Måndag 9 september: Resonansfenomen (Janusz) Inledning De flesta fysikaliska system i vår omgivning karakteriseras av viss stabilitet. Om man utsätter systemet för en svag störning, strävar det att återgå till sitt ursprungliga tillstånd. I de flesta fall är den återförande kraften direkt proportionell mot störningen (så länge denna är tillräckligt liten), och då fås speciellt enkla rörelsemönster. Om ett sådant system utsätts för en periodisk störning, kan det hända att den tillförda energin (dvs. arbetet som störningen uträttar) lagras i systemet. För någon störningsfrekvens kan energilagringen bli mycket effektiv, vilket kan leda till att den resulterande avvikelsen från jämviktstillståndet kan öka dramatiskt. Denna effektiva energiöverföring kallas resonans. En liten periodisk störning kan på så sätt få systemet att haverera. Ett klassiskt exempel på resonansfenomen inom mekaniken sprickande kristallglas som utsätts för ljud av en viss frekvens. Den lille Oskar i Günter Grass' roman "Blecktrumman" besatt just gåvan att kunna skrika med en ton som pulvriserade skolfrökens glasögon när Oskar inte var helt nöjd. Ett mer vardagligt exempel på mekanisk resonans är de kraftiga rattutslag som man kan råka ut för i en bil med dåligt balanserade hjul. Modell 1: enkel svängning För att se hur denna energilagring går till, skall vi betrakta ett mycket enkelt modellsystem (något enklare än det gungande hemlighuset som demonstrerades på föreläsningen) med en kropp (massa m) som ligger på ett friktionsfritt plant underlag. Kroppen är fäst vid en vägg med en fjäder: Figur 1 Enkelt svängningssystem När systemet störs, så att kroppen flyttas en sträcka x från sitt jämviktsläge (a), strävar fjädern mot att återföra kroppen till jämviktsläget. Om förskjutningen x från jämviktsläget är liten, blir fjäderkraften proportionell mot x. Den följande rörelsen ges av Newtons andra lag (ma = F): m d x kx dt = där k representerar fjäderns styvhet (fjäderkonstanten). Denna ekvation har lösningen x= Acos( ω 0 t) där vi infört vinkelfrekvensen ω 0 = k. Efter den första störningen kommer kroppen alltså m att svänga oavbrutet med en frekvens ("egenfrekvensen"), som bestäms av systemets tröghet (via massan) och återställande kraft (fjäderkonstanten k). Eftersom vi inte inkluderat någon dämpningsmekanism i vår modell, kommer denna svängning att fortsätta i all evighet. I praktiken dämpas naturligtvis rörelsen av olika friktionseffekter (luftmotstånd, inre friktion i
materialen). Men för att diskutera resonansfenomenet kvalitativt behöver vi inte ta hänsyn till sådana komplikationer. Modell : Tvungna svängningar - resonans Antag nu att vi påverkar systemet med en periodisk störning. Vi kan tänka oss att denna störning x i = x 0 cos(ωt) appliceras på fjäderns andra ände, se figur. Figur Svängningssystem med yttre störning Kraften på kroppen blir nu -kx+kx i, vilket ger rörelseekvationen m d x = kx + kx t 0 cos( ω ) dt Innan vi undersöker rörelsen vid godtyckliga störningsfrekvenser, kan vi resonera oss fram till beteendet vid mycket låga resp. mycket höga frekvenser (i förhållande till "egenfrekvensen" ω 0 ). Vid mycket låga frekvenser bör vi förvänta oss att hela systemet "följer med" den yttre störningen, eftersom vi försummat friktionseffekter. Vid mycket höga frekvenser bör vi å andra sidan vänta oss att den svängande massans tröghet "dämpar" störningens effekt. För mellanliggande frekvenser ligger det nära till hands att undersöka den lösning till rörelseekvationen som innebär att massan svänger med den drivande kraftens frekvens. Vi ansätter alltså x= Acos( ω t) Genom att sätta in denna lösning i ekvationen (gör detta), finner man att x ω A = ω ω 0 0 0 Vi ser direkt att uppförandet för mycket låga resp. mycket höga frekvenser stämmer med det förväntade. Dessutom ser vi också att A > 0 då ω < ω 0 (massan svänger "i fas" med störningen) A < 0 då ω > ω 0 (massan svänger "i motfas" relativt störningen) A-> då ω -> ω 0
Det sistnämnda förhållandet beskriver just resonansfenomenet. Som redan påpekats, finner man att den återförande kraften är proportionell mot störningen så länge denna är liten. Vid resonans blir störningarna mycket stora, och modellen gäller alltså inte i denna situation. Dessutom ökar naturligtvis friktionskrafternas betydelse. Detta gör att svängningsamplituden i praktiken naturligtvis begränsas: x A = 0ω0 ( ω 0 ω ) + γ ω Konstanten γ = b/m, där b är friktionskoefficienten. Förhållandet mellan lagrad och förlorad energi per period kallas resonanssystemets Q-värde (quality factor). Utan dämpning är Q- värdet oändligt, svängningsamplituden A är obegränsad. Figur 3 visar några exempel på hur svängningsamplituden varierar med störningens frekvens för olika Q-värden. Figur 3 Amplitudens frekvensberoende för olika dämpningar Man kan visa att ovan nämnda definitionen av Q-värdet är likvärdigt med Q = ω γ0 där γ är frekvensbredden vid amplituden A/. Det faktum att svängningsamplituden går mot noll då störningsfrekvensen ökar långt över resonansfrekvensen innebär minskande energiöverföring mellan störningen och det svängande systemet. Detta förklarar exempelvis varför organisk materia är genomskinlig för röntgenstrålar. Resonanseffekter kan uppstå även när den primära störningen inte uppvisar en uppenbar periodicitet. Ett klassiskt exempel på detta är haveriet av Tacoma Narrows-bron. I november 1940, bara 4 månader efter invigningen rasade brons mittspann. Haveriet orsakades av en kraftig konstant sidvind, som gav upphov till varierande virvelvindar på läsidan. Dessa virvelvindar bildades genom att vinden effektivt fångades upp av de heltäckande sidorna på vägbanan, se figur 4. Numera byggs denna sorts broar med öppna fackverk på sidorna.
Figur 4 Kollapsen av Tacoma Narrows bron. Det som utmärker ett resonerande system är att det har en väldefinierad självsvängningsfrekvens. Resonanser i musikinstrument När man diskuterar resonans, är det naturligt att också nämna något om musikinstrument. Om man tänker på en fiol, så har varje sträng en bestämd egensvängningsfrekvens. Genom att pressa strängen mot fiolhalsen ändras strängens effektiva längd, och därmed egensvängningsfrekvensen. Men även om man kan få strängen att vibrera med dess resonansfrekvens genom att stryka den med stråken, så skulle det inte komma ut mycket ljud utan fiollådan. Lådan fungerar som en passiv förstärkare. Här handlar det dock inte om resonans, lådan får ju inte ha några skarpa självsvängningsfrekvenser eftersom instrumentet måste kunna återge ett stort frekvensområde. Orsaken till att man ändå får en stor förstärkningseffekt är kopplingen mellan den omgivande luften och det svängande elementet. Man inser lätt att en vibrerande sträng inte stöter på så många luftmolekyler, och ljudet från själva strängen blir därför mycket svagt. Däremot påverkar den svängande fiollådan en relativt stor luftvolym. Hur förhåller det sig med blåsinstrument? Svängningsfrekvensen i mekaniska system begränsas av den mekaniska trögheten (dvs. den svängande massan). I många tillämpningar är man intresserad av höga frekvenser, och använder då elektriska resonanskretsar. I samband med mikrovågsugnen nämnde vi att magnetronen är en sådan resonanskrets. Man kan dock åstadkomma höga resonansfrekvenser i mekaniska svängningssystem om man reducerar den svängande massan. Ett exempel på detta är kvartskristalloscillatorn (den lilla tingesten som svänghjulet och fjädern i mekaniska klockan). I detta fall fås de olika atomplanen att svänga i rörelser som bestäms av kristallens tillskärning. Svängningen drivs med en yttre störning, som i detta fall är en elektrisk spänning. Det elektriska fältet kopplar till den mekaniska rörelsen genom piezo-elektrisk effekt Det utmärkande för denna sorts resonans är extremt höga Q-värden (10 4-10 5 ), vilket är mycket högre än vad som fås i elektriska resonanskretsar. Resonansfrekvensen beror här på kristallens utformning, men ligger typiskt i området 1 MHz - 100 MHz.
Ett relativt nytt sätt att åstadkomma högfrekventa mekaniska självsvängningar är med hjälp av nanoteknologi. I figur 5 visas världens minsta gitarr, gjord av monokristallint kisel. Figur 5 Ett exempel på mikromekanisk resonansleksak. Design liknande Fender Stratocaster Hela gitarren är 10 µm lång, och strängarna är ca 50 nm tjocka. Svängningsfrekvensen ligger kring 10 MHz. Även om detta exempel är av det mer kuriösa slaget, finns det mer seriösa tillämpningar som högfrekventa mikrobrytare. Atomära och subatomära resonanser Som framgått av diskussionen ovan, innebär resonans att ett system absorberar energi från en yttre störning, om störningens frekvens sammanfaller med systemets självsvängningsfrekvens. När det gäller molekylära eller atomära resonansprocesser kan det vara svårt att observera hur partiklarna deformeras när de absorberar energi, såvida de inte faller sönder (t.ex.dissociation av molekyler). I stället för att observera partiklarna kan man studera strålningen som partiklarna sänder ut, eller strålningen som absorberas. I sådana emissionsrespektive absorptionsspektra återfinns smala toppar, som motsvarar resonanser. Figur 6 visar en serie sådana resonanstoppar motsvarande rotationsexcitationer i HCl. Figur 6 Infrarödabsorption i HCl. Topparna representerar excitation av olika rotationstillstånd. Det finns ett stort antal liknande spektroskopiska metoder, som används såväl för studier av de olika fysikaliska processerna, som för materialanalys. Vi skall slutligen diskutera en av dessa metoder, kärnmagnetisk resonans, som funnit tillämpning som en medicinsk diagnosteknik.
Kärnmagnetisk resonans (NMR = Nuclear Magnetic Resonance) NMR-metoden grundar sig på det faktum att atomkärnornas spinnriktning blir kvantiserad i närvaro av ett yttre magnetfält. I det enklaste fallet med väteatomkärnor (dvs. protoner) är spinnet 1/, och spinnriktningen kan vara antingen parallell eller antiparallell med det pålagda yttre magnetfältet, se figur 7. (Strängt taget kan spinnen inte peka i fältriktningen, utan antingen lite snett neråt eller snett uppåt.). Om det yttre fältet är mycket kraftigt, blir energiskillnaden mellan de två spinnriktningarna relativt stor, och de flesta spinnen ställer sig parallellt med fältet. Figur 7 Utan yttre magnetfält (vänstra delen) är spinnen riktade slumpvist, men i ett yttre magnetfält H blir riktningarna kvantiserade. Om kärnornas spinn är 1/, kan riktningarna bara intaga två värden: parallellt eller antiparallellt med H. I detta läge skickas en radiofrekvent störning mot provet. Om störningens frekvens matchar energiskillnaden mellan de två spinntillstånden ( E = hf), kommer en del av protonerna att absorbera energi (resonans) så att deras spinn vänds mot fältriktningen. När så den radiofrekventa störningen stoppas, återgår dessa spinn till ursprungliga tillståndet och emitterar motsvarande radiofrekventa signal. Energin som absorberas/emitteras bestäms huvudsakligen av styrkan i det kraftiga yttre magnetfältet (typiskt 10 T). Lokalt har man dock mindre avvikelser från detta fält beroende på magnetisk växelverkan med kärnorna i omgivningen och med elektronerna. Detta gör att samma sorts atomslag kan absorbera/emittera olika radiofrekvenser, beroende på den kemiska omgivningen. Därigenom ger NMR-metoden viktig information om strukturen i komplicerade molekyler. NMR-metoden har en mycket viktig medicinsk tillämpning, nämligen för analys och avbildning av organiska vävnader. Kroppen består ju huvudsakligen vatten och fett, vilket innebär att det finns gott om väteatomer i en mängd olika konfigurationer (väteatomerna utgör drygt 60% av kroppsvikten). Känsligheten för väte gör NMR (som i detta sammanhang ofta kallas MRI, Magnetic Resonance Imaging) till ett viktigt komplement till röntgen. Den sistnämnda tekniken är ju okänslig för kroppens mjukdelar. För att få information om väteatomernas läge, använder man sig av ytterligare några elektromagneter. Dessa magneter har till uppgift att åstadkomma en gradient i magnetfältet. Atomer som befinner sig i olika punkter i detta inhomogena fältet kommer nu att emittera något olika radiofrekvenser. Genom att kontrollera fältet från dessa extramagneter, kan man alltså hålla reda på var i kroppen som atomerna befinner sig när de emitterar en viss frekvens. Figur 8 visar som exempel en MRI-bild av ett människohuvud.
Figur 8 MRI-bild av en människohjärna. Notera att skallbenet ser mörkt ut, medan de mer vattenrika ögonen är relativt ljusa i denna bild. Bilden är hämtad från Fonars MRI bildgalleri, där man kan finna bilder från många olika kroppsdelar. Elementarpertiklar Slutligen nämndes en helt annan typ av resonanser, nämligen bildande av kortlivade elementarpartiklar. Ett exempel på detta är den s.k. ++ -partikeln, som bildas vid kollisionsprocesser mellan π + -mesoner (elementarpartiklar som svarar för den attraktiva växelverkan mellan protoner och neutroner i atomkärnan) och protoner. I sådana experiment finner man att spridningssannolikheten uppvisar ett "resonant" beteende, som tyder på att de två partiklarna under en kort tid bildar en ny "partikel". Figur 9 Feynman-diagram för spridningsprocessen mellan π + -mesoner och protoner och schematisk bild av spridningstvärsnittet som funktion av tyngdpunktsenergin. Den markerade energibredden är 10 MeV. Resonanskurvans bredd på 10 MeV motsvarar enligt Heisenbergs osäkerhetsrelation en livstid på 5. 10-4 s. ++ -partikeln är alltså mycket kortlivad, och beskrivs ofta som en resonans snarare än en partikel.