inär addition papper och penna metod Dagens föreläsning: Lärobok, kapitel rbetsbok, kapitel Ur innehållet: hur man adderar och subtraherar tal i det binära talsystemet hur man kan koda om negativa binära tal, genom s k -komplementering, så att tecknet blir en del av talet hur addition och subtraktion kan utföras när talen kodats på -komplementsform Exempel:() + () =? () () + () minnessiffror augend addend summa inär multiplikation papper och penna metod inär subtraktion papper och penna metod Exempel: () () =? Exempel:() - () =? () multiplikand () multiplikator + () minuend () - subtrahend () minnessiffror skillnad () produkt
inär division papper och penna metod ddition av CD-tal Exempel:() : () =? divisor - - - - kvot dividend rest () :() = () + () :() Decimal siffra NCDkodord 9 - - - - - - Exempel: Utför additionen + där talen är kodade på NCD-form. + Resultatet > 9 (ej NCD kod), vi tvingas därför decimaljustera, dvs, addera till resultatet + decimaljustering Resultatet alltså ( ) NCD = (). Vanliga binära ordlängder Talområden vid NC ntal bitar Minsta tal Största tal (Nybble) () = () () = () Nybble bitar b b (yte) () = () () = () (Word) () = () () = () yte bitar b b (Long) () = () () = (999) Word bitar b b Long bitar b b
-bitars addition + + + + bitar ger talområdet.. - =.. 9 Spill! ( Overflow ) Geometrisk tolkning - tallinje Minnessiffran, genererad från additionen av de mest signifikanta bitarna är en spillindikator. Vi kallar den Carry 9 -bitars subtraktion - - 9 - - För att kunna utföra subtraktionen tvingas vi låna av en tänkt siffra med vikt. Spill! ( Underflow ) Geometrisk tolkning - tallinje 9 Den tänkta lånebiten kallar vi orrow, en spillindikator.
Grafisk representation av NC tal talvärde MX Tal med tecken, Tecken/beloppsform +/- X, n-bitars tal: x n- x n-... x : X : X< belopp Exempel: -bitars tal +/- 9: (max) bitmönster +9-9 Spillfenomenet är oberoende av varje ändlig ordlängd. Talvärden vid tecken-belopp form Tolkning av talvärdet N för ett n- bitars tal: N n i i x n x i n= x x x x N - - - - - - - - Grafisk representation av tecken-belopps tal MX talvärde bitmönster (max) MIN Den assymetriska avbildningen av talvärdet från bitmönstret antyder att aritmetiska operationer kan bli komplicerade
Tecken/beloppsform räkneregler för addition Tal med tecken - Tvåkomplementsform Relation och, om: Utförs + som: +/- X, N-bitars tal: x N- x N-... x,, <, >, <, < <,, > <,, <,< + - -(-) - -(-) -(+) En addition kan resultera i en subtraktion. Dessutom tillkommer teckenöverläggning för resultatet. Exempel: -bitars tal +/- 9: +9 : X : X< X om X N- = N - X om X N- = v tabellen framgår att ett kombinatoriskt nät för addition av tecken/belopps-tal blir komplicerat. -9=[-9=] Tvåkomplementsform - Metod för teckenbyte X+Y = n Y är -komplementet till X (n-bitars tal) Exempel: estäm maskintalet på bitars tvåkomplementsform för decimala talet - För -bitars tal således: Y = X k = X = = ( -) X + = x x x x x x x x + Vi utgår enklast från X= (och söker X k ) () = X = X k = + - () = X k = Detta kallas -komplement (X k ). itvis invertering 9
Tvåkomplementsform - addition Tvåkomplementsform - subtraktion Relation och, om:,, <, <,,,< Utförs + som: + + k = [+( N -)] (mod N )= - = + (-) k + = [( N -)+] (mod N )= -+ = + (-) k + k = [( N -)+( N -)] (mod N )= -- = -(+) Vi inser också att en subtraktion kan utföras med hjälp av en adderare ty - = +(-) och = k = k + Exempel: =+(-)= + + Dvs. Oavsett vilka tecken de ingående talen har så fungerar rättfram binär addition. () = () Dvs -komplement: () k + Exempel: -bitars addition av () och () itmönstren tolkade itmönster itmönstren tolkade som tal utan tecken som tal med tecken + + + = = = Exempel: -bitars addition av () och () itmönstren tolkade itmönster itmönstren tolkade som tal utan tecken som tal med tecken + + + = = =- 9 NC (Tal utan tecken) 9 NC (Tal utan tecken) - - - - - - - - Tvåkomplementrepresentation (tal med tecken) - - - - - - -- (-) Tvåkomplementrepresentation (tal med tecken)
Exempel: -bitars addition av () och () itmönstren tolkade itmönster itmönstren tolkade som tal utan tecken som tal med tecken + + +- = = = Exempel: -bitars addition av () och () itmönstren tolkade itmönster itmönstren tolkade som tal utan tecken som tal med tecken - + + + - = = = 9 () NC (Tal utan tecken) 9 () NC (Tal utan tecken) - - - - - - - - Tvåkomplementrepresentation (tal med tecken) - - - - - - - - Tvåkomplementrepresentation (tal med tecken) Tvåkomplementsform - talområde n Exempel: -bitars tal n - Tvåkomplementsform - spillindikatorer + där och < - max max Slutsats: Om och har olika tecken vid addition kan -komplementspill inte uppträda
+ = S, där och + = S, där < och < - S - S S S Slutsats: Om och har samma tecken vid addition kan -komplementspill uppträda. Vi kan konstatera spill genom en teckenöverläggning, dvs: spill = ( ) ( ) (S<) I detta fall kan vi skriva spillvillkoret: spill = (<) (<) (S ) 9 Komplementformer och moduloaritmetik Generell definition: X+X k = n X k = ( n -) X + Modulo( n )-aritmetik, talintervall.. n - Exempel: -komplement, -bitars tal X+X k = X k = ( -) X + Modulo()-aritmetik, talintervall.. Talvärde vid tvåkomplementsform N n x n n i x i i N n= x x x x - - - - - - - -
Grafisk representation av tvåkomplementsform talvärde MX bitmönster (max) C X Vi sammanfattar reglerna för flaggsättning vid addition av två n-bitars tal, R = X + Y, där index betecknar den minst signifikanta biten och följaktligen index n- betecknar den mest signifikanta biten: Y C ( X Y n n n n n V C= c n c n- c n-... c c ) R X Y R X Y n n n n n n X n- X n-... X X X + Y n - Y n-... Y Y Y MIN R n- R n-... R R R Talvärdets avbildning är kontinuerlig bortsett från punkten med talvärdena MX,MIN dvs, där talet (definitionsmässigt) byter tecken Vi sammanfattar Tvåkomplementsform är lämplig representation för binära negativa heltal. Subtraktion utförs som addition av tvåkomplement Spillindikator vid addition av naturliga tal [...N] Carry = c n Spillindikator vid subtraktion av naturliga tal [...N] orrow (= c n då operationen utförs som addition) Spillindikator vid addition/subtraktion av n-bitars heltal [-M..N] med tvåkomplementsrepresentation: Overflow = s n- x n- y n- + s n- x n- y n- Exempelsamling uppgift. e Utför följande subtraktion (R=X-Y) av -bitars tal givna på tvåkomplementsform. Subtraktionerna ska utföras som addition av -komplement, dvs. R = X + (~Y). nge X,Y och R på decimal form, ange dessutom hur flaggorna N, V och Z påverkas av operationerna. X = Y = Vi löser detta på tavlan...