.41 (3 timmar, 15 minuter, 41 sekunder), och tider med delar av sekunder, 2.53,752 (2 minuter, 53 sekunder, 752 tusendels sekun der). Vidare omfattar analysen i vilken utsträckning eleven kan hantera dygn, veckor, månader, år och så vidare. Exempel Analog och digital tid På en lektion i engelska får eleverna dramatisera. Niklas ska ange en tid på eftermiddagen med digital tid. Han anger först tiden till 14.35, men ändrar sig eftersom han kommer på att de inte anger tiden på det sättet i Storbritannien och han anger i stället tiden till 2.35 pm. Uppskattning av tid och bestämning av tidsskillnader Theresia och hennes klasskamrater planerar vad de ska hinna med under ett arbetspass och utvärderar sedan detta. Theresia gör en rimlig bedömning av vad hon kommer att hinna. Klassen ska göra en klassresa över ett par dagar. David använder sig av tidtabeller på Internet och gör på så sätt en tidsplanering av resorna fram och tillbaka till utflyktsmålet. Hantering av enheter Eric beräknar hur många år en miljon timmar är genom att använda miniräknaren för att dividera en miljon med 24 och detta svar med 365. Jenny skriver 1,5 h som 1 h 30 min. Hon tycker att det är svårare med 1,2 h och diskuterar med Jacob en stund. Hon kommer då fram till att varje tiondel motsvarar 6 minuter och får fram svaret 1 h 12 min. Hanna, som tränar simning, jämför sitt resultat på 200 m frisim 3.12,32 med världsrekordet 1.56,78. Hon gör om båda tiderna till sekunder för att kunna beräkna differensen. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan hantera tidsangivelser och tidsenheter, till exempel 3.12,32. Kan beräkna tidsskillnader. 36

Statistik och sannolikhet. Statistik och sannolikhet De fem första underrubrikerna återkommer inom varje område med liknande formuleringar. Visar tilltro och tar ansvar Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven visar tilltro till sitt lärande. Analysen inriktas även på den glädje och det intresse eleven kan känna och visa i olika situationer för lärande. Aspekter som hör ihop med detta är i vilken utsträckning eleven griper sig an uppgifter som han/hon inte är bekant med och att hon/han inte låter sig nedslås vid motgångar utan i stället tar nya tag. Vidare omfattar analysen i vilken utsträckning eleven visar medvetenhet om sitt eget lärande. Denna medvetenhet innefattar självinsikt om sitt kunnande och också att kunna sätta upp nya mål för sitt lärande. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven tar ansvar för sitt lärande. En viktig del i detta är i vilken utsträckning han/hon ställer frågor om sådant som är oklart. Här avses i första hand situationer där kunskap från Statistik och sannolikhet ingår. Hanterar och löser problem Analysen fokuseras på elevens förmåga att hantera och lösa problem, med särskilt fokus på i vilken utsträckning eleven använder kun skap från Statistik och sannolikhet i problem hanterandet. Med ett problem menas här en uppgift där lösningsrnodellen inte på förhand är given för eleven. Viktiga aspekter i analysen är i vilken utsträckning eleven analyserar problemsituationen, reflekterar över ingående data och möjliga lösningsmetoder, drar slut satser samt ser kopplingar till andra problem med liknande matematisk struktur. En kvalitetsaspekt är i vilken utsträckning eleven kan använda olika problemlösningsstrategier som att rita en bild, konstruera en tabell, beskriva med ord, teckna en ekvation med mera. Under hela problemlösningsprocessen samt efter att ett problem är löst fokuseras analysen på i vilken utsträckning och med vilken kvalitet eleven jämför, tolkar och värderar olika lösningar. Analysen omfattar också elevens förmåga att jämföra olika lösnings metoder och att då inse vilka metoder som är mer generella. En annan aspekt som kan lyftas fram här är i vilken utsträckning eleven använder tekniska hjälpmedel när det är lämpligt/relevant samt med vilken säkerhet eleven använder dessa, till exempel hur han/hon utnyttjar räknarens skilda möjligheter. I problemhanterandet kan eleven visa i vilken utsträckning hon/han använder logiska resonemang samt sin intuition. Exempel Problemlösning med hjälp av datorn De av skolans elever som vill får tävla i ett ter rängiopp på 2,5 km. Hanna och Moa ska ta reda på medelvärdet av alla deltagares tider. Tiderna är angivna med minuter och sekunder och är inskrivna i ett kalkylblad. För enkelhetens skull vill de omvandla alla tider till enbart sekunder. Efter att ha gjort detta för några löpare med hjälp av miniräknare funderar de över om det inte finns något enklare sätt. De använder formelfunktionen i kalkylbladet, skriver in en formel, kopierar till alla aktuella celler och får på sätt alla tider i sekunder. Därefter räknar de lätt ut medelvärdet, också detta med hjälp av kalkylbladet. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan beräkna medelvärde. Kan använda ett kalkylblad. 37

Statistik och sannolikhet. Tillämpar matematik Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven tillämpar sitt matematiska kunnande, här främst det inom Statistik och sannolikhet, i olika situationer, till exempel i andra skolämnen, temaarbeten, vardagsliv och sam hälle. I analysen ingår i vilken utsträckning eleven fattar välgrundade beslut med hjälp av sin matematiska kunskap såväl i välkända som i nya situationer. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven kombine rar och använder matematik från olika kun skapsområden. Vidare handlar analysen om i vilken omfattning eleven inser värdet av och använder relationer och satser samt utvecklar förmågan att använda matematiska modeller, till exempel att beskriva ett datamaterial med ett lämpligt diagram. Exempel Tillämpning Klassen arbetar med ett tema om miljö. En grupp vill visa sina resultat i ett diagram. Jacob gör dia grammet med hjälp av ett kalkylprogram på datorn. På en samhällskunskapslektion diskuterar klas sen hur olika lönesättningar kan gå till. De kom mer in på vilket värde som bäst visar lönerna på ett företag, medianen eller medelvärdet. Victoria säger att det beror på vad man vill veta. När hen nes mamma kom hem och sa att hon låg nära medianlönen på sitt jobb, så visste hon därmed att det är ungefär lika många som tjänar mindre som mer än vad hon gör. Medellönen var högre än medianlönen så på så sätt visste hon att det finns ett antal anställda som tjänar betydligt mer än vad hon gör. Kommunicerar Analysen fokuseras på i vilken utsträckning elevens kommunikation har ett innehåll från Statistik och sannolikhet. Analysen omfattar då i vilken utsträckning eleven beskriver, förklarar, lyssnar och argumenterar för sina tankar muntligt såväl som skriftligt. Kommunikationen/argumentationen kan till exempel ske med gester, bild, ord och symboler. Exempel Kommunikation med ord och bild Eleverna får i uppgift att berätta om olika dia gram. Johan ritar upp ett stapeldiagram och ett linjediagram och säger: Det här är ett stapel diagram och det kan visa allt möjligt, till exempel när man gör en undersökning av hur många som röstar på olika partier. Det här vet jag inte vad det heter (pekar på linjediagrammet) men det visar hur något ändras, till exempel hur det går för ett företag under en period. Matematiskt språk Analysen fokuseras på elevens användning och förståelse av matematisk terminologi som har med Statistik och sannolikhet att göra, till exempel stapeldiagram, histogram, frekvenstabell, median, sannolikhet. I an vändningen av matematisk terminologi ingår att känna igen, jämföra, tolka, beskriva och definiera matematiska begrepp. Analysen fokuseras vidare på hur väl eleven använder det matematiska symbolspråket samt de matematiska konventioner som finns inom området Statistik och sannolikhet, till exempel olika sätt att uttrycka sannolikhet på. Exempel Förståelse av matematisk terminologi, sannolikhet I ett tv-program ska man gissa vilken person som har vilket yrke. När en person har försökt genom föra uppgifter för ett visst yrke ska studiopubliken ange om de tror att personen har det aktuella yrket. Programledaren ställer då frågan: Hur stor är sanno- 38

Statistik och sannolikhet. likheten att den här personen har detta yrke? Hanna ser programmet och tänker att det kan ju inte vara rätt att använda ordet sannolik het här. Nästa dag säger hon till sin matematiklärare: Sannolikhet är väl hur stor chans eller risk det är att något ska hända. Men i tv-programmet handlade det ju om hur många procent av publiken som trodde en viss sak och det är ju inte samma sak som sannolikhet. Noteringsförslag till Hannas schema: Är medveten om att rätt matematisk terminologi bör användas, till exempel sannolikhet. Lägesmått och spridningsmått Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven förstår, bestämmer och använder lägesmått som typvärde, median och medel värde samt i vilken utsträckning eleven inser att ett datamaterial beskrivs olika bra med olika lägesmått. Analysen kan också fokusera på i vilken utsträckning eleven förstår, använ der och kanske också bestämmer spridnings mått som exempelvis variationsbredd och standardavvikelse. Exempel Bestämma median och medelvärde Klassen pratar om olika lägesmått. Läraren frågar eleverna hur man skulle kunna ta reda på media nen av hur långa de är i klassen. Jacob svarar att de skulle kunna ställa upp sig på en lång rad från den kortaste till den längsta. Längden på den i mitten är då median längden. Theresia säger att de i stället kan berätta hur långa de är och skriva upp värdena på tavlan för att på så sätt ta reda på det mittersta värdet. Eric menar att de kan göra en lång tallinje från 1,50 m till 2,00 m på tavlan. Sedan kan alla pricka in sin längd där. På så sätt skulle alla värden bli sorterade på en gång och det är lätt att se medianvärdet. Jenny ansluter sig till Theresias idé, men menar att de kan skriva in värdena i ett kalkylblad så att de med hjälp av datorn sedan kan sortera från det minsta till det största värdet. Hon tillägger att de sedan med några enkla knapptryckningar dess utom kan ta reda på medelvärdet och typvärdet. Niklas ska ta reda på medelvärdet av ett data material. De data han har är presenterade i ett stolpdiagram. Han tolkar diagrammet och multipli cerar varje värde med frekvensen, höjden på stol pen, för att få det sammanlagda värdet som han sedan dividerar med det totala antalet värden. Datahantering, tabeller och diagram Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven kan bestämma efter vilka egenskaper insamlade data kan sorteras samt i vilken ut sträckning eleven vid sorteringen kan hålla fast vid de valda klassificeringskriterierna. Vidare fokuseras analysen på i vilken utsträck ning eleven kan sammanställa resultatet av databearbetningen på ett för materialet rele vant och tydligt sätt. I samband med detta kan analysen komma in på i vilken utsträck ning eleven kan använda relativ och absolut frekvens. Analysen fokuseras också på i vilken ut sträckning eleven korrekt kan sammanställa data i tabeller och diagram. Själva konstruk tionen av till exempel ett diagram kan göras för hand och/ eller med tekniska hjälpmedel. Analysen fokuserar vidare elevens förmåga att analysera, tolka, värdera och kritiskt granska resultat presenterade i tabeller och diagram. Analysen omfattar också i vilken utsträck ning eleven känner till och kan använda olika diagram typer som exempelvis stapel, cirkel, linje, stolpdiagram och histogram samt vet i vilka sammanhang de olika diagramtyperna är relevanta att använda. 39

Statistik och sannolikhet. Exempel Datahantering Victoria och David gör en undersökning om de husdjur som klassens elever har hemma. De bör jar med att fråga var och en av klasskamraterna vilka husdjur de har och hur många av varje sort. Deras ursprungliga ide är att ha med båda dessa fakta i sammanställningen av undersökningen. Det blir dock besvärligt när det visar sig att ett par av klasskamraterna har fiskar, en stor mängd fiskar. Victoria och David resonerar över hur de ska sortera och klassificera sitt datamateriai och diskuterar också frågan med sin lärare. De bestämmer sig till slut för att bara redovisa vilka sorters djur som klassens elever har hemma och inte ha med antalet djur varje elev har. De visar sin sammanställning dels som en frekvenstabell, dels som ett stapeldiagram. Eleverna ska redovisa hur de disponerar tiden under ett dygn. Jacob ritar ett cirkeldiagram med tre olika sektorer, sover, skola och ledig. Jenny ritar ett stapeldiagram med 16 olika aktiviteter med totaltid 24 timmar. Tolkning av diagram På elevrådets anslagstavla sitter ett cirkeldia gram som visar resultatet av vilka maträtter skolans elever vill ha under Elevernas önskevecka. Johan avläser diagrammet och konstaterar att det är ungefär dubbelt så populärt med tacos som det är med köttbullar. Kritisk granskning Hanna hittar ett stapeldiagram i tidningen. Hon ser att en axel är kapad så att diagrammet ger en felaktig bild. Noteringsförslag till Hannas schema: Granskar diagram kritiskt. Eleverna gör ett stolpdiagram över antal familje medlemmar. Nina kommenterar: I verkligheten finns det ju en massa människor som bor en samma. Sannolikhet Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven förstår och använder sannolikhetstän kande i konkreta slumpsituationer samt kan bestämma chanser och risker både med hjälp av kombinatorik och statistik. En viktig aspekt i vardags och samhällsliv är i vilken utsträckning eleven har ett kritiskt förhåll~ ningssätt till möjligheterna att till exempel vinna mycket pengar på Lotto. I analysen in~ går i vilken utsträckning eleven inser vad som är slumpsituationer, oberoende händelser och komplementhändelser samt att sannolikheten alltid har ett värde mellan 0 och 1 som kan uttryckas i bråk, decimal- och procentform. Exempel Ta reda på chanser I klassen gör de en undersökning över de summor man kan få med två tärningar. Alla hjälps åt och den statistiska undersökningen visar bland annat att den vanligaste summan är sju. Eleverna får sedan i grupp fundera över varför det blir så. Niklas föreslår i sin grupp att de ska göra en tabell och i Victorias grupp gör de en beräkning. Sannolikhet statistik Hanna har läst om olycksrisken för olika trans port medel och frågar hur man kan veta hur stor den är. Efter diskussion kommer hon själv på att det bygger på statistik över olyckor men tillägger: Om jag cyklar kan jag ju vara försiktig, men om jag flyger eller åker tåg kan jag inte påverka olycksrisken. Noteringsförslag till Hannas schema: Kopplar sannolikhet statistik. 40

Taluppfattning. Taluppfattning De fem första underrubrikerna återkommer inom varje område med liknande formuleringar. Visar tilltro och tar ansvar Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven visar tilltro till sitt lärande. Analysen inriktas även på den glädje och det intresse eleven kan känna och visa i olika situationer för lärande. Aspekter som hör ihop med detta är i vilken utsträckning eleven griper sig an uppgifter som han/hon inte är bekant med och att hon/han inte låter sig nedslås vid motgångar utan i stället tar nya tag. Vidare omfattar analysen i vilken utsträckning eleven visar medvetenhet om sitt eget lärande. Denna medvetenhet innefattar självinsikt om sitt kunnande och också att kunna sätta upp nya mål för sitt lärande. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven tar ansvar för sitt lärande. En viktig del i detta är i vilken utsträckning han/hon ställer frågor om sådant som är oklart. Här avses i första hand situationer där kunskap från Taluppfattning ingår. Hanterar och löser problem Analysen fokuseras på elevens förmåga att hantera och lösa problem, med särskilt fokus på i vilken utsträckning eleven använder kun skap från Taluppfattning i problemhante randet. Med ett problem menas här en upp gift där lösningsmodellen inte på förhand är given för eleven. Viktiga aspekter i analysen är i vilken utsträckning eleven analyserar problemsituationen, reflekterar över ingående data och möjliga lösningsmetoder, drar slut satser samt ser kopplingar till andra problem med liknande matematisk struktur. En kvalitetsaspekt är i vilken utsträckning eleven kan använda olika problemlösningsstrategier som att rita en bild, konstruera en tabell, beskriva med ord, teckna en ekvation med mera. Under hela problemlösningsprocessen samt efter att ett problem är löst fokuseras analy sen på i vilken utsträckning och med vilken kvalitet eleven jämför, tolkar och värderar olika lösningar. Analysen omfattar också elevens förmåga att jämföra olika lösnings metoder och att då inse vilka metoder som är mer generella. En annan aspekt som kan lyf tas fram här är i vilken utsträckning eleven använder tekniska hjälpmedel när det är lämpligt/relevant samt med vilken säkerhet eleven använder dessa, till exempel hur han/hon utnyttjar räknarens skilda möjligheter. I problemhanterandet kan eleven visa i vilken utsträckning hon/han använder logiska resonemang samt sin intuition. Exempel Problemlösning genom resonemang I klassen har de en adventskalender med ett matematiskt problem för varje dag. Ett problem lyder så här: Anna tar en tredjedel av karamel lerna i en skål. Sen kommer Martin och tar en tredjedel av dem som finns kvar. När Sara kommer tar hon en tredjedel av dem som nu finns kvar. Efter det finns 8 karameller kvar. Hur många fanns från början. Eleverna löser problemet på olika sätt. Hanna börjar med de 8 karamellerna som fanns kvar på slutet och resonerar sedan sig igenom problemet baklänges och kommer på så sätt fram till svaret. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan lösa problem genom att resonera sig fram. 41

Taluppfattning. Tillämpar matematik Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven tillämpar sitt matematiska kunnande, här främst det inom Taluppfattning, i olika situationer, till exempel i andra skolämnen, temaarbeten, vardagsliv och samhälle. I ana lysen ingår i vilken utsträckning eleven fattar välgrundade beslut med hjälp av sin matema tiska kunskap såväl i välkända som i nya situationer. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven kombinerar och använ der matematik från olika kunskapsområden. Vidare handlar analysen om i vilken omfatt ning eleven inser värdet av och använder räk nelagar och relationer mellan värden samt utvecklar förmågan att använda matematiska modeller. Exempel Tillämpning av division Klassen ska hålla i fikat på ett föräldramöte. David räknar ut hur många 1,5 deciliters koppar 2 liter kaffe räcker till. David använder i detta fall innehållsdivision. Kommunicerar Analysen fokuseras på i vilken utsträckning elevens kommunikation har ett innehåll från Taluppfattning. Analysen omfattar då i vilken utsträckning eleven beskriver, förklarar, lyssnar och argumenterar för sina tankar muntligt såväl som skriftligt. Kommunikationen/ argumentationen kan till exempel ske med gester, bild, ord och symboler. Exempel Muntlig kommunikation Eleverna får i uppgift att beskriva när man använder procent. De pratar först med varandra två och två. Johan som inte brukar prata så myck et räcker senare upp handen och berättar flera exempel från sin pappas arbete på banken där procent används. 42

Taluppfattning. Matematiskt språk Analysen fokuseras på elevens användning och förståelse av matematisk terminologi som har med Taluppfattning att göra, till exempel addition, produkt, täljare, potens, promille. I användningen av matematisk ter minologi ingår att känna igen, jämföra, tolka, beskriva och definiera matematiska begrepp. Analysen fokuseras vidare på hur väl eleven använder det matematiska symbolspråket samt de matematiska konventioner som finns inom området Taluppfattning, till exempel konven tionen att multiplikation och division priori teras före addition och subtraktion vid beräk ning av uttryck där flera olika räknesätt ingår. Exempel Siffra tal Linda hjälper sin lillebror med en läxa i matema tik. Hon märker att han förväxlar orden siffra och tal. Hon förklarar att man kan skriva tal med olika siffror och att ett exempel är att ett tal kan vara tresiffrigt. Tolka, beskriva och definiera begrepp I klassen arbetar man med att komma fram till en gemensam definition på vad decimaltal är. Jenny och Gustav föreslår följande beskrivning: Decimaltal är ett tal som i decimalform inte har hur många decimaler som helst. Talområden Analysen fokuserar i vilken utsträckning eleven förstår och använder tal i de olika talområdena, som naturliga tal, hela tal, rationella tal och reella tal. Hit hör kunnande om heltalen som exempelvis jämna/udda, primtal/icke primtal samt de negativa heltalen. Vidare ingår kunnande om rationella tal skrivna som en kvot och i decimalform samt reella tal som 2 och π. När det gäller tal i decimalform ingår kunskap om olika siffrors platsvärde (se även Positionssystemet). Kunskap om olika sorters decimalutveckling kan också ingå i analysen. Exempel Primtal Hanna arbetar med att sortera tal och delar då upp naturliga tal i primtal och icke primtal. Noteringsförslag till Hannas schema: Vet vad primtal är. Tal i bråk och decimalform Niklas ska göra beräkningar med tal i bråkform och frågar: Måste det vara exakt eller kan jag gå över till decimalform? Läraren frågar varför det inte blir exakt i decimalform. Niklas säger: Nej 1/6 går inte att göra om till decimalform utan att man avrundar. Talområden Klassen har fått till uppgift att markera några olika tal på en tallinje. De ska markera ett posi tivt och ett negativt decimaltal, ett bråk mindre än ett och ett bråk större än ett, ett kvadrattal, en kvadratrot och ett procenttal. Nina väljer att markera 2,5 och -0,9. Hanna markerar 4 eftersom det är kvadraten på 2 och 3 eftersom det är 9. David markerar 1,5 eftersom det är 150% och Samuel markerar 2/3 och 5/4. Noteringsförslag till Hannas schema: Vet vad kvadrattal och kvadratrot är. 43

Taluppfattning. Positionssystemet Analysen fokuserar elevens förståelse för att siffrors värde är beroende av var i talet siffran är placerad. I förlängningen handlar det om att förstå att vi med hjälp av våra siffersym boler kan beskriva hur stora och små tal som helst. Elevens förståelse för betydelsen av siffran 0 och talet 0 bör också fokuseras liksom i vilken utsträckning eleven har en känsla för tals storlek. En del i analysen är elevens för~ måga att räkna fram och baklänges över 1.000- tals, 10.000-tals gränser och så vidare samt elevens förmåga att dividera och multiplicera med till exempel 10; 100; 0,01. Analysen fokuserar vidare elevens kunnande om tal i grundpotensform samt om stora tal, till exempel miljard, biljon. Exempel Uppfattning om positionssystemet Eleverna får i uppgift att slå in talet 3,596 på sina miniräknare. De ska sedan fundera över vilket tal och räknesätt de ska använda för att det på nians plats i stället ska stå en sexa. Eric ser att han ska subtrahera 0,03 eftersom nian står på hundradelsspositionen. Kunnande om grundpotensform Victoria ser en poäng med grundpotensform. Hon säger: Man behöver ju bara titta på vad 10 är upphöjt till, så ser man ungefär hur stort talet är. En tid senare inser hon sambandet mellan grundpotensform och prefix och hon skriver i sin matematikskrivbok kilo är samma sak som 103, hekto är 102, deci är 10-1, centi är 10-2 och milli är 10-3. Läraren ber eleverna tänka efter när de senast använde grundpotensform. Hanna berättar att hon kvällen innan satt i sitt rum och funderade över hur många sekunder hon har levt hittills. Hon använde sin mammas gamla miniräknare för sina beräkningar och fick upp följande i siffer fönstret: 4,15 e 8. Hanna tolkar svaret rätt och inser att det betyder 4,15. 108. Noteringsförslag till Hannas schema: Använder grundpotensform. Del av Analysen fokuseras på elevens förståelse och användning av Del av, som del aven helhet, som del av antal och som del av värde. Sitt kunnande om Del av kan eleven visa med bild samt uttryckt i bråk, decimal, och procent form. Hit hör också elevens förmåga att gå från en uttrycksform till en annan och vilken helhet delen relateras till. I analysen ingår i vilken utsträckning eleven kan göra berälkningar med tal i bråk, decimal- och procentform. Dessutom omfattar analysen i vilken utsträckning eleven kan skriva ett bråk i sin enklaste form och kan använda blandad form. Hit hör kunskapen om att ett bråks värde inte förändras om täljare och nämnare multipliceras/divideras med samma tal (dock ej noll). När det gäller tal i procentform, fokuseras analysen på elevens förmåga att använda procent i vardagssituationer samt i vilken ut~ sträckning och på vilket sätt eleven beräknar procentuell andel och förändring. I analysen kan ingå i vilken utsträckning eleven skiljer på procentuell andel och procentenheter. Proportionalitet och skala är exempel på tillämpningar på Del av. 44

Taluppfattning. Exempel Del av Eleverna får i uppgift att med olika exempel visa vad 3/4 betyder. Johan ritar en pizza och marke rar 3/4. Han skriver också 0,75 och 75%. Moa säger: När 3/4 av den här lektionen har gått är det bara en kvart kvar och 3/4 av den här matte gruppen är pojkar. Hanna säger: det är 3/4 av den här månaden kvar, men jag har redan för brukat 3/4 av min månadspeng. Noteringsförslag till Hannas schema: Använder del av helhet och del av värde. I en grupp sammanställer de sitt resultat så här: Bråkberäkning Jacob och Eric sitter och arbetar. De ska lösa upp giften 2/3 + 1/2. De löser den först var och en och resonerar sedan med varandra. Jacob klarar beräkningen genom att rita figurer. Eric gör först om bråken till decimalform, men säger Då blir det inte exakt. När de resonerar med varandra kommer de fram till att en bra metod vore att göra om båda bråken till sjättedelar först och sedan göra beräkningen. På hemkunskapen ska Niklas och Moa göra paj. De har ett recept som gäller för fyra personer och de gör om receptet så att det passar för två. De får bland annat göra om 11/2 dl grahamsmjöl till 3/4 dl. Klassen arbetar med kolasnören. Johan ska först ta 1/3 av ett snöre och sedan hälften av det som är kvar. Han säger: En tredjedel aven hel blir lika mycket som hälften av två tredjedelar. Förståelse av och användning av procent Eleverna ska räkna ut hur mycket 27% av 400 kr är. David beräknar detta genom att ta en fjärde del av 400 och sedan lägga till 2 4. Nina beräk nar i stället 0,27. 400 kr. Hanna gör ett överslag och säger: 25 % är 100, alltså är det lite mer än 100 kr. Noteringsförslag till Hannas schema: Använder överslagsräkning. Hanterar 25% som en fjärdedel. Skolans elevantal har ökat från 213 till 5 och eleverna ska räkna ut den procentuella ökningen. Niklas säger: En procent är ju 2 så det blir väl 6 procent. Samuel beräknar 12/213 på miniräk naren. Victoria slår i stället 225/213 på sin miniräknare. Hon kan tolka sitt resultat och visar därmed kunnande om ändringsfaktor. Hanna jämför sin och sin brors längd och inser att om hennes bror är 10% längre än hon så är inte hon 10% kortare än sin bror. Noteringsförslag till Hannas schema: Relaterar procent till rätt helhet. Procentenhet David läser i tidningen att styrräntan har gått upp med en halv procent. Han konstaterar att om räntan stiger från 3% till 3,5% så är uppgången inte 0,5% utan nästan 17%. 45

Taluppfattning. Räknesätt och räkneregler Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven förstår och använder de fyra räknesätten samt olika räkneregler. När det gäller de fyra räknesätten omfattar analysen elevens förmåga att i en konkret eller tänkt situation välja lämpligt räknesätt för de beräkningar som behöver göras. Här ingår också elevens förmåga att tolka ett matematiskt uttryck och beskriva en eller flera lämpliga händelser som passar uttrycket. Att se samband mellan de fyra räknesätten och att inse vad som händer med ett tal då det multipliceras eller divideras med ett tal mellan 0 och 1 ingår också i analysen. I analysen ingår också i vilken utsträck ning eleven kan hantera potenser samt känner till och behärskar räkneregler, till exempel prio riteringsreglerna och användning av parenteser. Exempel Välja räknesätt Eleverna funderar över följande fråga: Christian är född 13 september 1990. Anja är sju dagar yngre än Christian. När är hon född? Jenny inser att hon ska använda addition trots att ordet yngre finns med och hon svarar därför 20 september 1990. Tolkning av ett matematiskt uttryck Klassen får i uppgift att skriva en räkneberättelse som passar till 2003-89. Theresia skriver: Min lillebror vill köpa en radiostyrd bil som kostar 2 003 kronor. Nu har han 89 kronor. Hur mycket måste han spara? Eric skriver: Min morfar är 89 år i år (2003). När föddes han? Vid ett annat tillfälle skriver eleverna i klassen räkneberättelser till uttrycket 12/4. Eric beskriver en innehållsdivision: Mamma har 12 ljus. Hur många adventsljusstakar räcker de till? Theresia beskriver en delningsdivision: Jag har 12 chokladbitar och delar dem lika mellan mig och mina tre kompisar. Hur många får vi var? David gör en räknehändelse till 7/0,2. Hur många 2 hg-påsar räcker 7 kg till? Användning av räkneregler Hanna ska räkna ut 5. 197 och gör det på detta sätt: 5. 197 = 5. 200-5. 3 = 000-15 = 985 Noteringsförslag till Hannas schema: Använder räkneregler för att underlätta beräkning. Hantering av potenser Eleverna gör anteckningar om potensräkning i sina matematikskrivböcker. Niklas gör följande beskrivning 52. 53 = 5. 5. 5. 5. 5 = 55. Alltså gäller. 52. 53 = 52+3 Moa gör först fel när hon ska beräkna 23. Hon får det till 6, men säger: Nej det är ju + 2 + 2 som är 3. 2. Det här är 2. 2. 2 och det är 8. Klassen arbetar med potenser och då utbrister plötsligt David: Titta 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 6. 2 = 2. 6 och 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 26, alltså är potenser upprepad multiplikation precis som multiplikation är upprepad addition. Användning av räkneregler (parenteser) Victoria ska teckna ett uttryck för följande hän delse: Jim har just flyttat hemifrån. Han har 3 000 kronor kvar på sitt konto. För detta ska han köpa ett busskort för 500 kr, mat för ungefär 700 kr och en tröja för 240 kr. Hur mycket har han sedan var på kontot? Victoria skriver detta uttryck: 3 000 - (500 + 700 + 240) = 1 560 46

Taluppfattning. Räknemetoder Analysen fokuseras på kvaliteten i de strategier eleven har när han/hon räknar i huvudet och med skriftliga räknemetoder. Hit hör också att kunna räkna med negativa tal. Analysen omfattar vidare i vilken utsträckning eleven behärskar olika metoder för beräkningar samt kan avgöra om svaret är rimligt. När det gäller huvudräkning fokuseras analysen på i vilken utsträckning eleven har goda och utvecklingsbara strategier. När det gäller skriftliga räknemetoder fokuseras analysen på i vilken utsträckning eleven har skriftliga och fungerande beräk ningsmetoder som hon/han själv förstår, inte på att det är en speciell sorts metod. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven kan hitta sina egna metoder och tolka andras skriftliga räknemetoder. I analysen ingår även elevens kunnande när det gäller överslagsräkning, räkning med närmevärden, miniräknare sam r dator. Även elevens kunnande om avrundning ingår i analysen. När det gäller användning av miniräk naren fokuseras analysen på i vilken utsträckning och på vilket sätt eleven använder mini räknaren som redskap för att göra lämpliga beräkningar. Analys av elevens kunnande när det gäller överslagsräkning handlar bland annat om i vilken utsträckning eleven förstår när av rundningar kan göras uppåt respektive nedåt och om eleven vågar avrunda på så sätt att uträkningen blir lätt att göra i huvudet. Exempel Goda strategier för subtraktion Klassen ska lösa uppgiften 504-486. Eleverna löser uppgiften på olika sätt. Jacob: Jag tänker att det är 14 från 486 till 500 och sen är det 4 kvar. 504-486 = 14 +4 = 18. Jenny: Jag tar bort 4 från båda termerna och då får jag ut trycket 500-482. Det är lätt att räkna ut till 18. Jacob löser uppgiften genom att utgå från den andra termen och sedan tänka uppåt till den första termen. Han gör om uppgiften till en addition i stället. Jenny väljer här att subtrahera båda termerna med samma tal för att få en lättare uträkning. Skriftliga räknemetoder Hanna beräknar 4. 32,6. Hon använder kort mul tiplikation: 4. 32,6 = 120 + 8 +,4 = 130,4. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan an vända kort multiplikation med tal i decimalform. Rimlighet och användning av miniräknare David använder miniräknare för att beräkna hur mycket pengar han kommer att tjäna på att arbeta under sommaren. Han inser direkt att han måste ha slagit fel när summan blir alldeles för låg. När han gör om beräkningen märker han att han gör ett felslag och använder då rätt funktion på miniräknaren för att rätta till det utan att behöva börja om från början med hela beräkningen. 47

Mönster och samband. Mönster och samband De fem första underrubrikerna återkommer inom varje område med liknande formuleringar. Visar tilltro och tar ansvar Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven visar tilltro till sitt lärande. Analysen inriktas även på den glädje och det intresse eleven kan känna och visa i olika situationer för lärande. Aspekter som hör ihop med detta är i vilken utsträckning eleven griper sig an uppgifter som han/hon inte är bekant med och att hon/han inte låter sig nedslås vid motgångar utan i stället tar nya tag. Vidare omfattar analysen i vilken utsträckning ele ven visar medvetenhet om sitt eget lärande. Denna medvetenhet innefattar självinsikt om sitt kunnande och också att kunna sätta upp nya mål för sitt lärande. Analysen omfattar också i vilken utsträckning eleven tar ansvar för sitt lärande. En viktig del i detta är i vil ken utsträckning han / hon ställer frågor om sådant som är oklart. Här avses i första hand situationer där kunskap från Mönster och samband ingår. Hanterar och löser problem Analysen fokuseras på elevens förmåga att hantera och lösa problem, med särskilt fokus på i vilken utsträckning eleven använder kun skap från Mönster och samband i problem hanterandet. Med ett problem menas här en uppgift där lösningsmodellen inte på förhand är given för eleven. Viktiga aspekter i analy sen är i vilken utsträckning eleven analyserar problemsituationen, reflekterar över ingåen de data och möjliga lösningsmetoder, drar slutsatser samt ser kopplingar till andra pro blem med liknande matematisk struktur. En kvalitetsaspekt är i vilken utsträckning eleven kan använda olika problemlösningsstrategier som att rita en bild, konstruera en tabell, beskriva med ord, teckna en ekvation med mera. Under hela problemlösningsprocessen samt efter att ett problem är löst fokuseras analysen på i vilken utsträckning och med vilken kvalitet eleven jämför, tolkar och värderar olika lösningar. Analysen omfattar också elevens förmåga att jämföra olika lösningsmetoder och att då inse vilka metoder som är mer generella. Generalisering kan ut tryckas med ord, bilder och matematiska symboler. En annan aspekt som kan lyftas fram här är i vilken utsträckning eleven använder tekniska hjälpmedel när det är lämpligt/relevant samt med vilken säkerhet eleven använder dessa, till exempel hur hon/han utnyttjar räknarens skilda möjligheter. I problemhanterandet kan eleven visa i vilken utsträckning han/hon använder logiska resonemang samt sin intuition. Exempel Problemlösning mot generella metoder Eleverna ska visa vad som händer med en rek tangels area när längden ökar med 10% och bredden minskar med 10%. Niklas inser att det inte räcker med att pröva med en rektangel utan prövar med tre olika rektanglar och kommer på så sätt fram till att arean minskar. Hanna prövar med en rektangel med längden 2 och bredden 4. Hon använder ändringsfaktor för att räkna ut bredd och längd på den nya rektangeln. Då drar hon slutsatsen att arean blir alltid mindre där för att ändringsfaktorn 0,9.,1 blir mindre än ett. David gör på ett liknande sätt men anger längden på den ursprungliga rektangeln till a och bredden till b. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan lösa problem generellt med ändringsfaktor. 48

Mönster och samband. Tillämpar matematik Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven tillämpar sitt matematiska kunnande, här främst det inom Mönster och samband, i olika situationer, till exempel i andra skolämnen, temaarbeten, vardagsliv och samhälle. I analysen ingår i vilken utsträckning eleven fattar välgrundade beslut med hjälp av sin matematiska kunskap såväl i välkända som i nya situationer. Analysen omfattar också i vil ken utsträckning eleven kombinerar och använder matematik från olika kunskapsom råden. Vidare handlar analysen om i vilken omfattning eleven inser värdet av och använ der relationer och satser samt utvecklar förmågan att använda matematiska modeller. Exempel Integrerar matematik från olika kunkskapsområden Eleverna får geometriska figurer av varierande storlek, till exempel rektanglar och trianglar, klippta ur samma papp. Varje grupp väger sin figur och beräknar arean. Mätvärdena placeras i ett gemensamt diagram. Alla punkterna för de olika figurerna utom en hamnar på en rät linje. Moa tror att punkten kan ha hamnat där för att det var en cirkel och alla de andra är rektanglar och trianglar. Hanna säger att formen inte har någon betydelse. Punkterna för alla figurer borde hamna på linjen, för ju större area figuren har desto mer väger den. Läraren ställer frågan: Skulle vi kunna få en annan graf om vi klippte andra figurer? David säger att det skulle bli större lutning på linjen om man klippte i en tjockare papp. Noteringsförslag till Hannas schema: Förstår pro portionelit samband visat med en linje i en graf. Kommunicerar Analysen fokuseras på i vilken utsträckning elevens kommunikation har ett innehåll från Mönster och samband Analysen omfattar då i vilken utsträckning eleven beskriver, förklarar, lyssnar och argumenterar för sina tankar muntligt såväl som skriftligt. Kommunikationen/argumentationen kan till exempel ske med gester, bild, ord och symboler. Exempel Beskriva och motivera sina matematiska tankar I en uppgift ska eleverna beskriva händelseför lopp som passar till en graf. De ska också motivera sin beskrivning. Samuel gör en kortfattad beskrivning där mycket utelämnas. Läraren säger till honom att beskrivningen kan bli bättre och att han också ska skriva en motivering. Hon påminner honom om att de har talat om att han ska försöka utveckla sitt sätt att svara på uppgifter så att han bättre visar sina matematiska tankar. Samuel gör sin beskrivning mer fullständig och skriver också en ordentlig motivering. Matematiskt språk Analysen fokuseras på elevens användning och förståelse av matematisk terminologi som har med Mönster och samband att göra, till exempel funktion, likhet, uttryck, variabel. I användningen av matematisk terminologi ingår att känna igen, jämföra, tolka, beskriva och definiera matematiska begrepp. Analysen fokuseras vidare på hur väl eleven använder det matematiska symbolspråket samt de matematiska konventioner som finns inom området Mönster och samband, till exempel konventionen att 3y i ett uttryck betyder 3 y. 49

Mönster och samband. Exempel Förståelse av bokstavssymboler: Hanna skriver i sin matematikskrivbok: När man räknar med algebra kan man använda bokstäver i stället för tal. 3b + 2b kan till exempel stå för 3. 6 + 2. 6. Förut trodde jag att b kunde stå för till exempel bananer, men det är fel. Det kan stå för hur många bananer som finns eller kanske priset för en banan. Noteringsförslag till Hannas schema: Förstår användning av bokstavssymboler. Mönster Analysen fokuseras på elevens förmåga att uppfatta, avbilda, fortsätta och beskriva mönster. De mönster som hamnar under denna rubrik är sådana som kan beskrivas algebraiskt. Vidare fokuseras analysen på elevens förmåga att konstruera egna mönster, se de strukturer som kännetecknar olika mönster samt att beskriva dessa generellt med ord, bild och med algebraiska symboler. Analysen kan också omfatta elevens kun nande i kombinatorik. Exempel Användning av talmönster/kombinatorik Klassen undersöker hur många matcher det blir om alla möter alla i en pingisturnering. De kom mer fram till följande: Antal personer: 2 3 4 5 6 Antal matcher: 1 3 6 Eric ser att den nedre raden bildar ett talmönster och kan då se hur många matcher det blir med 5 och 6 deltagare. Jenny och Theresia diskuterar vem som har flest klädkombinationer. Jenny har 2 par byxor och 5 olika tröjor medan Theresia har 3 par byxor och 3 olika tröjor. Jenny påstår att Theresia har fler kombinationer för hon har 2+5 möjligheter och Jenny har bara 3+3. Men Theresia visar genom att rita ett diagram att Jenny har 10 möjliga kombinationer medan Theresia bara har 9. Hantering av mönster Eleverna i klassen resonerar kring detta mönster: Johan visar att han kan uppfatta och fortsätta mönstret genom att säga: Titta! Det blir en stjärna till åt varje håll Han ritar sedan nästa figur korrekt. Hanna generaliserar bilderna till ett talmönster och beskriver detta med ord: Nästa figur har 13 stjärnor eftersom det blir fyra till varje gång. David funderar en stund och gör sedan denna generalisering i ord och symboler: Varje arm har en stjärna mindre än figurens nummer och så finns det en stjärna i mitten: 4. (x - 1) + 1. Victoria beskriver på detta sätt: Varje arm har lika många stjärnor som figurens nummer. När figuren sätts ihop hamnar fyra stjärnor ovanpå varandra och tre syns inte. Den beskrivningen passar till formeln: 4, x- 3. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan beskriva mönster med ord. 50

Mönster och samband. Formler och uttryck Analysen fokuseras på hur eleven använder formler och uttryck. I analysen ingår också i vilken utsträckning eleven tolkar, översätter, formulerar och omformar dessa samt ser en koppling både till verkliga situationer och inom matematiska. Analysen fokuseras också på om eleven förstår innebörden av och kan använda variabler, och om eleven kan skilja på konstanter och variabler. Algebraiska samband kan beskrivas med ord, bild och symboler. En viktig del i analysen är i vilken utsträckning eleven kan använda dessa olika beskrivningssätt och i vilken utsträckning eleven kan gå från ord till bilder eller symboler, från bilder till ord eller symboler och så vidare. Vidare omfattar analysen i vilken utsträckning eleven kan förenkla algebraiska uttryck och inser att ekvivalenta uttryck har samma värde. Exempel Förståelse av likheter Victoria ska skriva exempel på matematiska uttryck som är likheter och uttryck som inte är lik heter. Som exempel på likhet skriver Victoria 3a + 2b = 14 och som exempel på ett uttryck som inte är en likhet skriver Victoria 5x+ 7y. Likhetstecknets användning David gör följande omskrivning: 2(x- 4) = 2x- 8 och säger: Det ser ut som en ekvation, men det är det väl inte? Läraren: Varför inte? David: Här kan ju x vara vad som helst, det går inte att ta reda på. Läraren: Ändra på något så att det blir en ekvation. David försöker först att stryka 8:an men då går det inte heller att lösa, och stryker i stället den första 2:an och löser ekvationen x - 4 = 2x - 8 genom att pröva med några tal. Han inser att nu passar inte x för vilket tal som helst och menar att det nu är en ekvation. Han säger: Likhetstecknet används egentligen på olika sätt. Användning och tolkning av formler Det kostar (100 + t 25) kr att hyra en båt under t timmar. Moa använder formeln och räknar ut hur mycket det kostar att hyra båten i 6 timmar. Samuel tolkar formeln och säger att det kostar 100 kr från början och sedan 25 kr per timme. Hur mycket det kostar totalt beror på hur många tim mar man hyr. Det är det som är t. Ekvivalenta uttryck Hanna arbetar med förenkling/utveckling av det algebraiska uttrycket (x + 9) (x+ 9). Efter avslu tat arbete har hon fått (x + 9) (x + 9) = (x + 9)2 = i + 18x + 81. Hon säger att det ska vara lik hetstecken mellan de tre uttrycken eftersom det är samma uttryck fast skrivet på olika sätt. Noteringsförslag till Hannas schema: Inser att ett uttryck kan skrivas på olika sätt. Samuel arbetar med en figur: Han tecknar uttryck för figurens omkrets och area, förenklar uttrycken och sätter in talvärden på a och b för att kontrollera att han gjort rätt. 51

Mönster och samband. Grafer och funktioner Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven förstår och på olika sätt kan hantera grafer och funktioner. I analysen ingår också i vilken utsträckning eleven kan placera punkter i ett koordinatsystem. Analysen fokuserar i vilken utsträckning eleven kan översätta en funktion mellan verklig situa tion, beskrivning, tabell, graf och formel. I dessa sammanhang kan grafritande räknare och/eller dator användas. Vidare kan analysen fokusera i vilken utsträckning eleven förstår och använder egenskaper hos linjära och icke linjära funktioner. Även skillnaden mellan kontinuerliga och diskreta värden/funktioner kan ingå i analysen. Exempel Överföra från verklig situation till graf Hanna ritar ett väg/tid diagram över sin väg till skolan och visar förståelse för samband mellan fart och grafens lutning. Noteringsförslag till Hannas schema: Överför från situation till graf. Förståelse av funktioner David undersöker räta linjens ekvation med hjälp aven grafritande räknare. Han undersöker sär skilt hur linjens riktning har med koefficienten för x att göra. Han utbrister: Nu vet jag, om talet framför x är positivt lutar linjen uppåt åt höger, men om talet är negativt lutar linjen neråt åt höger. Likheter och olikheter Analysen fokuseras på i vilken utsträckning eleven förstår likhetstecknets innebörd och dess olika användning samt innebörden av tecknen för olikhet. Analysen fokuserar också i vilken utsträckning eleven kan ta reda på värdena av obekanta tal i likheter och då förstår och förklarar olika steg i lösningsproces sen. Analysen omfattar i vilken utsträckning eleven kan överföra en likhet eller olikhet mellan verklig situation, ord, bild, symboler. Analysen fokuseras vidare på i vilken utsträckning eleven använder ekvation som redskap vid problemlösning samt de metoder eleven använder vid ekvationslösning, till exempel prövning, övertäckning eller mer formella lösningsmetoder. Hur formellt korrekt redovisningen är ingår också i analysen. Vidare analyseras hur eleven tolkar och prövar lösningen. Analysen kan också fokusera i vilken ut sträckning eleven förstår, använder och löser ekvationssystem. Exempel Lösning av ekvation på olika sätt Eleverna ska lösa ekvationen 102- x + 3 = 5. De använder olika metoder för att lösa uppgiften. Moa prövar med att sätta in olika värden för xoch ser vilket värde som stämmer med likheten. Efter ett tag hittar hon att x = 6. David håller över 102- x och ser att hela det uttrycket måste vara 2. Sedan håller han över (10 - x) och säger att det måste vara värt 4. Han ser då att x = 6. Hanna säger: Jag göra samma sak i båda leden. Hon kommer fram till att x= 6. Noteringsförslag till Hannas schema: Kan lösa ekvationer formellt. 52

Mönster och samband. David ska lösa ekvationen: 2x + 3 = 25. I klassen har de tidigare arbetat med bilder som beskriver ekvationer och han ritar nu följande bild. Han ser då att de två talen måste vara 22 tillsammans. Det sökta talet är då hälften av 22 dvs 11. Ekvation utan lösning I klassen arbetar de med ekvationslösning och eleverna får parvis konstruera ekvationer själva och sedan försöka lösa dem. Jacob och Victoria skriver upp ekvationen 2x + 3 = x + 2. Jacob löser ekvationen och får resultatet 1 = 0. Han kommenterar att inga x finns kvar och 1 är inte lika med 0 så ekvationen har ingen lösning. Victoria studerar ekvationen en stund och säger sedan att det inte spelar någon roll vilka värden man sätter in för x, ekvationen har ändå ingen lösning. 53

Elevversion Kopieringsunderlag Kommentarer och exempel till analysschemat Här kan du läsa vad de olika rutorna i schemat kan handla om. Om du vill veta mer om inne hållet i några rutor kan du be att få läsa i din lärares exemplar av analysschemat. Där finns också exempel på hur olika elever visar vad de kan i matematik. Allt eftersom du lär dig nya saker i matematik kan det antecknas i ditt analysschema. 54

Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband Den här delen handlar om mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Det som ingår i detta är till exempel kartor och ritningar, geometriska mönster, mätning av olika slag, geometriska objekt som exempel vis trianglar, rektanglar, kuber. Visar tilltro och tar ansvar I den här rutan ska det stå hur roligt och intressant du tycker att det är med matematik som handlar om mätning, rumsuppfattning och geometriska samband. Här ska också antecknas hur du tar ansvar för ditt lärande. Hur säker känner du dig när du arbetar med upp gifter inom det här området? Hur gör du när du behöver lära dig något nytt? Hanterar och löser problem I den här rutan ska det skrivas hur du använder din kunskap i mätning, rumsuppfattning och geomet riska samband när du ska lösa ett problem. Hur gör du när du planerar lösningen aven upp gift och hur bedömer du om svaret är rimligt? Kan du lösa ett problem på olika sätt och kan du inse att ett sätt kan vara bättre än ett annat? Kan du välja och använda rätt hjälpmedel (till exempel linjal, gradskiva, passare, dator, miniräknare)? Tillämpar matematik I den här rutan ska det skrivas hur du använder det du lärt dig inom mätning, rumsuppfattning och geometriska samband även i andra sammanhang, till exempel i andra skolämnen, i vardagslivet, på fritiden. Här ska det också stå hur du använder den kunskap som du redan har när du möter något nytt inom matematiken. Hur använder du dig av det du kan i matematik i olika sammanhang? Kommunicerar I den här rutan ska det skrivas hur du beskriver, förklarar, lyssnar och argumenterar för dina tankar när det gäller mätning, rumsuppfattning och geo metriska samband. Detta kan ske både muntligt och skriftligt genom gester, bild, ord och symboler. Hur gör du när du behöver kommunicera dina matematiska tankar till någon annan? Matematiskt språk I den här rutan ska det stå hur du förstår och använder det matematiska språket inom det här området. Här ska också stå hur du använder det matematiska symbolspråket (till exempel Vinkeln acd = 45 ). Exempel på ord som hör hit är rek tangel, kvadrat, cirkel, sida, kant, hörn, bisektris, diagonal. Förstår du innebörden av sådana ord och symboler? Använder du sådana ord och symboler på ett kor rekt sätt? Avbildning, kartor och ritningar I den här rutan ska det skrivas hur du förstår vad som menas med en avbildning och om du kan göra avbildningar. Kan du göra en ritning i en angiven skala? Förstår du principen för förminskning och försroring och hur man skriver skala? Kan du med hjälp av linjal och en karta bestämma avståndet mellan två platser i verkligheten? Vet du vad likformig innebär? 55

Geometriska objekt Med geometriska objekt menas både plana geo metriska figurer (till exempel cirklar, trianglar, parallellogrammer) och geometriska figurer med volym (till exempel rätblock, cylindrar, koner). I den här rutan ska det skrivas hur du känner igen, beskriver, namnger och ritar geometriska objekt. Vilka geometriska objekt känner du igen? Kan du beskriva dem? Kan du rita geometriska objekt? Geometriska mönster Här ska det skrivas hur du förstår, ritar av, beskri ver, fortsätter och skapar egna mönster. Här ska det också skrivas hur du ser likheter och samband mellan olika mönster. Kan du fortsätta ett geometriskt mönster? Kan du beskriva det? Kan du förstå hur olika geometriska mönster är uppbyggda? Kan du skapa dina egna geometriska mönster? Geometriska satser Här ska det stå vilka geometriska satser du känner till, och hur du kan använda dem. Med geometriska satser menas geometriska samband som alltid gäl ler, till exempel vinkelsummman i en triangel eller Pythagoras sats. Här kan det också antecknas om du förstår vad som menas med ett bevis och om du kan genomföra ett sådant. Vilka geometriska satser kan du använda? Vet du vad som menas med ett geometriskt bevis? Längd, area, volym Den här rutan ska innehålla beskrivningar av det du vet om längd, area och volym. Förstår du innebörden av längd, area och volym? Kan du mäta, uppskatta och beräkna omkrets, area och volym för olika geometriska figurer? Kan du använda rätt enheter och göra enhets byten? Förstår du samband mellan omkrets och area för olika geometriska figurer? Massa (vikt) Här ska den kunskap du har om massa (vikt) beskrivas. Förstår du innebörden av massa? Kan du mäta, uppskatta och beräkna massa? Kan du använda rätt enheter och göra enhets byten? Vinklar Här ska det skrivas det du vet om vinklar. Förstår du vad som menas med en vinkel? Kan du jämföra, uppskatta, mäta och beräkna vinklar? Tid I den här rutan ska det skrivas vad du kan om tid. Kan du jämföra, uppskatta och ange tider för både digital och analog klocka? Kan du beräkna tidsskillnader och använda tidtabeller? Behärskar du enheterna för tid och kan du göra enhetsbyten? 56

Statistik och sannolikhet Den här delen handlar om statistik och sannolikhet. Det som ingår i detta är till exempellägesmått som medelvärde, median och typvärde, tabeller och diagram, beräkning av risker och chanser. Visar tilltro och tar ansvar I den här rutan ska det stå hur roligt och intressant du tycker att det är med matematik som handlar om statistik och sannolikhet. Här ska också an tecknas hur du tar ansvar för ditt lärande. Hur säker känner du dig när du arbetar med upp gifter inom det här området? Hur gör du när du behöver lära dig något nytt? Hanterar och löser problem I den här rutan ska det skrivas hur du använder din kunskap i statistik och sannolikhet när du ska lösa ett problem. Hur gör du när du planerar lösningen aven upp gift och hur bedömer du om svaret är rimligt? Kan du lösa ett problem på olika sätt och kan du inse att ett sätt kan vara bättre än ett annat? Kan du välja och använda rätt hjälpmedel (till exempel linjal, dator, miniräknare)? Tillämpar matematik I den här rutan ska det skrivas om du använder det du lärt dig inom statistik och sannolikhet även i andra sammanhang, till exempel i andra skol ämnen, i vardagslivet, på fritiden. Här ska det också stå hur du använder den kunskap som du redan har när du möter något nytt inom matematiken. Hur använder du dig av det du kan i matematik i olika sammanhang? Kommunicerar I den här rutan ska skrivas hur du beskriver, förklarar, lyssnar och argumenterar för dina tankar när det gäller sannolikhet och statistik. Detta kan ske både muntligt och skriftligt genom gester, bild, ord och symboler. Hur gör du när du behöver kommunicera dina matematiska tankar till någon annan? Matematiskt språk I den här rutan ska det stå hur duktig du är på att förstå och använda det matematiska språket inom det här området. Här ska också stå hur du använ der det matematiska symbolspråket. Exempel på ord som hör hit är tabell, stapeldiagram, frekvens, median, utfall. Förstår du innebörden av sådana ord? Använder du sådana ord på ett korrekt sätt? Lägesmått och spridningsmått I den här rutan ska din kunskap om framför allt läges måtten medelvärde, median och typvärde beskrivas. Förstår du innebörden av de olika lägesrnåtten? Kan du beräkna dem? Kan du någonting om spridningsrnått? 57

Datahantering, tabeller och diagram I den här rutan ska din kunskap om datahantering, tabeller och diagram beskrivas. Kan du samla in, sortera och sammanställa uppgif ter på ett bra sätt? Kan du göra snygga och överskådliga tabeller och diagram? Kan du tolka och granska olika sorters diagram? Kan du välja diagramtyp (stapeldiagram, cirkeldia gram, linjediagram, stolpdiagram eller histogram) som passar till ett visst material? Kan du upptäcka när ett diagram ger en felaktig bild av verkligheten? Sannolikhet I den här rutan ska det beskrivas vad du kan om sannolikhet. Förstår du vad sannolikhet innebär? Förstår du vad som menas med en slumpmässig händelse? Kan du beräkna chansen eller risken för slump mässiga händelser? Förstår du hur man laborativt kan bestämma san nolikheten för en händelse, genom att upprepa ett försök många gånger? Taluppfattning Den här delen handlar om taluppfattning. Det som ingår i detta är till exempel tal i bråk, decimal- och procentform, negativa tal, räknesätt, räkneregler, huvudräkning, skriftliga räknemetoder. Visar tilltro och tar ansvar I den här rutan ska det stå hur roligt och intressant du tycker att det är med matematik som handlar om taluppfattning. Här ska också antecknas hur du tar ansvar för ditt lärande. Hur säker känner du dig när du arbetar med upp gifter inom det här området? Hur gör du när du behöver lära dig något nytt? Hanterar och löser problem I den här rutan ska det skrivas hur du använder din kunskap i taluppfattning när du ska lösa ett problem. Hur gör du när du planerar lösningen aven upp gift och hur bedömer du om svaret är rimligt? Kan du lösa ett problem på olika sätt och kan du inse att ett sätt kan vara bättre än ett annat? Kan du välja och använda rätt hjälpmedel (till ex empellinjal, dator, miniräknare)? Tillämpar matematik I den här rutan ska det skrivas hur du använder det du lärt dig inom tal uppfattning även i andra sam manhang, till exempel i andra skolämnen, i var dagslivet, på fritiden. Här ska det också stå hur du använder den kunskap som du redan har när du möter något nytt inom matematiken. Hur använder du dig av det du kan i matematik i olika sammanhang? 58

Kommunicerar I den här rutan ska skrivas hur du beskriver, för~ klarar, lyssnar och argumenterar för dina tankar när det gäller taluppfattning. Detta kan ske både muntligt och skriftligt genom gester, bild, ord och symboler. Hur gör du när du behöver kommunicera dina matematiska tankar till någon annan? Matematiskt språk I den här rutan ska det stå hur du förstår och använder det matematiska språket inom det här området. Här ska också stå hur du använder det matematiska symbolspråket (till exempel likhets tecken, siffror). Exempel på ord som hör hit är addition, produkt, täljare, potens, promille. Förstår du innebörden av sådana ord och symboler? Använder du sådana ord och symboler på ett korrekt sätt? Talområden Den här rutan ska innehålla din kunskap om tal i olika talområden, som naturliga tal, hela tal, rationella tal och reella tal. Förstår du vad som menas med hela tal, decimaltal, tal i bråkform, negativa tal, jämna/ udda tal, primtal, kvadratrotstal? Positionssystemet I den här rutan ska den kunskap du har om positionssystemet beskrivas. Vet du värdet aven siffra beroende på var den är placerad i talet, det vill säga förstår du betydelsen av tiotal, hundratal, tusental och så vidare samt tiondelar, hundradelar, tusendelar och så vidare? Använder du dig av denna kunskap när du utför multiplikationer och divisioner med till exempel 10, 100 och 0,1, 0,01? Kan du använda grundpotensform för små och stora tal? Del av Den här rutan ska innehålla din kunskap om olika sätt att uttrycka del av. Förstår du tal skrivna i bråkform? I vilken utsträckning kan du räkna med tal i bråk form? Behärskar du tal i decimalform? Vad vet du om procent? Kan du skriva ett tal i de olika formerna (bråk, decimal och procentform)? Räknesätt och räkneregler Den här rutan ska innehålla din kunskap om räk nesätt och räkneregler. Förstår du innebörden av de fyra räknesätten (addi tion, subtraktion, division och multiplikation)? Kan du välja rätt räknesätt när du ska lösa en uppgift? Kan du hitta på verlkliga händelser, som passar till olika beräkningar? Ser du sambanden mellan olika räknesätt (till exempel att 2 + 2 + 2 = 3. 2 och att 6/2 = 6. 0,5)? Vet du i vilken ordning olika beräkningar ska göras, när ett uttryck innehåller flera olika räknesätt? Kan du räkna med potenser? 59

Räknemetoder I den här rutan ska det skrivas hur du räknar i huvudet och med skriftliga räknemetoder. Har du bra strategier för huvudräkning? Klarar du att göra beräkningar skriftligt eller är du beroende av miniräknare? Kan du avrunda och göra överslagsberäkningar? Kan du avgöra om ett svar är rimligt? Är du säker när du använder miniräknaren? Mönster och samband Den här delen handlar om mönster och samband. Det som ingår i detta är till exempel mönster som kan beskrivas med formler, algebraiska uttryck, grafer, funktioner, ekvationer. Visar tilltro och tar ansvar I den här rutan ska det stå hur roligt och intressant du tycker att det är med matematik som handlar om mönster och samband. Här ska också ante ck nas hur du tar ansvar för ditt lärande. Hur säker känner du dig när du arbetar med upp~ gifter inom det här området? Hur gör du när du behöver lära dig något nytt? Hanterar och löser problem I den här rutan ska det skrivas hur du använder din kunskap om mönster och samband när du ska lösa ett problem. Hur gör du när du planerar lösningen även uppgift och hur bedömer du om svaret är rimligt? Kan du lösa ett problem på olika sätt och kan du inse att ett sätt kan vara bättre än ett annat? Kan du välja och använda rätt hjälpmedel (till exempel linjal, dator, miniräknare)? Tillämpar matematik I den här rutan ska det skrivas om du använder det du lärt dig om mönster och samband även i andra sammanhang, till exempel i andra skolämnen, i vardagslivet, på fritiden. Här ska det också stå hur du använder den kun skap som du redan har när du möter något nytt inom matematiken. Hur använder du dig av det du kan i matematik i olika sammanhang? Kommunicerar I den här rutan ska skrivas hur du beskriver, för~ klarar, lyssnar och argumenterar för dina tankar när det gäller mönster och samband. Detta kan ske både muntligt och skriftligt genom gester, bild, ord och symboler. Hur gör du när du behöver kommunicera dina matematiska tankar till någon annan? Matematiskt språk I den här rutan ska det stå hur du förstår och an vänder det matematiska språket inom det här om rådet. Här ska också stå hur du använder det mate matiska symbolspråket (till exempel 3x - 5 = 15). Exempel på ord som hör hit är graf, koordinat, funktion, proportionalitet, likhet, variabel. Förstår du innebörden av sådana ord och symboler? Använder du sådana ord och symboler på ett kor rekt sätt? 60

Mönster I den här rutan ska det skrivas hur du uppfattar, avbildar, fortsätter och beskriver mönster. Uppfattar du ett mönster som är beskrivet med bild, ord eller tal? Kan du beskriva ett mönster med till exempel ord eller en formel? Formler och uttryck I den här rutan ska det skrivas hur du använder formler och uttryck. Kan du tolka en formel, det vill säga förstå vad den innebär? Kan du skriva ett verkligt samband som en formel? Förstår du vad som menas med en variabel? Kan du förenkla algebraiska uttryck? Grafer och funktioner I den här rutan ska det skrivas hur du förstår och kan hantera grafer och funktioner. Kan du pricka in punkter i ett koordinatsystem? Kan du tolka en graf som beskriver en verklig hän delse? Kan du rita grafen till en verklig händelse? Känner du igen grafen till en proportionalitet? Kan du rita grafen om du får sambandet som en formel? Likheter och olikheter I den här rutan ska det skrivas hur du förstår vad likhetstecknet betyder och om du kan teckna och lösa ekvationer. Förstår du vad en ekvation är? Vilka sorters ekvationer kan du lösa och vilka metoder använder du? Kan du teckna ekvationer och använda ekvationer vid problemlösning? 61

62

Kopieringsunderlag Analysschema Lärarsynpunkter 63

Analysschema Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad eleven kan som hur eleven visar sin kunskap. Vilka rutor som fylls i beror framför allt på vad läraren och eleven väljer att fokusera. Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad. Visar tilltro och tar ansvar Visar tilltro till och intresse för sitt lärande. Visar medvetenhet om och tar ansvar för sitt lärande. Hanterar och löser problem Analyserar, reflekterar, drar slutsatser, generaliserar. Jämför, tolkar och värderar lösningar. Använder tekniska hjälpmedel. Tillämpar matematik I olika situationer: i andra ämnen, temaarbete, vardagsliv, samhälle. Integrerar matematik från olika områden. Inser värdet av och använder relationer och satser. Använder matematiska modeller. Kommunicerar Beskriver, förklarar, lyssnar, argumenterar muntligt och skriftligt. Använder gester, bild, ord, symboler. Matematiskt språk Använder matematisk terminologi, matematiskt symbolspråk. Känner igen, jämför, tolkar, beskriver, definierar begrepp. Fortsättning nästa sida 64

Fortsättning Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband Analysschema. Avbildning, kartor och ritningar Likformighet, symmetri, kongruens, skala. Tolkar, använder, ritar/konstruerar. Geometriska objekt En-, två- och tredimensionella. Känner igen, jämför, beskriver, konstruerar, definierar. Geometriska mönster Uppfattar, avbildar, fortsätter, beskriver, konstruerar, generaliserar. Geometriska satser Troliggör, visar på, använder. Genomför enkla bevis. Längd, area, volym Förstår, jämför, uppskattar, mäter, bestämmer. Behärskar enheter. Massa (vikt) Förstår, jämför, uppskattar, mäter, bestämmer. Behärskar enheter. Vinklar Förstår, jämför, uppskattar, mäter, bestämmer. Tid Jämför, uppskattar, anger och avläser tider, behärskar enheter, bestämmer tidsskillnader. 65

Analysschema. Statistik och sannolikhet I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad eleven kan som hur eleven visar sin kunskap. Vilka rutor som fylls i beror framför allt på vad läraren och eleven väljer att fokusera. Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad. Visar tilltro och tar ansvar Visar tilltro till och intresse för sitt lärande. Visar medvetenhet om och tar ansvar för sitt lärande. Hanterar och löser problem Analyserar, reflekterar, drar slutsatser, generaliserar. Jämför, tolkar och värderar lösningar. Använder tekniska hjälpmedel. Tillämpar matematik I olika situationer: i andra ämnen, temaarbete, vardagsliv, samhälle. Integrerar matematik från olika områden. Inser värdet av och använder relationer och satser. Använder matematiska modeller. Kommunicerar Beskriver, förklarar, lyssnar, argumenterar muntligt och skriftligt. Använder gester, bild, ord, symboler. Matematiskt språk Använder matematisk terminologi, matematiskt symbolspråk. Känner igen, jämför, tolkar, beskriver, definierar begrepp. Fortsättning nästa sida ida 66

Analysschema. Fortsättning Statistik och sannolikhet Lägesmått och spridningsmått Förstår, bestämmer och använder typvärde, median, medelvärde. Förstår, använder spridningsmått. Datahantering, tabeller och diagram Samlar in, sorterar och klassificerar. Sammanställer data i tabeller och diagram för hand och med tekniska hjälpmedel. Analyserar, tolkar, värderar, granskar kritiskt. Sannolikhet Använder i slumpsituationer. Bestämmer t ex chanser, risker. 67

Analysschema. Taluppfattning I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad eleven kan som hur eleven visar sida kunskap. Vilka rutor som fylls i beror framför allt på vad läraren och eleven väljer att fokusera. Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad. Visar tilltro och tar ansvar Visar tilltro till och intresse för sitt lärande. Visar medvetenhet om och tar ansvar för sitt lärande. Hanterar och löser problem Analyserar, reflekterar, drar slutsatser, generaliserar. Jämför, tolkar och värderar lösningar. Använder tekniska hjälpmedel. Tillämpar matematik I olika situationer: i andra ämnen, temaarbete, vardagsliv, samhälle. Integrerar matematik från olika områden. Inser värdet av och använder relationer och satser. Använder matematiska modeller. Kommunicerar Beskriver, förklarar, lyssnar, argumenterar muntligt och skriftligt. Använder gester, bild, ord, symboler. Matematiskt språk Använder matematisk terminologi, matematiskt symbolspråk. Känner igen, jämför, tolkar, beskriver, definierar begrepp. Fortsättning nästa sida 68

Analysschema. Fortsättning Taluppfattning Talområden Utvidgar talområdet: naturliga tal, hela tal, rationella tal, reella tal. Positionssystemet Förstår siffrors platsvärde. Uppfattar tals storlek. Använder decimal- och grundpotensform. Del av Förstår, använder del av helhet, del av antal, del av värde. Uttrycker i bild och i bråk-, decimal-, procentform. Räknesätt och räkneregler Förstår och använder. Tolkar matematiska uttryck. Ser samband. Räknemetoder Använder och har strategier för huvudräkning, skriftliga räknemetoder, överslagsräkning, miniräknare, dator. 69

Analysschema. Mönster och samband I rutorna kan datum och analyser antecknas. Analyser omfattar såväl vad eleven kan som hur eleven visar sin kunskap. Vilka rutor som fylls i beror framför allt på vad läraren och eleven väljer att fokusera. Rutorna är inte ordnade i en progressionsordning vad gäller svårighetsgrad. Visar tilltro och tar ansvar Visar tilltro till och intresse för sitt lärande. Visar medvetenhet om och tar ansvar för sitt lärande. Hanterar och löser problem Analyserar, reflekterar, drar slutsatser, generaliserar. Jämför, tolkar och värderar lösningar. Använder tekniska hjälpmedel. Tillämpar matematik I olika situationer: i andra ämnen, temaarbete, vardagsliv, samhälle. Integrerar matematik från olika områden. Inser värdet av och använder relationer och satser. Använder matematiska modeller. Kommunicerar Beskriver, förklarar, lyssnar, argumenterar muntligt och skriftligt. Använder gester, bild, ord, symboler. Matematiskt språk Använder matematisk terminologi, matematiskt symbolspråk. Känner igen, jämför, tolkar, beskriver, definierar begrepp. Fortsättning nästa sida 70

Analysschema. Fortsättning Mönster och samband Mönster Uppfattar, avbildar, fortsätter, beskriver, konstruerar, generaliserar. Beskriver med ord, bild, symboler. Formler och uttryck Använder, tolkar, översätter, formulerar, omformar. Ser koppling till verkliga situationer. Skiljer på variabler och konstanter. Grafer och funktioner Förstår och använder koordinatsystem. Överför mellan verklig situation, ord, tabell, graf, formel. Likheter och olikheter Förstår likhetstecknets innebörd. Överför mellan verklig situation, ord, bild, symboler. Löser ekvationer på olika sätt. Prövar/tolkar lösningen. 71

Lärarsynpunkter Analysschema i matematik Namn: Skola: Ort: Vi ber dig som använder analysschemat i matematik att besvara nedanstående frågor. Synpunkterna skickas till: PRIM-gruppen (Analysschema 6-9) Lärarhögskolan i Stockholm Box 34103 100 26 Stockholm 1. Vilken utbildning har du? Lärarutbildning. Vilken? Annan utbildning. Vilken? 2. I vilket/vilka skolår går de elever du använder analysschemat för? Skolår 6 Skolår 7 Skolår 8 Skolår 9 Annat. Vilket? 3. Beskriv kortfattat hur du och/eller dina elever använder analysschemat och ange gärna hur ofta det fylls i. 72

4. Vilket stöd har du av Kommentarer och exempel till analysschemat (lärarversion) vid analyserna? Stort stöd Visst stöd Inte särskilt stort stöd Kommentarer: 5. Vilket stöd har dina elever av Kommentarer och exempel till analysschemat (elevversion) vid analyserna? Stort stöd o Visst stöd Inte särskilt stort stöd Kommentarer: 6. Vilken uppfattning har du om övrig lärarinformation? Bra Ganska bra Ganska dålig Dålig Kommentarer: 7. Innebär analysschemat att din uppfattning om dina elevers kunskap i matematik förändrats för alla de flesta cirka hälften några ingen Kommentarer: 73

8. Vad är det bästa med analysschemat? 9. Vad är det sämsta med analysschemat? 10. Övriga synpunkter: Tack för att du tog dig tid att svara på enkäten. 74

75

76

77

Lärarhögskolan i Stockholm prim-gruppen Box 34103, 100 26 Stockholm E-post: prim-gruppen@lhs.se Internet: www.lhs.se/prim/ 78