Matematikcirkel Katedralskolan 4 december 2013 Gott och Blandat

Relevanta dokument
Matematiska uppgifter

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6

2: E TOOT Bokstäverna O och T har en lodrät symmetriaxel, men inte R, B och L. Därför kommer endast ordet TOOT kunna skrivas på detta sätt.

Svar och arbeta vidare med Benjamin 2008

MVE365, Geometriproblem

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

Sidor i boken 8-9, 90-93

Känguru 2012 Cadet (åk 8 och 9)

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Avdelning 1, trepoängsproblem

Kängurutävlingen Matematikens hopp 2010 Cadet för elever i åk 8 och 9

Avdelning 1, trepoängsproblem

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Välkommen till Kängurutävlingen Matematikens hopp 17 mars Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Kvalificeringstävling den 26 september 2017

Känguru 2017 Student gymnasiet

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Sidor i boken Figur 1:

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Explorativ övning euklidisk geometri

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Avdelning 1, trepoängsproblem

Kvalificeringstävling den 30 september 2014

Explorativ övning euklidisk geometri

A: 100 B: 1000 C: D: E: (Tyskland) A: 10 B: 11 C: 13 D: 14 E: 15 (Tyskland) a 2 A: B: C: D: E:

Känguru 2010 Cadet (klass 8 och 9) sida 1 / 6

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

c) Låt ABC vara rätvinklig vid C och låt D vara fotpunkten för höjden från C. Då uppfyller den villkoren i uppgiften, men inte nödvändigtvis AC = BC.

Matematiska uppgifter

A: mindre än 4 år. B: minst 4 år. C: exakt 4 år. D: mer än 4 år. E: inte mindre än 3 år. (Schweiz) A: 0 B: Oändligt många C: 2 D: 1 E: 3 (Italien)

Repetition inför kontrollskrivning 2

Matematiska uppgifter

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

Känguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet

Matematiska uppgifter

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

4 Dividera höjningen (0,5 %) med räntesatsen från början (1 %). 7 Du kan pröva dig fram till exempel så här: Från Till Procent- Procent enheter

Student för elever på kurs Ma 4 och Ma 5

Matematiska uppgifter

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm

Kortfattade lösningar med svar till Cadet 2006

Matematiska uppgifter

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Planering Geometri år 7

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002

NAMN KLASS/GRUPP. Poängsumma: Känguruskutt: UPPGIFT SVAR UPPGIFT SVAR

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet

= A: 0 B: 1 C: 2013 D: 2014 E: 4028

Gruppledtrådar. Gruppledtrådarna ingår i lärarhandledningen till Prima Formula 6 Får kopieras! Bo Sjöström, Jacob Sjöström och Gleerups Utbildning AB

Explorativ övning Geometri

Känguru 2019 Student gymnasiet

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2

Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag

Svar och arbeta vidare med Cadet 2008

Repetition inför tentamen

Känguru 2013 Student sida 1 / 7 (gymnasiet åk 2 och 3)

Känguru 2013 Junior sida 1 / 9 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasium

Läxa 9 7 b) Dividera 84 cm med π för att få reda på hur lång diametern är. 8 1 mm motsvarar 150 / 30 mil = = 5 mil. Omvandla till millimeter.

Känguru 2016 Student gymnasieserien

5B1134 Matematik och modeller

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5

Taluppfattning och problemlösning

Kängurutävlingen Matematikens hopp 2009 Benjamin för elever i åk 5, 6 och 7

Lösningar till udda övningsuppgifter

Avdelning 1, trepoängsproblem

Matematiska uppgifter

1 Diagrammet visar hur vattennivån i en hamn förändras under en viss dag. Under hur många timmar var vattennivån över 30 cm?

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet

A: 3 B: 4 C: 5 D: 6 E: 7 Ryssland

Antagningsprov till universitet, Sofia (Bulgarien) 7 maj 2006

2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/

4. I lagret finns 24, 23, 17 och 16 kg:s säckar. På vilket sätt kan man leverera en beställning på exakt 100 kg utan att öppna någon säck?

Känguru 2018 Student gymnasieserien i samarbete med Jan-Anders Salenius (Brändö gymnasium)

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

PLANGEOMETRI I provläxa med facit ht18

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

Facit åk 6 Prima Formula

Känguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =

4-4 Parallellogrammer Namn:..

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)

Trepoängsproblem. Kängurutävlingen 2012 Junior

Student. a: 5 b: 6 c: 7 d: 8 e: 3

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

Finaltävling i Umeå den 18 november 2017

Explorativ övning Geometri

Kortfattade lösningar med svar till Gymnasiets Cadet 2006

Manipulationer av algebraiska uttryck

5B1134 Matematik och modeller

Känguru 2013 Junior sida 1 / 8 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasium

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

4. Bestäm alla trippler n 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal. 5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo 4.

Elevers kunskaper i geometri. Madeleine Löwing

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

Transkript:

Liten tävling Matematikcirkel Katedralskolan 4 december 2013 Gott och Blandat Uttryck talet 2013 genom att bara använda fyror. Försök att använda så få fyror som möjligt. Tillåtna operationer är de fyra räknesätten, samt potenser. Parenteser får användas godtyckligt många gånger. Facit: 8 stycken 4:or: 2013 = (4 4 4)(4 + 4) (4 4 ). Hittills har ingen 4 fått bättre resultat. Problem Lös uppgifterna i varfri ordning, själv eller med någon annan! Välj den som du/ni tycker är roligast först. 1. Jag tänker på 3 positiva heltal, alla är mindre än 100. Du får också välja tre tal (hur stora som helst) och begära mig att multiplicera mitt första med ditt första, mitt andra med ditt andra, mitt tredje med ditt tredje, och sedan uppge summan av de tre produkterna. Bestäm den minsta möjliga antalet sådana frågor för att säkert finna de tre tänkta talen. Facit: Det räcker med en fråga. Välj talen 1, 100 och 10000. 2. Hitta så många lösningar som möjligt till ekvationssystemet och försök att visa varför inga andra lösningar finns: x 2 yz = x y 2 zx = y z 2 xy = z Facit: De icke-negativa lösningarna är (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Det finns tyvärr oändligt många lösningar där variablerna får vara negativa, så uppgiften var dåligt formulerad. 3. Det finns 17 kort. En åskådare tänker på ett av dem. Trollkarlen delar upp korten i 4 högar och frågar åskådaren i vilken hög kortet ligger. Vilket är det minsta antalet frågor trollkarlen behöver för att alltid kunna bestämma åskådarens kort? Facit: Två frågor räcker inte eftersom då finns det bara 4 4 = 16 möjliga kombinationer av svar. För att klara på tre frågor, dela upp

den misstänkta högen i någorlunda jämna högar hela tiden. De ickemisstänkta korten kan läggas var som helst. 4. En Rubiks kub blev tilltrasslad genom att man utförde en kombination av vridningar på starttillståndet. Visa att man kan få kuben till att vara i starttillståndet igen genom att utföra samma kombination några gånger till. Facit: Notera hur kuben ser ut efter varje upprepning av kombinationen. Kuben kan se ut på ändligt många sätt, alltså kommer ett utseende att upprepa sig. Vi har gått in i en period, men följer vi den baklänges, så ska perioden leda till startpositionen. Det betyder att startpositionen ingår i perioden och kommer någon gång hända i framtiden också. 5. ABCD är en konvex fyrhörning, dessutom gäller AB + BD < AC + CD. Visa att AB < AC. Facit: Mot största sidan ligger största vinkeln. Antag att AB AC, då följer BD < CD och studera de motsående vinklarna. 6. Varje nästa element i en talföljd är lika med den sista siffran av produkten av de föregående två talen. Visa att följden (a) är periodisk. (b) har en period som inte är större än 26. (c) har en period som är mindre än 17. Facit: Någon gång kommer följden att upprepa sig eftersom antalet möjliga par av siffror bredvid varandra är ändligt. Om följden innehåller 0, kommer perioden bli 1. Annars, om följden innehåller en jämn siffra, kommer all siffror vara jämna vilket ger 4 4 = 16 parmöjligheter. Likadant med udda siffror med 5 som specialfall. 7. Lös ekvationssystemet: x + y z = 2 x 2 + y 2 z 2 = 0 xyz = 60 Facit: De fyra lösningarna är (3, 4, 5), (4, 3, 5), ( 2 14, 14 2, 6), ( 2 14, 14 2, 6). Detta kan man få genom att flytta z till högerledet i både den första och den andra ekvationen och sedan kvadrera den första.

8. Niklas har en bit metalltråd som är 48 cm lång. Av den vill han bygga ramen till en rombkuboktaeder med sidan 1 cm (se bild). Som minst, i hur många bitar måste Niklas klippa upp tråden för att bygga modellen? Facit: Niklas behöver inte klippa upp tråden, eftersom rombkuboktaederns graf har en eulerstig, dvs kan gås igenom i en cykel. 9. Redan en miljard år bestäms vädret på planeten Minecraft helt av det föregående årstiondet. Man vet att det finns nio typer av väder (magnetstorm, meteoritregn, frost osv.). Alla dagar den senaste veckan var vädret olika. Visa att det någon gång kommer en vecka med exakt samma uppsättning av dessa olika väder. Facit: Om det har funnits två årstionden med exakt samma väder, så betyder det att vädret har börjat upprepa sig och alla veckor som kommer nu kommer att hända igen (vi har gått in i perioden). Problemet här är att årstionden här kan se ut på väldigt många sätt (över 9 3 650), så det är inte säkert att de börjat upprepa sig. Möjligen har problemet felaktig formulering. 10. Konungen Friedrich hade 5 söner. Bland hans ättlingar hade 100 stycken exakt 3 söner, medan alla andra dog utan att få några barn. Hur många ättlingar hade konungen Friedrich? Facit: Antalet söner som kommer från hans ättlingar är 300, således 305 ättlingar totalt. 11. Linjerna DE och F G är båda parallella med linjen AB. De tre områdena CDE, DF GE och F ABG har lika stora areor.

Bestäm förhållandet CD F A. Facit: Eftersom areorna på det tre likformiga trianglarna förhåller sig som 1 : 2 : 3 så förhåller sig de sidorna med roten ur de koefficienterna: 1 : 2 : 3. Därför förhåller sig sträckorna i frågan som 1 3 2 12. Det finns 27 mynt: 9 enkronor, 9 tvåkronor och 9 trekronor. Bland dem finns ett falskt mynt som väger mindre än de motsvarande riktiga. En riktig enkrona väger 1g, tvåkrona 2g och trekrona 3g. Med hjälp av en balansvåg utan hjälpvikter bestäm det falska myntet på (a) på 4 vägningar. (b) på 3 vägningar. Facit: Först bestäm en misstänksam hög med 3 enkronor, 3 tvåkronor och 3 trekronor. På andra vägningen bestäm en misstänksam högar med en enkrona, en tvåkrona och en trekrona. Väg till sist den enkronan plus en riktig enkrona mot den tvåkronan. 13. De tre räta linjerna l, m, n är parallella. Avståndet mellan l och m är 4, avståndet mellan m och n är 3 och m ligger mellan l och n. En kvadrat, som ligger i området mellan l och n, har tre av sina hörn på var sin linje. Finn kvadratens sidlängd. Facit: Dra sträckor från kvadratens hörn på l och n, vinkelräta mot linjen m. Det bildas två rätvinkliga trianglar, som är kongruenta pga deras vinklar är lika och de har samma läng på hypotenusan. Alltså är den 5. 14. I ett land finns 15 städer och vissa av städerna är förbundna med flyglinjer. Tre flygbolag äger flyglinjerna i landet och man vet att även om ett av bolagen skulle lägga ner så skulle det ändå gå att ta sig från vilken stad som helst till alla andra (möjlighen med byten). Vilket är det minsta antalet flyglinjer som landet kan ha?

Facit: Vilka två bolag som helst ska ha minst 14 linjer tillsammans. Lägg ihop de tre olikheterna, dela med 2, vi får att alla bolag tillsammans ska ha minst 21 linjer. Ett exempel med 7 linjer per bolag kan konstrueras (börja med att placera 15 städer på rad och sätt ut de första två bolagens linjer varannan gång). 15. Omkretsen för en femhörnig stjärna, vars hörnpunkter bildar en konvex femhörning F, omkretsen för F, samt omkretsen för stjärnans inre femhörning är alla primtal. Visa att summan av dessa tre tal är inte mindre än 20. Facit: Stjärnan har störst omkrets (triangelolikheter), F har mellantalet och omkretsen för inre femhörningen är minst. Skriv upp fem triangelolikheter där F :s två närliggande sidor är iblandade. Om man summerar de fem olikheterna får man att det fördubbalde mellantalet måste vara större än summan av det största talet och mittentalet. Den enda taltrippeln med summan under 20 som uppfyller detta är (2,5,7). Tyvärr kan jag inte komma på varför dessa tal inte skulle funka, möjligen stämmer inte uppgiften!