LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 79 / TEN 1 augusti 14, klockan 8.00-12.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus Tel: 28-1474) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistisk utgiven av MAI och ett ytterligare formelblad 2 sidor). 1) Låt X 1,..., X vara oberoende stokastiska variabler med täthetsfunktionen x + 1 om 1 x 0 fx) 1 x om 0 < x 1. 0 annars a) Bestäm E[X i ] och V arx i ). 1p) b) Låt S : X 1 +... + X. Beräkna approximativt P S > 3) 1p) c) och P S < 3). 1p) Använd centrala gränsvärdessatsen. 2) Antag att 25 % av alla bilar släpper ut mer miljöfarliga ämnen än tillåtet. En bil som verkligen släpper ut för mycket skadliga ämnen har sannolikheten 0.99 att klassas som miljöfarlig vid ett test på bilprovningen, medan en bil som inte släpper ut för mycket felaktigt klassas som miljöfarlig vid testet med sannolikhet 0.17. Om man vid bilprovningen klassat en bil som miljöfarlig, vad är då sannolikheten att den verkligen släpper ut för mycket miljöfarliga ämnen? 3p) 3) Antag att X, Y ) är en tvådimensionell diskret stokastisk variabel med simultan sannolikhetsfunktion given av P X x, Y y) cx + y) där c är en konstant och x {0, 1}, y {0, 1} dvs. x kan vara 0 eller 1 och y kan vara 0 eller 1). a) Bestäm P X 1). 1p) b) Bestäm kovariansen CovX, Y ). 2p) 4) Ett försäkringsbolag säljer en försäkringstyp där ersättningsbeloppet till en given kund under ett givet år beskrivs av en stokastisk variabel med väntevärde 50 kronor och standardavvikelse kronor. Bolaget har sålt försäkringen till 400 kunder och vi antar att dessa drabbas av skador oberoende av varandra. a) Om 100, vad är sannolikheten att bolaget under ett givet år sammanlagt måste betala ut mer än 22 000 kronor? Använd centrala gränsvärdessatsen. 2p)
b) Hur litet måste vara för att sannolikheten att bolagets sammanlagda utbetalning under ett givet år ska överstiga 22 000 kronor ska vara 1%? Använd centrala gränsvärdessatsen. 1p) 5) Beräkna sannolikheten att man vid dragning av fem kort ur en kortlek med 52 kort erhåller: a) ess, kung, dam, knekt, tio; i samma färg Royal flush). 1p) b) fem kort i följd; i samma färg Straight flush eller Royal flush). 1p) c) fem kort i följd Flush, Straight flush eller Royal flush). 1p) 6) Man har ett mycket stort parti tabletter. Vikten enhet: gram) av en slumpmässigt vald tablett kan med god noggrannhet anses vara en normalfördelad stokastisk variabel X med väntevärdet µ och standardavvikelsen 0.02. För kontroll av vikten tar man ut ett antal tabletter och väger dem. Antag att µ 0.65. a) Beräkna sannolikheten att vikten av en slumpmässigt vald tablett ligger utanför intervallet 0.60, 0.70). 1p) b) Beräkna sannolikheten att aritmetiska medelvärdet X av vikterna av 30 slumpmässigt valda tabletter ligger utanför intervallet 0.46, 0.66). 1p) c) Hur många tabletter bör man väga, om man vill att sannolikheten skall vara h gst 0.01, att man får ett X som ligger utanför intervallet 0.46, 0.66)? 1p)
Lösningar 1) a) Det gäller att och E[X i ] xfx) dx 0 b) Vi får med Z N0, 1) P S > 3) P V arx i ) E[X 2 ] E[X]) 2 2 0 x 2 fx) dx x 2 1 x) dx [ 1 2 x4 + 2 3 x3 ] 1 0 1 6. S > ) 3 P Z > 1.64) 1 Φ1.64) 1 0.95 0.05 c) och P S < 3) P S < ) 3 P 0.55 Z < 1.64) Φ1.64) + Φ0.55) 1 0.95 + 0.71 1 0.66. 2) A {Bil släpper ut för mycket miljöfarliga ämnen.} M {Bil klassas som miljöfarlig.} Med dessa beteckningar: P A) 0.25, P M A) 0.99, P M A c ) 0.17. Sökt: P A M) P M A) P A) P M A) P A) + P M A c ) P A c ) 0.99 0.25 0.99 0.25 + 0.17 0.75 0.66.
3) a) Det första steget ät att bestämma konstanten c, 1 P X x, Y y) c x + y) 4c. Alltså c 1. Den marginella sannolikheten P X 1) ges av 4 P X 1) 1 P X 1, Y y) 3 4. y0 b) där E[XY ] CovX, Y ) E[XY ] E[X]E[Y ] xyp X x, Y y) 1 4 xyx + y) 1 2 and Alltså E[Y ] E[X] 0 P X 0) + 1 P X 1) 3 4. CovX, Y ) 1 16. 4) a) Eftersom Y är en summa av 400 st oberoende likafördelade stokastiska variabler kan vi använda oss av centrala gränsvärdessatsen för att beräkna sannolikheten att Y > 22 000 enligt P Y > 22 000) P Y 400 50 400 > ) 22 000 400 50 400 P Z > 100 ) där Z N0, 1), vilket tillsammans med symmetriargument och 100 ger att P Y > 22 000) 1 P Z 100 ) 1 Φ1) 0, 1587. b) För att bestämma så att P Y > 22 000) 0, 01 använder vi oss av att P Y > 22 000) P Z > 100 ) ) 100 1 Φ. Vi får ) 100 1 Φ 0.01 100 2, 3263 43.
5) Se lösningar till lektionsuppgifter, 2.18. http://www.mai.liu.se/ julob/kurser/tams79/blomsvar.pdf 6) Se lösningar till lektionsuppgifter, 6.19. Observera att lektionsuppgiften använder för b) och c) intervallet 0.64, 0.66) istället för 0.46, 0.66). Lösningsförslaget i blomsvar.pdf motsvarar ett symmetriskt problem. Tentauppgiften handler om ett osymmetriskt problem.