Matematikens historia Geometri, Grekland, Euklides Vladimir Tkatjev, ht2015
Historisk översikt Till skillnad från Babylonien och Egypten höjde matematiken i det antika Grekland till en vetenskap Man började framställa de matematiska resultaten i form av allmängiltiga satser med hjälp av logiska resonemang Beräkningsproblem konstruktionsproblem
Historisk översikt Klassisk tid (ca 500 338 f.kr.: konst, litteratur, filosofi och arkitektur) Matematiker: Thales (geometri, astronomi, det matematiska beviset) Pythagoras (musik, geometri, inkommensurabilitet) Filosofer: Sokrates, Platon, Aristoteles Hellenistisk tid (338 ca 30 f.kr.: Alexander III den store) Euklides (Elementa) Arkimedes, Appolonios Romersk tid (ca 30 f.kr. 395 e.kr., romerska riket) Ptolemaios Diofantos Pappos (Greklands siste matematiker)
Det grekiska talbeteckningssystem Enhetssystem med tecken som representerar vissa grundtal: 83 = πγ 452 = υνβ Ett komma framför någon av bokstäverna i den första raden betydde att talet skulle multipliceras med 1000: 9452 =, θυνβ Dessutom M används som 10 000 (myrios, oräknelig) Ingen entydighet vad gäller bråktals skrivning
Lärosätten i det antika Grekland Skolorna under klassiska perioden: Joniska skolan (Thales) Pythagoréerna (Pythagoras) Eleatiska skolan (Zenon) Eudoxos skola (Eudoxos) Även Platonsk akademi, filosofi och naturvetenskap Mouseion, en forskningsinstitution i Alexandria
Thales (ca 624 548 f.kr.) Verksam i Miletos (Mindre Asien västkust, Jonien) Den första vetenskapsmannen Astronomi (bl.a. förutsade en solförmörkelse 585 f.kr.) Geometri: den deduktiva geometrins uppkomst (L. Lindahl). Några matematiska satser: A. En cirkel halveras av sin diameter B. Varje vinkel som inskriven i en halvcirkel är rät (randvinkelsatsen) C. Basvinklarna i en likbent triangel är lika stora D. Topptriangelsatsen (likformighet)
Pythagoras (ca 572-497) Verksam i Samos, Miletos, Egypten, Babylon. Grundade pythagoreiska skolan: ett hemligt religiöst sällskap som utforskade musik, filosofi samt matematik (arithmos) med tal som grundläggande begrepp. Lärjungar kallades pythogoreerna. Deras valspråk var: ALLT ÄR TAL Talmystik: figurativa tal Perfekta och vänskapliga tal Pythagoreans fira soluppgång av F. Bronnikov. T n = n n+1 2 K n = n 2 P n = n 3n 1 2
Pythagoras (ca 572-497) Matematiska insatser: Talmusik (musikaliska intervall som upplevs som harmoniska förhåller sig till varandra som små heltal, 1:2:3:4...) Pythagoras sats Pentagrammet (Πενταγραμ) Gyllene snittet a b = b c = c d = = φ = 1+ 5 2
Inkommensurabilitet: krisen i taluppfatning Hippasos, Pythagoras lärjunge, påvisade att 2 inte kan skrivas som ett bråk. En myt säger att Pythagoras under en sjöresa fått Hippasos kastad överbord för att drunkna på grund av att detta bevis. Bevis (motsägelsebevis): Antar att m = 2 där m och n inte har några gemensamma divisorer. n Detta medför att m = 2 n, alltså m 2 = 2n 2, således är m jämnt. Skriver m = 2m 1 vilket medför att 2m 1 2 = n 2 Således talet n är också jämnt, motsägelse följer. 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107 0388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314 132226659275055927557999505011527820605715
Eudoxos (ca 408-355 f.kr.) Astronom, matematiker. Verkade som lärare i Cyzicus och Aten A. Stereometri och proportionslära B. Pyramidens volym = tredjedelen av en prismas med samma bas och höjd C. Det deliska problemet (kubensfördubbling) D. Uttömningsmetod (integralkalkyls föregångare, vidareutvecklades sedan av Arkimedes)
Grupparbete 2 Frågeställningar: A. Varför använda matematikens historia i undervisning? B. Hur kan matematikens historia används i undervisning? C. Är matematikens historia lika viktig för högstadiet och gymnasium? D. Matematikens historia vs andra NV-ämnets (t ex biologins) historia: finns det någon skillnad eller särskilda drag?
Euklides (omkring år 300 f.kr.) Verksam vi lärdominstitutionen Museion i Alexandria Sammanställde Elementa (STOIHEA): matematik som en deduktiv vetenskap Cursus seu mundus mathematicus - kursen eller den universella matematiken. Ur Institut Mittag-Lefflers samlingar källan
Euklides (omkring år 300 f.kr.) Följer Aristoteliska perspektivet på teori (θεωρία, betyder att titta på, åskåda) satser Påståenden inom teori som härleds ur axiom och tidigare påståenden definitioner begrepp inom en teori axiom eller postulat a priori sanna påstående grundläggande termer primitiva begrepp
Euklides (omkring år 300 f.kr.) Exempel på en (rekursiv) definition (J. Thompson, s.156) Kvadrat är en liksidig rektangel Rektangel är en parallellogram med räta vinklar En parallellogram är en fyrsiding med motstående sidor parallella En fyrsiding är en figur med fyra sidor En figur?... Figur Fyrsiding Övriga Parallellogram Trapets Övriga Rektangel Romb Sneda parallellogram Kvadrat
Euklides (omkring år 300 f.kr.) Elementa: ett fundamentalt verk som sammanförde matematiken till ett logiskt deduktivt system med postulat, definitioner och propositioner Geometrin begränsas till vad som är möjligt att konstruera med passare och ograderad linjal. Innehåll: Bok 1-6 Plangeometri Bok 7-9 Talteori Bok 10 Inkommensurabla storheter Bok 11-3: Rymdgeometri T.ex. Den första boken består av 23 definitioner 5 postulat 5 gemensamma begrepp 48 satser med bevis
Euklides (omkring år 300 f.kr.) Några exempel på definition En linje är en längd utan bredd axiom Den hela är större än sina delar postulat: Man kan dra en unik sträcka mellan varje par av punkter Genom varje punkt utanför en given linje går det högst en parallell linje (det berömda Euklides femte postulat) proposition 18. I varje triangel står den större sidan mot den större vinkeln 20. I varje triangel är summan av två sidor, vilka som helst, större än den återstående sidan.
Euklides (omkring år 300 f.kr.) Bok XIII: Fem platonska kroppar (regelbundna kropparna): rymdkroppar vars sidoytor är kongruenta regelbundna polygoner Tetraedern (eld) Kuben (jord) Oktaedern (luft) Ikosaedern (vatten) Dodekaedern (quinta essentia)
Arkimedes (287-212 f.kr.) Verksam i Syrakusa på Sicilien. Matematiker, fysiker, ingenjör, uppfinnare, astronom och filosof. Med Newton och Gauss räknas som en av världens största matematikerna Viktigaste matematiska insatser: o Flytande kroppar (Arkimedes princip) o Aritmetik (Sandräknaren) o Mätning av cirkeln, talet π o Bevis av att 22 223 < π < 7 71 o Areor och volymer, bl a sfären och cylindern o Parabelns kvadratur (föregångare av integralen) o Spiraler (Arkimedes spiral) o Metoden, resonemang V klot = 2 3 V cylinder
Appolonios (ca 260-190 f.kr.) Verksam i Perga (Mindre Asia). Matematiker, författare till Koniska sektioner (Kägelsnitt) som består av 8 böcker Omfattande geometrisk analys av andragradskurvor (parabel, hyperbel, ellips) Föregångare till Descartes koordinatsystem Exempel: Kordasatsen för en ellips Om AE är en tangent då AD BC = AB CD E A B C D
Diophantus (300-talet e.kr.) Verksam i Alexandria. Arithmetika, 13 böcker, omfattande exempelsamling Införde ett särskilt tecken för en obekanta (ς) och potenser samt algebraiska operationer ισ betydde lika med, M användes för ett bestämt tal o.s.v. betydde
Diophantus (300-talet e.kr.) Diofantiska ekvationer: intressanta är bara heltallösningar. T.ex. bestäm alla heltallösningar till 2x + 3y = 5. Ett annat exempel är berömda Fermats stora sats som säger att det inte finns positiva heltal x, y, z så att x n + y n = z n Pierre Fermat (1601-1665) Andrew Wiles (f.1953)
Sammanfattning Klassisk tid (ca 500 338 f.kr.) Matematiker: Thales (geometri, astronomi, det matematiska beviset) Pythagoras (musik, geometri, inkommensurabilitet) Filosofer: Sokrates, Platon, Aristoteles Hellenistisk tid (338 ca 30 f.kr.) Euklides (Elementa) Arkimedes, Appolonios Romersk tid (ca 30 f.kr. 395 e.kr.) Ptolemaios Diofantos Pappos (Greklands siste matematiker)
Referenser T. Hall, Matematikens utveckling, Gleerups, 1970 B.G. Johansson, Matematikens historia, Studentlitteratur, 2004 J. Thompson, Matematiken i historien, Studentlitteratur, 1996 H.L. Resnikoff, R.O. Wells, Mathematics in civilization B. Sjöberg, Från Euklides till Hilbert, Åbo Akademi, 2001 Lars-Åke Lindahl, En inledning till geometri Wikipedia