1 BANDGAP 9-11-17 1. nledning denna laboration studeras bandgapet i två halvledare, kisel (Si) och galliumarsenid (GaAs) genom mätning av transmissionen av infrarött ljus genom en tunn skiva av respektive halvledarmaterial. GaAs är excitationen direkt. Detta innebär att en elektron i halvledarens valensband absorberar fotonens energi E och därigenom exciteras till ett tillstånd i halvledarens ledningsband. Excitationen är möjlig om E E g där bandgapet E g definieras som energiskillnaden mellan den högsta energin (den s.k. valensbandkanten) i valensbandet och den lägsta energin (ledningsbandkanten) i ledningsbandet. Tröskelvärdet (fotonens minimienergi) för excitation av en elektron är alltså E = E g (bortsett från vissa modifikationer som diskuteras i den artikel som laborationen baseras på). Si är excitationen för fotoner nära tröskelvärdet för excitation indirekt. Detta innebär att elektronen, vid sin excitation från valensbandet till ledningsbandet, inte endast absorberar en foton, utan även emitterar eller absorberar en s.k. fonon. En fonon är ett energikvantum hos en kvantiserad vibration (vågrörelse) i halvledarens kristallstruktur. Eftersom en sådan vibration har mycket lägre frekvens än frekvensen hos det infraröda ljuset, är fononens energi E p mycket mindre än fotonens energi E. Tröskelvärdet för excitation blir E = E g + E p E = E g E p (vid emission av en fonon) (vid absorption av en fonon) Båda processerna föreligger samtidigt och bidrar var för sig till den observerade absorptionen av infrarött ljus i halvledaren. Mätningarna går ut på att man för olika våglängder λ mäter transmissionen T av infrarött ljus genom en skiva av halvledarmaterialet. Från T beräknar man absorptionskoefficienten α för det infraröda ljuset. För fotonenergier mindre än tröskelvärdet för excitation är halvledarna genomskinliga (α = ). Transmissionen T är dock mindre än 1%, väsentligen på grund av reflexion vid halvledarskivans ytor. För fotonenergier tillräckligt mycket större än tröskelvärdena (t.ex. i det synliga området) är halvledarna ogenomskinliga (T = ) praktiskt taget alla fotoner absorberas. övergången mellan dessa båda energiområden ökar α med ökande fotonenergi E på ett sätt som beror på tillståndstätheten i valensband och ledningsband, dvs på antalet elektrontillstånd per energienhet.
. Uppgift Målsättningen för det experimentella arbetet och analysen av mätdata är att a) bestämma bandgapets storlek E g (ev) i såväl GaAs som Si b) bestämma fononens energi E p (ev) i den indirekta absorptionen i Si. 3. Metod Den metod som används i laborationen beskrivs i artikeln "Characterization of a bulk semiconductor's band gap via a near-edge optical transmission experiment", American Journal of Physics 61 (1993) 646, av J.M.Essick och R.T.Mather. Sök efter artikeln på http://apps.isiknowledge.com/ och följ anvisningar för nedladdning. Artikeln är endast tillgänglig på universitetets bibliotek och datorer. Några kommentarer och förklaringar till denna artikel ges nedan. 3.1. Kommentarer till teori och analys. Ekv.(1) i artikeln anger transmissionen T genom halvledarskivan, givet reflektansen R hos skivans ytor, absorptionskoefficienten α och skivans tjocklek x. Ekvationen härleds ur en modell av multipel reflektion och dämpning i halvledarskivan. Modellen illustreras i Fig.1. Vid halvledarskivans båda ytor är reflektansen, dvs förhållandet mellan reflekterad och infallande intensitet, likamed R (för strålning från båda håll). Den vid reflektionen transmitterade intensiteten är 1 R. ntensiteten hos strålningen avtar med faktorn exp(-αx) vid varje passage av distansen x i halvledaren. Den infallande strålningens intensitet är. Den transmitterade strålningens intensitet kan, om interferenseffekter är försumbara (se nedan), beräknas som = j=1 j x där j är intensiteten hos den strålning som kommer ut i transmissionsriktningen efter (j-1) inre reflektioner i halvledarskiktet (se Fig.1). Denna strålning j har alltså reflekterats (j-1) gånger, färdats sträckan x + (j-1) x i halvledaren och transmitterats gånger. Således fås 1 3 Fig.1. Multipel reflektion och transmission i halvledarskiva. nfallsvinkeln visas sned bara för tydlighets skull; i beräkningen antas vinkelrätt infall. j = ( j 1) R exp( α ( x + ( j 1) x)) (1 R)
3 varav (med användning av formeln för summan av en geometrisk serie) j 1 exp( α x) (1 R) = exp( α x)(1 R) ( R exp( α x)) = j= 1 1 R exp( α x) varav följer ekv.(1) i artikeln. (Notera att man i denna härledning ignorerar eventuell interferens mellan de fram- och återgående strålarna. Detta kan motiveras av den ändliga koherenslängden hos strålningen jämförd med skivans tjocklek samt eventuellt förekomsten av ojämnheter i skivtjocklek och i de båda ytorna.) Riktigheten av ekv.() i artikeln inses om man betänker att halvledaren bör vara i det närmaste genomskinlig för fotoner vilkas energi är mindre än eller nära likamed bandgapet E g. Variabeln k, som är proportionell mot absorptionskoefficienten α, är i då i det närmaste likamed noll, varför reflektansen R bestäms helt av n, dvs det vanliga brytningsindex. Ekv.(3) i artikeln anger hur absorptionskoefficienten α kan förväntas variera med fotonenergin E i övergångsområdet, om excitationen är direkt (som i GaAs). Emellertid används snarare ekv.(4) i analysen av bandgapet i GaAs, av skäl som anges i artikeln. Ekv.(6) och (7) anger hur α kan förväntas variera med fotonenergin E om excitationen är indirekt (som i Si). 3.. Kommentarer till experimentell metodik. Den experimentella uppställningen liknar, i princip, den i artikeln av Essick och Mather. Fig. nästa sida ger en mycket schematisk översikt. Ljuskällan vid mätning av transmissionen genom halvledarskivan utgörs av en vanlig glödtrådslampa, vilken ger ett brett, kontinuerligt spektrum. Vid kalibrering av apparaturen utgörs ljuskällan av en Hg-lampa, vilken ger ett linjespektrum med väl kända våglängder för de olika linjerna; eventuellt kan lysdioder användas. Hg-spektrum ger i det intressanta området följande tydliga linjer, angivna med våglängd i Å: 5461 (grön) 579 (gul) 114 (infrarött) 1187 11888 1357 13673 1395 1595 1691 1773 1711 De första två är synliga, och kan vara lämpliga referenslinjer att observera för att hitta ungefär rätt område.
4 L M C D P Fig.. Experimentell uppställning, mycket schematiskt. L = ljuskälla, C = chopper, M = monokromator (konkava speglar endast antydda), P = provhållare, D = detektor. Tillkommer diverse linser, speglar, en lock-in-förstärkare och en dator. Ljuset från ljuskällan fokuseras på en chopper, som hackar ljuset till pulser med en viss frekvens, chopperfrekvensen. Chopperns uppgift är att (tillsammans med en s.k. lock-införstärkare) eliminera bakgrund och störningar. Den således pulserande ljusstrålen fokuseras med ytterligare linser och/eller speglar på ingångsspalten till en monokromator av typ Czerny- Turner. (Funktionssättet hos en sådan kan ses t.ex. på internet.) Alternativt bygger man själv sin monokromator på ett optiskt bord. Fokuseringen bör göras så att en skarp avbildning av ljuskällan (eventuellt av en spalt framför ljuskällan) fås på ingångsspalten vars bredd bör vara.1 -. mm. monokromatorn passerar ljuset, via två fokuserande speglar, ett prisma, i vilket ljuset spektraluppdelas. Genom rotation av prismat kan en vald del av spektrum avbildas på utgångsspalten, vars bredd likaså bör vara.1 -. mm. Prismat roteras av en motor, mekaniskt kopplad till en potentiometer. Rotationsläget, svarande mot våglängden hos det ljus som träffar utgångsspalten, avläses genom att registrera utspänningen från potentiometern. Rotationsläget kan också avläsas direkt på en skala på monokromatorn. Observera att sambandet mellan rotationsläge (potentiometerspänning) och våglängd måste bestämmas genom ovan nämnda kalibrering, och att kalibreringen är ytterst känslig för hela det experimentella arrangemanget. Efter monokromatorns utgångsspalt passerar ljuset genom en provhållare, som antingen är försedd med ett prov (Si eller GaAs), eller tom. Slutligen registreras ljuset av en PbS-detektor, vars funktionssätt baseras på att dess ledningsförmåga ökar med ljusintensiteten. Det bör noteras att detektorns respons (signal ut/ljusintensitet) varierar med ljusets våglängd. Alternativt används (vid det optiska bordet)en Ge-fotodiod som detektor. Transmissionen T(λ ) vid en viss våglängd λ fås som T ( λ) = ( λ) ( ) λ där (λ ) är ljusintensiteten mätt med prov, medan (λ ) är ljusintensiteten mätt utan prov, men under i övrigt identiska förhållanden.
5 Signalen från PbS-detektorn går till ingången på lock-in-förstärkaren, som jämför signalen från detektorn med en referenssignal från choppern. Syftet är att eliminera yttre störningar (störande ljus, värme) genom att endast signaler med rätt frekvens (chopper-frekvensen) släpps fram. Från lock-in-förstärkaren fås en spänning R som väsentligen är amplituden hos den signal från detektorn som har chopperns frekvens. Denna spänning bör alltså vara ett mått på den av detektorn registrerade ljusintensiteten. Beskrivning av hur en lock-in-förstärkare fungerar, och manual till det använda instrumentet, (lock-in amplifier SR85) kan laddas hem på http://www.thinksrs.com/products/sr85.htm Avsnittet SR85 Basics ger en introduktion till funktionssättet. Sidorna 55-56 ger en första introduktion till principen hos lock-in-förstärkaren, och bör läsas i förväg. En utskrift av manualen finns tillgänglig vid laborationen. de experimentella uppsättningar som använder en färdig monokromator av typ Czerny- Turner registrerar lock-in-förstärkaren även utspänningen från potentiometern (som ger prismats rotationsläge) samt levererar inspänningen till potentiometern (normalt 1 V), spänningen som driver motorn som roterar prismat (normalt 3 V), samt spänningen till detektorn. den uppsättning där man själv bygger sin monokromator är arrangemanget något annorlunda. Data registreras av ett LabView mätprogram. En introduktion till handhavandet av lock-införstärkaren och mätprogrammet ges av laborations-assistenten. 4. Förberedelser. 1) Studera artikeln av Essick och Mather. Läs om hur en Czerny-Turner-monokromator fungerar på exempelvis internet. Studera principen för funktionssättet hos lock-in förstärkaren. ) Tänk igenom och planera de mätningar som behövs för att lösa uppgifterna. Man kan räkna med att mycket tid går åt för att finjustera uppställning och mätmetod. 3) Tänk igenom och planera den analys av mätdata som måste göras för att bestämma E g (för GaAs och Si) och E p (för Si). Räkna med att även denna analys tar tid! Lycka till!